第三章 空间向量与立体几何 单元测试
(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．以下四组向量中，互相平行的组数为( )
①a ＝(2,2,1)，b ＝(3，－2，－2)；②a ＝(8,4，－6)，b ＝(4,2，－3)；③a ＝(0，－1,1)，b ＝(0,3，－3)；④a ＝(－3,2,0)，b ＝(4，－3,3)
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
解析：∵②中a ＝2b ，∴a ∥b ；③中a ＝－1
3b ， ∴a ∥b ；而①④中的向量不平行． 答案：B
2．在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →
＝2OA →－2OB →－OC →
，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
解析：①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 共线，但a 与b 共线时|a |－|b |＝|a ＋b |不一定成立，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．
答案：C
3．如图，已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )
A.PC →与BD →
B.DA →与PB →
C.PD →与AB →
D.P A →与CD →
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
设矩形ABCD 的长、宽分别为a ，b ，P A 长为c ，则A (0,0,0)，B (b,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，P (0,0，c )．
则PC →＝(b ，a ，－c )，BD →＝(－b ，a,0)，DA →＝(0，－a ，0)，PB →
＝(b,0，－c )，PD →＝(0，a ，－c )，AB →＝(b,0,0)，P A →＝(0,0，－c )，CD →
＝(－b,0,0)．
∴PC →·BD →＝－b 2＋a 2不一定为0.
DA →·PB →＝0，PD →·AB →＝0，P A →·CD →＝0. 答案：A
4．已知向量e 1、e 2、e 3是两两垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2－e 3，b
＝e 1＋2e 3，则(6a )·⎝
⎛⎭
⎪⎫
12
b 等于( ) A ．15 B ．3 C ．－3
D ．5
解析：(6a )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b ＝3a·b ＝3(3e 1＋2e 2－e 3)·(e 1＋2e 3)＝9|e 1|2－6|e 3|2＝3. 答案：B
5．如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面α，AC ⊥面α，BD ⊥AB ，BD 与面α成30°角，则C 、D 间的距离为( )
A ．1
B ．2 C. 2
D. 3
解析：|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →
＋2CA →·BD →＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD →|＝ 2.
答案：C
6．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( )
A ．(－2,2,0)
B ．(2，－2,0) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12，0 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，－12，0 解析：由OA →
＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH →
＝(－λ，λ－1，－1)．
又BH ⊥OA ，∴BH →·OA →
＝0， 即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，
即λ＋λ－1＝0，解得λ＝1
2，∴H ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12，0. 答案：C
7．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )
A ．90°
B ．60°
C ．30°
D ．0°
解析：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝(cos 2α＋sin 2α＋1)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．
答案：A
8．已知E 、F 分别是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1
的中点，则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( )
A.2
3 B.23 C.53
D.233
解析：以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，F ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1，12，D 1(0,0,1)，l 所以AD 1→＝(－1,0,1)，AE →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
－12，1，0.
设平面AEFD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·AD 1→＝0，
n·AE →＝0，
⇒⎩⎨⎧
－x ＋z ＝0，
－x
2＋y ＝0.
∴x ＝2y ＝z .取y ＝1，则n ＝(2,1,2)，而平面ABCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，∵cos 〈n ，u 〉＝23，∴sin 〈n ，u 〉＝5
3.
答案：C
9．在三棱锥P -ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ⊥平面ABC ，且P A ＝AB ，则二面角A -PB -C 的平面角的正切值为( )
A. 6
B. 3
C.66
D.62
