抛物线与动点问题

动点问题31、如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（–3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，–3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=–x+m过点C，交y轴于D 点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．2、如图．AB是半圆O的直径．AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D．连接BD交半圆于点C．连接AC，过O点作BC的垂线OF．垂足为点E．与BN相交于点F。

过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN 相交于点 Q。

(I) 求证：△ABC'∽△OFB；(2) 当△ABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；(3) 求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点。

3、如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒（t ＞0），抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点O 和点P ，已知矩形ABCD 的三个顶点为 A （1，0），B （1，－5），D （4，0）．（1）求c ，b （用含t 的代数式表示）：（2）当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB ，CD 交于点M ，N ．①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，821 S ； （3）在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横．纵 坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围．4、在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，四边形ABCD 为菱形，AB 边在x 轴上，点D 在y 轴上，点A 的坐标是（﹣6，0），AB=10．（1）求点C 的坐标：（2）连接BD ，点P 是线段CD 上一动点（点P 不与C 、D 两点重合），过点P 作PE∥BC 交BD 与点E ，过点B 作BQ⊥PE 交PE 的延长线于点Q ．设PC 的长为x ，PQ 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式（直接写出自变量x 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AQ 、AE ，当x 为何值时，S △BOE +S △AQE =45S △DEP 并判断此时以点P 为圆心，以5为半径的⊙P 与直线BC 的位置关系，请说明理由．5、如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．（1）求证：△ODM∽△MCN；（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？6、如图，线段AD=5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC,设AB=x.(1)求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，则x= ;(3)设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值。

第一讲抛物线中的动点问题一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

一、平行四边形与抛物线【例】如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．变式演练【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标．（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y 轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD 交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．二、梯形与抛物线【例】已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．变式演练【变式】如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q．（1）求h的值；（2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）；（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．【变式】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2．（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围．（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF 的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？三、等腰三角形、菱形与抛物线【例】在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B 、C ；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于点M．①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．变式演练【变式】如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t ＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？【变式】如图，直线l1经过点A（﹣1，0），直线l2经过点B（3，0），l1、l2均为与y轴交于点C（0，），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G．求证：DE=EF=FG；（3）若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由．【变式】如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP =S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．四、直角三角形与抛物线【例】如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．【变式】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA 和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，顶点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA 交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，（1）求该二次函数的关系式；（2）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．【变式】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．五、相似三角形与抛物线【例】如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．变式演练【变式】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B 的坐标为（3，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA =2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式】如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知二次函数的图象过点A（﹣4，3），B（4，4）．（1）求二次函数的解析式：（2）求证：△ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．（1）直接写出直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．六、抛物线中的翻折问题【例】如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．变式演练【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A 点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．。

第一讲抛物线中的动点问题一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

一、平行四边形与抛物线【例】如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l 与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．变式演练【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标．（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD 交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；二、梯形与抛物线【例】已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．变式演练【变式】如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q．（1）求h的值；（2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）；（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否【变式】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2．（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围．（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF 的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？三、等腰三角形、菱形与抛物线【例】在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B 、C ；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于点M．②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．变式演练【变式】如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t ＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？【变式】如图，直线l1经过点A（﹣1，0），直线l2经过点B（3，0），l1、l2均为与y轴交于点C（0，），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G．求证：DE=EF=FG；（3）若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由．【变式】如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP =S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．四、直角三角形与抛物线【例】如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．【变式】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA 和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t （0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，顶点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA 交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，（1）求该二次函数的关系式；（2）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．【变式】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．五、相似三角形与抛物线【例】如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．变式演练【变式】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B 的坐标为（3，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA =2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式】如图，已知抛物线的方程C：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，1与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．过点M（2，2），求实数m的值；（1）若抛物线C1（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE （4）在第四象限内，抛物线C1相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知二次函数的图象过点A（﹣4，3），B（4，4）．（1）求二次函数的解析式：（2）求证：△ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．（1）直接写出直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．六、抛物线中的翻折问题【例】如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．变式演练【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A 点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．。

动点问题所有的题型
动点问题涉及的题型非常多，以下是一些常见的动点问题题型：
1. 直线运动中的动点问题：这类问题中，动点在直线上移动，需要求出动点的坐标或者轨迹方程。

2. 圆周运动中的动点问题：这类问题中，动点在圆周上运动，需要求出动点的轨迹方程或者运动时间。

3. 抛物线中的动点问题：这类问题中，动点在抛物线上运动，需要求出动点的坐标或者轨迹方程。

4. 双曲线中的动点问题：这类问题中，动点在双曲线上运动，需要求出动点的坐标或者轨迹方程。

5. 椭圆中的动点问题：这类问题中，动点在椭圆上运动，需要求出动点的坐标或者轨迹方程。

6. 多边形中的动点问题：这类问题中，动点在多边形边上运动，需要求出动点的坐标或者轨迹方程。

7. 函数图像中的动点问题：这类问题中，动点在函数图像上运动，需要求出动点的坐标或者函数解析式。

8. 行程问题中的动点问题：这类问题中，两个或多个动点在同一直线上运动，需要求出它们相遇的次数或者距离。

9. 工程问题中的动点问题：这类问题中，两个或多个动点在同一直线上运动，需要求出它们完成工程所需的时间或者距离。

10. 速度问题中的动点问题：这类问题中，动点在直线或曲线上运动，需要求出它的速度或者加速度。

以上仅是动点问题的一些常见题型，实际上还有很多其他类型的动点问题。

七年级数学上册抛物线上的动点问题专题训练1. 抛物线基本概念回顾- 抛物线是由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定的图形。

- 抛物线上的每个点到焦点和准线的距离相等。

2. 动点问题举例2.1 抛物线上的动点运动问题- 问题描述：一个动点在抛物线上沿着抛物线的轨迹运动，求动点的运动方程。

- 解决方法：设动点的坐标为(x, y)，根据抛物线的性质可以建立动点的坐标关系，进而得到动点的运动方程。

2.2 抛物线运动模型问题- 问题描述：已知一个物体以抛物线的轨迹从斜上方抛出，求该物体的落地点和最大高度等相关信息。

- 解决方法：根据已知条件和抛物线的性质，构建物体的运动模型，求解得到落地点和最大高度等信息。

2.3 抛物线与反射问题- 问题描述：光线从斜上方射向抛物面镜，求光线经过反射后的方向。

- 解决方法：根据抛物面镜的性质和光的反射定律，通过构建方程求解光线的反射方向。

3. 题训练3.1 填空题1. 抛物线的焦点是________，准线是________。

2. 抛物线上的动点到焦点和准线的距离________。

3. 已知抛物线的焦点为F(2, 3)，准线为y = 4，求抛物线的顶点坐标________。

4. 动点坐标关系为x = t, y = t^2，表示一个动点在抛物线上匀速运动，其中t表示________。

5. 从斜上方以速度v抛出一个物体，抛物线的方程为y = 2x - x^2，求物体从抛出到落地所用的时间t，已知重力加速度为g。

3.2 计算题1. 已知抛物线的焦点为F(1, 2)，准线为y = 3，求抛物线的顶点坐标和对称轴方程。

2. 炮弹以速度v从地面射出，抛物线方程为y = -16x^2 + vx，求炮弹的最大高度和落地点坐标。

4. 总结本文档主要介绍了七年级数学上册关于抛物线上的动点问题的专题训练。

通过回顾抛物线的基本概念，举例介绍了动点的运动问题、抛物线运动模型问题以及抛物线与反射问题。

动点问题是历年来中考命题的热点，也是学生学习过程中感觉最难的题型，所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类题目。

这类问题的解法策略有：（1）“动中求静，以静制动”是解决动态几何最有效的方法；（2）在“动”中找到最恰当的位置“静”下来是解决问题的起点；（3）在“静”下来后，能抓住“静”时的特征，寻找解决问题的突破口，是我们迈向成功的关键。

下面具体介绍几种动点问题的解法以供大家参考。

一、点动构成平行四边形这种题常常需要根据平行四边形的性质“对角线互相平分”或平行四边形判定定理中的“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，结合两点之间的距离公式（或勾股定理）、中点公式、两条直线平行的条件以及点在函数图象上的含义来求解。

例1.如图1所示，抛物线y=12x2+x-4与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，试探讨：当点Q在什么位置时，以P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形？+x-4分析：这里有两个动点，初步审题也许会感到无从下手，但仔细观察会发现，这里有一个“不变量”OB，其只可能有两种身份：（1）平行四边形的边；（2）平行四边形的对角线。

设Q（m，-m），当OB是平行四边形的边时，线段PQ也为平行四边形的边，且OB 与PQ为对边，所以OB∥=PQ，所以P（m，-m+4）或P（m，-m-4）。

由于P在抛物线上，所以P点横、纵坐标满足函数解析式，分别代入求解，注意排除Q与O重合的情况；当OB为平行四边形的对角线时，PQ也为平行四边形的对角线，所以线段OB的中点也是线段PQ的中点，根据中点公式可以利用线段OB的中点坐标和点Q的坐标来表示出点P的坐标，同样根据点P在抛物线上这一条件也可求出相应的m的值。

二、点动构成梯形这类题型通常根据梯形的定义（只有一组对边平行）、直线平行（不平行）条件、直线倾斜程度（斜率）k以及函数图象交点坐标求法来解答。

中考经典抛物线中的动点问题最大面积抛物线是函数曲线，出现在中学数学和高等数学教程中。

它是由x轴和y轴组成的二维坐标系，在抛物线中，x轴及y轴都定义了不同的概念。

在数学求解中，经常会用到抛物线，抛物线可以用来表示一些复杂的数学模型，用来研究一些特定的数学问题。

中考经典抛物线中的动点问题最大面积是指在抛物线上，给定抛物线的一个点，要找出一个最大的凸包，且该凸包的面积是最大的。

在实际求解中，这个问题可以看做一个凸优化问题，首先定义一个凸函数，然后对凸函数的极小值解进行求解，最后得到最大的凸包。

求解这个问题，可以利用梯度下降法以最小化成本函数，成本函数记作f（x），它是抛物线与给定点之间最大距离的函数。

每次迭代，在遍历整个抛物线函数时，都要选择正确的梯度方向以最小化成本函数，梯度方向由梯度，也就是函数对x求导得到，梯度即函数在当前点的斜率。

按照梯度下降原理，在每次迭代中，都可以使用梯度来预测当前的搜索方向，朝着梯度方向移动，其移动的距离与梯度的大小成正比，当梯度趋于零时，就得到最大的凸包，即答案。

通过梯度下降法求解中考经典抛物线中的动点问题最大面积，可以将复杂的数学模型简单化，使用简单的算法来解决复杂的数学问题，从而节省时间和成本。

此外，为了解决抛物线中的动点问题最大面积，还可以通过利用极坐标系来求解。

极坐标系，也称极模型，是一种描述抛物线的方法。

它使用两个变量，一个是极坐标系中的极距，另一个是极角，用来描述抛物线上每个点的位置。

极距定义为抛物线上某点到原点的距离，极角定义为抛物线上该点到x轴的夹角。

极坐标系在求解抛物线最大面积问题时，可以将原问题转换为极坐标系中的一个优化问题，以极坐标系中的极距为优化变量，最小化极距的平方和，从而获得最大的凸包。

上述的求解方法可以成功解出抛物线中的动点问题最大面积。

如果将其用于抛物线的其他问题，效果也会很好，甚至可以解决更复杂的数学问题。

它提供了一种新的抛物线研究方法，它将抛物线之间的关系更加可视化，从而使抛物线研究更加清晰和深入。

七年级数学上册抛物线上的动点问题专题训练导言本文档旨在提供七年级数学上册关于抛物线上的动点问题专题训练。

抛物线是数学中重要的曲线之一，通过研究动点问题，学生可以进一步理解抛物线的性质和运动规律。

专题训练题目1. 某物体从离地面20米的高度以初速度10m/s沿着x轴正方向抛出，假设忽略空气阻力，求物体的运动方程。

2. 设某物体自抛出点出发，在y轴上有一个距离为30米的高度为h的标志杆，物体的初速度为10m/s。

求h的取值范围。

3. 从20米高度垂直向下抛射一个物体，该物体与地面的距离由动点P的x坐标表示，已知该物体的运动方程为x=4t^2-10t+20（单位：米，时间t的单位：秒）。

求物体离地面最近的位置。

解题思路1. 通过运用抛物线的标准方程，根据给定的初速度和抛出点的高度，可以求得物体的运动方程。

2. 假设抛出点的x坐标为0，通过将物体的运动方程中的x代入求解，可以获取物体与地面的距离表示的方程。

3. 将物体离地面最近的位置表示为动点P的x坐标的最小值，通过求解x的最小值即可得到物体离地面最近的位置。

答案与解析题目1该题目需要求物体的运动方程，已知物体从离地面20米的高度以初速度10m/s沿着x轴正方向抛出。

忽略空气阻力。

答案物体的运动方程为：$y = -5x^2 + 10x + 20$解析设物体的初始高度为h，初速度为v。

根据抛物线的标准方程可知，物体的运动方程为$y = -\frac{1}{2}g(x - t)^2 + h$，其中g为重力加速度，t为时间。

代入已知条件，可得到物体的运动方程为$y = -\frac{1}{2}g(x - t)^2 + h = -5x^2 + 10x + 20$。

题目2该题目需要求物体与地面的距离表示的方程，已知物体自抛出点出发，在y轴上有一个距离为30米的高度为h的标志杆。

物体的初速度为10m/s。

答案物体与地面的距离表示的方程为：$y = -5x^2 + 10x + 30$解析设物体的初始高度为h，初速度为v。

中考经典抛物线中的动点问题最大面积
中考越来越近，学生对中考经典抛物线中的动点问题仍存在些许困惑，其实，这个问题本质上依然是一个计算最大面积的问题，也可以通过求和的方法来求解。

首先，我们需要明确抛物线的性质：抛物线的坐标表示为(X,Y)，其中X与Y之间存在一个线性关系，而Y即为抛物线上任意点的高度，Y值越高，说明抛物线越陡峭。

其次，我们可以使用坐标轴，将抛物线分割成一个个三角形，即把抛物线上任意一点当作顶点，分别求出它左右两边的斜边以及X轴构成的边。

接着，通过相应的数学公式，可以将这些三角形的面积全部加起来，以计算出抛物线的最大面积。

经过上述步骤，就可以用较简单的方式完成中考经典抛物线中的动点问题最大面积的求解。

但是，要计算出准确的最大面积，就需要深入地来探究它的性质，比如要充分利用抛物线当中的绝对极值点及拐点，用一些高等函数数学运算来分析抛物线最大面积，这对于学习者来说，正是一次令人激动的挑战。

总之，抛物线上的动点问题最大面积的求解，不论是从简单数学运算还是深度函数分析来看，都值得学生深入研究，从中学习奥秘的数学之美！最终，希望大家能够在中考中取得优异的成绩，获得自己的最佳科学成果！
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