数学建模2007年赛题 手机套餐优惠几何
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手机“套餐”优惠几何问题摘要本文针对手机资费问题，主要以层次分析法建立数学模型，给出各种套餐方案的资费计算方法，并对各套餐方案与现行的资费标准进行了分析、比较和评价，最终制定出了合理的套餐方案。
对问题（1），我们对北京、上海各套餐方案的资费计算方法建立数学模型Ⅰ，对各方法进行分析求解, 利用数学软件包MATLAB计算得出如下结果：①北京“畅听99套餐”：当通话时长在(0,394]t∈、(394,800]t∈、(1500,)t∈+∞范围内t∈、(800,1500]的用户，分别适用于使用“99元”、“139元”、“199元”、“299元”套餐业务。
②上海“全球通68套餐”：当通话时长在(0,693]t∈+∞范围t∈、(1175,)t∈、(693,1175]内的用户，分别适应于使用“68元”、“128元”、“188元”套餐业务。
对问题（2），以月租费、本地话费、漫游话费、长途话费四项建立数学模型Ⅱ，分别对客户使用一项功能（本地拨打型，漫游拨打型，长途拨打型）、两项功能（本地漫游拨打型，本地长途拨打型，漫游长途拨打型）、三项功能的情况进行讨论分析，得出评价准则和方法，且据此方法与各套餐方案比较分析。
对问题（3），北京移动公司推出“被叫全免费计划”，并且要求用户至少在网一年，旨在稳定原来全球通客户，虽然实行被叫全免，但总体来说，并不影响运营商的总收益，所以我们认为此方案是可行的。
对问题（4），制定一个套餐方案，应考虑价格因素、个性化因素、促销的关注度、满意度等四个因素，从而建立层次分析法模型，然后利用数学软件包MATLAB计算得出，个性化因素和满意度对全球通手机的资费方案的设计起主要作用。
因此，通过对这些因素的综合考虑，设计出了我们认为比较合理的套餐方案：以现有的套餐为主套餐，添加附加套餐业务。
关键词：手机套餐资费方案层次分析法MATLAB软件一、问题的提出手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，近年来通信业务量飞速增长 (见附件1) 。
手机资费问题一直是人们关心的热点问题，多少年来资费方案始终没有实质性变化。
但是2007年1月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营商都相继推出了“手机单向收费方案”---各种品牌的“套餐”，手机“套餐”的花样琳琅满目，让人眼花缭乱。
人们不禁要问：手机“套餐”究竟优惠几何？请参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案（见附件2），建立数学模型分析研究下列问题：(1)给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户？(2)提出你们对各种资费方案的评价准则和方法, 据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。
(3)北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。
你们又如何评价这个方案？并说明理由。
(4)如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通手机的资费方案, 你们会考虑哪些因素? 根据你们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐”方案。
附件1 2006年中国通信业的统计资料附件2 中国移动手机的资费方案二、问题的分析本题是围绕现实生活中的手机“套餐”方案是否优惠提出的。
问题（1）中，只是利用了简单的函数模型[1]，列出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，然后对各套餐方案的资费计算方法进行分析比较，易得出其适用人群。
在问题（2）中引入了蛰伏系数，以月租费、本地话费、漫游话费、长途话费四项建立了数学模型，在忽略一些简单因素的前提下，可得其费用与时间总的关系式，然后在蛰伏系数取不同值的情况下结合各种资费方案的具体情形分类列式，再进行评价比较。
依此方法为根据，比较北京、上海推出的套餐方案与现行的资费标准，得出分析结果及评价。
在问题（3）中，北京移动公司又推出全球通“被叫全免费计划”，即单向收费计划，此外，全球通手机用户要想真正享受单向收费，并非“无条件”，要想申请“被叫全免计划”，客户还需要签署一年在网协议，缴纳月基本费，有效期内不得转户、申请销号，不得参加北京移动推出的其他优惠促销，才能享受本地接听电话全部免费。
对此计划要从用户是否受益角度来考虑。
而针对问题（4），建立层次分析法模型，对其制约因素进行综合考虑分析，得出其主要影响因素，然后据此制定出套餐方案。
三、模型的假设1．在北京“畅听99套餐”方案中，包含的数据业务可以忽略不计；2．为了简化数据，方便计算，由于各种长途资费在全球通和神州行业务中均相等，故长途资费可以忽略不计；3．北京“畅听99套餐”中，国内IP长途资费单价相同，在比较其4种方案时，国内长途资费可以忽略不计；4．为了方便对各方案进行比较，忽略国际长途话费和短信资费。
5．文中讨论手机费用指用户平均一月的手机使用费；6．假设用户有确定的持续的交际人群，不同的人有不同的交际范围；7．假定用户为理性消费，提出的服务项目要求刚好满足自己的实际要求，并且长期使用；8．不考虑各类短期优惠政策，侧重话费的四个主要组成部分；9．各功能收费情况彼此间没有联系。
四、符号说明y：月租费y：每月拨打电话的总费用t：每月的通话时长a：本地打出电话费用单价1b：本地接收电话费用单价1a：漫游打出电话费用单价2b：漫游接收电话费用单价2a：长途打出电话费用单价3b：长途接收电话费用单价3w：网内可发短信条数j：国内长途费单价折扣h：漫游费单价折扣p: 某用户某月话费总额T：国内长途通话时间1T：漫游通话时间2α：满足接打本地电话线形关系的常数β：满足接打漫游电话线形关系的常数γ：满足接打长途电话线形关系的常数(1,2,3)i t i =：对应为本地打出、漫游打出、长途打出电话的时长 0(1,2,3)i t i =：对应为本地接收、漫游接收、长途接收电话的时长五、模型的建立与求解1.问题（1）模型Ⅰ：通过对北京、上海各“套餐”方案图表的分析发现，对各套餐资费的计算属于简单函数模型[2]，由于17951国内IP 长途资费的计费标准相同，故在相同时间内，北京四种套餐方案的长途资费相同，为了方便计算与分析，将长途资费与数据业务项忽略不计。
1.1 北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案的资费计算方法为：0.35(280)992805600.25(560)139********.2(1000)199********0.15(2000)2992000t t t t y t t t t ⨯-+≤<⎧⎪⨯-+≤<⎪=⎨⨯-+≤<⎪⎪⨯-+≥⎩用MATLAB 画图如下(见附录程序一)：北京各套餐方案适应于何种用户，需对各用户在一定时间内的通话时长进行分类考虑，所以，当使用99元套餐业务的用户时长超过280分钟以后，就有可能发生与139元套餐业务话费相等的时刻，即：0.35(280)99139t ⨯-+=，MATLAB 求解得：26703947t =≈分钟，即超过394分钟后使用139元套餐会比99元套餐实惠。
同理可得以下关系式：0.25(560)139199t ⨯-+=， 0.2(1000)199299t ⨯-+=，MATLAB 求解得：800t =分钟 和 1500t =分钟。
即：超过800分钟后使用199元套餐比使用139元套餐实惠，超过1500分钟后使用299元套餐比使用199元套餐实惠。
所以：(1)当通话时长在(0,394]t ∈范围内的用户，适应于使用99元套餐业务。
(2)当通话时长在(394,800]t ∈范围内的用户，适应于使用139元套餐业务。
(3)当通话时长在(800,1500]t ∈范围内的用户，适应于使用199元套餐业务。
(4)当通话时长在(1500,)t ∈+∞范围内的用户，适应于使用299元套餐业务。
1.2 对上海“全球通68套餐”方案进行分析，可得其资费计算方法：0.18(360)683608000.16(800)12880012000.13(1200)1881200t t y t t t t ⨯-+≤<⎧⎪=⨯-+≤<⎨⎪⨯-+≥⎩用MATLAB 画图如下（见附录程序二）：类似北京套餐方案的求解，分析可得以下关系式： 0.18(360)68128t ⨯-+=， 0.16(800)128188t ⨯-+=， MATLAB 求解得：20806933t =≈分钟 和 1175t =分钟。
所以：(1)当通话时长在(0,693]t ∈范围内的用户，适应于使用68元套餐业务。
(2)当通话时长在(693,1175]t ∈范围内的用户，适应于使用128元套餐业务。
(3)当通话时长在(1175,)t ∈+∞范围内的用户，适应于使用188元套餐业务。
2. 问题（2）模型Ⅱ：我们对现行的资费标准进行了逐个的分析评价并与北京、上海推出的“套餐”方案做了比较，以月租费、本地话费、漫游话费、长途话费四项建立了数学模型。
蛰伏系数：根据不同的交际范围，用户大多只与本地的人联系，而较少与漫游区、长途区的人联系，以这三种区域为区分标准定出来的系数[3]：10τ⎧=⎨⎩在本区域内经常与人联系在本区域内基本不与人联系，10ε⎧=⎨⎩经常在漫游区内与人联系几乎不在漫游区内与人联系，10δ⎧=⎨⎩经常进行长途联系几乎不进行长途联系，我们对各种资费方案的评价准则为：在通话量与时间一定的情况下，对广大用户来说，比较哪一种方案更实惠。
由此我们建立的数学模型Ⅱ：0111102222033330()()()y y a t b t a t b t a t b t τεδ=++++++ 0112233(1)(1)(1)y a t a t a t ταεβδγ=++++++2.1 客户使用一项功能 2.1.1 本地拨打型根据假设可知：1,0,0τεδ===，即011110011(1)y y a t b t y a t α=++=++，全球通：150(1)0.4y t α=++⨯， 神州行：1(1)0.6y t α=+⨯， 对全球通和神州行进行比较,令1150(1)0.4(1)0.6t t αα++⨯=+⨯，得12501t α=+，(1)当12501t α>+时，全球通合适； (2)当12501t α<+时，神州行合适。
2.1.2 漫游拨打型根据假设可知：0,1,0τεδ===，即022220022(1)y y a t b t y a t β=++=++，全球通：250(1)0.6y t β=++⨯， 神州行：2(1)0.8y t β=+⨯ ， 对全球通和神州行进行比较,令2250(1)0.6(1)0.8t t ββ++⨯=+⨯ ，得22501t β=+，(1)当22501t β>+时，全球通合适；(2)当22501t β<+时，神州行合适。
