第十二专题讲座-----积分中值定理及定积分极限题型2009
智 轩
一、完整的积分中值定理包含下列全部内容
1．函数平均值 [
]()1
b a
M f
f
x dx b a
=
-⎰
2．第一中值定理
()1如果函数在积分区间[],a b 上连续，则()()()b a
a b f x dx f b a ξξ∃≤≤⇒=-⎰
。（教材上的描述）
()2如果函数()(), f x x ϕ在积分区间
[],a b 上连续，且当a x b <<时，()x ϕ不变号，则
则()()()()b b
a
a
a b f x x dx f x dx ξϕξϕ∃≤≤⇒
=⎰
⎰。
3． 第二中值定理（★超纲内容，仅仅作为理解用）
()1若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b
<
<时，()x ϕ单调，则
()()()()()()00b b
a
a
f x x dx a a f x dx b f d b x x ξ
ξ
ϕξϕϕ∃≤-≤=++⇒
⎰
⎰⎰。
()2若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，
当且当a x b
<<时，()x ϕ单调递减（广义上），
且为非负数，则
()()()()0b a
a
a b f x x dx a f x dx ξ
ξϕϕ∃≤≤⇒
=+⎰
⎰。
()3若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，
当且当a x b
<<时，()x ϕ单调递增（广义上），
且为非负数，则
()()()()0b b
a
a b f x x dx b f x dx ξ
ξϕϕ∃≤≤⇒
=-⎰
⎰。
二、与积分有关的求极限问题 【例1】求极限1
10
lim 1n
n x
I dx x
→∞=+⎰
解：
110
110
10100111
lim
1n
n
n
n
n
n x
x
x x dx x dx x
x
n x
I dx x
→∞
≤≤⇒≤
≤⇒≤
≤
=
+++⇒==+⎰
⎰
⎰
【例2】求极限220
lim sin n
n I xdx π
→∞
=⎰
解：
对任意给定的0ε>，且设2
π
ε<
，则
220
20
220
0sin sin
sin 22sin 1lim sin 0
2220, sin 220sin
2lim
sin
n
n
n n n n n
n
n xdx xdx N n N xdx I xdx π
π
ε
π
π
ππ
εεεε
πππ
εεεππεεε
ε-→∞
→∞
⎛⎫⎛⎫≤
≤
+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<⇒--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇔∃>>--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⇒≤
≤⇒==⎰
⎰
⎰
⎰
当时， 有
【例3】求极限()3sin lim 0n p n
n x I dx p x
+→∞
=>⎰
解：当n x n p ≤≤+，有
3sin 1sin sin lim
0n p n p n
n
n x
x p x dx I dx x
n
x
n
x
++→∞
≤
⇒
≤
⇒==⎰
⎰
【例4】求极限142
lim 1
dx
I x εε→+=+⎰
解：
(
)
()
(
)
1142
2
10
1
lim
lim
1
1
1
arctan
lim
arctan
|lim
1
d
x
dx
I x x
x εεεεεεε
εε
εε
ε
→+→+→+→+==++===⎰
⎰
【例5】求极限()5
lim
b
a
f x I dx x
εε
ε→+=⎰，已知()[]0,1, 0, 0f
x C a b ∈>>。
解：应用第一中值定理
