人教版九年级数学上册22.3实际问题与一元二次方程导学案及随堂测试
，大多可用算术方法解．而用一元二次方程解的应用题，一般不能用算术方法求解．
由于一元二次方程的次数为二次，所以其应用相当广泛，其中面积问题，平均增长率问题和储蓄问题，经营问题，数字问题等涉及到积的一些问题，都是代表类型．
基础准备
一、数字问题
1．三个连续的整数，设中间一个为，则其余两个分别为__________，___________．2．三个连续的偶数（或奇数），设中间一个为，则其余两个为__________，___________．3．十位上的数字为，个位上的数字为，则这个两位数为_______________．
4．个位，十位，百位上的数字分别为，，，则这个三位数为_______________．
问题1．若两个连续正整数的平方和是313，则这两个连续正整数的和是___________．二、图形面积问题
5．常见的面积公式：_______________________________________________________．6．常见的体积公式：_______________________________________________________．
问题2．有一批长是宽的2倍的长方形铁皮，四角各截去一个正方形，做成高是5cm，容积是360cm3的长方体容器，求这批铁皮的长和宽．
三、平均变化率问题
7．设基数为，平均增长率为，则连续增长次后的值为___________，若增长后的量为，则可列方程______________；如果平均降低率为，则可列方程______________．
问题3．我市某企业为节约用水，自建污水净化站，7月份净化污水3000吨，9月份增加到3630吨，则这两个有净化污水量平均每月增长的百分率为__________．
四、一元二次方程根与系数关系
8．一元二次方程的两根为__________，__________，__________，__________．9．一元二次方程的两根为__________，__________，__________，__________．10．设一元二次方程的两个根为和，则__________，__________．
问题4．两根分别为、的一元二次方程是（）
（A）．（B）．
（C）．（D）．
要点探究
探究1．数字问题
例1．一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位与原来的两位数的积为736，求原来的两位数．
解析：设十位数字为，则个位数字为，则此两位数为．则新两位数为，用未知数表示新旧两位数是解题的关键．
答案：设原来两位数的十位数字为，则个位数字为，依题得
，整理，得，解这个方程，得，．当时，，两位数为23；当时，，两位数32．答：原来的两位数为32或23．
智慧背囊：此类问题要明确数与数字之间的关系，准确地表示出两位数．
活学活用：一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多1，若把个位上的数字与十位上的数字对调，所得的两位数比原数大27，求原两位数．
探究2．与几何图形面积相关的问题
例2．如图①，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，问道路应为多宽？
图①图②
解析：设道路的宽度应为m，将三条道路分别平移到边上（如图②所示），则可得六块试验田的总面积为．它的面积为570m2，根据此关系可列方程．
答案：设道路宽为m．依题意，得570．整理，得．
解得，．∵不合题意，舍去．∴．答：道路宽应为1m．
智慧背囊：此类问题的特点是只与渠（或小路）的宽度有关，而与位置无关，因此可以运用化归思想将几条渠（或小路）归在一起，这样会给解决问题带来方便．
活学活用：一块矩形耕地东西64米，南北168米，现要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？
探究3．平均变化率问题
例3．某校办工厂生产某产品，今年产量为200件，计划通过技术改革，使今后每年的产量都比前一年增长相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产量达到1400件，求这个百分数．
解析：若设平均增长率为，则第二年产量为件，第三年产量为件．
答案：设年平均增长率为，根据题意，得，解这个方程，得，（不符合题意，舍去）．答：这个百分数为100%．
智慧背囊：平均变化率问题要注意运用公式．
活学活用：某电视厂2005年生产一种彩色电视机，每台成本3000元．由于该厂不断进行技术革新，连续两年降低成本，至2007年这种彩色电视机每台成本仅1920元，问平均每年降低成本百分之几？
探究4．其他问题
例4．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了获得8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？解析：此题属于利润问题，设商品售价为元，则每个商品的利润为元，因为每涨价1元，销售量会减少10个，现在涨价元，销售量减少10 个，为获得8000元利润，则应有．答案：设商品售价为元，则进货量为个．根据题意，得．整理，得．解得，．当时，；当时，．答：要想获得8000元利润，售价为60元或80元，当售价60元时，应进货40 0个；当售价为80元时，应进货200个．
智慧背囊：利润问题中常用的关系有：利润销价进价，利润利润率进价，总利润每件利润销售量，销价进价（1 利润率）．
活学活用：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？
