变换群与几何及中学平面几何教材

●中学教学与研究●变换群与几何及中学平面几何教材Ξ

陈志云(华中师范大学数学系)　

邓乐斌

(郧阳师范专科学校数学系) 中学几何的教学目的和内容一直是国内、外数学教育界关注的重点问题之一。由于对几何可以有不同的处理方法,比如说,可以用公理法处理,也可以用变换方法、集合论方法、向量方法等处理,因而形成了许多不同流派的中学教材体系。本文打算介绍怎样用变换观点处理几何,特别是中学平面几何,从而使读者对此问题有一个较全面的了解,并为有志于中学几何教材、教学改革的同仁提供参考。1　变换群与克莱茵的几何观定义1　设f是A到B的映射,若对于A中任意两个不同的元素a1,a2,都有f(a1)≠f(a2),则称f为单射。显然,f为单射Ζ若f(a1)=f(a2),则a1=a2。定义2　设f是A到B的映射,若对于任意b∈B,都存在a∈A,使f(a)=b,则称f为满射。显然,f为满射Ζf(A)=B。定义3　设f是A到B的映射,若f既是单射,又是满射,则称f为双射。定理1　若f:A→B与g∶B→C都是双射,则g.f(也可记为gf)∶A→C也是双射。证　设a1,a2∈A,(gf)(a1)=(gf)(a2),即g(f(a1))=g(f(a2))。因为g为单射,所以f(a1)=f(a2)。又因为f为单射,故a1=a2,从而说明gf是单射。因为f,g均为满射,所以f(A)=B,g(B)=C,从而(gf)(A)=g(f(A))=g(B)=C,于是gf为满射,由此得gf为双射。令映射IA∶A→A为:对任意a∈A,

IA(a)=a,称IA

为A上的恒等映射。显

然,IA是A到A的双射。其他集合上的恒等映射也用类似记法。定理2　设f是A到B的双射,则存在双射g∶B→A,使得gf=IA,fg=IB。证　因为f是双射,所以对任意b∈B,

存在唯一a∈A,使得f(a)=b,定义g∶B→A为g(b)=a,则g是B到A的映射。对任意a∈A,(gf)(a)=g(f(a))=

g(b)=a=IA(a),故gf=IA;对任意b∈B,(fg)(b)=f(g(b))=f(a)=b=IB(b),故fg=IB。设b1,b2∈B,g(b

1)=g(b2),则f(

g

(b1))=f(g(b2)),即(fg)(b1)=(fg)(b2),

因为fg=I

B,故b1=b2,从而g

为单射。设

a∈A,则a=IA(a)=(gf)(a)=g(f(a)),显然f(a)∈B,记f(a)=b∈B,则g(b)=

a,因此g为满射,于是g为双射。若f是S到S的双射,则称f为S上的一个变换。记G={f|f是S上的某种变换},G中的乘法为映射的复合,则有定理3　(G,・)是一个群。证　设f,g∈G,由定理1可知,fg也是S上的变换,即fg∈G,因此乘法封闭。因为乘法是映射的复合,故满足结合律。设f∈G,对任意s∈S,(fI

S)(s)

25 1999年第2期 高等函授学报(自然科学版) Ξ收稿日期:1999-02-14=f(s),(ISf)(s)=f(s),故fIS=ISf=f,

即有单位元IS。设f∈G,由定理2,存在双射g∶S→S,即存在g∈G,使得fg=IS,gf=IS,故f在G中有逆元g。有了上述工作,就可以来介绍克莱茵的几何观了。1872年,克莱茵在厄尔朗根大学作了《近世几何学研究的比较评论》,引进了几何学的群论原则,这就是众所周知的厄尔朗根纲领。按照这种观点,我们对几何的理解应是这样的:设给出任意集合S和它的一个变换群G,对于S的任意两个子集A与B,如果存f∈G,使得f(A)=B,则称A,B等价,容易证明这样规定的等价概念是一个等价关系,即具有反身性、对称性、传递性。由此可以确定S的一个分类,使得等价的集合都属于同一类,不等价的子集属于不同的类,从而S的每一元素属于且只属于一类。我们称S为空间,称它的子集为图形,称它的元素为点。从以上分析可知,等价的图形属于同一个等价类,于是同一类里的一切图形所共有的几何性质和几何量必是变换群下的不变性质和不变量,而图形在变换群下的不变性质和不变量,必是同一等价类里的一切图形所共有的性质和几何量。称空间S内图形对于这个变换群(指群中一切变换)的不变性质、不变量的命题系统为这空间的几何学,而空间的维数就称为几何学的维数,且称此群为它的基本群,这就是克莱茵关于几何学群论原则的基本思想。在这种观点下,变换是研究问题的基本工具,因此,我们经常把这种观点简称为变换观点。2　变换群与仿射几何、射影几何及拓扑学运用变换观点,可以用统一的方法处理许多看似完全不同的几何,从而把这些几何学有机联系起来,此处仅举几例加以说明。为不致使问题变得过份复杂,这里涉及的仿射几何、射影几何、拓扑学均是二维的,出于同样的理由,下一节涉及的欧氏几何也是二维的。定义4　平面上点之间的一个线性变换x′=a11x+a12y+a13

y′=a21x+a22y+a23

叫做仿射变换。图形经过任何仿射变换都不

变的性质(量),称为图形的仿射不变性质(仿射不变量)。定理4　平面内所有仿射变换的集合成群,称为仿射变换群。可以证明,在仿射变换群下,基本的不变性质为结合性、平行性,基本不变量为单比(在同一直线上的三点P1,P2,P的单比为

P1PP2P,通常记为(P1P2P)),于是,

仿射变换群

下不变性质与不变量的命题系统就称为仿射几何。定义5　平面上点之间的一个变换

x′=

a11x+a12y+a13

a31x+a32y+a33

y′=

a21x+a22y+a23

a31x+a32y+a33

其中a11a12a13a21a22a23a31a32a33≠0

叫做射影变换。图形经过任何射影变换都不变的性质(量),称为图形的射影不变性质(射影不变量)。定理5　平面内所有射影变换的集合成群,称为射影变换群。可以证明,在射影变换群下,基本的不变性质为结合性,基本不变量是交比(在同一直线上的点P1,P2,P3,P4的交比为P1P2P3

P1P2P4

),

由此可以得到许多不变性质与不

变量,于是,射影变换群下不变性质与不变量的命题系统就称为射影几何。定义6　设f是平面上的变换,若f及

35 1999年第2期 高等函授学报(自然科学版) 其逆均连接,则称f为平面上的拓扑群。可以证明,连通性、紧致性等都是拓扑变换下的不变性质,于是,拓扑群下不变性质与不变量的命题系统就称为平面上的拓扑学。由于拓扑学本身的迅猛发展,研究内容已大大超越本文所说的范围,从而形成包括点集拓扑代数拓扑、微分拓扑等在内的独立数学分支。虽然如此,但从拓扑学的来龙去脉看,还是可看到它与群论原则下的几何学的这种密切联系。3　变换群与欧氏几何及中学平面几何教材下面谈谈如何从变换观点看欧氏几何以及这种观点对中学平面几何教材的影响。定义7　平面上点之间的变换x′=a11x+a12y+a13y′=a21x+a22y+a23其中a211+a221=1,a212+a222=1,a11a12+a21a22=0,称为正交变换。图形经过任何正交变换都不变的性质(量)称为图形的度量性质(度量不变量)。定义8　记A=a11　a12a21　a22若|A|=1,则称定义7中的正交变换为第一种正交变换;若|A|=-1,则称定义7中的正交变换为第二种正交变换。由定义7可得,|A|=±1,故正交变换只有定义8中的两种。定理7　一个第一种正交变换或是一个平移,或是一个旋转,或是一个旋转与平移的乘积;一个第二种正交变换或是关于一条直线的轴反射变换,或是一个轴反射变换与一个第一种正交变换的乘积。由定理7可知,正交变换实际上就是平移、旋转、反射或者它们的乘积。定理8　平面上所有正交变换的集合构成群,称为正交变换群。注　定理4到定理8的证明可参阅文献[2]。可以证明,在正交变换群下,基本的不变性质为结合性、平行性、合同性,基本的不变量为距离。由此易得,三角形和四边形的边长、角、周长、面积、各种结合关系均在正交变换群下不变,圆的半径、直径、圆周角、圆心角、圆周长、圆面积、圆与直线关系、圆与圆关系等也均在正交变换群下不变,而这些正是欧氏几何的研究对象。于是,正交变换群下不变性质与不变量的命题系统就称为平面上的欧几何。用克莱茵的观点把各种几何学作统一的研究支配了近半个世纪之久,这种观点使各种几何学化为统一的形式,明确了各种几何学所研究的对象,同时也给出了建立抽象空间所对应几何学的一种方法,从而把许多种几何学陆续建立起来,例如代数几何、保形几何、拓扑学等等,因此,它对几何学的发展有巨大促进作用。中学几何的主要内容是欧氏几何,也是几何学的一部分,所以,变换观点对中学几何教材的编写也产生深远影响,许多人提出要以这种观点改造几何教材。有人提出完全用变换观点处理中学几何教材的方案,其基本想法是:把几何关系“翻译”成群论关系,使几何概念、结论可用群论语言表述。例如,点A“翻译”成关于A的中心对称,直线a“翻译”成关于直线a的轴对称,点A∈a,a为直线,“翻译”成Aa=aA

(当A∈a时,关于A的中心对称与关于a

的轴对称之积可交换)等等,在此基础上建立起中学几何教材的结构。这种设想的优点在于使古老的几何内容在数学思想、方法、风格、语言等方面更接受于近、现代数学,有利于提高中学生的数学素养。基缺点在于:一是按照这种观点,把几何图形性质的研究归结为寻找变换群下的不变性质,中学生很难接受这种深奥、抽象的理论;二是按照这种观点,就会把寻求不变性质作为主要目的,而把图形本身的性质的研究置于从属地位,我们知道,中学开设几何课题的目的之一是使学

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