空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧
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一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．
解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，
，． 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ，
则11317cos 17BC CD BC CD θ==u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =
，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．
解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．
由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3
π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1
（０，2，０）、3102c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，、13302C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，． 设302E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，且1322a -<<，
由EA ⊥EB 1，得10EA EB =u u u r u u u r g ，
即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭
g ，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
g ， 即12a =
或32a =（舍去）．故31022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，． 由已知有1EA EB ⊥u u u r u u u r ，111B A EB ⊥u u u u r u u u r ，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A u u u u r 与EA u u u r 的夹角．
因11(002)B A BA ==u u u u r u u u r ，，，31222EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝u u u r ，，
故1111
2cos 3EA B A EA B A θ==u u u r u u u u r g u u u r u u u u r ，即2tan 2θ=
三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．
（1）证明AB ⊥平面VAD ；
（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．
解析：（1）取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．
设AD ＝2，则A （1，０，０）、D （－1，０，０）、B （1，2，０）、
V （０，０，3），∴AB u u u r ＝（０，2，０），VA u u r ＝（1，０，－3）．
由(020)(103)0AB VA =-=u u u r u u r g
g ，，，，，得 AB ⊥VA ．
又AB ⊥AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直，∴ AB ⊥平面VAD ；
（2）设E 为DV 的中点，则13022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， ∴33022EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，3322
2EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，(103)DV =u u u r ，，． ∴332(103)02EB DV ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r g g ，，，，， ∴EB ⊥DV ．
又EA ⊥DV ，因此∠AEB 是所求二面角的平面角．
∴21cos 7EA EB EA EB EA EB
==u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r ，． 故所求二面角的余弦值为21． 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4 已知正四棱锥V －ABCD 中，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．
（1）求∠DEB 的余弦值；
（2）若BE ⊥VC ，求∠DEB 的余弦值．
解析：（1）如图4，以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，则由AB ＝2a ，OV ＝h ，有B （a ，a ，０）、C （-a ，a ，０）、D （-a ，-a ，０）、V （0，0，h ）、222a a h E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，， ∴3222a h BE a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，，3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
u u u r ，，． ∴22
226cos 10BE DE a h BE DE a h BE DE
-+==+u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r ，， 即22
22
6cos 10a h DEB a h -+=+∠；
