高考数学复习专题十七 探索性问题【考点聚焦】考点1：对条件和结论的探索． 考点2：猜想、归纳、证明问题． 考点3：探索存在型问题． 考点4：命题组合探索性问题． 【自我检测】探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备．要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括．它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求．它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程． （以问题的形式考查学生对必须要具备的知识，对必须具备知识的友情提示） 【重点•难点•热点】 问题1：条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．例1．例1．（02年某某）设函数)(,2sin )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是．分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数 ∴)22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即．由此可得)(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或∴)(412Z k k t ∈+=π 点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．演变1：(05年某某)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)求证：OD ∥平面PAB ；(Ⅱ)当k ＝21时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；(Ⅲ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？点拨与提示：(Ⅱ)找出O 点在平面PBC 内的射影F ，则∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角． 又OD ∥PA ，∠ODF 即为所求；(Ⅲ)若F 为PBC 的重心，得B 、F 、D 共线，进一步得BD ⊥PC ，故PB=BC ，得k=1． 问题2：结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．ABCDOP例2．（04年某某）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组．（写出所有符合要求的组号）．①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n ．(其中n 为大于1的整数，S n 为{}n a 的前n 项和．)思路分析：研究能否由每一组的两个量求出{}n a 的首项和公比．解：（1）由S 1和S 2，可知a 1和a 2．由q a a =12可得公比q ，故能确定数列是该数列的“基本量”． （2）由a 2与S 3，设其公比为q ，首项为a 1，可得211132112,,q a q a a S qa a q a a ++=== ∴q a a qa S 2223++=，∴0)(23222=+-+a q S a q a 满足条件的q 可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列{}n a 的基本量．（3）由a 1与a n ，可得1111,a a q qa a nn n n ==--，当n 为奇数时，q 可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量．（4）由q 与a n ，由1111,--==n nn n q a a q a a 可得，故数列{}n a 能够确定，是数列{}n a 的一个基本量．故应填①、④评注：本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义．如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．演变2：某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元． （1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(Ⅰ)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； (Ⅱ)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床． 问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由．点拨与提示：从第二年开始，每年所需维修、保养费用构成一个等差数列，x 年的维修、保养费用总和为42)1(12⨯-+x x x ，求出x 与y 之间的函数关系． 问题3：存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．例3： ( 06年某某）已知椭圆C 1:22143x y +=，抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点．(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时，求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上； (Ⅱ)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由．思路分析：(Ⅱ)中，分别将直线方程)1(-=x k y 与椭圆、抛物线的方程联立，22438kk +＝2221)2(k k p x x +=+，再由)(214)212()212(2121x x x x +-=-+-＝1212()()22p pAB x x x x p =+++=++得34124)(2342221+-=+-=k k x x p 可到k 的值． 解 （Ⅰ）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）．因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p ． 此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上． （Ⅱ）：假设存在m 、p 的值使2C 的焦点恰在直线AB 上．当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y ．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ． ①设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）， （x 2，y 2）， 则x 1，x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438k k +．由⎩⎨⎧-==-)1(2)(2x k y px m y 消去y 得px m k kx 2)(2=--，② ∵C 2的焦点),2(m p F '在直线)1(-=x k y 上，所以)12(-=pk m ，代入②得04)2(22222=++-p k x k p x k ③由于x 1，x 2是方程③的两根，∴2221)2(k k p x x +=+，从而 22438k k +=22)2(k k p +④ 因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且 1212()()22p pAB x x x x p =+++=++．从而121214()2x x p x x ++=-+．所以34124)(2342221+-=+-=k k x x p ，代入④得．解得6,62±==k k 即，此时34=p ．因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=．即3636-==m m 或． 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y ． 点评：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行．“不存在”就是没有，找不到．这类问题常用反证法加以认证．“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由．这类问题常用“肯定顺推”．演变3：（06年某某）已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+（I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t（II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值X 围；若不存在，说明理由．点拨与提示：(I)讨论f(x)对称轴x=4与区间[],1t t +的位置关系；(II)转化为()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点， 利用导数分析函数 ()()()x g x f x φ=-的极值情况．问题4：条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题．此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段．一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求．应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力．例4 （99年全国）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ②α⊥β③n ⊥β④m ⊥α以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题． 思路分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证．解：依题意可得以下四个命题：(1)m ⊥n ， α⊥β， n ⊥β⇒m ⊥α；(2)m ⊥n ， α⊥β， m ⊥α⇒n ⊥β； (3)m ⊥α， n ⊥β， m ⊥α⇒α⊥β；(4)α⊥β，n ⊥β，m ⊥α⇒m ⊥n ．不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题．故填上命题(3)或(4)． 点评：本题的条件和结论都 不是固定的，是可变的，所以这是一道条件开放结论也开放的全开放性试题，本题可组成四个命题，且正确的命题不止一个，解题时不必把所有正确的命题都找出，因此本题的结论也是开放的． 演变4：6．（05某某卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于对称，则函数)(x g = ．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形） 五、规律探究型这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高． 例5：（06年某某春）已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）． （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值X 围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列． 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？思路分析：()22203011010d d d a a ++=+=，()323304011010d d d d a a +++=+=，()4324405011010d d d d d a a ++++=+=，由此得到()n n d d a+++=+ 110)1(10解：（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a ． （2）())0(11010222030≠++=+=d dd d a a ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞．（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列． 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值X 围 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn 当0>d 时，)1(10+n a 的取值X 围为),10(∞+等．演变5：在等差数列{a n }中，若a 10=0，则有等式a 1+ a 2+…+ a n = a 1+ a 2+…+ a n-19(n<19，n ∈N)成立．类比上述性质，相应地在等比数列{ b n }中，若b 9=1，则有等式___________成立． 点拨与提示：分析所给等式的性质：项数之和为n +(19－n)=19(定值)，19与a 10的序号关系为：2⨯10－1=19；由此得相应等式．专题小结1、 条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可变换思维方向，将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．2、 结论探索型问题，先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论． 3、条件重组型问题，通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．4、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．5、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．【临阵磨枪】一．选择题1．(05年某某)123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ）A 4项B 3项C 2项D 1项2．(05某某)设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 （ ）A l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC αγβγα⊥⊥⊥m ,,D αβα⊥⊥⊥m n n ,,3． （05年某某）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（） A1 B2 C3 D44．(05某某)如图，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、 K 分别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心． 从K 、H 、G 、B ′中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（）AK BHCGDB ′ 5．（06年某某卷）已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （C ）A 2-B 1-C 1D 4 6．（06年某某）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （ ）Ａ 2 Ｂ 4 C 6 D 87．（06年某某卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A 2-B 2C 4-D 4 8．（04年）已知三个不等式：0,0,0>->->bda c ad bc ab （其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A 0B 1C 2D 3 二．填充题9．(05年某某）设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点(,)x y 是_______________．10．(05某某文)已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//．（i ）当满足条件时，有β//m ；（ii ）当满足条件时，有β⊥m ． （填所选条件的序号）11．（02年全国理）已知函数221)(xx x f +=，那么 ___________.111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++=12．设函数)22,0)(sin()(πϕπωϕω<<->+=x x f ，给出以下四个结论：①它的图象关于直线12π=x 对称；②它的图象关于点()0,3π对称；③它的周期是π；④在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π上是增函数． 以其中两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______ 三．计算题 13．（05某某卷）已知向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ．是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之． 14．（05某某理）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点． （Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离．15． （06年某某卷）已知二次函数()x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为()26-='x x f ．数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,N n S n n ∈均在函数()x f y =的图像上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列()n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有*N n ∈都成立的最小正整数m ．16． （06年某某）如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，p 是侧棱1CC 上的一点，m CP =．（Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面11B BDD 所成角的正切值为23；（Ⅱ）在线段11C A 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，Q D 1在平面1APD 上的射影垂直于AP ．并证明你的结论．17．（05年某某卷）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x=上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如图４所示）． （Ⅰ）求AOB ∆得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 18．（02年某某）．规定()()11!mx x x x m C m --+=，其中x R ∈，m 是正整数，且01x C =，这是组合数mn C （n ，m 是正整数，且m n ≤）的一种推广． （Ⅰ）求515C -的值；（Ⅱ）组合数的两个性质：①m n m n n C C -=；②11m m mn n n C C C -++=是否都能推广到（x R ∈，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；OxyO AB 图4若不能，则说明理由；（Ⅲ）我们知道，组合数mn C 是正整数．那么，对于mx C ，x R ∈，m 是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些m x C R ∈成立的例子吗？ 参考答案：1．B 提示：123)(x x +的展开式为12412236121212t t t t t tt tC C xC x-++-==，因此含x 的正整数次幂的项共有3项．选B2．D 提示：A 选项：缺少条件m α⊂；B 选项：当//,αββγ⊥时，//m β；C 选项：当,,αβγ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ=时，m β⊂；D 选项：同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题． 本题答案选D3．B 提示：直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '：2x +y －2=0，该直线与椭圆相交于A (1， 0)和B (0， 2)，P 为椭圆上的点，且PAB ∆的面积为12，则点P 到直线l ’的距离为55，所以在它们之间一定有两个点满足条件，而在直线的上方，与2x +y －2=0平行且与椭圆相切的直线，切点为Q (22， 2)，该点到直线P 点 4．C 提示：用排除法．∵AB ∥平面KEF ，A B ''∥平面KEF ，B B '∥平面KEF ，AA '∥平面KEF ，否定(A)，AB ∥平面HEF ，A B ''∥平面HEF ，AC ∥平面HEF ，A C ''∥平面HEF ，否定(B)，对于平面GEF ，有且只有两条棱AB ，A B '' 平面GEF ，符合要求，故(C)为本题选择支．当P 点选B '时有且只有一条棱AB ∥平面PEF ．综上选(C)5．C ． 提示：由()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 的坐标位置知，ABC ∆所在的区域在第一象限，故0,0x y >>．由my x z +=得1z y x m m =-+，它表示斜率为1m-． （1）若0m >，则要使my x z +=取得最小值，必须使z m 最小，此时需11331AC k m --==-，即=m 1；（2）若0m <，则要使my x z +=取得最小值，必须使z m 最小，此时需11235BC k m --==-，即=m 2，与0m <矛盾． 综上可知，=m 1．6．B 提示：a a yax x y a y a x y x 211)1)((++≥+++=++，∴a a 21++≥9，a ≥4．7．D 提示：椭圆22162x y +=的右焦点为(2，0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2，0)，则4p =，故选D ．8．D 提示：若0,0,0>-=->->abadbc b d a c ad bc ab 则，∴00,0>-⇒>->b d a c ad bc ab ，若0,0,0>->->abadbc b d a c ab 则0,0,00,0,000,0,0>⇒>->->∴>->->->-⇒>->>-∴ab bda c ad bc ab abadbc b d a c ad bc ad bc bda c ab ad bc 即则若即故三个命题均为真命题，选D ．9．()2,3 提示：由图在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值X 围．可知，在(2， 3) 点目标函数65z x y =+取得最大值． 10．③⑤ ， ②⑤ 提示：[解析]:由线面平行关系知:αα,⊂m ∥β可得m ∥β; 由线面垂直关系得:αα,⊥m ∥ββ⊥m 可得,11．27 提示：考察函数可发现左式构成规律：1)21()(=+f x f ，于是立得结论为27．若直接代入费力又费时．12．答：①③⇒②④或②③⇒①④ 13．解：)42tan()42tan()42sin(2cos 22)(πππ-+++=⋅=x x x xb a x f 12cos 22cos 2sin 22tan112tan 2tan 12tan 1)2cos 222sin 22(2cos 222-+=+-⋅-+++=x x x x x x x x x x .cos sin x x +=x x x x x f x f x f x f sin cos cos sin )()(:,0)()(-++='+='+即令.0cos 2==x .0)()(],,0[2,2='+∈==x f x f x x 使所以存在实数可得πππ14．解：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角．在△AOE 中，AO=1，OE=,2721=PB ,2521==PD AE 23451543210y xword∴.1473127245471cos =⨯⨯-+=EOA 即AC 与PB 所成角的余弦值为1473． （Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6π=∠ADF ．连PF ，则在Rt △ADF 中.33tan ,332cos ====ADF AD AF ADF AD DF设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC ，从而NE ⊥面PAC ． ∴N 点到AB 的距离121==AP ，N 点到AP 的距离.6321==AF 15． 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ，则 f`(x)=2ax+b ，由于f`(x)=6x －2，得a=3 ， b=－2， 所以 f(x)＝3x 2－2x ．又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n ．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5． 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ，故T n ＝∑=ni i b 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）． 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m ，必须且仅须满足21≤20m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10．16． 解法1：（Ⅰ）连AC ，设AC 与BD 相交于点O ，AP 与平面11BDD B 相交于点，，连结OG ，因为PC ∥平面11BDD B ，平面11BDD B ∩平面APC ＝OG ，故OG ∥PC ，所以，OG ＝21PC ＝2m．word又AO ⊥BD ，AO ⊥BB1，所以AO ⊥平面11BDD B ， 故∠AGO 是AP 与平面11BDD B 所成的角．在Rt △AOG 中，tan ∠AGO ＝23222==m GO OA ，即m ＝31． 所以，当m ＝31时，直线AP 与平面11BDD B所成的角的正切值为 （Ⅱ）可以推测，点Q 应当是A I C I 的中点O 1，因为D 1O 1⊥A 1C 1， 且 D 1O 1⊥A 1A ，所以 D 1O 1⊥平面ACC 1A 1，又AP ⊂平面ACC 1A 1，故 D 1O 1⊥AP．那么根据三垂线定理知，D 1O 1在平面APD 1的射影与AP 垂直． 解法二：(本题也可用空间向量来求解)17．解：（I ）设△AOB 的重心为G(x ，y)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x (1)∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ，即12121-=+y y x x ， (2)又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x ∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y （II ）22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB 当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立． 所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1； 18．解：（Ⅰ）()()()515151619116285!C ----==-．（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个角O度很快可以看出：性质①不能推广．例如当x =1无意义．性质②如果能够推广，那么，它的推广形式应该是：11m m mx x x C C C -++=，其中x R ∈，m 是正整数．类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，当1m =时，10111x x x C C x C ++=+=．当2m ≥时，()()()()()()()()()()()111112!1!121 11!121 !m m xxm x x x x m x x x m C C m m x x x m x m m m x x x m x m C -+--+--++=+---+-+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭--++== 由此，可以知道，性质②能够推广．（Ⅲ）从mx C 的定义不难知道，当x Z ∉且0m ≠时，mx C Z ∈不成立，下面，我们将着眼点放在x Z ∈的情形．先从熟悉的问题入手．当x m ≥时，mx C 就是组合数，故mx C Z ∈．当x Z ∉且x m <时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（mx C ，x Z ∉且x m <）与已知的结论mn C Z ∈相联系？一方面再一次考察定义：()()11!mx x x x m C m --+=；另一方面，可以从具体的问题入手．由（Ⅰ）的计算过程不难知道：551519C C -=-．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论．因此，将515C -转化为519C 可能是问题解决的途径．事实上，当0x <时，()()()()()()()1111111!!mmm m xx m x x x m x m x x C C m m -+---+-+--+-==-=-．①若1x m m -+-≥，即1x ≤-，则1mx m C -+-为组合数，故mx C Z ∈．②若1x m m -+-<，即0x m ≤<时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：43C ＝0……，可以猜想，此时0mx C Z =∈．这个结论不难验证．事实上，当0x m ≤<时，在,1,,1x x x m --+这m 个连续的整数中，必存在某个数为0．所以，0mx C Z =∈．综上，对于x Z ∈且m 为正整数，均有mx C Z ∈．【挑战自我】直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC ＝21．椭圆C 以A 、4B 为焦点且经过点D ．（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程； （2）若点E 满足EC 21=AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在，求出直线l 与AB 夹角的X 围，若不存在，说明理由．讲解：（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系，⇒A （-1，0），B （1，0）设椭圆方程为：12222=+by a x令c b y C x 20=⇒= ∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==322312b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13422=+y x （2）0(21E AB EC ⇒=，)21，l ⊥AB 时不符， 设l ：y ＝kx ＋m （k ≠0）由 01248)43(13422222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx yM 、N 存在⇒0)124()43(46402222>-+-⇒>⋅m k m k 2234m k ≥+⇒设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），MN 的中点F （0x ，0y ） ∴ 22104342k km x x x +-=+=，200433k mm kx y +=+=243143421433121||||22200k m k kkm k m k x y EF MN NE ME +-=⇒-=+--+⇒-=-⇒⊥⇒= ∴222)243(34k k +-≥+ ∴4342≤+k ∴102≤<k ∴11≤≤-k 且0≠k ∴ l 与AB 的夹角的X 围是0(，]41．【答案及点拨】演变1：(Ⅰ)∵O 、D 分别为AC 、PC 的中点：∴OD ∥PA ，又AC ⊂平面PAB ，∴OD ∥平面PAB ．(Ⅱ)∵AB ⊥BC ，OA=OC ，∴OA=OC=OB ，又∵OP ⊥平面ABC ，∴PA=PB=PC ．取BC 中点E ，连结PE ，则BC ⊥平面POE ，作OF ⊥PE 于F ，连结DF ，则OF ⊥平面PBC∴∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角．又OD ∥PA ，∴PA 与平面PBC 所成角的大小等于∠ODF ．在Rt △ODF 中，sin ∠ODF=OF OD =，∴PA 与平面PBC所成角为arcsin30(Ⅲ)由(Ⅱ)知，OF ⊥平面PBC ，∴F 是O 在平面PBC 内的射影．∵D 是PC 的中点，若F 是△PBC 的重心，则B 、F 、D 三点共线，直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD ，∵OB ⊥PC ．∴PC ⊥BD ，∴PB=BC ，即k=1．反之，，当k=1时，三棱锥O-PBC 为正三棱锥，∴O 在平面PBC 内的射影为△PBC 的重心．演变2：（1）98]42)1(12[50-⨯-+-=x x x x y =984022-+-x x ． （2）解不等式 984022-+-x x ＞0， 得 5110-＜x ＜5110+．∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17．故从第3年工厂开始盈利． （3）(I)∵）xx x x x y 982(4098402+-=-+-=≤40129822=⨯- 当且仅当xx 982=时，即x=7时，等号成立．∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元．(Ⅱ) y=－2x 2+40x －98=－2（x －10）2+102， 当x=10时，y max =102． 故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元．演变3：（I ）22()8(4)16.f x x x x =-+=--+当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，A BCDO P22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++ 当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，2()()8.h t f t t t ==-+综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩ （II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．22()86ln ,62862(1)(3)'()28(0),x x x x m x x x x x x x x x xφφ=-++-+--∴=-+==> 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当1,x =或3x =时，'()0.x φ=7m (1))(-==φφ极大值x ，15ln36m (3))(-+==φφ极小值x 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ>∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70,()6ln 3150,x m x m φφ=->⎧⎪⎨=+-<⎪⎩最大值最小值 即7156ln3.m <<- 所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值X 围为(7,156ln 3).-演变4：①x 轴，x 2log 3--②y 轴，)(log 32x -+③原点，)(log 32x ---④直线32,-=x x y演变5：首先等差数列{a n }具有性质：所给等式两边为和式，项数之和为n +(19－n)=19(定值)，19与a 10的序号关系为：2⨯10－1=19；类比上述性质，等比数列{b n }应有：等式两边为积式，项数之积为 x (定值)，由于b 9=1，x 与b 9的序号关系为 2⨯9－1=17= x ，故应填入的等式为：b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17- n (n <17，n ∈N)．。
高考数学答题模板：解析几何中的探索性问题
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高考数学答题模板：解析几何中的探索性问题
1、解题路线图
①一般先假设这种情况成立(点存在、直线存在、位置关系存在等)
②将上面的假设代入已知条件求解。
③得出结论。
2、构建答题模板
①先假定：假设结论成立。
②再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解。
③下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设;若推出矛盾则否定假设。
④再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性。
高考数学探索性问题练习专项解析一、解答题1．已知21,F F 分别为椭圆C ：（0>>b a ）的左、右焦点, 且离心率为22，点椭圆C 上（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点N M ,，使直线与的倾斜角互补，且直线l 是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）过定点()0,2 【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出22,b a 的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∇：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（1）由题意得22=a c ，123222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−b a ，222c b a +=，联立得1,1,2222===c b a 椭圆方程为2212x y += 6分 （2）由题意,知直线MN 存在斜率,其方程为由消去△=（4km ）2—4（2k 2+1）（2m 2—2）>0设22221x y a b +=)23,22(−A l M F 2N F 2则8分又由已知直线M F 2与N F 2的倾斜角互补, 得化简,得整理得10分直线MN 的方程为,因此直线MN 过定点,该定点的坐标为（2,0） 12分 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合应用.2．椭圆上顶点为M ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且焦距为2． （1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 交椭圆于P ，Q 两点，判断是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）存在，43y x =−【分析】（1）根据椭圆的焦距为2，离心率为2，解得：22a =，21b =，故椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）设直线PQ 的方程为y x m =+，代入到2212xy +=得2234220x mx m ++−=，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由韦达定理得：1243x x m +=−，212223m x x −=，因为PF MQ ⊥，1(1PF x −，1)y −，2(MQ x =，21)y −可得：2121120x x x y y y −+−=代入整理可得2340m m +−=，解得：43m =−，即可求出直线方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221x y a b+=，(0)a b >>，焦距为2c ，故221c c =⇒=又2c e a ==，222a b c =+，22a ∴=，21b =． 故椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，F 为PQM ∆的垂心，, MF PQ MP FQ ∴⊥⊥． (0,1)M ，(1,0)F ，21212(1)()20m x x x x m m −+−+−=，1MF k ∴=−，1PQ k ∴=，设直线PQ 的方程为y x m =+，代入到2212xy +=得2234220x mx m ++−=，∴22(4)12(22)0m m ∆=−−>，解得m <<且1m ≠1243x x m ∴+=−，212223m x x −=，PF MQ ⊥，1(1PF x =−，1)y −，2(MQ x =，21)y −2121120x x x y y y ∴−+−=，即21212(1)()20m x x x x m m −+−+−= 由根与系数的关系，得2340m m +−=． 解得43m =−或1m =（舍去）． 故存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心，且直线l 的方程为43y x =− 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的关系，常用方法为：设而不求利用韦达定理求出根与系数关系，结合条件即可得解.要求较高的计算能力，属于难题. 3．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k R =+∈，使得22OA OB OA OB +=−成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22143x y +=，（Ⅱ）(,)−∞⋃+∞. 【解析】试题分析：（1）由已知条件可推得1,12c e a c a ==−=，由此能求出椭圆的标准方程；（2）存在直线l 使得22OA OB OA OB +=−成立，直线方程与椭圆的方程联立，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件，得出2271212m k =+，即可求解实数m 的取值范围．试题解析：（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），半焦距为c ．依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c −=．解得1c =，2a =．所以2223b a c =−=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．（2）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=−成立．理由如下：由22{143y kx mx y =++=得()2223484120k xkmx m +++−=．()()()22284344120km k m ∆=−+−>，化简得2234k m +>．设()11,x y A ，()22,x y B ，则122834km x x k +=−+，212241234m x x k−=+． 若22OA OB OA OB +=−成立，即2222OA +OB =OA −OB ，等价于0OA⋅OB =． 所以．()()12120x x kx m kx m +++=，()()22121210k x x km x x m ++++=，()222224128103434m km k km m k k−+⋅−⋅+=++, 化简得，2271212m k =+．将227112k m =−代入2234k m +>中，22734112m m ⎛⎫+−> ⎪⎝⎭，解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m ≤所以实数m 的取值范围是,⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪⎝⎭． 考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何性质、不等式求范围问题，此类问题的解答中，把直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用方程的根与系数的关系，以及韦达定理结合题目的条件进行合理运算是解答的关键，着重考查了学生推理与运算能力，同时注意试题中的隐含条件，做到合理加以运用，属于中档试题． 4．已知为椭圆C 的左、右焦点，且点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程； （2）过的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程为，由，利用已知条件能求出，由此能求出椭圆的方程；（2）设直线，由，得，利用韦达定理推导出．当不存在时圆面积最大，此时直线方程为．试题解析：（1）由已知，可设椭圆的方程为.因为，所以.所以椭圆的方程为.（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，由得.设，则，所以.设内切圆半径为，因为的周长为（定值），，所以当的面积最大时，内切圆面积最大.又，令，则，所以，又当k不存在时，，此时，故当k不存在时内切圆面积最大，，此时直线方程为.考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆的综合.【方法点晴】本题考查椭圆方程的求法，根据椭圆的定义设出椭圆的标准方程，得解；考查三角形内切圆面积是否存在最大值的判断，用到不太常用的三角形内切圆半径公式：，故可得当三角形周长固定时，三角形面积越大内切圆面积越大，解题时要认真审题，注意韦达定理和分类讨论思想的合理运用，计算难度较大，属于难题. 5．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2−12x +32=0的圆心为Q ，过点P(0，2)且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求圆Q 的面积； （Ⅱ）求k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在常数k ，使得向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说 明理由．【答案】(1)4π. (2)(−34,0)(3)没有符合题意的常数k【解析】解：（Ⅰ）圆的方程可化为(x −6)2+y 2=4，可得圆心为Q(6，0)，半径为2， 故圆的面积为4π． ---------------------3分 （Ⅱ）设直线l 的方程为y =kx +2． 法一：将直线方程代入圆方程得x 2+(kx +2)2−12x +32=0， 整理得(1+k 2)x 2+4(k −3)x +36=0． ① ---------------------4分 直线与圆交于两个不同的点A ，B 等价于Δ=[4(k −3)]2−4×36(1+k 2)=42(−8k 2−6k)>0， ---------------------6分 解得−34<k <0，即k 的取值范围为(−34，0)． ---------------------8分 法二：直线l 与圆(x −6)2+y 2=4交于两个不同的点A ，B 等价于√k 2+1<2---------------------5分化简得(−8k 2−6k)>0，解得−34<k <0，即k 的取值范围为(−34，0)． ---------------------8分（Ⅲ）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2)，由方程①， x 1+x 2=−4(k−3)1+k 2②又y 1+y 2=k(x 1+x 2)+4． ③ ---------------------10分而P(0，2)，Q(6，0)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6，−2)．所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线等价于−2(x 1+x 2)=6(y 1+y 2)---------------------11分 将②③代入上式，解得k =−34． ---------------------12分6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为23，离心率为33，经过其左焦点1F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点（I ）求椭圆C 的方程；（II ）在x 轴上是否存在一点M ，使得MP MQ ⋅恒为常数？若存在，求出M 点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.【答案】（I ）22132x y +=；（II ）见详解. 【分析】 （I ）根据ce a=，222a b c =+和已知即可求解；（II ）联立直线与椭圆方程，消去y 根据韦达定理代入数量积即可求解. 【详解】（I ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意，得2a c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩22a = 所求的椭圆方程为22132x y += .（II ）由（I ）知1(1,0)F −. 假设在轴上存在一点(,0)M t ，使得MP MQ ⋅恒为常数， ①当直线l 与x 轴不垂直时，设其方程为(1)y k x =+，()11,P x y 、()22,Q x y .由22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222236360k x k x k +++−=，所以2122623x x x k +=−+，21223623k x x k−=+()()()()()()21212122211MP MQ x t x t y y x t x t k x x ⋅=−−+=−−+++()()()222222221k x x k txx k t =++−+++()()()222222222221366(61)6232323k k kt k t k k t t k k k+−−−−−=−++=++++()2222211616223441333223323t k r t t t t k t ⎛⎫⎛⎫−+−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+−−++. 因为MP MQ ⋅是与k 无关的常数，从而有16403t +=，即73t =− 此时119MP MQ ⋅=−②当直线l 与x 轴垂直时，此时点,P Q的坐标分别为,1,⎛⎛−− ⎝⎭⎝⎭，当43t =−时，亦有119MP MQ ⋅=− 综上，在x 轴上存在定点4,03M ⎛⎫− ⎪⎝⎭，使得MP MQ ⋅恒为常数，且这个常数为119−.【点睛】本题考查椭圆方程及椭圆与直线的应用.此题的难点是计算. 7．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A12），且点F0）为其右焦点． （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l 与椭圆C 交于B ，D 两点，满足22·5OB OD =，且原点到直线l 在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）不存在【分析】（1）根据焦点及椭圆定义，即可求得参数c 与a ，从而求得椭圆的方程．（2）根据点到直线距离，可得m 与k 的等量关系式；联立方程，由判别式可得k 的取值范围，进而结合向量的数量积求得斜率，判断是否存在． 【详解】（1）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则左焦点为()F '，在直角三角形AFF '中，可求72AF '=，∴242a AF AF a '=+=⇒=， 故椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y kx m =+，由原点到l()2231m k ==+．联立方程2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++−=．则122814mk x x k −+=+，()21224114m x x k −=+，()2216202k k ∆=−>⇒>． 设()11,B x y ，()22,D x y ，则()()()222121212122111221145k OB OD x x y y k x x mk x x m k +⋅=+=++++==+，解得()212,k =∉+∞．当斜率不存在时，l的方程为x =112245OB OD ⋅=≠． 综上，不存在符合条件的直线． … 【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合应用，直线与椭圆的关系，是高考的常考点，属于难题．8．（本小题12分）已知如图，圆8)2(:22=++y x N 和抛物线x y C 2:2=，圆的切线l 与抛物线C 交于不同的点A ，B .（1）当直线l 的斜率为1时，求线段AB 的长；（2）设点M 和点N 关于直线x y =对称，问是否存在圆的切线a my x l +=:使得MA MB ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）102=AB ；（2）存在，2+−=x y . 【解析】试题分析：（1）圆N 的圆心坐标为)0,2(−，半径22=r ，设),(11y x A ，),(22y x B ，设l 的方程，利用直线l 是圆N 的切线，求得m 的值，从而可得直线l 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可计算弦长||AB ；（2）利用直线l 是圆N 的切线，可得a ，m 满足的一个方程，将直线l 的方程与抛物线方程联立，利用MA MB ⊥，可得a ，m 满足的另一个方程，联立方程组可求得a ，m 的值，从而得到满足题设的直线l .试题解析：∵圆N ：8)2(:22=++y x N ，∴圆心坐标为)0,2(−，半径22=r ，（1）当直线l 的斜率为1时，设l 的方程为m x y +=，即0=+−m y x ，∵直线l 是圆N 的切线，∴222|2|=+−m ，解得2−=m 或6=m （舍），此时直线l 的方程为2−=x y ，由⎩⎨⎧=−=xy x y 222，消去x 得0422=−−y y ，∴0>∆，设),(11y x A ，),(22y x B ，则221=+y y ，421−=y y ，得204)()(21221221=−+=−y y y y y y ，∴弦长102||11||212=−⋅+=y y kAB ；（2）∵直线l 是圆N 的切线，∴221|2|2=+−−m a ，得048422=−−+m a a ①，由⎩⎨⎧=+=xy amy x 22，消去x 得0222=−−a my y ，∴0842>+=∆a m ，即022>+a m ，且m y y 221=+，a y y 221−=，∵点M 和点N 关于直线x y =对称，∴点M 为)2,0(−，∴11(,2)MA x y =+，22(,2)MB x y =+，∵MA MB ⊥，∴1212(2)(2)0MA MB x x y y ⋅=+++=，即04)(2212121=++++y y y y x x ，即04422=++−m a a ②，①+②，得0482222=+−+m m a a ， 解得m a 2−=或12−=m a ，当m a 2−=时，代入①解得1−=m ，2=a ，满足条件022>+a m ，当12−=m a 时，代入①得07442=+−m m ，无解，综上所述，存在满足条件的直线l ，其方程为2+−=x y . 考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.弦长的计算；3.韦达定理的运用.9．已知曲线22111:()1()44C x y y +−=≥，22:81(1)C x y x =−≥，动直线l 与2C 相交于,A B 两点，曲线2C 在,A B 处的切线相交于点M ．（1）当MA MB ⊥时，求证：直线l 恒过定点，并求出定点坐标；（2）若直线l 与1C 相切于点P ，试问：在y 轴上是否存在两个定点12,T T ，当直线12,MT MT 斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在求出满足条件的点12,T T 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）17(0,)8；（2）存在两个定点12(0,1),(0,1)T T −恒满足12116MT MT k k =. 【解析】试题分析：（1）设出直线方程:l y kx b =+，联立其与抛物线方程得到,A B 两点坐标的关系，再由导数的几何意义，直线,MA MB 的斜率就是它们分别在,A B 两点处切线的斜率，且1MA MB k k =−，可求得178b =；（2）利用,A B 两点坐标表示出直线MA ，MB 的方程，观察可得直线AB 的方程，利用AB 与圆相切整理即得动点M 的轨迹方程，问题得解.试题解析：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设1122:,(,),(,)l y kx b A x y B x y =+，由281y kx b x y =+⎧⎨=−⎩得28810x kx b −−+=则1281x x b =−+， 又由218x y +=得1212116444MA MB x x xy k k x x '==⋅=−=−，∴8116b −+=−，∴178b = ∴l 的方程为178y kx =+，恒过定点17(0,)8． （2）设(,)M u v ，直线111:()4x MA y y x x −=−，即111044x x y y −−+=又MA 经过(,)M u v ，∴111044x u v y −−+=，即∴111044x u y v −−+=，同理，∴221044x u y v −−+=由此可得切线AB 的方程为∴1044x u y v −−+=．由直线AB1=，化简得22116u v −=， 从而动点M 的轨迹方程为22116x y −=，为焦点在y 轴上的双曲线．取12(0,1),(0,1)T T −，则12222211111616MT MT x y y y k k x x x x +−−=⋅===为定值故存在两个定点12(0,1),(0,1)T T −满足12116MT MT k k =恒为定值．考点：直线与圆、直线与抛物线的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系及函数与方程思想的应用,综合性较强，属于难题.解答本题的技巧在于，通过导数的几何意义得到两条切线斜率之间的关系，由直线与抛物线方程构成的方程组得到两切点坐标的关系，二者本质上是统一的，从而得到直线经过的定点；第二问的难点是从第一问出发，写出直线MA ，MB 的方程，观察得到点M 的轨迹，通过双曲线知识得到答案. 10．已知椭圆焦点在x 轴上，下顶点为D(0，－1)，且离心率e =√63．经过点M(1,0)的直线L 与椭圆交于A ，B 两点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程； （Ⅱ）求|AM|的取值范围.（Ⅲ）在x 轴上是否存在定点P ，使∠MPA=∠MPB 。
