湘教版数学九下圆随堂练习

适用精选文件资料分享九年级数学下册第 2 章圆同步练习（共16 套湘教版）垂径定理知|识|目|标1．经过圆的对称性折叠操作，理解垂径定理． 2 ．经过对垂径定理的理解，采纳转变和对称思想解决有关直角三角形的计算与证明问题． 3 ．在掌握垂径定理的基础上，能应用垂径定理解决实质生活中的问题.目标一理解垂径定理例1教材增补例题如图2－3－1 所示的图形中，哪些图形能获得AE＝BE的结论，哪些不可以，为何？①②③④图 2－3－1【归纳总结】理解垂径定理的“三点注意”：(1) 这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线 ( 线段 ) ，其实质是“过圆心”； (2) 垂径定理中的弦为直径时，结论依旧成立； (3) 均分弦所对的两条弧，是指均分弦所对的劣弧和优弧，不要遗漏优弧．目标二能运用垂径定理进行计算或推理证明例 2 教材增补例题如图 2－3－2，⊙O的半径为 17 cm，弦 AB∥CD， AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心 O位于 AB，CD的上方，求 AB和 CD之间的距离．图 2－3－2【归纳总结】垂径定理中常用的两种辅助线： (1) 若已知圆心，则作垂直于弦的直径； (2) 若已知弦、弧的中点，则作弦、弧中点的连线或连半径等．目标三能利用垂径定理解决实诘问题例 3 教材增补例题赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约 1400 年，历经无数次洪水冲击和8 次地震却平稳无恙．如图2－3－3，若桥跨度AB 约为40米，主拱高CD约为10 米，则桥弧AB所在圆的半径R＝________米．图 2－3－3 图 2－3－4【归纳总结】 1 ．垂径定理基本图形的四变量、两关系： (1) 四变量：如图 2－3－4，弦长 a，圆心到弦的距离 d，半径 r ，弧的中点到弦的距离 ( 弓形高 )h ，这四个变量知任意两个可求其余两个． (2) 两关系：①a22＋ d2＝r2 ；②h＋d＝r. 2．垂径定理在应用中常作的辅助线：作垂线，连半径，构造直角三角形． 3 ．垂径定理在应用中常用的技巧：设未知数，依据勾股定理列方程．知识点垂径定理垂径定理：垂适用精选文件资料分享直于弦的直径均分这条____，而且均分 ________________． [ 点拨 ] (1)均分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧． (2) 弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧． (3) 均分弦所对的一条弧的直径垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧．已知CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB ＝10，CD＝8，求 BE的长．解：如图 2－3－5，连接 OC，则 OC＝5. 图2－3－5 ∵AB是⊙O的直径， AB⊥CD， CD＝8，∴CE＝12CD＝4. 在Rt△OCE中， OE＝OC 2－CE 2＝3，∴BE＝ OB＋OE＝5＋3＝8. 以上解答圆满吗？若不圆满，请进行增补．教师详解详析【目标打破】例 1解：①②能，③④不可以．原由略．例2[ 解析 ] 如图，过圆心 O作弦 AB的垂线，易证它也与弦 CD垂直，由垂径定理知 AE＝BE，CF＝DF，依据勾股定理可求 OE，OF的长，从而可求出 AB和 CD之间的距离．解：如图，过点 O作 OE⊥AB于点 E，交 CD于点 F，连接 OA，OC.∵AB∥CD，∴OF⊥CD. 在 Rt△OAE中，∵OA ＝17 cm，AE＝BE＝12AB＝15 cm，∴OE＝ 172－152＝8(cm) ．同理可求 OF＝172－82＝15(cm) ．∵圆心 O位于 AB，CD的上方，∴EF＝OF－OE＝15－8＝7(cm) ．即 AB和 CD之间的距离是 7 cm. 例 3 [ 答案] 25 [ 解析 ] 依据垂径定理，得 AD＝12AB＝20 米．在 Rt△AOD中，依据勾股定理，得 R2＝202＋(R－10)2 ，解得 R＝25( 米) ．【总结反思】[ 小结 ] 知识点弦弦所对的两条弧 [ 反思 ] 不圆满．增补：若垂足E 在线段OA上，则BE＝OB＋OE＝5＋3＝8；若垂足E 在线段OB 上，则 BE＝OB－OE＝5－3＝2. 综上所述， BE的长为 8 或 2. 其长度保持不变．。

第2章圆 2.1 圆的对称性1. 下列命题中正确的有()①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为()A.38°B.52°C.76°D.104°3.若⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0,0)，点P的坐标为(4,2)，则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内B.点P在⊙O外C.点P在⊙O上D.点P在⊙O内或在⊙O外4.对于下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是()A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理5. 若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是()A.点A在⊙O外B.点A在⊙O上C.点A在⊙O内D.不能确定6. 已知两个同心圆的圆心为O，半径分别为2和3，且2＜OP＜3，那么点P在()A.小⊙O内B.大⊙O内C.大⊙O外D.小⊙O外大⊙O内7. 下列说法中，正确的是()A.长度相等的两条弧是等弧B.优弧一定大于劣弧C.不同的圆中不可能有相等的弦D.直径是弦且是同一个圆中最长的弦8.下列命题中，不正确的是()A.圆的对称轴是直径B.圆是轴对称图形C.圆是中心对称图形D.圆的对称中心是圆心9. 点在圆上、点在圆内、点在圆外.设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则当d r时，点P在⊙O内；当d ＝r时，点P在⊙O上；当d r时，点P 在⊙O外.10. 到已知点A的距离等于3cm的所有点组成的图形是.11. 以(3,0)为圆心，5为半径画圆，则圆与x轴的交点坐标为.12. .图中是⊙O的直径；弦有；劣弧有；优弧有.13. 已知⊙O的半径是5cm，AB是⊙O的一条弦，设其长度为xcm，则x的取值范围是.14. P是⊙O内一点，它到圆周上最近的距离是4cm，最远的距离是10cm，则这个圆的半径是cm.15. 已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程x2－2x＋d＝0没有实数根，则点P与⊙O的位置关系是.16. 如图所示，已知OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点.求证：AD＝BC.17. 如图所示，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，AE交⊙O于B、E，AB 等于⊙O的半径，∠DOE＝78°.求∠A的度数.18. 在⊙O中，直线AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ长；(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.答案：1---8 ACABC DDA9. ＜＞10. 以A为圆心、3cm为半径的圆11. (8,0)，(－2,0)12. AC AB、BC、AC13. 0＜x ≤1014. 715. 点P 在⊙O 外部16. 解：∵OA、OB 是⊙O 的半径，∴OA＝OB ，又∵C、D 分别是OA 、OB 的中点，∴OC＝OD.在△OAD 与△OBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧ OA ＝OB ∠O＝∠OOD ＝OC ，∴△OAD≌△OBC(SAS)，∴AD ＝BC.17. 解：设∠A＝x°，∵AB＝OB ＝OE ，∴△ABO、△OBE 都是等腰三角形，∴∠BOA＝∠A＝x°，∴∠OBE＝2x°，∴∠E＝2x°.由：∠DOE＝∠A＋∠E，得78°＝x ＋2x ，x ＝26°.答：∠A 的度数为26°.18. 解：(1)∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB.在Rt△OPB 中，OP ＝ 3.连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，PQ ＝OQ 2－OP 2＝32－32＝6；(2)∵PQ 2＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2，∴当OP 最小时，PQ 最大，此时，OP ⊥BC ，∴OP ＝12OB ＝32，∴PQ 长的最大值为9－322＝332.1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。

(2)判断BE与EF是否相等，并说明理由． 【解】BE＝EF.理由如下： 由(1)知∠BAC＝90°， ∴∠BAE＋∠FAD＝∠ABF＋∠AFB＝90°. 又∵∠BAE＝∠ABF，∴∠FAD＝∠AFB.∴EF＝AE. 又∵AE＝BE，∴BE＝EF.
(3)小李通过操作发现CF＝2AB，请问小李的发现是否正 确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB 之间正确的关系式． 【解】小李的发现是正确的．理由如下： 如图，连接 OA，CP，延长 BA 与 CP， 两线交于点 G. ∵P 为半圆弧的中点， ∴B︵P＝P︵C，∴BP＝PC.
3 如图，AB 是⊙O 的直径，P，C 是⊙O 上的点，P︵A＝P︵BC， 弦 PC 交 AB 于点 D．
(1)求证：∠A＝∠C； 【证明】如图，连接 OP. ∵P︵A＝P︵BC，∴PA＝PC. PA＝PC， 在△POA 和△POC 中，OA＝OC， OP＝OP，
∴△POA≌△POC(SSS)．∴∠A＝∠C.
(2)若∠B＝60°，AC＝6，求OA的长． 【解】∵∠E＝∠B＝60°，∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝30°.∴AE＝2CE. 又∵AC2＋CE2＝AE2，AC＝6，∴62＋CE2＝4CE2， ∴CE＝2 3(负值已舍去)． ∴AE＝2CE＝4 3.∴OA＝2 3.
7 [2023·怀化三中月考]正方形 ABCD 内接于⊙O，如图， 在A︵B上取一点 E，连接 DE，BE，过点 D 作 DF∥BE 交⊙O 于点 F，连接 BF，AF，且 AF 与 DE 相交于点
(2)连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长. 【解】由(1)知，⊙O 的半径为 5 cm， ∴OC＝OD－CD＝5－2＝3(cm)． ∴EC＝EO＋OC＝5＋3＝8(cm)． ∴在 Rt△ ECA 中，EA＝ AC2＋EC2＝ 42＋82＝4 5(cm)． ∵OF⊥AE，∴EF＝E2A＝2 5 cm.∴在 Rt△OFE 中， OF＝ EO2－EF2＝ 52－(2 5)2＝ 5(cm)．

湘教版九年级下册数学第2章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如上图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（）A. B.4 C. D.82、如图⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为（）A.2B.8C.2D.23、如图，在⊙O中，，，则的度数是（）A. B. C. D.4、文艺复兴时期，意大利艺术大师达芬奇曾研究过圆弧所围成的许多图形的面积问题. 如图所示称为达芬奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切，切点分别为，所在圆的圆心为点（或）. 若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A. B.2 C. D.5、⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定6、如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A. B. C. D.27、下列六个结论：①垂直于弦的直径平分这条弦；②有理数和数轴上的点一一对应；③三角形的内切圆和外接圆是同心圆；④相等圆心角所对的弦相等．⑤圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线；⑥一个圆锥的侧面积是一个面积为4π平方厘米的扇形，那么这个圆锥的母线长L和底面半径R之间的函数关系是正比例函数．其中正确的结论的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个8、已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是（）A. B. C. D.9、如图，半圆O的直径为AB，E，F为AB的三等分点．EM∥FN交半圆于M，N，且∠NFB=60°，EM+FN=，则它的半径是（）A.2B.3C.4D.310、已知⊙O的半径OA＝10cm，弦AB＝16cm，P为弦AB上的一个动点，则OP 的最短距离为( )A.5cmB.6cmC.8cmD.10cm11、下列说法正确的是（）A.真命题的逆命题都是真命题B.在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等C.等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形12、已知⊙O的半径为5cm，点P在直线l上，且点P到圆心O的距离为5cm，则直线l与⊙O（）A.相离B.相切C.相交D.相交或相切13、如图所示，在中，，，是的内心，延长交的外接圆于点，则的度数是（）A. B. C. D.14、如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( )A.2B.4-πC.πD.π-115、圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是（）A.1：2：3：4B.1：3：4：5C.2：3：4：5D.2：3：5：4二、填空题(共10题，共计30分)16、蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB 边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有________个17、如图，在⊙O中，＝，∠AOB与∠COD的关系是________.18、一个扇形的半径为3cm，面积为，则此扇形的圆心角为________.19、如图，在中，⑴作AB和BC的垂直平分线交于点O；⑵以点O为圆心，OA长为半径作圆；⑶⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；⑷连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P.根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①；②；③点O是的外心；④点P是的内心.所有正确结论的序号是________.20、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为________ .21、已知一个半径为4的扇形的面积为12π，则此扇形的弧长为________．22、如图，正六边形ABCDEF内接于，若直线PA与相切于点A，则PAB=________ .23、AB是⊙O内接正方形的一条边长，AC是同一个⊙O内接正六边形的一条边长，则∠BAC的度数是________．24、若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为________．25、如图，在中，，，，P是所在平面内一点，且满足，则的最大值为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，A、B、C、D均为⊙O上的点，其中A、B两点的连线经过圆心O，线段AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数．27、已知BC为半圆O的直径，AB=AF,AC交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交BF于E，求证：AE=BE.28、已知：△ABC（如图）,（1）求作：作△ABC的内切圆⊙I.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．（2）在题（1）已经作好的图中，若∠BAC=88°，求∠BIC的度数.29、如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC ＝110°．连接AC，求∠A的度数．30、如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，BD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．（1）求证：BC平分∠DBA；（2）若CD=6，BC=10，求⊙O的半径长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、D3、D4、B5、A6、C7、B8、B9、D10、B11、D12、D13、D14、B15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、。