下载文档原格式
第二讲有限差分法基本原理一般的流体控制方程都是非线性的偏微分方程。
在绝大多数情况下，这些偏微分 方程无法得到精确解；而CFD 就是通过采用各种计算方法得到这些偏微分方程的数值 解，或称近似解。
当然这些近似解应该满足一定的精度。
目前，主要采用的CFD 方法是有限差分法和有限体积法。
本讲主要介绍有限差分法，它也是下一讲中的有限体积 法的基础［1］。
有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格， 用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的流动变量(如密度、速度等)存储在 各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化 为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。
求出该 差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。
2.1差分和逼近误差由于通常数字计算机只能执行算术运算和逻辑运算，因此就需要一种用算术运算来处理函数微分运算的数值方法。
而有限差分法就是用离散网格点上的函数值来近似 导数的一种方法。
设有x 的解析函数y 二f(x)，从微分学知道函数y 对x 的导数为dy 、dx 分别是函数及自变量的微分，dy/dx 是函数对自变量的导数，又称微商。
相应地，上式中的 “、厶y 分别称为自变量及函数的差分，cy/^x 为函数对自变量的差 商。
在导数的定义中是以任意方式逼近于零的，因而.収是可正可负的。
在差分方 法中，“X 总是取某一小的正数。
这样一来，与微分对应的差分可以有三种形式：向前差分 二y = f (x 二x) _ f (x) 向后差分 y = f (x) _ f (x 中心差分11y 二 f (xx) _ f (xx)2 2上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。
对一阶差分再作一阶差分，就得到二阶差分，记为2y 。
以前向差分为例，有2A y =也(也y)=.'■： f (x _x ) - f (x) 1dx x —° x f(x：x) - f (x)Z x (2-1)=.f (x - x) - ■ :f(x) (2-2)-f (x 2 = x) 一f (x =x) I - If (x _x) - f (x) 1=f (x 2L X) -2 f (x =x) f (x) 依次类推，任何阶差分都可以由低一阶再作一阶差分得到。
差分计算公式范文差分计算是一种常用的数学工具，用于计算函数或序列连续两个值之间的差别。
差分计算的公式取决于具体的问题和数据类型。
本文将介绍差分计算的几种常见公式及其应用。
一、一阶差分一阶差分是指计算序列连续两个值之间的差别。
对于离散函数，一阶差分公式可以表示为：Δy(n)=y(n)-y(n-1)其中，y(n)表示序列第n个值，Δy(n)表示第n个值和第n-1个值之间的差别。
这个公式可以用来计算序列的增量或减量。
在实际应用中，一阶差分可以帮助我们理解序列的变化趋势。
例如，在金融领域中，一阶差分常被用来计算股票价格序列的日收益率。
通过计算每天的价格变动，我们可以了解股票价格的波动情况，进而进行风险评估和投资决策。
二、二阶差分二阶差分是指计算序列连续三个值之间的差别。
对于离散函数，二阶差分公式可以表示为：Δ^2y(n)=Δy(n)-Δy(n-1)其中，Δ^2y(n)表示第n个值、第n-1个值和第n-2个值之间的差别。
这个公式可以用来计算序列的变化速度。
在实际应用中，二阶差分可以帮助我们理解序列的加速度。
例如，在物理学中，我们可以通过计算位置-时间曲线的二阶差分来得到速度-时间曲线，从而了解物体的加速度变化。
同样，在金融领域中，二阶差分可以帮助我们计算股票价格序列的波动率，进一步评估风险。
三、高阶差分除了一阶差分和二阶差分，差分计算还可以进行更高阶的差分。
高阶差分公式可以表示为：Δ^ny(n)=Δ^(n-1)y(n)-Δ^(n-1)y(n-1)其中，Δ^ny(n)表示序列连续n个值之间的差别。
高阶差分在一些特定的问题中，如时间序列分析、图像处理等方面有着广泛的应用。
例如，在时间序列预测中，我们可以通过计算不同阶次的差分来分析序列的季节性和趋势性变化，进而选择合适的模型进行预测。
总结起来，差分计算是一种常用的数学工具，可以帮助我们理解序列的变化趋势、加速度以及其他相关特征。
不同阶次的差分计算公式可以应用于不同的问题领域，如金融、物理学、时间序列分析等。
巧用代换法求最值
王递;王复原;程澄
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2007(000)010
【摘要】代换法即变量替换法，是用一些新的变量（元）替换原来的变量（元），从而对原数学问题进行变形，达到化难为易、化繁为简的目的．求极值问题，往往是将生活中的优化问题数学化，变为求函数或变量在一定条件下的极大（小）值．这类问题有着较实用的价值，因此在中学教学以及高考中得到了越来越高的重视．本文通过实例，给出了3种代换法：整体代换法、平均量代换法和三角代换法，以及它们在求解极值问题方面的一些应用．
【总页数】3页(P17-19)
【作者】王递;王复原;程澄
【作者单位】北京交通大学电信学院通讯系,100044
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.用多元函数最值问题解法探讨“巧用对称求最值” [J], 熊福州
2.用变量代换法求函数极值与最值的几个结论 [J], 张广计
3.用两数的和与差的代换法求最值 [J], 朱益虎
4.巧用等量代换法求面积 [J], 任雪三
5.巧用代数法求圆锥曲线中最值问题 [J], 王艳敏
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
【算法】差分法【算法】差分法1、介绍⼀般地，差分主要⽤于让⼀个序列某⼀特定范围内的所有值都加上或减去⼀个常数。
所以差分往往应⽤于线性的场合，即⼀维数组的环境，但是除此之外，差分还可以应⽤于⼆维数组，但是相⽐较⼀维数组，应⽤的较少。
2、定义差分可以简单的看成序列中每个元素与其前⼀个元素的差。
3、差分与前缀和const int N = 100010;int n; //n数组长度//定义两个⼀维整形数组 a为原数组，b为差分数组int a[N],b[N];//根据定义可知b[i] = a[i] - a[i-1];//稍微具体b[1] = a[1];b[2] = a[2] - a[1];b[3] = a[3] - a[2];...b[i] = a[i] - a[i-1];//转化⼀下，求数组b的前缀和,根据上⾯公式可得b[1]+b[2]+b[3]+...+b[i]= a[1]+(a[2]-a[1])+(a[3]-a[2])+...+(a[i]-a[i-1])= a[i]//由此可知，原序列为差分序列的前缀和序列a[i] = b[1]+b[2]+b[3]+...+b[i];⼀般地，我们认为原序列就是差分序列的前缀和，所以把差分看做前缀和的逆运算4、举例通俗理解上下车的问题10⼈在1时上车，3时下车20⼈在2时上车，4时下车25⼈在2时上车，5时下车那么，我们⽤⼀个数组ans记录车辆⼈数变化,ans[i]表⽰在i时刻⼈数变化，所以：ans[i]的值为+x，即在i时刻车辆增加x⼈ans[i]的值为-x，即在i时刻车辆减少x⼈如果要计算某⼀个时刻的⼈数，公式为：ans[i-1]+ans[i]5.练习题这⾥有 n 个航班，它们分别从 1 到 n 进⾏编号。
有⼀份航班预订表 bookings ，表中第 i 条预订记录 bookings[i] = [firsti, lasti, seatsi] 意味着在从 firsti 到 lasti （包含 firsti 和 lasti ）的每个航班上预订了 seatsi 个座位。
拟牛顿差分法
概述
拟牛顿差分法(Quasi-Newton Differntial Method)是一种用于优化优化问题的有效方法。
它受牛顿法影响，但比牛顿法简单得多，因为排除了对函数求导的需求，而是使用一种近似方法。
它包括反演法，曲线搜索法和DFP方法，拟牛顿差分法是一种扩展牛顿法的方法，可以被用来优化多元函数，而不需要知道函数的导数。
工作原理
拟牛顿差分法是牛顿法的一种变体，通过对导数的近似来得到近似的函数值。
使用拟牛顿差分法，不需要显式地计算函数，但仍可以获得函数的估计值。
它假设每次函数的值都会有一些变化，这些变化可以通过贝叶斯近似的方法来估计。
在每次计算之后，拟牛顿差分法将会估计函数的变化方向，并且随后用步进长度来计算新的函数值。
步进也会在每次迭代中根据应用的情况而变化。
适用领域
拟牛顿差分法主要用于优化问题，它可以解决最小化和最大化优化问题。
它可以用于凸优化问题，以及一些不确定性问题，例如假设优化。
此外，它还可以被用
于求解只是极小值的函数，它不需要对函数求导，只需要计算它的函数值即可。
例如，拟牛顿差分法可以用于求解只存在一些极小值的函数，而不需要零点。
第九章期权定价有限差分方法第九章期权定价的有限差分方法在本章中，我们将给出几个简单的例子来说明基于偏微分方程（PDE）框架的期权定价方法。
具体的方法的是利用第五章中讲述的有限差分方法来解决Black-scholes偏微分方程。
在9.1节中，我们会回顾衍生品定价的数值解法以及指出如何利用适当的边界条件来模拟一个特定的期权。
在9.2节中我们将会应用简单的显式（差分）方法来求解一个简单的欧式期权。
正如你已熟知的那样，这种方法只能解出一些可以从金融角度来解释的不稳定的数值解。
在9.3节中我们将可以看到使用完全的隐式方法可以解决这种不稳定问题。
在9.4节中我们将介绍Crank-Nicolson方法在障碍期权定价中的应用，它可以看做是一种显式与完全隐式方法的混合。
最后，在9.5节中，我们会看到迭代松弛方法可以用于解决使用全隐式方法来解决美式期权定价时由于存在提前执行的可能性而导致的自由边界问题。
9.1 使用有限差分法解BS方程在2.6.2节中，我们给出了一个标的资产在时间的价格为的期权，该期权的价格是一个函数，且满足偏微分方程（9.1）通过不同的边界条件可以让这个方程刻画不同的期权的特征。
在某些地方可能因为假设的改变或者对路径依赖的改变而导致方程式的具体形式改变，但是此处仅仅作为一个起点，帮助读者了解如何应用基于有限差分方法来解决期权定价的问题。
正如我们在第五章中遇到的情况那样，要用有限差分方法来解偏微分方程，在此处我们必须建立资产价格和时间的离散网格。
设T是期权的到期日，而Sma_是一个足够大的资产价格，在我们所考虑的时间范围内，的数值不能超过Sma_。
设定Sma_是因为偏微分方程的区域关于资产价格是无边界的。
但是为了达到计算的目的，必须要求它是有界的。
Sma_相当于+∞。
网格通过点(S,t)取得，其中(S,t)满足，，，……,, , ，2，……,。
本章中使用网格符号为,我们回顾一下（9.1）方程式的几种不同解法：向前差分向后差分中心（或对称）差分对于第二个差分式子，有至于究竟采用哪种方法进行离散化，我们将在后面的实际操作过程中对显式和隐式的方法作出详细的阐述说明。
差分方法基础范文差分方法是一种数学计算方法，用于求解差分方程，通过对方程中各项进行差分近似来解决微分方程的问题。
差分方法的基本原理是将连续的函数或方程离散化，转化为离散的差分方程，然后通过对差分方程的求解得到原方程的近似解。
差分方法的核心思想是将函数或方程的导数转化为它们在离散点上的差分，从而实现对函数或方程的近似描述。
差分方法之所以被广泛应用，是因为它相对简单、直观且易于实现。
通过将函数或方程在连续域上的运算转化为在离散域上的运算，差分方法能够利用计算机的处理能力进行快速、准确的计算。
差分方法在科学计算领域广泛应用于模拟、优化、数值计算和数据处理等方面。
差分方法的基本步骤包括选择离散化的格点、构建差分格式、列出差分方程和求解差分方程。
其中，格点的选择是差分方法中关键的一步，它决定了离散化的精度和计算结果的准确性。
常用的格点包括等距格点、非等距格点和边界格点等。
构建差分格式是将连续域上的运算转化为离散域上的运算，它通常基于泰勒级数展开或拉格朗日插值等近似方法。
列出差分方程是将原连续方程转化为离散方程，通常通过替换导数项为差分项实现。
求解差分方程则是通过迭代方法或直接求解方法对差分方程进行求解，得到近似解。
差分方法有许多具体的形式，如有限差分方法、差分-有限元方法、差分-边界元方法等。
其中，有限差分方法是差分方法的一种常见形式，通过将函数取样在离散点上得到差分方程，通过求解差分方程得到函数的近似解。
差分-有限元方法则是将有限元法和差分法相结合，通过将连续问题的离散域划分为有限个小区域，进而将连续问题转化为离散问题，然后再进行差分计算。
差分-边界元方法则是将边界元法和差分法相结合，通过利用边界条件和一些内点的插值值，将连续问题转化为离散问题，再进行差分计算。
差分方法的应用广泛，包括流体力学、电磁学、量子力学、统计力学、部分微分方程数值解、金融工程等领域。
比如在流体力学中，差分方法可以用来模拟流体流动的各种物理过程，如流体运动、热传导、扩散等。
第三章 差分方程方法在实际问题中，许多事物所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，比如政治、经济和社会等领域中的实际问题。
很多时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如象常见的微分方程模型、积分方程模型等，但是往往因为不能求解析解，而需要用计算机求数值解。
这要求将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续模型转化为离散模型，最后归结为求离散形式的差分方程的问题。
关于差分方程研究和求解方法在建立数学模型、解决实际问题的过程中起着重要的作用。
3.1 差分方程和常系数线性差分方程3.1.1差分和差分方程的概念定义3.1 设函数)(x f y =, 记为x y . 当x 取遍所有的非负整数时, 函数值可以排成一个数列: ,,,,,210x y y y y . 则差x x y y -+1称为函数x y 的差分, 也称为一阶差分, 记为x y ∆, 即 x x x y y y -=∆+1.容易验证差分具有如下性质: (1) x x y c cy ∆=∆)(; (2) x x x x z y z y ∆+∆=+∆)(. 又xx x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y 2121121:2 )()()(∆=+-=---=∆-∆=∆∆++++++称为函数x y 的二价差分, 类似地, 可以定义三阶、四阶差分. 定义 2.2 含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程, 如.0),,,,,(;0),,,,,(;0),,,,,(22121=∆∆∆==---+++x n x x x n x x x x n x x x x y y y y x H y y y y x G y y y y x F 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为此差分方程的阶.如果差分方程中关于未知函数及未知函数的各阶差分都是线性函数, 就称此方程为线性的. 如果一个函数代入差分方程后, 方程恒成立, 则这个函数称为该差分方程的解.3.1.2 常系数齐次线性差分方程 考虑常系数k 阶线性差分方程02211=++++---k n k n n n y a y a y a y . (3.1)称代数方程0111=++++--k k k k a a a λλλ . (3.2)为方程(3.1)的特征方程, 特征方程的根称为特征根.常系数线性差分方程的解可根据相应的特征根的情况给出. 下面分别由特征根为单根、重根和复根的情况写出差分方程的解的情况。
