2021年高考数学真题试卷(江苏卷)带答案解析

机密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学(适用地区：山东、河北、湖北、湖南、江苏、广东、福建)本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,42.已知2i z =-，则()i z z +=（）A.62i- B.42i- C.62i + D.42i+3.，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B. C.4D.4.下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.66.若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A .65-B.25-C.25D.657.若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（）A.e b a <B.e a b <C.0e ba << D.0e ab <<8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A.12OP OP =B.12AP AP =C.312OA OP OP OP ⋅=⋅D.123OA OP OP OP ⋅=⋅11.已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，PB =D.当PBA ∠最大时，PB =12.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A.当1λ=时，1AB P △的周长为定值B.当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C.当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D.当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()322xx xa f x -=⋅-是偶函数，则a =______.14.已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.15.函数()212ln f x x x =--的最小值为______.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19.记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.20.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.22.已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.机密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学（答案解析）(适用地区：山东、河北、湖北、湖南、江苏、广东、福建)本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2.已知2i z =-，则()i z z +=（）A.62i -B.42i- C.62i+ D.42i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()22262z z i i i i +=-+=+故选：C.3.，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.C.4D.【答案】B 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l ππ=l =.故选：B.4.下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．5.已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C 【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．6.若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.65【答案】C 【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．7.若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（）A.e b a < B.e a b <C.0e b a << D.0e ab <<【答案】D 【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-，即()1tty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁，，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD 【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD10.已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A .12OP OP =B.12AP AP =C.312OA OP OP OP ⋅=⋅ D.123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【分析】A 、B 写出1OP ，2OP、1AP uuu r ，2AP uuu r的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα= ，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β= ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=---cos cos 2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选：AC11.已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，PB =D.当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【解析】【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB45==>，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，最大值为1154105+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，BM =，4MP =，由勾股定理可得BP ==CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.12.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A.当1λ=时，1AB P △的周长为定值B.当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C.当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D.当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数．【详解】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1λ=时，11=BP BC BB BC CC μμ=++，即此时P ∈线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A 错误；对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB B C λλ=++ ，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当12λ=时，112BP BC BB μ=+ ，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH μ=+ ，所以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1,0,12A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0P μ,，10,,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，则1,0,12A P μ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,2BP μ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()10μμ-=，所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12μ=时，112BP BC BB λ=+ ，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+ ，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为0,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以01,,22AP y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，11,122A B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选：BD ．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()322xx x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322xx xa f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：114.已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-【解析】【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】不妨设(,)(6,0),(6,)22p pP p Q PQ p ∴+=-uu u r 因为PQ OP ⊥，所以260032p p p p ⨯-=>∴=∴Q C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15.函数()212ln f x x x =--的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增；∴()(1)1f x f ≥=故答案为：1.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .【答案】(1).5(2).()41537202n n -+-【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）对折4次可得到如下规格：5124dm dm ⨯，562dm dm ⨯，53dm dm ⨯，3102dm dm ⨯，3204dm dm ⨯，共5种；（2）由题意可得12120S =⨯，2360S =⨯，3430S =⨯，4515S =⨯， ，()112012n n n S -+=，设()012112011202120312042222n n S -+⨯⨯⨯=++++L ，则()121120111202120312022222n nn n S -+⨯⨯=++++ ，两式作差得()()12116011201120111112240120240122222212n n n nn n S --⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎪⎝⎭- ()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，因此，()()4240315372072022nn n n S -++=-=-.故答案为：5；()41537202n n -+-.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}na 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5b b ==；（2）300.【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+，从而可求{}n b 的通项.（2）根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++- ，利用（1）的结果可求20S .【详解】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-.（2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++ ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=- ，所以()20241820210S a a a a =++++- ()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B 类．【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．19.记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC∠.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b=，结合已知即可证结论.（2）由题设2,,33b bBD b AD DC ===，应用余弦定理求cos ADB ∠、cos CDB ∠，又ADB CDB π∠=-∠，可得42221123b b a a +=，结合已知及余弦定理即可求cos ABC ∠.【详解】（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C cABC b=∠，∴acBD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b bBD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅，∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADB CDB π∠=-∠得到,,a b c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ABC ∠.20.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)详见解析(2)36【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F,作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD,AO ⊥CD所以EF ⊥BD,EF ⊥CD,BD CD D ⋂=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FM EF F =I ,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥MF 则EMF ∠为二面角E-BC-D 的平面角,4EMF π∠=因为BO OD =,OCD 为正三角形,所以OCD 为直角三角形因为2BE ED =,1112(1)2233FM BF ∴==+=从而EF=FM=213AO ∴=AO ⊥Q 平面BCD,所以11131133326BCD V AO S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点()1F、)2122F MF MF -=，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB 与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB ⋅的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ ⋅的表达式，由TA TB TP TQ ⋅=⋅化简可得12k k +的值.【详解】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()1ln 1ln f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=，故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>.因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<，故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <，要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<.设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<，即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->，则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭，先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立，故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b<+<.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.机密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅱ卷）数学(适用地区：海南、辽宁、重庆)一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A .{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}3.抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（）A.1B.2C. D.44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A .26%B.34%C.42%D.50%5.正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A.20+B.C.563D.36.某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等7.已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（）A.c b a<< B.b a c<< C.a c b<< D.a b c<<8.已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）A.102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.()10f -=C.()20f =D.()40f =二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A.样本12,,,n x x x 的标准差B.样本12,,,n x x x 的中位数C.样本12,,,n x x x 的极差D.样本12,,,n x x x 的平均数10.如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（）A. B.C. D.11.已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切12.设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（）A.()()2n n ωω=B.()()231n n ωω+=+C.()()8543n n ωω+=+ D.()21n nω-=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()'f x 是奇函数．15.已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．16.已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．18.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．19.在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．。

2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=（）A. {2}B. {2,3}C. {3,4,}D. {2,3,4}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：根据交集的定义易知A∩B是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3}，故答案为：B【分析】根据交集的定义直接求解即可.2.已知z=2-i，则( z(z⃗+i)=（）A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4+2i【答案】C【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z(z+i)=(2−i)(2+2i)=4+4i−2i−2i2=6+2i故答案为：C【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. 2 √2C. 4D. 4 √2【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有2πr=180°360°×2πl，解得l=2r=2√2故答案为：B【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.4.下列区间中，函数f(x)=7sin( x−π6)单调递增的区间是（）A. (0, π2) B. ( π2, π) C. ( π, 3π2) D. ( 3π2, 2π)【答案】A【考点】正弦函数的单调性【解析】【解答】解：由−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ得−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z，当k=0时，[−π3，2π3]是函数的一个增区间，显然(0，π2)⊂[−π3，2π3]，故答案为：A【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.5.已知F 1,F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1 的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】 C【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a 2=9,b 2=4,|MF 1|+|MF 2|=2a=6， 则由基本不等式可得|MF 1||MF 2|≤|MF1||MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9 ，当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，等号成立. 故答案为：C【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可. 6.若tan θ =-2,则sin θ(1+sin2θ)sin θ+cos θ=（ ）A. −65 B. −25 C. 25 D. 65 【答案】 C【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用 【解析】【解答】解：原式=sinθ(sin 2θ+2sinθcosθ+cos 2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)=sin 2θ+sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθtan 2θ+1=25故答案为：C【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可. 7.若过点（a,b)可以作曲线y=e x 的两条切线，则（ ） A. e b <a B. e a <b C. 0<a<e b D. 0<b<e a 【答案】 D【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意易知，当x 趋近于-∞时，切线为x=0，当x 趋近于+∞时，切线为y=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=e x 的下方. 故答案为：D【分析】利用极限，结合图象求解即可.8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】 B【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)， 则P(A)=P(B)=16，P(C)=56×6=536，P(D)=66×6=16 ，对于A ，P(AC)=0；对于B ，P(AD)=16×6=136； 对于C ，P(BC)=16×6=136； 对于D ，P(CD)=0.若两事件X,Y 相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y), 故B 正确. 故答案为：B【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可二、选择题：本题共4小题。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A＝{x|−2<x<4}，B＝{2， 3， 4， 5}，则A∩B＝( )A．{2}B．{2， 3}C．{3， 4}D．{2， 3， 4}2．已知z＝2−i，则z(z̄＋i)＝( )A．6−2i B．4−2i C．6＋2i D．4＋2i3．已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A．2B．2√2C．4D．4√24．下列区间中，函数f(x)＝7sin(x−π6)单调递增的区间是( )A．(0， π2)B．(π2， π)C．(π， 3π2)D．(3π2， 2π)5．已知F1，F2是椭圆C： x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为( )A．13B．12C．9D．6 6．若tanθ＝−2，则sinθ(1＋sin2θ)sinθ＋cosθ＝( )A．−65B．−25C．25D．657．若过点(a， b)可以作曲线y＝e x的两条切线，则( )A．e b<a B．e a<b C．0<a<e b D．0<b<e a8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，已知36763，44S S ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。

2021年江苏省高考数学合格性试卷(一)(附答案详解)2021年江苏省高考数学合格性试卷（一）一、单选题（共16小题，共64.0分）1.设全集U，图中阴影部分所表示的集合是（）。

A。

∁UUB。

(∁UU)∩UC。

U∪(∁UU)D。

U∩(∁UU)2.已知UU、UU均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3UU+UU|=（）。

A。

√7UB。

√10C。

√13D。

13.函数U(U)=U2+1的单调递增区间是（）。

A。

(−∞,−1)B。

(−1,1)C。

(1,+∞)D。

(−∞,−1)和(1,+∞)4.已知(U3−2)U的展开式的所有二项式系数之和为64，则U=（）。

A。

9B。

8C。

7D。

65.若U>0，则U+1/U的最小值为（）。

A。

2B。

3C。

2√2D。

46.等比数列{UU}的首项U1=−1，U4=27，那么它的前4项之和U4等于（）。

A。

−34B。

52C。

40D。

207.某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人。

计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）。

A。

简单随机抽样B。

按性别分层抽样C。

系统抽样D。

按地区分层抽样8.已知集合U={0,1，2，3，4，5}，集合U={1,3，5}，则∁UU=（）。

A。

{0,2}B。

{2,4}C。

{1,2，3}D。

{0,2，4}9.已知曲线U=2U3+3U上一点U(1,5)，则A处的切线斜率等于（）。

A。

9B。

1C。

3D。

210.若平面向量UU与UU的夹角为120°，|UU−2UU|⋅|UU+3UU|=3，则|UU|=（）。

A。

2B。

3C。

2√3D。

111.等差数列{UU}中，已知U8=6，则前15项的和U15=（）。

A。

45B。

90C。

江苏省2021年普通高考数学对口单招文化统考试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑）1．已知集合M＝{1，3}，N＝{1﹣a，3}，若M∪N＝{1，2，3}，则a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12．若数组＝（﹣2，1，3）和＝（1，﹣，x）满足＝﹣2，则实数x等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．3．复数z满足（1+i）z＝3﹣i，则复数z的虚部是（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣24．逻辑表达式等于（）A．B．C．D．5．已知（1﹣2x）n的展开式中x2的系数为40，则n等于（）A．5 B．6 C．7 D．86．已知双曲线的一条渐近线与直线2x﹣y+3＝0平行，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．7．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（）A．B．2：1 C．D．1：28．如图是某项工程的网络图（单位：天），则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（）A．14条B．12条C．9条D．7条9．若函数的最小正周期为π，则它的一条对称轴是（）A．B．x＝0 C．D．10．已知奇函数f（x）是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足f（2a）+f（b﹣4）＝0则的最小值是（）A．B．C．2 D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．如图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n值是．12．已知等比数列{a n}的公比为q，且16a1，4a2，a3成等差数列，则q的值是．13．已知，且，则tan（θ﹣9π）的值是．14．以抛物线的焦点为圆心，且与直线（t为参数）相切的圆的标准方程是．15．已知函数，若其图象上存在互异的三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），使得，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共8小题，共90分）16．已知函数的定义域是R．（1）求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式．17．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＜0时，f（x）＝log a（﹣x）+2x （a＞0，且a≠1）．又直线l：mx+y+2m+5＝0（m∈R）恒过定点A，且点A在函数f（x）的图象上．（1）求实数a的值；（2）求f（﹣4）+f（8）的值；（3）求函数f（x）的解析式．18．已知关于x的二次函数f（x）＝ax2﹣4bx+a．（1）若a∈{﹣1，1，2，3}，b∈{0，1，2}，求事件A＝{f（x）在[1，+∞）上是增函数}的概率；（2）若a∈[1，2]，b∈[0，2]，求事件B＝{方程f（x）＝0没有实数根）的概率．19．已知向量，，设函数．（1）求函数f（x）的最大值；（2）在锐角△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，3sin A﹣2sin C ＝0，求△ABC的面积．20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨．（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本；（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求最大利润．21．已知数列{a n}满足a1＝2且a n+1＝3a n+2n﹣1（n∈N*）．（1）求证：数列{a n+n}为等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求数列{a n}的前n项和S n．22．某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个；乙种规格原料每张2m2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个．问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小？并求最小用料面积．23．已知椭圆的离心率为．（1）证明：；（2）若点在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ．①求直线l的方程；②求椭圆C的标准方程．江苏省2021年普通高考数学对口单招文化统考试卷【参考答案】一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 A = {x -2 < x < 4}， B = {2, 3, 4, 5} ，则 A B = （）A.{2}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {2, 3, 4}【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有 A ⋂ B = {2, 3} ，故选：B .2. 已知 z = 2 - i ，则 z (A. 6 - 2i z + i ) = （B. 4 - 2i）C. 6 + 2iD. 4 + 2i【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为 z = 2 - i ，故 z = 2 + i ，故 z (z + i )= (2 - i )(2 + 2i ) = 6 + 2i故选：C.22 2 3. 已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. 2C. 4D. 4【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则π l = 2π ⨯ ，解得l = 2 .故选：B.4. 下列区间中，函数 f (x ) = 7 sin ⎛x - π ⎫单调递增的区间是（ ）6 ⎪A. ⎛ 0, π ⎫ ⎝⎭B. ⎛ π , π ⎫C. ⎛π , 3π ⎫D.⎛ 3π , 2π ⎫⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭⎝ ⎭【答案】A【解析】π π π【分析】解不等式2k π -< x - < 2k π + 2 6 2(k ∈ Z ) ，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数 y = sin x 的单调递增区间为⎛2k π - π , 2k π + π ⎫(k ∈ Z )，2 2 ⎪ ⎝ ⎭对于函数 f (x ) = 7 sin ⎛ x - π ⎫ ，由2k π - π < x - π < 2k π + π (k ∈ Z ) ， 6 ⎪ 2 6 2 ⎝ ⎭2k ππ 2π 解得- < x < 2k π + 3 3(k ∈ Z ) ， 取 k = 0 ，可得函数 f ( x ) 的一个单调递增区间为⎛ - π , 2π ⎫，3 3 ⎪ ⎝ ⎭则⎛ 0, π ⎫ ⊆ ⎛ - π , 2π ⎫ ， ⎛ π ,π ⎫ ⊄ ⎛ - π , 2π ⎫，A 选项满足条件，B 不满足条件；2 ⎪3 3 ⎪ 2 ⎪ 3 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭取 k = 1 ，可得函数 f ( x ) 的一个单调递增区间为⎛ 5π , 8π ⎫，3 3 ⎪ ⎝ ⎭⎛π , 3π ⎫ ⊄ ⎛ - π , 2π ⎫且⎛π , 3π ⎫ ⊄⎛ 5π , 8π ⎫ ， ⎛ 3π , 2π ⎫ ⊄ ⎛ 5π , 8π ⎫ ，CD 选项均不满足条件. 2 ⎪ 3 3 ⎪ 2 ⎪ 3 3 ⎪ 2 ⎪ 3 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y = A sin (ωx + φ) 形式，再求2 2= = θ ( θ + θ ) ⎝⎝y = A sin (ωx + φ) 的单调区间，只需把ω x + ϕ 看作一个整体代入 y = sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω 化为正数．F F x 2 y 2 MF ⋅ MF5. 已知 1 ， 2 是椭圆C ：+= 1的两个焦点，点 M 在C 上，则1942的最大值为（ ）A. 13B. 12C. 9D. 6【答案】C【解析】【 分 析 】 本 题 通 过 利 用 椭 圆 定 义 得 到MF 1 + MF 2= 2a = 6， 借 助 基 本 不 等 式2MF ⋅ MF ≤ 即可得到答案． 1 22 ⎭【详解】由题， a 2 = 9, b 2 = 4 ，则 MF 1 + MF 2 = 2a = 6 ，2所以 MF ⋅ MF ≤ = 9 （当且仅当 MF 1 = MF 2 = 3 时，等号成立）． 1 22 ⎭ 故选：C ．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．sin θ (1+ sin 2θ )6. 若tan θ = -2 ，则 sin θ + cos θ= （）A. - 6 5B. -2 C.2 D. 6555【答案】C【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan θ = -2 即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得：sin θ (1+ sin 2θ ) sin θ + cos θ sin θ (sin 2 θ + cos 2θ + 2sin θ cos θ ) sin sin cos sin θ + cos θsin θ (sin θ + cos θ ) tan 2 θ + tan θ 4 - 2 2 = = = = ．sin 2 θ + cos 2 θ 1+ tan 2 θ1+ 4 5故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan θ = -2 ，求出sin θ , cos θ 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．max max7. 若过点(a , b ) 可以作曲线y = e x 的两条切线，则（ ）A. e b < aB. e a < bC. 0 < a < e bD. 0 < b < e a【答案】D【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果 【详解】在曲线 y = e x 上任取一点 P (t , et) ，对函数 y = e x 求导得 y ' = e x ，所以，曲线 y = e x 在点 P 处的切线方程为 y - e t = e t(x - t ) ，即 y = e t x + (1- t )e t ， 由题意可知，点(a , b ) 在直线 y = e tx + (1- t )e t上，可得b = ae t+ (1- t )e t= (a +1- t )e t，令 f (t ) = (a +1- t )e t，则 f '(t ) = (a - t )e t.当t < a 时， f '(t ) > 0 ，此时函数 f (t ) 单调递增，当t > a 时， f '(t ) < 0 ，此时函数 f (t ) 单调递减，所以， f (t ) = f (a ) = e a ，由题意可知，直线 y = b 与曲线 y = f (t ) 的图象有两个交点，则b < f (t ) = e a，当t < a +1时， f (t ) > 0 ，当t > a +1时， f (t ) < 0 ，作出函数 f (t ) 的图象如下图所示：由图可知，当0 <b <e a时，直线y =b 与曲线y = f (t )的图象有两个交点.故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立【答案】B【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】P(甲) =1，P(乙) =1，P(丙) =5，P(丁) =6=1，6636366P(甲丙) = 0 ≠P(甲)P(丙)，P(甲丁) =136=P(甲)P(丁)P(乙丙) =136故选：B≠P(乙)P(丙)，P(丙丁) = 0 ≠P(丁)P(丙)【点睛】判断事件A, B 是否独立，先计算对应概率，再判断P( A)P(B) =P( AB) 是否成立二､选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i=x i+c ( i = 1, 2,⋅⋅⋅, n), c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C 利用两组数据的线性关系有E( y) =E(x) +c 、D( y) =D(x) ，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D 的正误.OP 1 = OP 2OA ⋅ OP 3 = OP 1 ⋅ O P 2 OP 2 4sin 2 α 2 【详解】A ： E ( y ) = E (x + c ) = E (x ) + c 且c ≠ 0 ，故平均数不相同，错误； B ：若第一组中位数为 x i ，则第二组的中位数为 y i = x i + c ，显然不相同，错误； C ：D ( y ) = D (x ) + D (c ) = D (x ) ，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为 x max - x min ，则第二组的极差为y max - y min = (x max + c ) - (x min + c ) = x max - x min ，故极差相同，正确；故选：CD10. 已知O 为坐标原点，点 P 1 (cos α , sin α )，P 2 (cos β , -sin β ) ，P 3 (cos (α + β ), sin (α + β ))，A (1, 0)，则（）A B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】A 、B 写出OP 1 ， 、AP 1 ， AP 2 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【 详 解 】 A ： OP 1 = (cos α , sin α ) ， OP 2 = (cos β , -sin β ) ， 所 以 | =1 ，| = 1 ，故| OP 1 |=| OP 2 |，正确；B ： AP 1 = (cos α -1, sin α ) ， AP 2 = (cos β -1, -sin β ) ，所以| == α= = 2 | sin | ， 2同理| = 2 | sin β | ，故| AP |,| AP | 不一定相等，错误；21 2C ：由题意得： OA ⋅ OP 3 = 1⨯cos(α + β ) + 0⨯sin(α + β ) = cos(α + β ) ，OP 1 ⋅ OP 2 = cos α ⋅cos β + sin α ⋅ (-sin β ) = cos(α + β ) ，正确；D ：由题意得： OA ⋅ OP 1 = 1⨯cos α + 0⨯sin α = cos α ，OP 2 ⋅ O P 3 = cos β ⨯cos(α + β ) + (-sin β ) ⨯sin(α + β )= cos α cos 2 β - sin α sin β cos β - sin α sin β cos β - cos α sin 2 βAP 1 = AP 2OA ⋅ OP 1 = OP 2 ⋅ O P 3OP |= cos 2 α + sin 2 α 1 OP |= (cos β)2 + (-sin β )2 2 AP |= (cos α -1)2+ sin 2α 1cos 2α - 2 cos α +1+ sin 2α 2(1- cos α ) AP |= (cos β -1)2 + sin 2 β 211 534 = cos α cos 2β - sin α sin 2β = cos(α + 2β ) ，错误；故选：AC11. 已知点 P 在圆(x - 5)2+ ( y - 5)2= 16 上，点 A (4, 0) 、 B (0, 2) ，则（ ）A. 点 P 到直线 AB 的距离小于10B. 点 P 到直线 AB 的距离大于2C. 当∠PBA 最小时， PB = 3D. 当∠PBA 最大时， PB = 3【答案】ACD【解析】【分析】计算出圆心到直线 AB 的距离，可得出点 P 到直线 AB 的距离的取值范围，可判断 AB 选项的正误；分析可知，当∠PBA 最大或最小时， PB 与圆 M 相切，利用勾股定理可判断 CD 选项的正误. 【详解】圆( x - 5)2+ ( y - 5)2= 16 的圆心为 M (5, 5) ，半径为4 ，直线 AB 的方程为 x + y= 1，即 x + 2 y - 4 = 0 ，42圆心 M 到直线 AB 的距离为= = 11 5 > 4 ， 5所以，点 P 到直线 AB 的距离的最小值为11 5 - 4 < 2 ，最大值为11 5 + 4 < 10 ，A 选项正确，B 选项错55误；如下图所示：当∠PBA 最大或最小时， PB 与圆 M 相切，连接 MP 、 BM ，可知 PM ⊥ PB ，BM ==， MP = 4 ，由勾股定理可得 BP == 3 2 ，CD 选项2212 + 225 + 2⨯ 5 - 4 (0 - 5)2 + (2 - 5)2BM 2 - MP 2正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点 P 到直线l 的距离的取值范围是[d - r , d + r ].12. 在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，AB = AA 1 = 1 ，点 P 满足 BP = λ BC + μ BB 1 ，其中λ ∈[0,1] ，μ ∈[0,1] ，则（）A. 当λ = 1 时， △AB 1P 的周长为定值B. 当 μ = 1 时，三棱锥 P - A 1BC 的体积为定值C. 当λ = 1时，有且仅有一个点 P ，使得 A P ⊥ BP21D. 当 μ = 1 时，有且仅有一个点 P ，使得 AB ⊥ 平面 AB P21 1【答案】BD【解析】【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B ，将 P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量 平移将 P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将 P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 P 点的个数．【详解】易知，点 P 在矩形 BCC 1B 1 内部（含边界）．对于A ，当λ = 1 时， BP = BC + μ BB 1 =BC + μCC 1 ，即此时 P ∈ 线段CC 1 ， △AB 1P 周长不是定值，故A 错误；AP = ⎛ - 3 = - 对于B ，当 μ = 1 时，BP = λ BC + BB 1 =BB 1 + λ B 1C 1 ，故此时 P 点轨迹为线段 B 1C 1 ，而B 1C 1 //BC ，B 1C 1 // 平面 A 1BC ，则有 P 到平面 A 1BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当λ = 1时， BP = 1BC + μ BB ，取 BC ， BC 中点分别为Q ， H ，则 BP = BQ + μQH ，所221 1 1以 P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A ⎛ 3 , 0,1⎫ ，P (0, 0,μ ) ，B ⎛ 0, 1 , 0 ⎫， 1 2⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭则, 0, μ -1⎫ ， BP = ⎛ 0, - 1 , μ ⎫， μ (μ -1) = 0 ，所以 μ = 0 或 μ = 1 ．故 H ,Q 均满足，故 1 2⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ C 错误；对于D ，当 μ = 1时， BP = λ BC + 1BB ，取 BB ， CC 中点为 M , N ． BP = BM + λ M N ，所以 P 点2 211 1轨迹为线段 MN ．设 P ⎛ 0, y , 1 ⎫ ，因为 A ⎛ 3 ⎫ ⎛ ，0, 0，所以 AP = - 3 , y , 1 ⎫ ， AB ⎛ 3 1 ⎫ , , -1 ， 0 2 ⎪ 2 ⎪ 2 0 2 ⎪ 1 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 3 1 1 1⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 + y 0 - = 0 ⇒ y 0 = - ，此时 P 与N 重合，故D 正确． 4 2 2 2故选：BD ．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知函数 f ( x ) = x 3 (a ⋅ 2x - 2- x )是偶函数，则a = .【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为 f (x ) = x 3 (a ⋅ 2x - 2-x ) ，故 f (-x ) = -x 3 (a ⋅ 2-x - 2x )，因为 f ( x ) 为偶函数，故 f (-x ) = f ( x ) ，时 x 3 (a ⋅ 2x - 2-x ) = -x 3 (a ⋅ 2-x - 2x )，整理得到(a -1)(2x +2-x )=0 ，故 a = 1 ， 故答案为：114. 已知O 为坐标原点，抛物线C ： y 2 = 2 px ( p > 0 )的焦点为 F ，P 为C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为p p 1 x 轴上一点，且 PQ ⊥ OP ，若 FQ = 6 ，则C 的准线方程为.【答案】 x =- 32【解析】【分析】先用坐标表示 P ，Q ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 p ，即得结果.【详解】不妨设P ( , p )∴Q (6 + 2 2uuur , 0), PQ = (6, - p ) 因为 PQ ⊥ OP ，所以 p ⨯ 6 - p 2 = 0 Q p > 0∴ p = 3∴ C 的准线方程为 x =- 32 2 故答案为： x =- 32【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 15. 函数 f ( x ) = 2x -1 - 2 ln x 的最小值为 .【答案】1【解析】【分析】由解析式知 f (x ) 定义域为(0, +∞) ，讨论0 < x ≤ 1 、 1< x ≤ 1、 x > 1 ，并结合导数研究的单调22性，即可求 f (x ) 最小值.【详解】由题设知： f (x ) =| 2x -1| -2 ln x 定义域为(0, +∞) ， ∴当0 < x ≤ 1时， f (x ) = 1- 2x - 2 ln x ，此时 f (x ) 单调递减；2当 1 < x ≤ 1时， f (x ) = 2x -1- 2 ln x ，有 f '(x ) = 2 - 2≤ 0 ，此时 f (x ) 单调递减；2x当 x > 1 时， f (x ) = 2x -1- 2 ln x ，有 f '(x ) = 2 - 2> 0 ，此时 f (x ) 单调递增；x又 f (x ) 在各分段的界点处连续，∴综上有： 0 < x ≤ 1时， f (x ) 单调递减， x > 1 时， f (x ) 单调递增； ∴ f (x ) ≥ f (1) = 1故答案为：1.16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm ⨯12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm ⨯12dm ， 20dm ⨯ 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S = 240dm 2 ，对折 2 次共可以得到5dm ⨯12dm ，10dm ⨯ 6dm ， 20dm ⨯ 3dm 三种规格的图形，它们的面积之和 S 2 = 180dm 2 ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n 次，+ 120n 2n -1( ) ( ) 2 ( )那么∑S k = dm 2.k =1【答案】(1). 5(2).720 -15(3 + n ) 2n -4【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 S n ，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）对折 4 次可得到如下规格： 5 dm ⨯12dm ， 5 dm ⨯ 6dm ， 5dm ⨯ 3dm ， 10dm ⨯ 3dm ，4 2 220dm ⨯ 3dm ，共5 种；4（2）由题意可得S = 2 ⨯120 ， S = 3⨯ 60 ， S = 4 ⨯ 30 ， S = 5⨯15 ， ， S 120n +1 = ， 12120⨯ 2 120⨯ 3 120⨯ 43120(n +1) 4n2n -1设 S = + + +L +， 20 21 22 2n -1则 1S = 120⨯ 2 + 120 ⨯ 3 +120 n +1 + ， 22122 2n60⎛1- 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 120 (n +1) 2n -1 ⎪ 120(n +1) 两式作差得 S = 240 +120 + + + n -1 ⎪ - = 240 + ⎝ ⎭ - 1 n 2 ⎝ 2 2 2 ⎭ 2120 120(n +1)120(n + 3) 1- 22 = 360 -- = 360 -， 2n -1 2n240(n + 3) 2n15(n + 3)因此， S = 720 -= 720 -. 2n15 n + 3 故答案为： 5 ； 720 -.2n -42n -4【点睛】方法点睛：数列求和 常用方法：（1） 对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2） 对于{a n b n }结构，其中{a n } 是等差数列，{b n }是等比数列，用错位相减法求和； （3） 对于{a n + b n } 结构，利用分组求和法；（4） 对于⎧ 1 ⎫ 结构，其中{a } 是等差数列，公差为d (d ≠ 0) ，则1= 1 ⎛ 1 - 1 ⎫ ，利用裂 ⎨ ⎬na a⎪ ⎩ a n a n +1 ⎭nn +1d ⎝ a n a n +1 ⎭ n n项相消法求和.四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列{a } 满足a = 1 ， a= ⎧a n +1, n 为奇数, n1n +1⎨a + 2, n 为偶数. ⎩ n（1） 记b n = a 2n ，写出b 1 ， b 2 ，并求数列{b n } 的通项公式；（2） 求{a n }的前 20 项和.【答案】（1） b 1 = 2, b 2 = 5 ；（2） 300 .【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得b n +1 = b n + 3 ，从而可求{b n } 的通项.（2）根据题设中的递推关系可得{a n } 的前20 项和为S 20 可化为 S 20 = 2(b 1 + b 2 + + b 9 + b 10 ) -10 ，利用（1） 的结果可求 S 20 .【详解】（1）由题设可得b 1 = a 2 = a 1 +1 = 2, b 2 = a 4 = a 3 +1 = a 2 + 2 +1 = 5又 a 2k +2 = a 2k +1 +1， a 2k +1 = a 2k + 2 ，故 a 2k +2 = a 2k + 3 即b n +1 = b n + 3 即b n +1 - b n = 3 所以{b n }为等差数列，故b n = 2 + (n -1)⨯ 3 = 3n -1 .（2） 设{a n }的前20 项和为 S 20 ，则 S 20 = a 1 + a 2 + a 3 + + a 20 ，因为a 1 = a 2 -1, a 3 = a 4 -1,, a 19 = a 20 -1 ，所以S 20 = 2 (a 2 + a 4 + + a 18 + a 20 ) -10= 2(b + b ++ b + b) -10 = 2⨯⎛10⨯ 2 +9⨯10 ⨯ 3⎫-10 = 300 . 129102⎪ ⎝ ⎭【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分： B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确7 回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1） 若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列； （2） 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2） B 类． 【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分 X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答 B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知， X 的所有可能取值为0 ， 20 ，100 ．P ( X = 0) = 1- 0.8 = 0.2 ； P ( X = 20) = 0.8(1- 0.6) = 0.32 ； P ( X = 100) = 0.8⨯ 0.6 = 0.48 ． 所以 X 的分布列为（2）由（1）知， E ( X ) = 0⨯ 0.2 + 20⨯ 0.32 +100 ⨯ 0.48 = 54.4 ．若小明先回答 B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0 ， 80 ，100 ．P (Y = 0) = 1- 0.6 = 0.4 ； P (Y = 80) = 0.6 (1- 0.8) = 0.12 ； P ( X = 100) = 0.8⨯ 0.6 = 0.48 ．所以 E (Y ) = 0⨯ 0.4 + 80 ⨯ 0.12 +100 ⨯ 0.48 =57.6 ．因为54.4 < 57.6 ，所以小明应选择先回答 B 类问题．19. 记 ABC 是内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c .已知b 2 = ac ，点 D 在边 AC 上，BD sin ∠ABC = a sin C .（1） 证明： BD = b ；（2） 若 AD = 2DC ，求cos ∠ABC【答案】（1）证明见解析；（2）cos ∠ABC = . 12X 0 20100 P0.20.320.48c a c b b 【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 BD = ac ，结合已知即可证结论.b（2）由题设 BD = b , AD =2b , DC = b，应用余弦定理求cos ∠ADB 、cos ∠CDB ，又 3 32 b 4 11b 2∠ADB = π - ∠CDB ，可得2a + = ，结合已知及余弦定理即可求cos ∠ABC .a 2 3【详解】（1） 由题设， BD =a sin C ，由正弦定理知： =b sin C ，即= c ， sin ∠ABC ∴ BD =ac，又b 2 = ac ，b∴ BD = b ，得证.（2） 由题意知： BD = b , AD =2b , DC = b ， 3 3sin C sin ∠ABC sin ∠ABC b2 + 4b 2- 2 13b 2 - c 2 2+ b 2 - 2 10b 2 - a 2 ∴ cos ∠ADB = 9 = 9 ，同理cos ∠CDB = 9 = 9 ， 2b ⋅ 2b 4b 2 2b ⋅ b2b 2 3 3 3 3∵ ∠ADB = π - ∠CDB ，13b 2 - 9 c 2 a 2 = - 10b 292 211b 2∴4b 22b 2，整理得2a + c =，又b 3 = ac ，332b 4 11b 2 4 2 2 4 a 21 a2 =3 ∴ 2a + = a 2 ，整理得6a 3-11a b + 3b = 0 ，解得 b 2 = 3 或 b 22 ，a 2 + c 2 -b 24a 2由余弦定理知： cos ∠ABC == -， 2ac3 2b 2当 a 2 = 1时， cos ∠ABC = 7 > 1不合题意；当 a 2 = 3 时， cos ∠ABC = 7 b 2 36 b 2 2 12 2 ；综上，cos ∠ABC =7.12【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及∠ADB =π-∠CDB 得到a, b, c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ∠ABC .20.如图，在三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB =AD ，O 为BD 的中点.（1）证明：OA ⊥CD ；（2）若OCD 是边长为1 的等边三角形，点E 在棱AD 上，DE = 2EA ，且二面角E -BC -D 的大小为45︒，求三棱锥A -BCD 的体积.【答案】(1)详见解析(2)36【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD⊥平面BCD，AO ⊂平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为CD ⊂平面BCD，所以AO⊥CD(2)作EF⊥BD 于F, 作FM⊥BC 于M,连FM因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD所以EF⊥BD, EF⊥CD,BD ⋂CD =D ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC因为FM⊥BC，FM I EF =F ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF3 17 y则∠EMF 为二面角 E-BC-D 的平面角, ∠EMF = π4 因为 BO = OD , OCD 为正三角形,所以 OCD 为直角三角形 因为 BE = 2ED ,∴ FM = 1 BF = 1 (1+ 1) = 2223 3从而EF=FM= 2∴ AO = 13Q AO ⊥ 平面BCD,所以V = 1 AO ⋅ S3 ∆BCD= 1 ⨯1⨯ 1 ⨯1⨯ = 3 3 2 6【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法. 21. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F 1 (- （1） 求C 的方程；17, 0) 、 F 2( 17, 0) MF 1- MF2= 2 ，点 M 的轨迹为C .（2） 设点T 在直线 x = 1上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和 P ，Q 两点，且 TA ⋅ TB = TP ⋅ TQ ，2求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和.【答案】（1） x 2 2- = 1( x ≥ 1) ；（2） 0 . 16【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点 F 1 、 F 2 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程； （2）设点T⎛ 1 , t ⎫ ，设直线 AB 的方程为 y - t = k ⎛ x - 1 ⎫，设点 A ( x , y ) 、B (x , y ) ，联立直线 AB 与 2 ⎪ 1 2 ⎪1 12 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭曲线C 的方程，列出韦达定理，求出 TA ⋅ TB 的表达式，设直线 PQ 的斜率为k 2 ，同理可得出 TP ⋅ TQ 的表达式，由 TA ⋅ TB = TP ⋅ TQ 化简可得k 1 + k 2 的值. 【详解】因为 MF 1 - MF 2 = 2 < F 1F 2 = 2 ，- 2 = ( > > ) = = y 1 2 1 2 2 所以，轨迹C 是以点 F 1 、 F 2 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为 x a 2y 21 a 0, b 0 ，则2a2 ，可得 a 1 ， b =b= 4 ，所以，轨迹C 的方程为 x 2 2-= 1( x ≥ 1) ；16（2）设点T ⎛ 1 , t ⎫，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，2 ⎪ ⎝ ⎭不妨直线 AB 的方程为 y - t = k ⎛ x - 1 ⎫，即 y = k x + t - 1 k ，1 2 ⎪12 1⎝ ⎭⎧ y = k x + t - 1 k 2 联立⎪ 1 2 1 ，消去 y 并整理可得(k 2 -16) x 2 + k (2t - k ) x + ⎛ t - 1 k ⎫ +16 = 0 ，⎨ ⎪⎩16x 2 - y 2 = 16 设点 A ( x , y ) 、 B ( x , y1 1 1) ，则 x > 1 且 x > 1. 1 ⎪ ⎝ ⎭ 1 1 2 2 1 2 22⎛ 1 ⎫2k 2- 2k t t - k ⎪ +16 由韦达定理可得 x 1 + x 2 = 1 1， k 2 -16 x 1 x 2 = ⎝ 2 1 ⎭， 1 k 2 -16x + x 1(t 2 +12)(1+ k 2) 所以， TA ⋅ TB = (1+ k 2 )⋅ x - ⋅ x - = (1+ k 2 )⋅⎛ x x - 1 2 + ⎫ = 1 ，1 1 21 12 2 4 ⎪ k 2 -16 ⎝ ⎭ 1(t 2 +12)(1+ k 2 )设直线 PQ 的斜率为k 2 ，同理可得 TP ⋅ TQ =2，k 2-16(t 2 +12)(1+ k 2 ) (t 2 +12)(1+ k 2 )因为 TA ⋅ TB = TP ⋅ TQ ，即1=k 2-16k 2-162，整理可得k 2 = k 2，12即(k 1 - k 2 )(k 1 + k 2 ) = 0 ，显然k 1 - k 2 ≠ 0 ，故k 1 + k 2 = 0 . 因此，直线 AB 与直线 PQ 的斜率之和为0 .【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1） 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知函数 f ( x ) = x (1- ln x ) .（1） 讨论 f( x ) 的单调性；1 2 1 2 2a ⎪b ⎪ （2） 设a ， b 为两个不相等的正数，且b ln a - a ln b = a - b ，证明： 2 <1 + 1< e . a b【答案】（1） f ( x ) 的递增区间为(0,1) ，递减区间为(1, +∞) ；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设 1 = x , 1 = x ，原不等式等价于2 < x + x < e ，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者a1 b2 1 2可设 x 2 = tx 1 ，从而把 x 1 + x 2 < e 转化为(t -1)ln (t +1) - t ln t < 0 在(1, +∞) 上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为(0, +∞ ) ，又 f '(x ) = 1- ln x -1 = -ln x ， 当 x ∈(0,1)时， f '(x ) > 0 ，当 x ∈(1, +∞) 时， f '( x ) < 0 ，故 f (x ) 的递增区间为(0,1) ，递减区间为(1, +∞) . （2）因为b ln a - a ln b = a - b ，故b (ln a +1) = a (ln b +1) ，即ln a +1 = ln b +1， a b故 f ⎛ 1 ⎫ = f ⎛ 1 ⎫ ，⎝ ⎭⎝ ⎭设 1 = x , 1 = x ，由（1）可知不妨设0 < x < 1, x> 1.a1b21 2因为 x ∈(0,1)时， f (x ) = x (1- ln x ) > 0 ， x ∈(e , +∞) 时， f ( x ) = x (1- ln x ) < 0 ，故1 < x 2 < e . 先证： x 1 + x 2 > 2 ，若 x 2 ≥ 2 ， x 1 + x 2 > 2 必成立.若 x 2 < 2 ， 要证： x 1 + x 2 > 2 ，即证 x 1 > 2 - x 2 ，而0 < 2 - x 2 < 1，故即证 f (x 1 ) > f (2 - x 2 ) ，即证： f ( x 2 ) > f (2 - x 2 ) ，其中1 < x 2 < 2 . 设 g (x ) = f ( x ) - f (2 - x ),1 < x < 2 ， 则 g '(x ) = f '( x ) + f '(2 - x ) = -ln x - ln (2 - x ) = -ln ⎡⎣x (2 - x )⎤⎦ ，因为1 < x < 2 ，故0 < x (2 - x ) < 1，故-ln x (2 - x ) > 0 ，max 所以 g '(x ) > 0 ，故 g ( x ) 在(1, 2) 为增函数，所以 g ( x ) > g (1) = 0 ， 故 f (x ) > f (2 - x ) ，即 f ( x 2 ) > f (2 - x 2 ) 成立，所以 x 1 + x 2 > 2 成立，综上， x 1 + x 2 > 2 成立. 设 x 2 = tx 1 ，则t > 1，结合ln a +1 = ln b +1 ， 1 = x , 1 = x 可得： x (1- ln x ) = x (1- ln x ) ，a b a 1b 21 12 2即：1- ln x = t (1- ln t - ln x ) ，故ln x = t -1- t ln t ，1 1 1t -1要证： x 1 + x 2 < e ，即证(t +1) x 1 < e ，即证ln (t +1) + ln x 1 < 1 ，即证： ln (t +1)+ t -1- t ln t < 1 ，即证： (t -1)ln (t +1) - t ln t < 0 ，t -1令 S (t ) = (t -1)ln (t +1) - t ln t , t > 1 ，则 S '(t ) = ln (t +1) +t -1 -1- ln t = ln ⎛1+ 1 ⎫ - 2，t +1t ⎪t +1 ⎝ ⎭先证明一个不等式： ln (x +1) ≤ x . 设u (x ) = ln ( x +1) - x ，则u '( x ) = 1x +1 -1 = -x ， x +1当-1 < x < 0 时， u '(x ) > 0 ；当 x > 0 时， u '( x ) < 0 ， 故u ( x ) 在(-1, 0) 上为增函数，在(0, +∞) 上为减函数，故u ( x ) = u (0) = 0 ，故ln ( x +1) ≤ x 成立由上述不等式可得当t > 1时， ln ⎛1+1 ⎫ ≤ 1 < 2，故 S '(t ) < 0 恒成立， t ⎪t t +1 ⎝ ⎭故 S (t ) 在(1, +∞) 上为减函数，故 S (t ) < S (1) = 0 ，故(t -1)ln (t +1) - t ln t < 0 成立，即 x 1 + x 2 < e 成立.综上所述， 2 < 1 + 1< e .a b【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.。

高考卷,2021年普通高等学校招生全国统一考试,数学（江苏卷）2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。

本次考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。

3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。

4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

5、如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

参考公式：一组数据的方差其中为这组数据的平均数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。

（1）已知，函数为奇函数，则a＝（A）0（B）1（C）－1（D）±1（2）圆的切线方程中有一个是（A）x－y＝0（B）x＋y＝0（C）x＝0（D）y＝0（3）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（5）的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（A）0（B）2（C）4（D）6（6）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（A）（B）（C）（D）（7）若A、B、C为三个集合，，则一定有（A）（B）（C）（D）（8）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（A）（B）（C）（D）ADCB（9）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有图1（A）1个（B）2个（C）3个（D）无穷多个信号源（10）右图中有一个信号源和五个接收器。

2021年高考数学真题试题(新高考Ⅱ卷)(Word版+答案+解析)2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅱ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共8题；共40分）1.复数frac{2- i}{1-3i}$$在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，$A=\{1,3,6\}$，$B=\{2,3,4\}$，则$A∩(\complement_U B)=（）$A。

$\{3\}$ B。

$\{1,6\}$ C。

$\{5,6\}$ D。

$\{1,3\}$3.抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点到直线 $y=x+1$ 的距离为 $\sqrt{2}$，则 $p=$（）A。

1 B。

2 C。

$2\sqrt{2}$ D。

44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果。

在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）。

将地球看作是一个球心为O，半径$r$ 为6400km的球，其上点A的纬度是指$\angle OAB$ 与赤道平面所成角的度数。

地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 $\alpha$，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为$S=2\pi r^2(1-\cos\alpha)$（单位：$km^2$），则 $S$ 占地球表面积的百分比约为（）A。

26% B。

34% C。

42% D。

50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A。

$20+12\sqrt{3}$ B。

$28\sqrt{2}$ C。

$\frac{28\sqrt{2}}{3}$ D。

$56$6.某物理量的测量结果服从正态分布 $N(10,\sigma^2)$，下列结论中不正确的是（）A。

2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

（共8题；共40分）1. ( 5分) 设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=（）A. {2}B. {2,3}C. {3,4,}D. {2,3,4}2. ( 5分) 已知z=2-i，则( =（）A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4+2i3. ( 5分) 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. 2C. 4D. 44. ( 5分) 下列区间中，函数f(x)=7sin( )单调递增的区间是（）A. (0, )B. ( , )C. ( , )D. ( , )5. ( 5分) 已知F1,F2是椭圆C：的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（）A. 13B. 12C. 9D. 66. ( 5分) 若tan =-2,则 =（）A. B. C. D.7. ( 5分) 若过点（a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则（）A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a8. ( 5分) 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题。

2021年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)(含详细解析)2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）注意事项：在答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名和准考证号。

回答选择题时，选出每小题的答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.(5分) 设集合A={x|-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）A。

{2} B。

{2,3} C。

{3,4} D。

{2,3,4}2.(5分) 已知z=2-i，则|z-3i|=（）A。

6-2i B。

4-2i C。

6+2i D。

4+2i3.(5分) 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。

2 B。

4 C。

4√2 D。

2√24.(5分) 下列区间中，函数f(x)=7sin(x)单调递增的区间是（）A。

(0,π/2) B。

(π/2,π) C。

(π,3π/2) D。

(3π/2,2π)5.(5分) 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（）A。

13 B。

12 C。

9 D。

66.(5分) 若tanθ=-2，则cos2θ=（）A。

-3/5 B。

-4/5 C。

-24/25 D。

-7/257.(5分) 若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（）XXX<a B。

ea<b C。

0<a<eb D。

0<b<ea8.(5分) 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“两次取到的数字和为偶数”，乙表示事件“两次取到的数字都是奇数”，则P(甲∪乙)=（）A。

2/3 B。

5/9 C。

7/9 D。

⎢2 2⎥ 3 2 4数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A、B、C三小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． A.[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）已知矩阵 A = ⎡3 1 ⎤⎣ ⎦（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值. B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知两点 A ⎛3,π ⎫, B ⎛ 2, π ⎫ ，直线l 的方程为ρsin ⎛θ+ π ⎫= 3.4 ⎪ 2 ⎪ 4 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设 x ∈ R ，解不等式|x |+|2 x -1|>2 .【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 设 (1+ x )n = a + a x + a x 2 + + a x n , n 4, n ∈ N *. 已 知12na 2= 2a a .（1）求n 的值；（2）设(1+ 3)n = a + b ，其中 a , b ∈ N * ，求 a 2 - 3b 2 的值.23（. 本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集 A n = {(0, 0), (1, 0), (2, 0),⋯, (n , 0)} ， B = {(0,1), (n ,1)}, C = {(0, 2), (1, 2) , (2, 2), , (n , 2)}, n ∈ N *.nn令 M n = A n B n C n .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.35 ⎢2 2⎥ ⎢2 2⎥ ⎢2 2⎥ 数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为 A = ⎡3 1 ⎤ ，⎣ ⎦所以 A 2= ⎡3 1 ⎤ ⎡3 1 ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡3⨯ 3 +1⨯ 23⨯1+1⨯ 2 ⎤ ⎡11 5⎤ = ⎢2 ⨯ 3 + 2 ⨯ 2 2 ⨯1+ 2 ⨯ 2⎥ = ⎢10 6⎥ ．⎣ ⎦ ⎣ ⎦（2）矩阵A 的特征多项式为λ- 3f (λ) =-2-1λ- 2= λ2 - 5λ+ 4 .令 f (λ) = 0 ，解得A 的特征值λ1 = 1,λ2 = 4. B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．π 解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3， ），B （ 4由余弦定理，得AB = π ， ），2= .（2）因为直线l 的方程为ρsin(θ+ π) = 3 ，4则直线l 过又 B ( 2, ) = 2.C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．2 32 + ( 2)2 - 2⨯ 3⨯ 2 ⨯ cos( π - π) 2 4点(3 2, π ) ，倾斜角为3π ．π 2 4) ，所以点B 到直线l 的距离为(3 2 - 2) ⨯ sin(3π - π2 4 23 3 n n n n 3 245 5 5 5 5 5 解：当x <0时，原不等式可化为- x + 1 - 2 x > 2 ，解得x <- 1；31 当0≤x ≤ 2时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；1 当x > 2时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1.综上，原不等式的解集为{x | x < - 1或x > 1}.322.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算 求解能力，满分10分．解：（1）因为(1+ x )n = C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + + C n x n，n ≥ 4 ， 所以 a = C 2 = n (n -1) , a = C 3 = n (n -1)(n - 2) ，2 n 23 n6a = C 4 = n (n -1)(n - 2)(n - 3) ． 4 n24因为 a 2= 2a a ，所以[n (n -1)(n - 2) ]2 = 2 ⨯ n (n -1) ⨯ n (n -1)(n - 2)(n - 3) ，6 2 24解得 n = 5．（2）由（1）知， n = 5．(1+ 3)n = (1+ 3)5= C 0 + C 1 + C 2 ( 3)2 + C 3 ( 3)3 + C 4 ( 3)4 + C 5 ( 3)55 5 5 5 5 5= a + b 3 ．解法一：因为 a , b ∈ N * ，所以 a = C 0 + 3C 2 + 9C 4 = 76, b = C 1 + 3C 3 + 9C 5= 44 ， 从而 a 2 - 3b 2 = 762 - 3⨯ 442 = -32 ． 解法二：(1- 3)5 = C 0 + C 1 (- 3) + C 2 (- 3)2 + C 3 (- 3)3 + C 4 (- 3)4 + C 5 (-3)5555555= C 0 - C 1 + C 2 ( 3)2 - C 3 ( 3)3 + C 4 ( 3)4 - C 5 ( 3)5 ． 5 5 5 5 5 53 n 2 +1 n 2 +4 n 2 +1 n 2 +1 n 2 + 4 因为 a , b ∈ N *，所以(1- 3)5 = a - b ．因此 a 2 - 3b 2 = (a + b 3)(a - b 3) = (1+ 3)5 ⨯ (1- 3)5 = (-2)5 = -32 ．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当 n = 1时， X 的所有可能取值是1， 2 ，2 ， 5 ．X 的概率分布为 P ( X = 1) = 7= 7 , P ( X =2) = 4 = 4 ， C 2 15C 2 1566P ( X = 2) = 2 = 2, P ( X = 5) = 2 = 2 ． C 2 15C 2 1566（2）设A (a ，b ) 和B (c ，d ) 是从 M n 中取出的两个点．因为 P ( X ≤ n ) = 1- P ( X > n ) ，所以仅需考虑 X > n 的情况． ①若b = d ，则 AB ≤ n ，不存在 X > n 的取法；② 若 b = 0 ，d = 1 ， 则 AB = ≤ ， 所 以 X > n 当 且 仅 当AB = ，此时 a = 0 ，c = n 或 a = n ，c = 0 ，有 2 种取法；③ 若 b = 0 ，d = 2 ， 则 AB = ≤ ， 因 为 当 n ≥ 3 时 ，≤ n ， 所 以 X > n 当 且 仅 当a = n ，c = 0 ，有 2 种取法；AB = ， 此 时 a = 0 ，c = n 或④ 若 b = 1，d = 2 ， 则 AB = ≤ ， 所 以 X > n 当 且 仅 当AB = ，此时 a = 0 ，c = n 或 a = n ，c = 0 ，有 2 种取法．综上，当 X > n 时， X 的所有可能取值是 和 ，且P ( X = n 2 +1) = 4C 2 , P ( X = n 2 + 4) = 2 ．C 2 2n +42n +4P ( X ≤ n ) = 1- P ( X =n 2+1) - P ( X =n 2+ 4) = 1-62．2n +4(a - c )2 +1 n 2 +1 (a - c )2 + 4 (n -1)2 + 4 n 2 + 4 (a - c )2 +1 n 2 +1 C。

2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

请考生注意以下事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号，并用2B铅笔填涂试卷类型（A）。

2.选择题答案用2B铅笔在答题卡上涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。

非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合$A=x-2<x<4$，$B=\{2,3,4,5\}$，则$A$为（）A。

$\{2\}$。

B。

$\{2,3\}$。

C。

$\varnothing$。

D。

$\{3,4\}$2.已知$z=2-i$，则$z(z+i)$为（）A。

$6-2i$。

B。

$4-2i$。

C。

$6+2i$。

D。

$4+2i$3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。

2.B。

2$\sqrt{2}$。

C。

4.D。

4$\sqrt{2}$4.下列区间中，函数$f(x)=7\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$单调递增的区间是（）A。

$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$。

B。

$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$。

C。

$\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$。

D。

$\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)$5.已知$F_1,F_2$是椭圆$C:x^2+y^2=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$MF_1\cdot MF_2$的最大值为（）A。