《复变函数》考试试题（一）
一、 判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数0z =时，其模为零，辐角也为零. （ ）
2．若0z 是多项式1
10()n n n n P z a z a z a --=++
+(0)n a ≠的根，则0z 也()P z 是的根.（ ）
3．如果函数()f z 为整函数，且存在实数M ，使得Re ()f z M <，则()f z 为一常数.（ ） 4．设函数1()f z 与2()f z 在区域内D 解析，且在D 内的一小段弧上相等，则对任意的z D ∈，有1()f z 2()f z ≡. （ ）
5．若z =∞是函数()f z 的可去奇点，则Re ()0z s f z =∞
=. （ ）
二、填空题.（每题2分）
1．2
3
4
5
6
i i i i i ⋅⋅⋅⋅= _____________________. 2．设0z x iy =+≠，且arg ,arctan
2
2
y z x π
π
ππ-<≤-
<<，当0,0x y <>时，arg arctan
y
x =+________________. 3．函数1w z =将z 平面上的曲线22
(1)1x y -+=变成w 平面上的曲线______________.
4．方程4
4
0(0)z a a +=>的不同的根为________________. 5．(1)i i +___________________.
6．级数
20
[2(1)
]n
n z ∞
=+-∑的收敛半径为____________________.
7．cos nz 在z n <（n 为正整数）内零点的个数为_____________________. 8．函数3
3
6
()6sin (6)f z z z z =+-的零点0z =的阶数为_____________________. 9．设a 为函数()
()()
z f z z ϕψ=
的一阶极点，且()0,()0,()0a a a ϕψψ'≠=≠，则()
Re ()
z a
f z s
f z ='=_____________________. 10．设a 为函数()f z 的m 阶极点，则()
Re ()
z a
f z s
f z ='=_____________________. 三、计算题（50分）
1．设221
(,)ln()2u x y x y =
+。求(,)v x y ，使得()(,)(,)f z u x y iv x y =+为解析函数，且满足1
(1)ln 22
f i +=.其中z D ∈（D 为复平面内的区域）.（15分）
2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）.（10分） （1） 2
tan z ； （5分） （2）11
1
z z e
e --. （5分） 3．计算下列积分.（15分）
（1）19
2443
4(1)(2)z z dz z z =++⎰ （8分），
（2）
20
1cos d π
θ
θ
+⎰
（7分）.
4．叙述儒歇定理并讨论方程7
4
2
520z z z -+-=在1z <内根的个数.（10分） 四、证明题
1．设函数()f z 在z R <内解析，令()max (),(0)z r
M r f z r R ==≤<。证明：()M r 在区
间[0,)R 上是一个上升函数，且若存在1r 及2r （120r r R ≤<<），使12()()M r M r =，则
()f z ≡常数.（10分）
《复变函数》考试试题（二）
二、
判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）
1．设复数111z x iy =+及222z x iy =+，若12x x =或12y y =，则称1z 与2z 是相等的复数。（ ）
2．函数()Re f z z =在复平面上处处可微。 （ ） 3．2
2
sin cos 1z z +=且sin 1,cos 1z z ≤≤。 （ ）
4．设函数()f z 是有界区域D 内的非常数的解析函数，且在闭域D D D =+∂上连续，则存在0M >，使得对任意的z D ∈，有()f z M <。 （ ） 5．若函数()f z 是非常的整函数，则()f z 必是有界函数。（ ） 二、填空题。（每题2分）
1．2
3
4
5
6
i i i i i ⋅⋅⋅⋅= _____________________。 2．设0z x iy =+≠，且arg ,arctan
2
2
y z x π
π
ππ-<≤-
<<，当0,0x y <>时，
arg arctan
y
x
=+________________。 3．若已知2222
11
()(1)(1)f z x iy x y x y =+
+-++，则其关于变量z 的表达式为__________。
4以z =________________为支点。 5．若ln 2
z i π
=
，则z =_______________。
6．
1
z dz
z
==⎰
________________。 7．级数2461z z z ++++
的收敛半径为________________。
8．cos nz 在z n <（n 为正整数）内零点的个数为_______________。
9．若z a =为函数()f z 的一个本质奇点，且在点a 的充分小的邻域内不为零，则z a =是
1
()
f z 的________________奇点。 10．设a 为函数()f z 的n 阶极点，则()
Re ()
z a
f z s
f z ='=_____________________。 三、计算题（50分）
1．设区域D 是沿正实轴割开的z 平面，求函数w =
D 内满足条件1=-的单值
连续解析分支在1z i =-处之值。 （10分）
2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分） （1）2
n ()1
L z
f z z =
-的各解析分支在1z =各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数 （10分） （2）求10Re z
n z e s z
+=。 （5分）
3．计算下列积分。（15分）
（1）7
2322(1)(2)
z z dz z z =-+⎰ （8分），
（2）
2222
(0)()x dx a x a +∞
-∞
>+⎰
（7分）。
4．叙述儒歇定理并讨论方程6
6100z z ++=在1z <内根的个数。（10分） 四、证明题（20分）
