数值积分的研究背景及意义

数值积分的插值求积公式（原创版）目录1.数值积分的概念和背景2.插值求积公式的定义和原理3.插值求积公式的实际应用4.插值求积公式的优缺点分析正文一、数值积分的概念和背景数值积分是数值分析中的一种重要方法，它是求解连续函数在某一区间上的定积分的一种近似方法。

在实际应用中，有些函数的积分无法求出解析解，这时就需要借助数值积分方法来求解。

数值积分的方法有很多种，其中插值求积公式是一种常用的方法。

二、插值求积公式的定义和原理插值求积公式是一种基于插值原理的数值积分方法。

其基本思想是先对被积函数进行插值，然后在插值点上求和，最后得到积分结果。

插值求积公式的具体步骤如下：1.选择插值函数，如拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等；2.对被积函数进行插值，得到一系列插值点上的函数值；3.在插值点上求和，得到积分的近似值。

三、插值求积公式的实际应用插值求积公式在实际应用中具有广泛的应用，例如在计算机图形学中，可以用插值求积公式来计算曲线下的面积；在物理学中，可以用插值求积公式来计算物体的质心；在金融学中，可以用插值求积公式来计算投资组合的期望收益等。

四、插值求积公式的优缺点分析插值求积公式具有以下优点：1.适用范围广，可以应用于各种类型的函数；2.计算精度较高，随着插值点数的增加，计算结果的误差会逐渐减小；3.具有较好的稳定性，对于一些具有奇点的函数，插值求积公式仍能得到较好的结果。

然而，插值求积公式也存在一些缺点：1.插值求积公式的计算复杂度较高，需要进行多次插值和求和操作；2.对于一些非线性函数，插值求积公式的精度可能会受到影响。

综上所述，插值求积公式是一种实用的数值积分方法，具有一定的优点和缺点。

数值积分实验报告数值积分实验报告导言：数值积分是数学中的一个重要概念，它在实际应用中具有广泛的意义。

本实验旨在通过数值积分方法，探索如何近似计算函数的积分值，并对结果进行分析和比较。

一、实验目的本实验的主要目的有以下几点：1. 了解数值积分的基本概念和原理；2. 掌握常见的数值积分方法，如矩形法、梯形法和辛普森法；3. 进行实际函数的数值积分计算，并与解析解进行对比。

二、实验原理1. 数值积分的基本概念数值积分是一种通过将函数曲线下的面积近似分解为多个小矩形、梯形或抛物线的面积之和，从而计算函数积分值的方法。

常见的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法。

2. 矩形法矩形法是一种简单的数值积分方法，它将函数曲线下的面积近似为多个矩形的面积之和。

常见的矩形法有左矩形法、右矩形法和中矩形法。

3. 梯形法梯形法是一种更精确的数值积分方法，它将函数曲线下的面积近似为多个梯形的面积之和。

梯形法的计算公式为：积分值≈ (b-a) * (f(a) + f(b)) / 2，其中a和b为积分区间的上下限。

4. 辛普森法辛普森法是一种更加精确的数值积分方法，它将函数曲线下的面积近似为多个抛物线的面积之和。

辛普森法的计算公式为：积分值≈ (b-a) * (f(a) +4f((a+b)/2) + f(b)) / 6。

三、实验步骤1. 确定积分区间和函数表达式；2. 根据所选的数值积分方法，编写相应的计算代码；3. 运行代码，得到数值积分的结果；4. 将数值积分的结果与解析解进行对比，并分析误差。

四、实验结果与分析在本次实验中，我们选择了函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上进行积分计算。

根据不同的数值积分方法，得到的结果如下：1. 矩形法：- 左矩形法：积分值≈ 0.25- 右矩形法：积分值≈ 0.5- 中矩形法：积分值≈ 0.3752. 梯形法：积分值≈ 0.3753. 辛普森法：积分值≈ 0.3333与解析解进行对比，我们可以发现不同的数值积分方法得到的结果与解析解（积分值为 1/3）存在一定的误差。

数值求积公式的MATLAB实现与应用开题报告开题报告数值积分的MATLAB GUI设计一、选题的背景、意义1.选题的背景由于计算机的发展和普及,科学计算已成为解决各类科学技术问题的重要手段。

因此,掌握科学计算的基本原理和方法是当今科学技术工作者不可缺少的本领和技能之一。

并且经过不断的研究和累积,在现今科学研究和工程实践中,数值计算已经发展成为一门用来分析数据,解决实际问题的重要学科,成为继理论分析、实验之后又一个重要的研究方法。

MATLAB是一种数值计算环境和编程语言,主要包括MATLAB和Simulink 两大部分。

MATLAB基于矩阵运算,具有强大的数值分析、矩阵计算、信号处理和图形显示功能,其强大的数据处理能力和丰富的工具箱使得它的编程极为简单。

MATLAB既能进行科学计算,又能开发出所需要的图形界面。

[1]2.选题的意义数值积分是数值逼近的重要内容,也是函数插值的最直接应用。

在工程计算中,由于许多函数的不定积分无法用简单函数表达出来,甚至函数本身都无法详尽地描述,而代之以表格的形式给出一些离散点上的函数值,或者定义为某个无法用显式表示的微分方程的解。

在上述这些情况下,我们必须采用数值积分。

[2]数值积分的运算比较繁琐,而且怎样形象地把数值积分表达出来也是一个问题,所以运用MATLAB强大的计算能力和MATLAB GUI图形显示功能就可以给研究数值积分提供很大的方便。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题2.1 MATLAB软件介绍2.1.1 MATLAB软件概况[3、4]MATLAB是一种用于科学技术计算的高性能语言。

它将计算、可视化和程序设计集成在一个非常容易使用的环境中,使用我们熟悉的数学符号表示问题与答案。

MATLAB的应用范围广泛,包括数学与计算;算法开发;数据采集;建模与模拟;数据分析、研究和可视化;科学和工程图形;应用程序开发,包括图形用户界面的建立。

MATLAB是一个交互系统,它的基本数据元素是数组,尤其适合解决用矩阵和向量组织数据的科学技术计算问题。

第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。

通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。

以下是我对数值分析实验的心得体会。

一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。

2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。

3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。

4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。

二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。

（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。

最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。

2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。

（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。

最后，比较不同方法的收敛速度和精度。

3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。

（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。

最后，比较不同方法的计算量和精度。

4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。

（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。

南京师范大学毕业设计（论文）（ 2011 届）题目：各种积分的应用背景研究学院：数学科学学院专业：数学与应用数学*名：**学号： ******** 指导教师：***南京师范大学教务处制各种积分的应用背景研究摘要：积分学是高等数学中最为重要的内容之一，有着非常广泛的应用背景。

经济管理学，医学，物理学等领域均为积分的学习提供丰富的背景，尤其在物理学领域。

数学是物理的基础与工具，物理为数学提供背景和应用，数学学习和物理学习相辅相成，相得益彰。

首先，本文主要简单的介绍积分发展的历史背景、现实意义及其多蕴含的思想方法；其次，研究四种常用积分的应用背景，充分的渗透着极限的思想方法，各种积分的应用背景在实际生活中大量存在，在这里只是介绍一些富有代表性的几例加以重点介绍；最后，给出几个应用，帮助对应用背景的理解与把握，而且能进一步体现数学与实际生活紧密联系这一特点。

定积分是积分学中最重要的内容之一，同时也是研究其他3种积分的基础，所以对定积分的应用背景作细致的分析。

关键词：极限思想；定积分；重积分；曲线积分；曲面积分；应用背景。

Abstract： Integral calculus of higher mathematics is one of the most important content,,and it has a very broad applications. Economic management, medicine, physics, and etc provide rich background for studing integral, especially in the physics field.Mathematics is physical foundation and tools. Physics for mathematics provide background and application. Mathematics learning and physical learning supplement each other, and bring out the best in each other. Firstly, this paper mainly introduced the development of integration of simple historical background, practical significance and the many contain way of thinking. Secondly, studing the application of four common points are through the same background, and sufficient infiltrated limit way of thinking. Application backgrounds of various points are in real life abounds. Here some rich representative a few example are introduced. Finally, that giving a few applications helps to understand and grasp the application background, and can further manifests mathematic and practical life closely this feature.Definite integral is the integral calculus one of the most important content,and is based of studing other three kinds of integral foundation. So we focuses on the analysis of the definite integral of application background.Key Words:Limit thought;definite integral; heavy integral;curvilinear integral; surface integral; application background.目录一、各种常用积分的发展历程 (4)1.1 积分的起源与发展 (4)1.2 积分的发展现状及意义 (4)1.3 极限思想对积分的作用 (5)二、定积分的应用背景 (5)2.1.1 求曲边梯形面积 (5)2.1.2 求变力所作的功 (7)2.2 定积分的简单应用 (8)三、重积分的应用背景 (8)3.1 求非均匀物体的重心 (8)3.2 重积分的应用 (10)四、曲线积分的应用背景 (10)4.1 .1 求定义在曲线段上的物体的质量 (10)4.1 .2 变力作功问题 (11)4.2 曲线积分的应用 (11)五、曲面积分的应用背景 (11)5.1.1 求定义在曲面上的物体的质量 (12)5.1.2 计算流量问题 (12)5.2 曲面积分的应用 (13)结束语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)一、各种常用积分的发展历程1.1 积分的起源与发展积分学是研究函数的积分以及有关概念和应用的数学分支。

毕业论文开题报告信息与计算科学 定积分的数值计算方法一、选题的背景、意义在科学与工程计算中，经常要计算定积分()()().baI f f x dx a b =-∞≤≤≤∞⎰ （1．1）这个积分的计算似乎很简单，只要求出f 的原函数F 就可以得出积分（1．1）的值，即()()().I f F b F a =- （1．2）如果原函数F 非常简单又便于使用，那么式（1．2）就提供了计算起来最快的积分法．但是，积分过程往往将导出新的超越函数，例如，简单积分1dx x ⎰可引出对数函数，它已不是代数函数了；而积分2x edx -⎰，将引出一个无法用有限个代数运算、对数运算或指数运算组合表示的函数．有些积分虽然容易求解，并且原函数仍然是一个初等函数，但可能过于复杂，以致于人们采用（1．2）来计算之前还得三思而行[1]．例如2421)11dx C x x =++-⎰ （1．3） 采用式（1．3）这种“精确”表达式时，所需运算次数是个根本问题．由式（1．3）看出，需计算对数和反正切，因此只能计算到一定的近似程度．因此可以看出，这类表面上是“精确”的方法，实际上也是近似的．因此，我们常常需要探讨一些近似计算定积分的数值方法[2]．通过人们的研究和发现，得出了很多数值计算的方法，比如利用牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等来解决定积分的数值计算问题．构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式．特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式．但它们的精度较差．龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式．当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分[3]．二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2．1 牛顿-科茨求积公式[4]2．1．1 公式的一般形式[4]将积分（1．1）中的积分区间[],a b 分成n 等分，其节点k x 为1,()k x a kh h b a n=+=- (0,1,,)k n =．对于给定的函数f ，在节点k x (0,1,,)k n =上的值()k f x 为已知．那么f 在n+1个节点01,,,n x x x 上的n 次代数插值多项式为00()().n nj n k k j k j j k x x p x f x x x ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ 如果记x a th =+，则上式可以写为00()().n nn k k j j k t j p x f x k j ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ （2．1）在积分（1．1）中的被积函数f 用其n+1个节点的代数插值多项式()n p x 来代替，可得 ()()()()bbn n aaI f f x dx I f p x dx =≈=⎰⎰．多项式的积分是容易求出的，因此把上式写为()()()nn n k k I f I f A f x =≈=∑， （2．2）其中 ()00(),n n n k k j j kb a t j A dt b ac n k j=≠--==--∏⎰ (2．3) ()00(1)().!()!n kn n n kj j kct j dt k n k n -=≠-=--∏⎰ (2．4) 公式（2．2）称为牛顿-科茨求积公式或称为等距节点求积公式，k A 称为求积公式系数，()n k c 称为科茨求积系数．2．1．2 梯形公式[5]在牛顿-科茨公式（2．2）中，取n=1时(1)(1)011,2c c ==所以有 []1()()()().2b aI f I f f a f b -≈=+ （2．5） 公式（2．5）称为梯形公式，如果用连接(),()a f a 和(),()b f b 的直线来逼近f ，并对这线性函数进行积分可得到1()I f ．再用1()I f 来逼近()I f ． 2．1．3 辛普森公式[6]在牛顿-科茨公式（2．2）中,取n=2，则有 220011(1)(2),46c t t dt =--=⎰ 221014(2),26c t t dt =--=⎰222011(1),46c t t dt =-=⎰ 有此得到2()()()4()().32h a b I f I f f a f f b +⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦（2．6）其中1()2h b a =-．式（2．6）称为辛普森公式．2．2 复化求积公式[7]上面已经给出了计算积分()()baI f f x dx =⎰的3个基本的求积公式：梯形公式，辛普森公式，牛顿-科茨公式，并给出了它们误差的表达式．由这些表达式可知其截断误差依赖于求积区间的长度．若积分区间的长度是小量的话，则这些求积公式的截断误差是该长度的高阶小量．但若积分区间的长度比较大，直接使用这些公式，则精度难以保证．为了提高计算积分的精度，可把积分区间分为若干个小区间，()I f 等于这些小区间上的积分和，然后对每个小区间上的积分应用上述求积公式，并把每个小区间上的结果累加，所得到的求积公式称为复化求积公式．将积分区间[],a b 作n 等分，并记,,0,1,,k b ah x a kh k n n-==+=，于是2．2．1 复化梯形求积公式[8]如果需要求出一个已知函数()f x 在一个很大区间[],a b 上的积分，那么我们可以把区间分成n 个长度为x h ∆=的小区间，对每一个小区间用梯形法则，然后再把这些小区间上的积分值相加．于是就得到了计算定积分的复化梯形公式：1101210()()(222)22n bi i n n ai h hf x dx f f f f f f f -+-=≈+=+++++∑⎰(2．7)11()()k kn x x k I f f x dx +-==∑⎰．2.2.2 复化辛普森求积公式[9]对于积分()baf x dx ⎰，将[],a b 等分，每个小区间长度b ah n-=，节点记为 (0,1,2,,)k x a kh k n =+=，第k 个小区间记为[]1,(1,2,,)k k x x k n -=．记[]1,k k x x -的中点为1121()2k k k xx x --=+，则复化辛普森公式为 1112()()()4()()6n bk k ak k h f x dx S h f x f x f x --=⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦∑⎰．2．3 龙贝格积分[10]现在要介绍用龙贝格（Romberg ）命名的一个算法，龙贝格首先给出了这种算法的递推形式，假设需要积分()baI f x dx =⎰ （2．8）的近似值．在讨论过程中函数()f x 和区间[],a b 将保持不变．2．3．1 递推梯形法则[10]设()T n 表示在长度是()/h b a n =-的n 个子区间上积分I 的梯形法则．根据()''()nbai f x dx h f a ih =≈+∑⎰，我们有 00()()''()''()nn n i i b a b a T h f a ih f a i n n ==--=+=+∑∑， （2．9） 这里求和符号中的两撇表示和式中第一项和最后一项减半． 2．3．2 龙贝格算法[10]在龙贝格算法中使用上述公式．设(,0)R n 表示具有2n个子区间的梯形估计，我们有[]1211(0,0)()()()21(,0)(1,0)((21))2n n n i R b a f a f b R n R n hf a i h -=⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++-⎪⎩∑ ， （2．10） 对于一个适度的M 值，计算(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)R R R R M ，并且其中没有重复的函数值的计算．在龙贝格算法的其余部分中，还要计算附加值(,)R n m ．所有这些都可以被理解为积分I 的估计．计算出(,0)R M 后，不再需要被积函数f 值的计算．根据公式[]1(,)(,1)(,1)(1,1)41mR n m R n m R n m R n m =-+-----， （2．11） 对于1n ≥和1m ≥构造R 阵列的各列．2．4高斯求积[11]前面研究的求积公式都是事先确定了n 个节点，然后按使求积公式阶数达到最大的原 则选取最佳权．由于自由参数为n 个，所以阶数一般为n-1，但如果节点的位置也自由选择，则自由参数的个数将变为2n ，因此求积公式的阶数可达到2n-1．高斯求积公式就是通过选择最佳的节点和权，使求积公式的阶数最大化．一般地，对每个n ，n 点高斯公式都是唯一的，而且阶数为2n-1．因而，对一定的节点个数，高斯求积公式的精度是最高的．但它的求得比牛顿—柯特斯公式要困难得多．虽然它的节点和权也可由待定系数法确定，但得到的方程是非线性的．2．4．1 高斯求积公式[11]为说明高斯求积公式，推导区间[]1,1-上的两点公式1112221()()()()()I f f x dx w f x w f x G f -=≈+=⎰，其中的节点1x 、2x 及权1w 、2w 按使求积公式阶数最大化的原则选取．令公式对前四个单项式精确成立，得力矩方程组112111122112221122113331122112,0,2,30.w w dx w x w x xdx w x w x x dx w x w x x dx ----⎧+==⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪+==⎪⎪+==⎪⎩⎰⎰⎰⎰这个非线性方程组的一个解为12121,1,x x w w =-===另一个解可通过改变1x ，2x 的符号而得到．这样，两点高斯求积公式为2()(G f f f =-+，阶数为3．另外，高斯求积公式的节点也可以由正交多项式得到．若p 是n 次多项式，且满足()0,0,,1,bk ap x x dx k n ==-⎰则p 与[],a b 区间上所有次数小于n 的多项式正交，容易证明：1． p 的n 个零点都是实的、单的，且位于开区间(,)a b ．2． 区间[],a b 上以p 的零点为节点的n 点插值型求积公式的阶数为2n-1，是唯一的n 点高斯公式．定义2．2[12] 如果1n +个节点的求积公式()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰（2．14）的代数精度达到21n +，则称式（2．14）为高斯型求积公式，此时称节点k x 为高斯点，系数k A 称为高斯系数．高斯求积公式其最主要的还是研究一些较常用的求积公式，如： 高斯—勒让德（Gauss-Legendre ）公式， 高斯—和米特求积公式（Gauss-Hermite ）， 高斯—切比雪夫（Gauss-Chebyshev ）求积公式．2．5 拟解决的主要问题 1．总结常用的数值积分方法． 2． 区分各种方法的不同点和优缺点．三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标1．研究方法及技术路线本论文主要以查找资料为主，以现有的知识水平，在前人的研究论述基础上，再进行整理．采取了从阅读已有的数据资料，然后对这些内容进行总结，最后运用相关知识来研究定积分的数值计算方法的技术路线． 2．研究难点（1）．关于定积分的数值计算的方法比较多，每种方法的公式很多，要理清和掌握每个公式的用处是一个难点．(2）．数值计算的算法很多，每种算法都有其自己的特点，只知其然不知其所以然是一个难点．(3)．在前人的基础上，对论题的创新和延伸是一个难点．3．预期达到的目标本次毕业论文通过定积分的数值计算方法的研究，熟悉数值积分的基本思想和原理，能了解数值计算的各种方法，掌握每种方法的原理，熟悉各种计算方法的计算公式及其性质．以及它们的误差估计，同时了解如何借用Matlab对数值计算方法进行编程实现．也掌握参考文献资料查找方法和论文写作的基本要求和方法，培养自己利用所学知识分析和解决问题的能力，从而达到对所学知识融会贯通的能力．四、论文详细工作进度和安排第7学期11周（2010年11月15号）至第7学期12周（2010年11月28号）查阅文献，收集信息、材料并进行加工整理，形成系统材料．第7学期13周（2010年11月29号）至第7学期15周（2010年12月19号）研读文献，完成文献综述、开题报告和外文翻译的初稿．第7学期16周（2010年12月20号）至第7学期17周（2010年12月31号）完成文献综述、开题报告和外文翻译，交指导老师．第7学期18周（2011年1月4号）至第8学期3周（2011年3月11号）完成论文初稿，并通过审核．第8学期4周（2011年3月14号）至第8学期10周（2011年4月29号）1、进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改；2、5月3日前必须返校，完成毕业实习返校，并递交毕业实习报告．第8学期11周（2011年5月3号）至第8学期12周（2011年5月12号）进一步完善直至完成毕业论文，交指导教师．第8学期12周（2011年5月13号）至第8学期13周（2011年5月19号）1、毕业论文评阅，只有通过评审的毕业论文方可参加毕业论文答辩；2、撰写答辩提纲，制作答辩PPT．第8学期14周（2011年5月23号）至第8学期15周（2011年6月3日）完成第一轮论文答辩．第8学期15周（2011年6月4日）至第8学期16周（2011年6月12日）1、6月5日至6月10日第二轮答辩；2、教务处于6月7日至6月12日随机抽取部分毕业论文进行校级答辩．五、主要参考文献：[1] 孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初．计算方法与实习（第4版）[M]．南京：东南大学出版社，2009，(2)： 128~129．[2]Micheal T．Heath．张威，贺华，冷爱萍译．科学计算导论（第2版）[M]．北京：清华大学出版社，2005，(10)：396~297．[3]李桂成．计算方法[M]．北京：电子工业出版社，2005，(10)：186．[4] 现代应用数学手册编委会．现代应用数学手册——计算与数值分析卷[M]．北京：清华大学出版社，2005，(1)： 163~168．[5] 林成森．数值计算方法（上）[M]．北京：科学出版社，2004，(5)： 220~221．[6]冯康．数值计算方法[M]．北京：国防工业出版社，1978，(12)： 45~47．[7]孙志忠，袁慰平，闻震初．数值分析（第2版）[M]．南京：东南大学出版社，2002，(1)： 191~194．[8] （美）柯蒂斯F．杰拉尔德帕特里克O．惠特莱．应用数值分析（第7版）[M]．北京：机械工业出版社，2006，(8)：222~225．[9]夏爱生，胡宝安，孙利民，夏凌辉．复化Simpson数值求积公式的外推算法[J]．军事交通学院学报．2006，第8卷（第1期）： 66~68．[10]（美）David Kincaid, Ward Cheney ．王国荣，俞耀明，徐兆亮译．数值分析（原书第三版）[M]．北京：机械工业出版社，2005，(9)：400~403．[11]M．T．Heath． Scientific Computing:An Introductory Survey, Sscond Edition[M]．清华大学出版社．英文影印版． 2001，(10)： 351~355．[12]封建湖，车刚明，聂玉．数值分析原理[M]．北京：科学出版社，2001，(9)：111~114．。