变分原理 (2)

v ds 1 dt dt
dx
2
dy 2
dx dt

1 y2
二速度v相等：
2 gy 1 y 2
dx dt
从A到B的滑行时间T，应有积分，
T
x1
1 y 2 2 gy
0
dx
泛函的建立：式中时间T是依赖于曲线函数 y yx 的函数，T 称之为泛函，需求其极值。即求T取最短时间的曲线函 数。 Ⅱ、设 yx 为满足使泛函取极值的解，与之相接近的函数 为 yx yx ，其导数 yx yx 。 泛函的增量：

y
2

1 1 y y y 2 2y y
2

当y, y 很小，（这时 y y 与 y 有一阶接近度），泛函变 分就为略去 2 二次以上高阶项后的线性主部。
T
1 2g

x1
0
y y 1 2 2y y 1 y
k 如果 yx 与 y1 x 很接近，且函数有k阶导， y x 也与 k y1 x 很接近，即其差的模都很小，则 yx 与 y1 x 具有k阶接 y k 称为k阶变分。 近度。 y, y ,y k 具有相同量级的微量。 一般认为，
H、泛函极值问题的求解 (变分法的主要步骤) 最速降线问题： 当一重物沿连接不在同一铅垂线上的两点 A0,0, Bx1 , y1 的一条曲线，受重力作用自由下滑，不计摩擦力时， 求在哪种曲线上下滑所需时间T最少。 <沿不同曲线有不同的时间T，但其中仅有一条曲线， 使得T极小。>
问题上升： 在满足固定边界（端点）条件， y0 0 , yx1 y1 的 yx 函数中，求泛函：
F1 F2F1 F1F2 2 F F 2 2
(4.11)
G、基本预备定理 如果函数 F x 在线段 x1 , x2 上连续，且对于只满足某些一 般条件的任意选定的函数 y x ， 有 则在线段 x1 , x2 上有，
F xyx dx 0


1 y
2
y
y dx
极值条件：T 0
Ⅲ、对第一项分部积分：


x1
0
y 1 y
x1

y
2

y dx
x1

0
d dx
y y dx 2 y 1 y



0
d dx
y 2 y 1 y
F、变分的计算方法： 微分与变分可互调换顺序： y y

() x x
(4.5) (4.6)
积分与变分可互调换顺序，设
F y, y, xdx
x2 x1
x2 x2 F y, y , x dx F y, y , x dx x1 x1


ydx
因为 yx yx为通过 接近度，即：
x 0 x x1 , y 0 y y1
两点的具有与 yx 一阶
y0 0 ,
yx1 y1
yx1 yx1 y1
y0 y0 0 ,
为 y x 同阶或更高阶小量，
yx 0
0,
maxyx 0
线性部分 称之为泛函的变分：
L yx , yx
(4.2)
泛函的变分可理解为泛函的增量的主部。而且其主部 相对于变分 yx 为线性的。 定义二（Lagrange定义） 泛函变分是

( y( x),yx ) 对
的导数在
0
0 时的值，
y x y x
(4.3)
L yx, yx
E、泛函的驻值 函数的驻值 如果函数 yx 在 x x0 附近的任意点上的值都不大 （小）于 y x0 ，即 y yx yx0 0 （或 0 ）则函数 yx 在 x x0上达到极大（或极小）值，且 x0为驻点， y x 为驻值。 dy x x 0 ， 0
举例—短程线问题 在指定平面内连接两定点的各种容许曲线中，选定一 条使两点间沿该曲线的距离最短的曲线。
定点： Ax1 , y1 , Bx2 , y2 连接AB两点的任一曲线的弧长 可以表述为：
L y x
x2
x1
dy 1 dx dx
2

B
A
dx2 dy 2
0
对于多元函数， f x1 , x2 ,xn 取极值条件： 即： f
df 0
x10 , x20 ,xn0 为驻点， f x
极大或极小？
d2 f 0
xi
0
i 1,2, n
10
, x20 ,xn0 为驻值；
极小；
d2 f 0
为极大。
泛函的驻值 如果泛函 yx在任何一条与 y y0 x 接近的曲线上的 值不大于（小于） y0 x, ， 即
变分法基础
A、泛函定义 都有 如果对于某一类函数 yx 中的每一个函数y xi ， 一个值与之对应；或者， 变量对于函数 yx 的关系成 立，变量 称为函数 yx 的泛函，记为：
y x
泛函是变量与函数的关系，为函数的函数（非隐函 数），一种广义的函数。其中 yx 称为宗量 （而函数是变量与变量之间的关系）
x2 x1
F x 0
一般条件包括： y x1 0 • 一阶或若干阶可微；在 端点 x1 , x2 处为零， y x 0 2 • yx ,
y x
•
对于多变量，类推；
•
上述， 的变分。 y x 为宗量 yx
(4.7)
和：
F1 F2
F1 F2 F1 F2
(4.8)
积：
F1 F2
F1 F2 F1F2 F2F1
F
n
(4.9) (4.10)
F n nF n1 F
商：
F1 F2
yx y0 x 0或 0
则泛函 而且在
yx 在曲线 y y0 x 上达到极大（或极小）值。
y y0 x上有驻值条件：
yx 0
与函数极值判定条件类似：
2 0
2 0
(4.4)
取极小值
取极大值


0
Ⅳ、从中就可求出 yx 。 这类从泛函变分获得的微分方程 欧拉方程
二、变分法在量子力学中的应用
在处理量子力学中，我们重要的是解薛定谔方程，然而对 于一些多体问题，直接解薛定谔方程是非常困难的，在第一性 原理计算中我们通常采用基于密度泛函的方式去解决多体问题 中的能量和本征函数，对于求解基态能量或基态波函数就相当 于求解密度泛函的极值问题。变分法既然是处理泛函极值问题 的数学工具，因此，我们可以用变分法去求解体系的基态能量。 这就是变分法在量子力学中的应用。
T 1 2g

x1
0
2 1 y x dx yx
为极值的函数。 解： Ⅰ、设 Px, y 为曲线 y yx 上 的任意一点，由能量守恒定律， 总势能：
mgh mg h y
1 2 mv 2
v 2gy
运动学：设 y yx 为曲线的运动方程，重物沿该曲线从A 运动到B点，其运动速度可表示为：
变分原理及其在量子力学计算 中的应用
谭长明 2014-4-17
变分法（calculus of variations），是处理函数的函数的 数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这 样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变 分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极 小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达. 在处理量子力学中，我们重要的是解薛定谔方程，然 而对于一些多体问题，直接解薛定谔方程是非常困难的， 在第一性原理计算中我们通常采用基于密度泛函的方式去 解决多体问题中的能量和本征函数，对于求解基态能量或 基态波函数就相当于求解泛函的极值问题。变分法既然是 处理泛函极值问题的数学工具，因此，我们可以用变分法 去求解体系的基态能量。这就是变分法在量子力学中的应 用。
Hale Waihona Puke Baidu
y 0
2

y 0
0
故，
T
1 2g

x1
0
1 2y
1 y 2
y
d dx
y ydx 2 y(1 y )
由于y 为任选函数，且 ，由变分法基本定理：
2 1 1 y d y 2y y dx y 1 y2
T 1 2g

x1
0
2 2 1 y 1 y y y y y
dx
y, y 作为小量，按Talyor级数展开，
1 y y 1 y y y y
2 2
y 1 y
2.1 变分法求解基态能量的方法
2.2变分原理和薛定谔方程 的等价性
2.3类氢原子基态求解
2.4
这里L只与曲线 yi x 的函数形式相关。而不直接与X相关！
寻找最短弧长曲线 yi x 的形式即为变分学所要研究的问题。
B、变分 泛函 yx 的宗量 yx 的增量在指定域中都很小时，就 称之为变分。 (4.1) yx yx y1 x y 也为x的函数，须在指定x域中是微量， yx 在接近 y1 x 的一类函数中任意变化的。
注意：
•
• • •
这里谈及的极值指相对的极大或极小，是从在相接近 的许多曲线中找出一个最大的泛函值。
由于曲线的接近程度不一，还应具体分为曲线有几阶 的接近度。 若接近度为0阶的曲线 y yx ，泛函在 y y0 x 达到极 值的变分称为强变分。泛函的极值为强极大或强极小。 若接近度为1阶的曲线 y yx ，泛函在 y y0 x 达到极 值的变分称之为弱变分。
于是，
y0 0 , yx1 0
积分第一项：
d y y dx 0 dx 2 y 1 y y x1 y x1 2 y x1 1 y x1
x1




y 0 1 y 0
D、泛函的变分 定义—（几何意义）： 泛函的增量：由 yx 的变分 y 所引起的泛函的增量，
将y x 分解为线性项和非线性项二部分：
L y x ,y x y x ,y x max y x
yx yx yx