1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(2)函数与方程(Word版,含答案)

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编

函数与方程部分

2019A1、已知正实数a 满足()89a

a a a =，则()log 3a a 的值为 ． ◆答案：

9

16

★解析：由条件知18

9a a =，故916

39a a a a =⨯=，所以()9

log 316

a a =。

2019A 二、（本题满分 40 分）设整数122019,,,a a a 满足

122019199a a a =≤≤

≤= ． 记

()()22212201913243520172019f a a a a a a a a a a a =++

+-+++

+，

求f 的最小值0f ．并确定使0f f =成立的数组()122019,,,a a a 的个数． ★解析：由条件知()()2017

2

2

2221

2

2018

2019

21

2i i i f a a a

a

a

a +==++++-∑． ①

由于12,a a 及2i i a a +-（1,2,2016i =）均为非负整数，故有221122,a a a a ≥≥且

()

2

22i i i i a a a a ++-≥-．于是

()()()20162016

2

221

2

2

122201720181

1

i i i i i i a

a

a

a a a a a a a ++==++-≥++-=+∑∑②

………………10 分

由①、②得()2

22

201720182019201720182019

2f a a a a a a ≥++-++，结合20192019a =及201820170a a ≥>，可知

()()222

2201720172017201712999949740074002f a a a a ⎡⎤≥

+-++=-+≥⎣

⎦ ．③ ………20 分

另一方面，令1219201a a a ==

==，19202119202k k a a k +-+==（1,2,

,49k =），

201999a =

此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而f 的最小值

07400f =．………………30 分

以下考虑③的取等条件．此时2018201749a a ==，且②中的不等式均取等， 即121a a ==，{}20,1i i a a +-∈（1,2,2016i =）。 因此122018149a a a =≤≤

≤=，且对每个k （149k ≤≤），122018,,

,a a a 中至

少有两项等于k ．易验证知这也是③取等的充分条件．

对每个k （149k ≤≤），设122018,,,a a a 中等于k 的项数为1k n +，则k n 为正整数，且()()()12491112018n n n ++++++=，即 12491969n n n ++

+=④，

该方程的正整数解()1249,,,n n n 的组数为481968C ，且每组解唯一对应一个使④取等的数组()122019,,,a a a ，故使0f f =成立的数组()122019,,,a a a 有481968

C 个………………40 分

2019B 10. （本题满分20分）设,,a b c 均大于1，满足lg log 3

lg log 4b a a c b c +=⎧⎨+=⎩

，

求lg lg a c ⋅的最大值。

★解析：设lg x a =，lg y b =，lg z c =，由,,1a b c >，可知,,0x y z >。 由条件及换底公式得3z x y +=，4z y x

+=，即34xy z y x +==，由此令3,4x t y t ==（0t >）

，则2412120z x xy t t =-=->，得01t <<。所以 ()()()3

22216

lg lg 31211821833t t t a c t t t t t ++-⎛⎫⋅=⋅-=-≤⋅=

⎪⎝⎭

，当且仅当22t t =-，即2

3

t =时取得等号，相应的8

3100,10a b c ===，所以lg lg a c ⋅的

最大值为

163

。

2018A 5、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严

格递减，且满足1)(=πf ，2)2(=πf ，则不等式组⎩

⎨⎧≤≤≤≤2)(12

1x f x 的解集为

◆答案：[]ππ28,2--

★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]1,0上严格递减知，)(x f 在[]0,1-上递增，结合周期性知，)(x f 在[]2,1上递增，又1)()2(==-ππf f ，2)2()2()28(==-=-πππf f f ，

所以不等式等价于)28()()2(ππ-≤≤-f x f f ，又22821<-<-<ππ 所以ππ282-<<-x ，即不等式的解集为[]ππ28,2--

2018A ，B 9、（本题满分16分）

已知定义在+

R 上的函数)(x f 为⎩⎨⎧--=x

x x f 41log )(39,90,>≤

三个互不相同的实数，满足)()()(c f b f a f ==，求abc 的取值范围。

★解析：不妨设c b a <<，由于)(x f 在(]3,0上递减，在[]9,3上递增，在[)+∞,9上递减，且0)3(=f ，1)9(=f ，结合图像知：()3,0∈a ，()9,3∈b ，()+∞∈,9c ，且()1,0)()()(∈==c f b f a f 。

由)()(b f a f =得2log log 33=+b a ，即9=ab ，此时c abc 9=，

又c c f -=4)(，由140<-

2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严

格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩

⎨⎧≤≤≤≤1)(01

0x f x 的解集为

◆答案：[]ππ--4,62

★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为[]ππ--4,62.

2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为 ◆答案： 2

1-

★解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以