〖2021年整理〗上海市浦东新区初三上学期数学一模 参考答案及评分说明

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ． （1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值；（3）当AG AE =时，求CD 的长．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求∠MFC的面积；（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ．（1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S 与ECF S 的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD 的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数；()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DF AB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切；（3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．13. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠．（1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．14.（2021宝山一模） 如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．15. （2021松江一模）如图，已知在等腰ABC 中，AB AC ==，tan 2ABC ∠=，BF AC ⊥，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）（1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG 4=，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，连接DF ，如果DQF △和ABC 相似，求线段BD 的长．16.（2021嘉定一模）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2DAE ∠=.点F 是线段AE 上一点，联结BF ，CF .（1）如图11，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长； （2）如图12，如果12CF BC =， ①求证：∠CFE =∠DAE ；②求线段EF 的长.2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值； （3）当AG AE =时，求CD 的长．【答案】（1）494；（2）119169；（3． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB 的长，设CD=x ，则AD=12-x ，利用勾股定理得出13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，求出x 的值，再利用正方形的面积公式求解即可；（2）先证∠BAC=∠EBF ，设边长为x ，利用三角函数求出x 的值，再求∠ABE 的正弦值即可；（3）设边长为x ，利用∠BCG∠∠EDG ，得出5DE DG x BC GC ==，然后联立512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，根据AG=AE ，求解即可．【详解】解：（1）Rt∠ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，13= ，设CD=x ，则AD=12-x ，在∠ADE 中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²，在∠BFE 中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²，在∠ABE 中，AE∠BE ，∠AB²=AE²+BE²，即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=72，∠正方形CDEF 的面积=CD²=72×72=494； （2）如图：延长ED 交AB 于H ，∠∠BEH∠∠ABG ，且∠ABG=∠EBH ，∠∠BEH=∠BAG ， ∠DE∠EF ，∠∠BEH=∠EBF ，∠∠BAC=∠EBF ，设边长为x ， 则tan∠EBF=5x x +，tan∠BAC=512，令5x x +=512，则x=257, ∠25125971284HDAH ADBCAB AC-====，∠59767138484AH =⋅=， ∠BH=13-AH=32584，HD=5929558484⋅=， ∠HE=HD+x=59584， 过H 作HM ，与BE 相交于M ，5sin sin 13B M AG HE ∠=∠=,595sin 84s 951419165in 81332HM HE HEM ABE BH BH ⨯⋅∠∠====；（3）∠DE//BC,∠∠BCG∠∠EDG ，设边长为x ，∠5DE DG xBC GC ==， ∠DG+GC=x ，∠DG=25x x +，GC=55x x +，则512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，令AG=AE ， 则或（舍去）．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定及利用三角函数求解，解题的关键是熟练掌握相关性质，正确构造辅助线，表示相关线段的长度．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD 中，点M 是边AB 上的一个点（与点A 、B 不重合），联结CM ，作∠CMF ＝90°，且MF 分别交边AD 于点E 、交边CD 的延长线于点F ．点G 为线段MF 的中点，联结DG ．（1）如图1，如果AD ＝AM ＝4，当点E 与点G 重合时，求∠MFC 的面积；（2）如图2，如果AM ＝2，BM ＝4．当点G 在矩形ABCD 内部时，设AD ＝x ，DG 2＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM ＝6，CD ＝8，∠F ＝∠EDG ，求线段AD 的长．（直接写出计算结果）【答案】（1）20；（2）()4244644x x y x =-+<；（3）AD =或【分析】（1）运用ASA 证明∠AME DFE ≅∆求出FD 的长再运用三角形面积公式即可得到答案；（2）证明FHM MHC △∽△，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；（3）分点G 在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M 作MH∠DC ，垂足为H ，如图1易得四边形ADHM 是正方形，∠AE ED =又∠FED=∠MEA∠∠()AME DFE ASA ≅∆ ∠.4AM FD DH ===∠MH FC ⊥∠∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∠90FMC ∠=︒，∠∠FMH+∠HMC=90°∠∠FMH=∠HCM∠∠FMH∠∠MCH ∠12MH HC FH MH ==∠2CH =，CF 10=∠1202MFC S CF MH =⋅=△ （2）过M 作MH∠DC ，过G 点作GP∠DC ，垂足分别为H ，P ，如图2，∠FG GM =，//GP MH ∠111222GP MH AD x ===，12FP PH FH == ∠MH∠DC ，∠∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠ HCM=90° ∠∠FMC=90°，∠∠FMH+∠HMC=90° ∠∠FMH=∠HCM ，∠FHM MHC △∽△∠FH MH MH HC =，即4FH x x =，∠24x FH =∠28x PH =，228x DP =-，12GP x =∠222DG DP GP =+∠424644x x y =-+由00FH DP >⎧⎨>⎩ 可得4x <<∠定义域为4x <<（3）点G 在矩形内部时,延长DG 交AB 于J ，连接AG ，AF ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠∠AD BC =∠ADJ BCM ≌△△， 2AJ BM == ∠1GJ GMDG GF==，∠AG DG =∠∠12=∠∠∠1390+∠=︒∠∠3490+∠=︒ ∠∠90AGE =︒∠AG 垂直平分FM ∠6AF AM ==∠4DF MJ ==∠AD ===点G 在矩形外部时，延长DG 交BA 延长线于L ，连接DM ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠，AD BC =∠ADL BCM ≌△△， ∠2AL BM ==∠∠L CMD =∠，∠FMC 为直角，∠90DGE ∠=︒，DG 垂直平分FM ∠8DM DF ==，6AM =，∠AD =AD =或【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长； （3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BDx BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-；（3）)．【分析】（1）先证∠B=∠DCE ，再由∠DEC=∠CEB ，得出∠DEC∠∠CEB ，进而得出结论；（2）由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ，再由∠DEC∠∠DCA ，得AD=AC ，最后利用勾股定理求解即可；（3）连接EF ，先证∠BDC∠∠EDF ，得出FD DE CD BD =，进而得出FDMF=y ，然后结合已知条件得出结果． 【详解】解：（1）∠∠ACB=90°，∠∠B=45°，∠∠DCE=45°，∠∠B=∠DCE ，∠∠DEC=∠CEB ，∠∠DEC∠∠CEB ，∠EC DE BE CE=，故CE²=BE·DE ； （2）由题意得∠DCE 是等腰三角形，DC=CE ，由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ， 同理可得∠DEC∠∠DCA ，AD=AC ，∠BC=AC ，∠BE=AD=BC=AC ，∠AC=3，∠在Rt∠ABC中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，，∠AD=2BD，∠BD=AB-AD=AB-3，-6，-3，∠DE=AB-BD--3)=6-．（3）连接EF，由三角形相似可得∠FED=∠DBC，∠EF∠BC，∠∠EFD=∠BCD，∠∠EDF=∠BDC，∠∠BDC∠∠EDF，∠FD DECD BD=，∠tan∠FMD=y，∠FDMF=y，在Rt∠MFC中，∠MCF=45°，∠MF=CF，∠FD FDCF MF==y，∠BDxBC=，BE=BC，∠BD BDxBE BC==，∠,FD BDy xCF BE==，∠DE=1xBDx-，CD=1yFDx-，∠FD DECD BD=，11y xy x=--，则y(1-y)=x(1-y)，y-xy=x-xy，．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ． （1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S与ECFS的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值； （3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．【答案】（1）94；（2）15；（3）17. 【分析】（1）先证明：,BEA CFE ∽可得：BE ABCF CE=，结合：3,EC CF =可得：3,AB BE =再设,,CF a BE b == 可得3,AB BC b a ==+而3AB b =，建立方程：33,b a b +=可得：3,2b a = 再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，先证明：,ABE GCE ≌可得：,,AB CG AE GE == 证明：AF FG =， 设,CF a = 再设DH x =， 利用22222,AF AH FH DF DH -==-求解x ，可得cos ,D 从而可得答案；（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG = 证明：6EH EC ==， 设,DF x = ,HG GC y == 证明：,AFE B D ECH H ∠=∠=∠=∠=∠可得：cos ,6EF ycoc AFE H AF ∠==∠=再证明：,FEH AFD ∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形，90B ∠=︒， ∴ 四边形ABCD 是正方形，90B C ∴∠=∠=︒，90BAE BEA ∴∠+∠=︒， ,EF AE ⊥ 90BEA CEF ∴∠+∠=︒， ,BAE CEF ∴∠=∠ ,BEA CFE ∴∽ BE AB CF CE ∴=，,BE CFAB CE∴= 3,EC CF =3,AB BE ∴= 设,,CF a BE b == 3,CE a ∴= 3,AB BC b a ∴==+ 而33,AB BE b ==33,b a b ∴+= 3,2b a ∴= 9,2AB a ∴= 22992.34ABE CEFaSAB SCE a ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FH AD ⊥于,H 连接AF ，菱形ABCD ，//,AB CD ∴ ,BAE G ∴∠=∠ E 为BC 的中点，,BE CE ∴=,AEB CEG ∠=∠ ()ABE GCE AAS ∴≌,,,AB CG AE GE ∴==,AE EF ⊥ ,AF FG ∴=设,CF a = 则3,CE BE a == 6AB BC DC CG AD a =====，75,FG AF a DF a ∴===， 设,DH x = 22222,AF AH FH DF DH ∴-==-()()()2222765,a a x a x ∴--=- ,x a ∴= ,DH a ∴= 1cos ,55DH a DDF a ∴=== 由菱形ABCD 可得：,B D ∠=∠ 1cos .5B ∴=（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG =,,EC EH H ECH ∴=∠=∠ 23,CF CE CF ==， 6CE EH ∴==，设,DF x = ,HG GC y == 则2,DC AD x ==+ ,6HG y coc H EH ∴∠== 菱形ABCD ， ,//,B D AB CD ∴∠=∠ ,B ECH ∴∠=∠ ,AFE B ∠=∠,AFE B D ECH H ∴∠=∠=∠=∠=∠ cos ,6EF y coc AFE H AF ∴∠==∠= ,AFH AFE EFH D DAF ∠=∠+∠=∠+∠ ,EFH DAF ∴∠=∠,FEH AFD ∴∽ ,EH HF EF DF AD AF ∴== 622,26y y x x +∴==+ 361012xy xy y =⎧∴⎨=+⎩，解得：15,2.4x y =⎧⎨=⎩经检验：152.4x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，217,CD x ∴=+= 即菱形ABCD 的边长为：17. 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键． 5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ==142ADB S DB AC ∴=⋅=12ADB S AB DH =⋅DH ∴=AH == 1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH∠CB 于H∠EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒∠ACD EHD ．∠AC EH CD DH = 即44EH x x EH=--．∠()444x EH x -=+ ．∠EH∠CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∠)44x EB x -==+ ，AB =∠)44x AE x -=+∠EF AD ⊥，90C ∠=︒∠AFG ADC ∠=∠ ．∠EDB ADC ∠=∠ ∠AFG EDB ∠=∠．∠45FAE B ∠=∠=︒∠AFE BDE ．∠AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+()2402y x x =-+<≤； （3）在Rt∠MDB 中，DB=4-x,所以MD=MB=(4).2x - 在Rt∠ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+所以tan∠DAB=44DM x AM x -=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论∠CDF 与∠AGE 相似:①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan∠FDC=tan∠DAB,得44y x x x-=⋅+结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0. 解得-4 或--4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan∠CFD=tan∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x-4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y x x x -=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得或3-（舍去） 如果∠CFD=∠DAB, 44x x y x-=+与y=2x -4整理，得238160.x x -+=此方程无解.综上，CD 的值为-4、8- 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且2BQ BP =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2或6；（3）33BP << 【分析】（1）证明∠BPQ∠∠BAC 即可；（2）由∠PQD<90︒，只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，利用tan3AC B BC ===，求出∠B=30，30DPC ∠=︒，计算tan 30CD CP ︒===，根据BP=BC -CP 求值；当90PDQ ∠=︒时，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，证明∠EQD∠∠CDP ，得到QE ED CD CP=，设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，求出1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD =-=-，代入比例式求出t 的值； （3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，由'30DD C B ∠=∠=︒求出'CD =，'DP D P =，列得()'2CP D P CP DP m m +=+=+=计算求值即可；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，求出PC=tan 602CD =︒，即可得到3BP =【详解】解：（1）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =∠4AB ==，∠BC AB ==，∠BQ BP =，∠BQ BP =∠BQ BC BP AB =，∠QBP CBA ∠=∠， BPQBAC ∴，∠90BQP BCA ∠=∠=︒，PQ AB ∴⊥；（2）90PQD ∠<︒，所以只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，如图1，在Rt∠ABC中，tan 3AC B BC ===，∠∠B=30， ∠9060QPB B ∠=︒-∠=︒，30DPC ∴∠=︒， ∠2AC =，点D 为边AC 的中点，∠CD=1，∠tan 30CD CP ︒===，BP BC CP ∴=-= 当90PDQ ∠=︒时，如图2，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，∠∠EQD+∠EDQ=∠EDQ+∠CDP=90︒，EQD CDP ∴，QE ED CD CP∴=， 设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，∠∠B=30，∠BQP=90︒， ∠PQ=12t ，∠60QPB ∠=︒，∠cos 6014PF PQ t =⋅︒=，sin 60QF PQ =⋅︒=，∠1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD t =-=-，134t -∴=t ∴=或t =（舍去）， 综上，BP或6；（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，'DD PQ ⊥，'30DD C B ∴∠=∠=︒，'CD ∴=30CDP ∠=︒，又'DP D P =，()'2CP D P CP DP m m ∴+=+=+=3m ∴=； ②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，∠60P ∠=︒，90DCP ∠=︒，CD=1， ∠PC=tan 603CD =︒，∠3BP =BP <<． ．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．【答案】（1）45；（2）45°；（3）不会发生变化，35． 【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt △ABC ，由正弦三角函数即可求得；（2）证明 △BCG ≌△DCN ，得到角相等，再由角相等，得△GMC ≌△NMC ，由DN DC =解答即可； （3）由D 、C 、N 、P 四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC ，再得△CPQ ∽△CNM ，由此解答即可．【详解】解：（1）连接AC ∵4AB AD ==，3CB CD ==∴AC 垂直平分BD∴∠ACB=∠ACD=12∠BCD=∠MCN 在Rt △ABC 中，AB=4，AC=3∴5== ∴sin MCN ∠=sin ∠ACB=45AB AC = （2）延长AB 至G 点，使BG=DN ，连接CG ，∵CB=CD ∠CBG=∠CBN=90°∴△BCG ≌△DCN ∴∠G=∠CND ，CN=CG ，∠BCG=∠DCN∴∠MCN=12∠BCD ∴∠MCB+∠NCD=12∠BCD ∴∠GCM=∠GCB+∠GCM=12∠BCD=∠MCN ∵CM=CM ， ∠G=∠CND,∴△GMC ≌△NMC ∴∠G=∠MNC=∠DNC当DN=NC时∠DNC=∠DCN=45°∴∠DNC=∠CNM=45°（3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°∠ADO+∠CDO=90°∴∠ADO=∠COD=12∠BCD=∠MCN∴∠NDP=∠NCP∴D、C、N、P四点共圆，∴∠NPC+∠NDC=180°∵∠NDC=90°∴∠NPC=90°∴∠CPD=∠CND=∠MNC∴△CPQ∽△CNM∴PQ CP MN CN=在Rt△CPN中，CPCN=cos∠MCN=cos∠ACB=35∴不会发生变化35PQMN=【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4±（3）224825x y x x =-+．定义域为：44x <<+． 【分析】（1）根据CE∠BD ，得出∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE 结合题干证明出∠ABD∠∠ECB ，进而得到AD EBAB EC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．根据条件先证明出∠CEB∠∠CAE ，得到2CE =CB CA ⋅，代入求出CE ，再根据BD ABCE AC=求出BD ，利用三角函数求出BH ，根据勾股定理即可求出AD ． （3）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=4x -根据∠ECB∠∠ABD 得到22EBC ADB S BC S BD △△＝，代入化简为224825xy x x =-+即可求解．【详解】解：（1）∠CE∠BD ，∠∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE ．∠∠A=∠DBE ，∠∠A=∠BEC ．∠∠ABD∠∠ECB ，∠AD EB AB EC ＝．∠AD DF AB BC=，∠EB DFEC BC =，∠DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．∠CE∠BD，∠∠CEB=∠EBD=∠A，又∠∠BCE=∠ECA，∠∠CEB∠∠CAE，∠CE CACB CE=，∠2CE=CB CA⋅．∠AB=5，AC=9，∠BC=4，∠24936CE==⨯，∠CE=6．∠BD ABCE AC=，∠561093AB CEBD==AC⋅⨯=．在Rt∠ABH中，3sin535BH AB A=⋅=⨯=，∠AH=224AB BH-=．==．AD=4±（3）过点B作BH∠AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x-．2222224)3825BD=DH+BH x x x=-+=-+（．∠∠ECB∠∠ABD，∠22EBCADBS BCS BD△△＝．∠1322ABDS AD BH x=⋅△＝，∠21638252yx xx=-+，∠224825xyx x=-+．定义域为44x<．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC中，90ACB∠=︒，6AC=，8BC=，点D为斜边AB 的中点，ED AB⊥，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD QD⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）256或53 【分析】（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△．（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出tan EQ ED EDB AP AD BD===，求出34EQ x =，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可． （3）先证PDFBDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出AP 的长．【详解】解：（1）PD QD ⊥，ED AB ⊥∠A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，∠ADP EDQ △△．（2）ADP EDQ △△，∠EQ EDAP AD= 又点D 为斜边AB 的中点，∠AD BD = ， EQ ED EDAP AD BD==又ED AB ⊥在Rt BDE 中tan =ED ED EQB BD AD AP==，又6tan =8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10D 为AB 中点， ∠BD =5， DE =154，由勾股定理得：BE =254AP x =，可得34EQ x =，BQ BE EQ =-， 253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （3）tan tan DQ ED EDFPD B DP AD BD∠====，∠FPD B ∠=∠，又∠PDF BDQ ∠=∠， ∠PDFBDQ △△，∠PDF 为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．若DQ BQ =，12cos BD B BQ=，542253544x =-，解得256x ．若BD BQ =， 253544x -=，解得53x =． ③若DQ BD =，2180B DQB BDQ B BDQ ︒∠+∠+∠=∠+∠<，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E在边AB 上（点E与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．【答案】（1）证明见解析；12；（2）222(02)21x y x x +=<<+；（3）45x =或45x =【分析】（1）根据垂直关系得到ADE CDF ∠=∠，根据AA 即可证明ADE CDF ∽△△，得到12DE AD DF CD ==，再根据正切的定义即可求解tan EFD ∠； （2）先证明FCH FBE △∽△，得到FC CH FB BE =，代入得到22212x yx x-=+-，故可求解； （3）根据题意分BEG DHE △∽△和EGB HDE △∽△，分别列出比例式求出x 的值即可求解． 【详解】解：（1）∠90ADE CDE ︒∠+∠=，90CDF CDE ︒∠+∠=∠ADE CDF ∠=∠在Rt EAD 和Rt FCD 中90ADE CDFEAD FCD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩90EAD FCD ︒∠=∠=∠FAD FCD △∽△∠2AB DC ==，1AD =，∠12DE AD DF CD == ∠1tan 2DE EFD DF ∠== （2）由（1）可知ADE CDF ∽△△∠12EA DE AD FC DF CD ===∠22FC EA x ==∠AB //CD∠FCH FBE △∽△，∠FC CH FB BE =∠22212x y x x -=+-∠222(02)21x y x x +=<<+， （3）∠AE x =，DH y =，过点E 作EM∠CD 于M 点，∠四边形AEMD 为矩形∠MH=DH -DM=DH -AE=y -x ，∠2BE x =-，DE =EH =∠AB //CD∠AEG CHG △∽△∠EG AE HG CH =∠EG AE EH AE CH =+∠AEEG EH AE CH=⋅+∠BEG DHE ∠=∠， 若BEG DHE △∽△， ∠BE EG DH HE =∠BE AEDH AE CH =+即22x x y x y -=+- 化简得2240x y +-=∠22221x y x +=+∠222212240x x x +⨯-++=化简得22508x x +=-解得x =45x =若EGB HDE △∽△∠BE EG EH HD = ∠2AE BE HD HE AE CH⋅=⋅+即2(2)1()2x x y y x x y ⎡⎤-=⋅+-⎣⎦+- ∠22221x y x +=+代入化简得22637200x x ++=∠=372-4×26×20=-711＜0，∠方程无解综上，45x =和x =BGE △与DEH △相似．【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数； ()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．【答案】（1）72；（2）18°；（3）53【分析】（1）方法一：作OG BC ⊥，利用垂径定理和余弦即可求得；方法二：连接AC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用余弦解直角三角形即可；（2）先根据已知条件确定两个相似三角形的对应角，得出P PED PAO OEB ∠=∠=∠=∠，设ABC α∠=，利用等腰三角形等边对等角和弧与圆心角的关系，圆周角定理分别表示∠AOP 和∠OEB ，利用三角形外角的性质即可求得α即ABC ∠；（3）分当90EOB ∠=和当90OEB ∠=时两种情况讨论，画出对应图形，利用相似三角形和解直角三角形的知识求解即可．【详解】解析：方法一： 作OG BC ⊥，∠BC=2BG,7cos 4BG BO CBO =⋅∠=，722BC BG ∴==；方法二： 连接AC ，∠AB 为直径，90ACB ∴∠=7cos 2BC AB CBO ∴=⋅∠=； （2）∠AO=OP ，∠∠PAO=∠P ，∠P P ∠=∠，EDP ∆与AOP ∆相似，,DPEOPA ∴∆∆P PED PAO OEB ∴∠=∠=∠=∠，C 是AP 中点，CO ∴平分AOP ∠， CO BO =，设,ABC α∠=2,4AOC AOP αα∴∠=∠=，18049022PAO OEB αα-∴∠==-=∠，AOP OEB ABC ∴∠=∠+∠， 即4902a a a =-+，18a ABC ∴=∠=；()3 I ．当90EOB ∠=时，作DH AB ⊥∠DH//OP ，∠∠ADH∠∠APO ，∠23AH DH AD AD AO OP AP AD DP ====+， 23AH AO ∴=，∠AB=4，∠OA=OB=2，428,,333AH HO BH ∴===， 2,AO OP ==43AH DH ∴==，∠DH//OP ，∠∠BOE∠∠BHD ， 28433EO OB EODH HB ∴===，1EO ∴=， AHD AOED HOEDS S S ∆∴=+四边形梯形21414251232333⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； II ．当90OEB ∠=时连接,AC由()1得//AC DP ，∠∠ACD∠∠PED ，∠ACB∠∠OEB ，2AD DP =，∠2CD AC ADDE PE DP===，2AC EP ∴=，又,AO BO =∠=2CB AC ABBE OE BO==，2,AC EO ∴=2,30AC OP ABC ∴==∠=，60,EOB CAO ∴∠=∠=∠AO=OP ，∠∠PAO=∠APO ，∠PAO+∠APO=∠EOB=60°，∠30CAD AP O O PA ∠=∠==∠，ABC OEB ACD AOED S S S S ∆∆∆∴=--四边形111222AC BC OE BE CD AC =⋅-⋅-⋅4,AB =2,AC BC BE ∴===1OE =，CD =111212222AOED S ∴=⨯⨯⨯=四边形综上所述，四边形AOED 的面积为53 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DFAB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切； （3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．。

2020-2021上海上海中学九年级数学上期末一模试题带答案一、选择题1．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有x 名学生，那么所列方程为( ) A ．()1119802x x += B ．()1119802x x -= C ．()11980x x +=D ．()11980x x -=2．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则y ax b =+和cy x=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表： x … -1 0 2 4 5 … y 1 … 0 1 3 5 6 … y 2…-159…当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞44．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2332π-B ．233π-C ．32π-D ．3π-5．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( ) A ．59B ．49C ．56D ．136．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．457．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），下列结论错误的是（ ）A ．AC BCAB AC= B ．2·BC AB BC = C ．512AC AB -=D ．0.618≈BCAC8．下列函数中是二次函数的为（ ） A ．y ＝3x －1 B ．y ＝3x 2－1 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 3＋2x －39．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根 10．已知点P （﹣b ，2）与点Q （3，2a ）关于原点对称点，则a 、b 的值分别是（ ） A ．﹣1、3B ．1、﹣3C ．﹣1、﹣3D ．1、311．天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一到三月每月平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．100（1+2x ）＝150B ．100（1+x ）2＝150C ．100（1+x ）+100（1+x ）2＝150D ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2＝15012．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的直径为( )A ．10B ．8C ．5D ．3二、填空题13．从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数 ，则数3被抽中的概率为_________．14．设二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点为A ，B ，其顶点坐标为C ，则△ABC 的面积为_____．15．函数 2y 24x x =-- 的最小值为_____.16．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为 ．17．若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为_____．18．心理学家发现：学生对概念的接受能力y 与提出概念的时间x （分）之间的关系式为y=﹣0.1x 2+2.6x+43（0≤x≤30），若要达到最强接受能力59.9，则需________ 分钟． 19．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数 线路 3035t ≤≤ 3540t <≤ 4045t <≤ 4550t <≤ 合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．20．一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c=_____．（只需填一个）．三、解答题21．已知二次函数y=2x 2+m ．（1）若点（-2，y 1）与（3，y 2）在此二次函数的图象上，则y 1_________y 2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）如图，此二次函数的图象经过点（0，-4），正方形ABCD 的顶点C 、D 在x 轴上，A 、B 恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．22．如图，已知二次函数23y x ax =++的图象经过点()2,3P -.（1）求a的值和图象的顶点坐标。

2021年上海市浦东新区中考数学一模试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知在 Rt ABC 中， ∠C = 90°，AC = 8, BC = 15 ，那么下列等式正确的是（ ） A ．8sin 17A = B ．cosA=815 C ．tan A =817 D ．cot A=815 2．已知线段MN ＝4cm ，P 是线段MN 的黄金分割点，MP ＞NP ，那么线段MP 的长度等于（ ）A ．（）cmB ．（2）cmC ．）cmD ．﹣1）cm 3．已知二次函数 y = -( x + 3)2 ，那么这个二次函数的图像有（ ）A ．最高点(3, 0)B ．最高点(-3, 0)C ．最低点(3, 0)D ．最低点(-3, 0) 4．如果将抛物线y ＝x 2+4x +1平移，使它与抛物线y ＝x 2+1重合，那么平移的方式可以是（ ）A ．向左平移 2个单位，向上平移 4个单位B ．向左平移 2个单位，向下平移 4个单位C ．向右平移 2个单位，向上平移 4个单位D ．向右平移 2个单位，向下平移 4个单位5．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )A ．cot cot m αβ-千米 B ．cot cot m βα-千米 C ．tan tan m αβ-千米D ．tan tan m βα-千米二、填空题6．已知2x =5y ，那么2x x y+=_______________. 7．如果y ＝（k ﹣3）x 2+k （x ﹣3）是二次函数，那么k 需满足的条件是____． 8．如图，已知直线l 1 、l 2 、l 3 分别交直线l 4于点 A 、B 、C ，交直线l 5于点 D 、E 、F，且l1 / /l2 / /l3 ，AB = 6, BC= 4, DF =15 ，那么线段DE 的长等于．9．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，那么△ABC与△DEF相似比为_____．10．已知向量a与单位向量e的方向相反，a= 4 ，那么向量a用单位向量e表示为_____．11．已知某斜面的坡度为_____度．12．如果抛物线经过点A(2,5)和点B (-4,5)，那么这条抛物线的对称轴是直线_____．13．已知点A（﹣5，m）、B（﹣3，n）都在二次函数y12=x252-的图象上，那么m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）14．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD＝4，CD＝2，那么AF＝_____．15．在平面直角坐标系xOy 中，我们把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线．已知抛物线y=-x2+ 6x 的顶点为M ，它的某条同轴抛物线的顶点为N ，且点N 在点M 的下方，MN = 10，那么点N 的坐标是_____．16．如图，已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，小明在点C处时，测得他的影长CD＝3米，他沿BC方向行走到点E处时，CE＝2米，测得他的影长EF＝4米，如果小明的身高为1.6米，那么电线杆AB的高度等于_____米．17．将矩形纸片ABCD 沿直线AP 折叠，使点D 落在原矩形ABCD 的边BC 上的点E 处，如果AED ∠的余弦值为35，那么AB BC =________．三、解答题18．已知在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y = 2x 2 -12x +10 的图像与 x 轴相交于点 A 和点 B （点 A 在点 B 的左边），与 y 轴相交于点C ，求△ABC 的面积． 19．如图，在直角梯形 ABCD 中，AD / /BC ，AD ⊥ CD ，M 为腰 AB 上一动点，联结 MC 、MD ， AD = 10， BC = 15 ， cot B =512，求： （1）线段CD 的长.（2）设线段 BM 的长为 x ，△CDM 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域.20．“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点 A 处测得小岛C 在它的东北方向上，它沿南偏东37°方向航行 2 海里到达点 B 处，又测得小岛C 在它的北偏东23°方向上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点 B 处与小岛C 之间的距离.（参考数据：sin22°≈0.37 ， cos22°≈0.93 , tan 22°≈ 0.40 ≈ 1.4 1.7 ）21．已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连结EM ，分别交线段AD 、AC 于点F 、G ．(1)求证：GF EF GM EM=；(2)当BC2=2BA∙BE时，求证：∠EMB=∠ACD．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣12x+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，并与x轴相交于另一点C，对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：△BOD∽△AOB；（3）如果点P在线段AB上，且∠BCP＝∠DBO，求点P的坐标．23．将大小两把含30°角的直角三角尺按如图1 位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C 重合，小三角尺的顶点D、E 分别在大三角尺的直角边AC、BC 上，此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G .已知∠A =∠CDE = 30°，AB =12 .（1）求小三角尺的直角边CD 的长；（2）将小三角尺绕点C 逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边AB 上时（如图2），求点B 、E 之间的距离；（3）在小三角尺绕点C 旋转的过程中，当直线DE 经过点A 时，求∠BAE 的正弦值.参考答案1．D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义进行作答.【详解】由勾股定理知，AB=17；A.15sin 17BC A AB == ,所以A 错误；B.8cos 17AC A AB ==，所以，B 错误；C.15tan 8BC A AC ==，所以，C 错误；D.cot AC A BC ==815，所以选D. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键. 2．B【解析】【分析】根据黄金分割的定义进行作答.【详解】由黄金分割的定义知，MP MN =MN=4，所以， - 2. 所以答案选B. 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是本题解题关键.3．B【分析】根据二次函数的顶点式进行作答.【详解】由题知，y = -( x + 3)2+0，所以，这个二次函数由最高点且为(-3, 0).所以答案选B.【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式是本题解题关键.4．C【解析】根据图像平移的步骤进行作答.【详解】由题知，抛物线 y = x 2 + 4x +1=（x+2）2-3，再根据“左加右减”，知图像向右平移2 个单位，向上平移 4 个单位，可与抛物线 y = x 2 +1重合.所以答案选C.【点睛】本题考查了图像平移的步骤，熟练掌握图像平移的步骤是本题解题关键.5．A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β=cot cot m αβ-. 所以答案选A. 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.6．59【解析】【分析】根据解方程的步骤进行解答.【详解】由题知，2x=5y ，所以，x=52y ，代入2x x y +，得到最终值为59. 【点睛】本题考查了解方程的步骤，熟练掌握解方程的步骤是本题解题关键.7．k≠3【分析】根据二次函数的定义可得k-3≠0，即可得答案.∵y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，∴k﹣3≠0，解得：k≠3，∴k需满足的条件是：k≠3，故答案为：k≠3．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．8．9【解析】【分析】根据平行线的性质和等比例定理进行解答.【详解】∵l1 / /l2 / /l3，∴AC DE AB DF=，求得DE=DF÷AC AB∵AB = 6, BC= 4, DF =15，∴AC=AB+BC=10,∴DE=DF÷ACAB=15÷106=9,故答案为9.【点睛】本题考查的是平行线的性质和等比例定理，熟练掌握是本题的解题关键. 9．1: 2【解析】【分析】根据相似三角形比例性质，三角形相似比与三角形面积相似比相等进行求解. 【详解】∵△ABC∽△DEF，且△ABC 的面积为2cm2，△DEF 的面积为8cm2，∴S△ABC：S△DEF=1: 4根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得△ABC 与△DEF 相似比=1: 2,故答案为1: 2.【点睛】本题考查的是相似三角形比例性质，熟练掌握相似三角形比例性质是本题的解题关键. 10．-4e【解析】【分析】根据向量的表示方法及相反数的性质进行计算.【详解】∵已知向量a 与单位向量e 的方向相反，且a = 4，∴-a =-4a e e =-，【点睛】本题考查的是向量的表示方法及相反数的性质，熟练掌握其性质是本题的解题关键. 11．30°【解析】分析：画出示意图，利用坡角的定义直接得出求出∠A 即可．详解：如图所示：∵某坡面的坡比为1:，∴tan A则它的坡角是：30∘.故答案为30.点睛：本题考查三角函数的知识，解题的关键是掌握特殊角度的三角函数值，常见的特殊角的三角函数值包括30°、60°、90°、45°的三角函数值，直接根据特殊角度的三角函数值进行12．x =-1【解析】【分析】根据抛物线对称轴的性质分析进行计算.【详解】抛物线经过点A(2,5)和点B(-4,5)，可得出这两点为抛物线上关于对称轴对称的两点，所以抛物线对称轴为x=（2+（-4））÷2=-1，故对称轴直线为x =-1.【点睛】本题考查的是抛物线对称轴的性质，熟练掌握性质是本题的解题关键.13．>【分析】根据抛物线解析式可得抛物线的对称轴是y轴，根据二次函数的性质即可的答案.【详解】∵二次函数的解析式为y12=x252-∴抛物线的对称轴为y轴，∵12>0，∴抛物线开口向上，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，∵-5<-3，∴m＞n．故答案为：＞【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．14．14 3【分析】根据三角形的角性质定理、相似三角形的性质进行求解. 【详解】∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴∠B=∠ADE=∠C=60°，∵∠B+∠BAD=∠ADF+∠FDC,∴∠BAD=∠FDC,∴△ABD∽△FDC，∴DC FC AB BD=,∵BD= 4,CD= 2，且△ABC是等边三角形，∴AB=BC=BD+DC=6,∴2=6 DC FCAB BD=，∴FC=4 3 ,AF=AC-FC=14 3.【点睛】本题主要考查的是三角形的角性质定理、相似三角形的性质，熟练掌握是本题的解题关键. 15．（3,-1）【分析】根据题意求出M，根据二次函数对称轴的知识点即可求出N.【详解】根据题意，抛物线y=-x2+ 6x的对称轴的横坐标为3，可得M为（3,9）又知道把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线，所以点N的横坐标与M相同，为3.又因为点 N 在点 M 的下方，MN = 10，即点N的纵坐标为-1.可得点N为（3，-1）.【点睛】本题考察了二次函数抛物线对称轴的相关知识，能够理解同轴抛物线的意义是解答本题的关键.16．245【解析】【分析】根据相似三角形的判定,由AB//CG 得三角形相似，利用相似比即可解答.【详解】根据AB//CG 得△ABD ∽△GCD ， 即AB BD GC CD =，即31.63AB BC +=， 同理可得△ABF ∽△HEF ， 即AB BF HE EF =，即61.64AB BC +=， 根据31.63AB BC +=和61.64AB BC +=得AB=245. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 17．2425【分析】设35EF a AE a ==，，则5AD BC a ==，利用射影定理可得94PF a =，利用勾股定理可得154DP a =，再根据ABE ECP ∆∆∽，即可得到BE AE CP EP =，进而得出245AB a =，据此可得AB BC的值． 【详解】解：如图所示，由折叠可得，AP 垂直平分DE ，90ADP AEP ∠=∠=︒，∵AED ∠的余弦值为35， ∴可设35EF a AE a ==，，则5AD BC a ==，∵Rt AEP ∆中，EF AP ⊥，∴2EF AF PF =⨯，即294EF PF a AF ==， ∴Rt ADP ∆中，154DP a ==， ∴154PE a =， 设AB CD x ==，则154CP x a =-，BE == 由90B C BAE CEP ∠=∠=︒∠=∠，，可得ABE ECP ∆∆∽， ∴BE AE CP EP =51544a x a a =-， 解得245x a =， ∴245AB a =， ∴24245525a AB BC a ==， 故答案为2425．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．18．20【解析】【分析】根据题意求出A，B，C即可解答. 【详解】解：根据二次函数 y= 2x2-12x +10，可得A（1,0），B（5,0），C(0,10),即S△ABC=12×4×10=20.【点睛】本题考查二次函数的特殊点，求出特殊点是解题关键.19．（1）CD=12；（2）y=-309013x+（ 0 ＜x＜13 ）.【解析】【分析】(1)做AM垂直BC于M，根据条件即可解答.(2) 做MN垂直BC于N，,根据三角函数求出NC即可解答. 【详解】解：（1）做AE垂直BC于M，则BE=15-10=5.又因为cotB=512,BE=5,可得AE=12，即CD=12.(2)做MN垂直BC于N，则BN=513x,CN=15-513x,即y=12×12×（15-513x）=-3013x+90,(定义域为0≤x≤13).【点睛】本题考查三角函数的综合运用，能够根据题意得出式子是解答关键.20．5.25 海里【解析】【分析】做AN 垂直BC 于N ，根据三角函数求出BN 的长度，再根据条件得出∠C,从而可求CN 进行解答.【详解】解：由图可知做AN 垂直BC 于点N ，根据平行线定理得∠ABC=37°+23°=60°，已知∠ABC=60°，AB=2，可得BN=1，，根据条件可得∠C=22°，即AN CN=tan22°=0.40，得NC=4.25， 所以BC=1+4.25=5.25.【点睛】本题只要考察三角函数的综合运用，能够正确画出辅助线是解题关键.21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可得四边形ABCD 是平行四边形，易证△FGA ∽△MGC ，△EAF ∽△EBM ，再利用相似三角形的性质与等量代换即可得证；（2）将BC 2=2BA∙BE 变形为12BC BA BA BE BMBC ==，根据相似三角形的判定可得△BCA ∽△BEM ，则∠BME=∠BAC ，再根据平行四边形的性质即可得证.【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴ △FGA ∽△MGC ，△EAF ∽△EBM ， ∴FG AF GM CM =，AF EF BM EM=, ∵M 是BC 边的中点,∴CM=BM ， ∴FG AF GM BM=， ∴GF EF GM EM =； (2)∵BC 2=2BA ⋅BE ， ∴12BC BA BA BE BMBC ==， ∵∠B=∠B ，∴△BCA ∽△BEM ，∴∠BME=∠BAC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ACD=∠BAC ，∴∠EMB=∠ACD ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.22．（1）y ＝﹣18x 2+12x+4（2）证明见解析（3）（165，125） 【解析】【分析】（1）利用直线表达式求出点A 、B 的坐标，把这两个点的坐标代入二次函数表达式即可求解；（2）利用两个三角形夹角相等、夹边成比例，即可证明△BOD∽△AOB；（3）证明△BCP∽△BAC，则BP BCBC BA=，求出BP的长度，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，点B在y轴上，∴当x＝0时，y＝4，∴点B的坐标为（0，4），∵直线y＝﹣12x+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，∴b＝4，∴直线y＝﹣12x+4，当y＝0时，x＝8，∴点A的坐标为（8，0），∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，∴a×82﹣4a×8+4＝0，解得，a＝18 -，∴抛物线y＝18-x2+12x+4；（2）证明：∵y＝18-x2+12x+4＝21(2)8x--+92，该抛物线的对称轴与x轴相交于点D，令y＝0，解得：x＝﹣4和8，则点C的坐标为（﹣4，0），即：OC＝4，∴点D的坐标为（2，0），∴OD＝2，∵点B（0，4），∴OB＝4，∵点A（8，0），∴OA ＝8， ∴12OD OB =,4182OB OA == ， ∴OD OB OB OA =， ∵∠BOD ＝∠AOB ＝90°，∴△BOD ∽△AOB ；（3）连接CP ，∵△BOD ∽△AOB ，∴∠OBD ＝∠BAO ＝α，∠BCP ＝∠DBO ＝α，∴∠BCP ＝∠BAO ＝α，而∠CPB ＝∠CBP ，∴△BCP ∽△BAC ，则BP BC BC BA=，其中，BC ＝ ，AB ＝BP过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点H ，∵PH ∥x 轴， ∴PH PB OA BA=，即：8PH =，解得：PH ＝165， 即：点P 的横坐标为：165， 同理可得其纵坐标为125， 即点P 的坐标为（165，125）． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用三角形相似求出线段的长度．23．（1）（2）（3）6 【解析】【分析】(1)求出BC ，AC,利用重心即可解答.(2) 做CH ⊥AB 于H ，根据条件求出AD ，利用三角形相似即可解答.(3)分类讨论DE 在AC 下方和DE 在AC 上方时的情况，利用勾股定理即可解答.【详解】解：（1）根据题意得BC=6， 由重心性质可得23CD AC =,可得.(2)做CH ⊥AB 于H ，可得BH=3，AH=9，∵，即.∴∵∠ACD=∠BCE ，CE CB CD CA ==， 所以△ACD ∽△BCE ，所以BE CE AD CD ==. (3)①DE 在AC 下方时：△ACD ∽△BCE ，得∠BED=∠ADC=∠DCE+∠CED ，BE CB AD CA ==，∴∠AEB=∠DCE=90°，设x, 在Rt △ABE 中，222AE BE AB +=，可得.所以sin ∠BAE=12x ②DE 在AC 上方时， 同理BE AD = ∠BEC+∠DEC=∠D+∠DEC=90°， ∴∠AEB=90，设在直角三角形ABE 中，222AE BE AB +=，解得所以sin ∠BAE=126x =.故∠BAE 的正弦值.【点睛】 本题考查三角形相关知识的综合运用，掌握重心，证明三角形相似等知识点是解答本题的关键.。

上海市浦东新区名校2021-2022学年中考一模数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．在0.3，﹣3，0，﹣3这四个数中，最大的是（ ）A ．0.3B ．﹣3C ．0D ．﹣32．已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）A ．5B ．﹣1C ．2D ．﹣53．不等式组312840x x ->⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ． D ．4．如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90，得到A B C ''，连接'A A ，若120︒∠=，则B 的度数是（ ）A ．70︒B ．65︒C ．60︒D ．55︒5．如图，已知点 P 是双曲线 y ＝2x上的一个动点，连结 OP ，若将线段OP 绕点 O 逆时针旋转 90°得到线段 OQ ，则经过点 Q 的双曲线的表达式为（ ）A ．y ＝ 3xB ．y ＝﹣ 13xC ．y ＝ 13xD ．y ＝﹣3x6．下列说法正确的是（ ）A ．2a 2b 与–2b 2a 的和为0B ．223a b π的系数是23，次数是4次C ．2x 2y –3y 2–1是3次3项式D ．3x 2y 3与–3213x y 是同类项 7．若关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜3B ．a ＞3C ．a ＜﹣3D ．a ＞﹣38．将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若140∠=︒则∠2的度数为( )A ．50°B ．110°C ．130°D ．150°9．在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系．当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（ ） A ．20 B ．25 C ．30 D ．3510．如图，已知直线//AB CD ，点E ，F 分别在AB 、CD 上，:3:4CFE EFB ∠∠=，如果∠B ＝40°，那么BEF ∠=（ ）A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（﹣3，﹣4），顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y ＝k x（x ＜0）的图象经过菱形OABC 中心E 点，则k 的值为_____．12．如图，在⊙O 中，点B 为半径OA 上一点，且OA ＝13，AB ＝1，若CD 是一条过点B 的动弦，则弦CD 的最小值为_____．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A、C在坐标轴上，点B的坐标是(2,2)．将△ABC沿x轴向左平移得到△A1B1C1，点1B落在函数y=-6x．如果此时四边形11AAC C的面积等于552，那么点1C的坐标是________．14．如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第2018个正方形的面积为_____．15．我们知道方程组345456x yx y+=⎧⎨+=⎩的解是12xy=-⎧⎨=⎩，现给出另一个方程组3(23)4(2)54(23)5(2)6x yx y++-=⎧⎨++-=⎩，它的解是____．16．小红沿坡比为1：3的斜坡上走了100米，则她实际上升了_____米．17．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个交点，则m的值为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）某公司销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示A B进价（万元/套） 1.5 1.2售价（万元/套） 1.8 1.4该公司计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润12万元．（1）该公司计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？（2）通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B 种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？19．（5分）解方程21=122xx x---20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=6x的图象相交于点A（m，3）、B（–6，n），与x轴交于点C．（1）求一次函数y=kx+b的关系式；（2）结合图象，直接写出满足kx+b>6x的x的取值范围；（3）若点P在x轴上，且S△ACP=32BOCS△，求点P的坐标．21．（10分）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A求作：直线AP，使得AP∥l作法：如图①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．②连接AC，AB，延长BA到点D；③作∠DAC的平分线AP．所以直线AP就是所求作的直线根据小星同学设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）完成下面的证明证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（填推理的依据）∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（填推理的依据）∴∠DAC＝2∠ABC∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP∴∠DAP＝∠ABC∴AP∥l（填推理的依据）22．（10分）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC=DC，E为AB边的中点，（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接EF，若BD=4，求EF的长．23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D．若AC=4，BC=2，求OE的长．试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．24．（14分）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF=4，求AC的长度．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可【详解】∵-3＜30＜0.3∴最大为0.3故选A．【点睛】本题考查实数比较大小，解题的关键是正确理解正数大于0，0大于负数，正数大于负数，本题属于基础题型．2、B【解析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，∴-2+m=−31，解得，m=-1，故选B ．3、A【解析】分别求得不等式组中两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，表示在数轴上即可.【详解】312840x x ->⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得，x>1；解不等式②得，x>2；∴不等式组的解集为：x≥2，在数轴上表示为：故选A.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，正确求得不等式组中每个不等式的解集是解决问题的关键.4、B【解析】根据旋转的性质可得AC ＝A′C ，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′＝45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C ，最后根据旋转的性质可得∠B ＝∠A′B′C ．【详解】解：∵Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C ，∴AC ＝A′C ，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′＝45°，∴∠A′B′C ＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°，∴∠B ＝∠A′B′C ＝65°．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．5、D【解析】过P ，Q 分别作PM ⊥x 轴，QN ⊥x 轴，利用AAS 得到两三角形全等，由全等三角形对应边相等及反比例函数k 的几何意义确定出所求即可．【详解】过P ，Q 分别作PM ⊥x 轴，QN ⊥x 轴，∵∠POQ=90°，∴∠QON+∠POM=90°，∵∠QON+∠OQN=90°，∴∠POM=∠OQN ，由旋转可得OP=OQ ，在△QON 和△OPM 中，90QNO OMP OQN POMOQ OP ＝＝＝＝∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△QON ≌△OPM （AAS ），∴ON=PM ，QN=OM ，设P （a ，b ），则有Q （-b ，a ），由点P 在y=3x上，得到ab=3，可得-ab=-3， 则点Q 在y=-3x 上． 故选D ．【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．6、C【解析】根据多项式的项数和次数及单项式的系数和次数、同类项的定义逐一判断可得．【详解】A 、2a 2b 与-2b 2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；B 、23πa 2b 的系数是23π，次数是3次，此选项错误； C 、2x 2y-3y 2-1是3次3项式，此选项正确；D 、3x 2y 3与﹣3213x y 相同字母的次数不同，不是同类项，此选项错误； 故选C ．【点睛】本题主要考查多项式、单项式、同类项，解题的关键是掌握多项式的项数和次数及单项式的系数和次数、同类项的定义．7、B【解析】试题分析：当x=0时，y=－5；当x=1时，y=a －1，函数与x 轴在0和1之间有一个交点，则a －1＞0，解得：a ＞1．考点：一元二次方程与函数8、C【解析】如图，根据长方形的性质得出EF ∥GH ，推出∠FCD=∠2，代入∠FCD=∠1+∠A 求出即可．【详解】∵EF ∥GH ，∴∠FCD=∠2，∵∠FCD=∠1+∠A ，∠1=40°，∠A=90°，∴∠2=∠FCD=130°，故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等，准确识图是解题的关键．9、B【解析】设可贷款总量为y ，存款准备金率为x ，比例常数为k ，则由题意可得：k y x=，4007.5%30k =⨯=， ∴30y x=， ∴当8%x =时，303758%y ==（亿）， ∵400-375=25，∴该行可贷款总量减少了25亿.故选B.10、C【解析】根据平行线的性质，可得CFB ∠的度数，再根据:3:4CFE EFB ∠∠=以及平行线的性质，即可得出BEF ∠的度数．【详解】∵//AB CD ，40ABF ︒∠=，∴180140CFB B ︒︒∠=-∠=，∵:3:4CFE EFB ∠∠=， ∴3607CFE CFB ︒∠=∠=， ∵//AB CD ，∴60BEF CFE ︒∠=∠=，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补，且内错角相等．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、8【解析】根据反比例函数的性质结合点的坐标利用勾股定理解答.【详解】解：菱形OABC 的顶点A 的坐标为（-3，-4），5,=则点B 的横坐标为-5-3=-8，点B 的坐标为（-8，-4），点C 的坐标为（-5,0）则点E 的坐标为（-4，-2），将点E 的坐标带入y=k x （x ＜0）中，得k=8. 给答案为：8.【点睛】此题重点考察学生对反比例函数性质的理解，掌握坐标轴点的求法和菱形性质是解题的关键.12、10【解析】连接OC，当CD⊥OA时CD的值最小，然后根据垂径定理和勾股定理求解即可.【详解】连接OC，当CD⊥OA时CD的值最小，∵OA=13，AB=1，∴OB=13-1=12，∴BC=2213-12=5，∴CD=5×2=10.故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧 .13、(-5,112)【解析】分析：依据点B的坐标是（2，2），BB2∥AA2，可得点B2的纵坐标为2，再根据点B2落在函数y=﹣6x的图象上，即可得到BB2=AA2=5=CC2，依据四边形AA2C2C的面积等于552，可得OC=112，进而得到点C2的坐标是（﹣5，112）．详解：如图，∵点B的坐标是（2，2），BB2∥AA2，∴点B2的纵坐标为2．又∵点B2落在函数y=﹣6x的图象上，∴当y=2时，x=﹣3，∴BB2=AA2=5=CC2．又∵四边形AA2C2C的面积等于552，∴AA2×OC=552，∴OC=112，∴点C2的坐标是（﹣5，112）．故答案为（﹣5，112）．点睛：本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的性质．在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度．14、1【解析】先分别求出第1个、第2个、第3个正方形的面积，由此总结规律，得到第n个正方形的面积，将n=2018代入即可求出第2018个正方形的面积．【详解】：∵第1个正方形的面积为：1+4××2×1=5=51；第2个正方形的面积为：5+4××2×=25=52；第3个正方形的面积为：25+4××2×=125=53；…∴第n个正方形的面积为：5n；∴第2018个正方形的面积为：1．故答案为1．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是得到第n个正方形的面积．15、24 xy=-⎧⎨=⎩【解析】观察两个方程组的形式与联系，可得第二个方程组中23122xy+=-⎧⎨-=⎩，解之即可.【详解】解：由题意得23122xy+=-⎧⎨-=⎩，解得24xy=-⎧⎨=⎩.故答案为：24xy=-⎧⎨=⎩.【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，用整体代入法解决这种问题比较方便.16、50【解析】根据题意设铅直距离为x ，根据勾股定理求出x 的值，即可得到结果．【详解】解：设铅直距离为x ，根据题意得：222)100x +=，解得：50x =（负值舍去），则她实际上升了50米，故答案为：50【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出下降高度和水平前进距离.17、1【解析】由抛物线y=x 2-2x+m 与x 轴只有一个交点可知，对应的一元二次方程x 2-2x+m=2，根的判别式△=b 2-4ac=2，由此即可得到关于m 的方程，解方程即可求得m 的值．【详解】解：∵抛物线y=x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点，∴△=2，∴b 2﹣4ac=22﹣4×1×m=2；∴m=1．故答案为1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，注：①抛物线与x 轴有两个交点，则△＞2；②抛物线与x 轴无交点，则△＜2；③抛物线与x 轴有一个交点，则△=2．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）该公司计划购进A 种品牌的教学设备20套，购进B 种品牌的教学设备30套；（2）A 种品牌的教学设备购进数量至多减少1套．【解析】（1）设该公司计划购进A 种品牌的教学设备x 套，购进B 种品牌的教学设备y 套，根据花11万元购进两种设备销售后可获得利润12万元，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A 种品牌的教学设备购进数量减少m 套，则B 种品牌的教学设备购进数量增加1.5m 套，根据总价=单价×数量结合用于购进这两种教学设备的总资金不超过18万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．【详解】解：（1）设该公司计划购进A 种品牌的教学设备x 套，购进B 种品牌的教学设备y 套，根据题意得：()()1.5 1.2661.8 1.5 1.4 1.212x y x y +⎧⎨-+-⎩＝＝ 解得：2030x y =⎧⎨=⎩． 答：该公司计划购进A 种品牌的教学设备20套，购进B 种品牌的教学设备30套．（2）设A 种品牌的教学设备购进数量减少m 套，则B 种品牌的教学设备购进数量增加1.5m 套，根据题意得：1.5（20﹣m ）+1.2（30+1.5m ）≤18，解得：m≤203， ∵m 为整数，∴m≤1．答：A 种品牌的教学设备购进数量至多减少1套．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．19、x=-1．【解析】解：方程两边同乘x-2，得2x=x-2+1解这个方程，得x= -1检验：x= -1时，x-2≠0∴原方程的解是x= -1首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解20、（1）122y x =+；（1）-6＜x ＜0或1＜x ；（3）（-1,0）或（-6,0） 【解析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（1）根据函数图像判断即可；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP=32S△BOC，即可得出|x+4|=1，解之即可得出结论．【详解】（1）∵点A（m，3），B（-6，n）在双曲线y=6x上，∴m=1，n=-1，∴A（1，3），B（-6，-1）．将（1，3），B（-6，-1）带入y=kx+b，得：3216k bk b+⎧⎨--+⎩＝＝，解得，122kb＝＝⎧⎪⎨⎪⎩．∴直线的解析式为y=12x+1．（1）由函数图像可知，当kx+b>6x时，-6＜x＜0或1＜x；（3）当y=12x+1=0时，x=-4，∴点C（-4，0）．设点P的坐标为（x，0），如图，∵S△ACP=32S△BOC，A（1，3），B（-6，-1），∴12×3|x-（-4）|=32×12×|0-（-4）|×|-1|，即|x+4|=1，解得：x1=-6，x1=-1．∴点P的坐标为（-6，0）或（-1，0）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（1）根据函数图像判断不等式取值范围；（3）根据三角形的面积公式以及S△ACP=32S△BOC，得出|x+4|=1．21、(1)详见解析；（2）（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．【解析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；（2）分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得．【详解】解：（1）如图所示，直线AP即为所求．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），∴∠DAC＝2∠ABC，∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP，∴∠DAP＝∠ABC，∴AP∥l（同位角相等，两直线平行），故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题主要考查作图能力，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定．22、(1)见解析；（1）1【解析】（1）根据角平分线的作图可得；（1）由等腰三角形的三线合一，结合E为AB边的中点证EF为△ABD的中位线可得．【详解】（1）如图，射线CF即为所求；（1）∵∠CAD=∠CDA，∴AC=DC，即△CAD为等腰三角形；又CF是顶角∠ACD的平分线，∴CF是底边AD的中线，即F为AD的中点，∵E是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD=1．【点睛】本题主要考查作图-基本作图和等腰三角形的性质、中位线定理，熟练掌握等腰三角形的性质、中位线定理是解题的关键．23、（15；（2）∠CDE=2∠A．【解析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得到AB的长，从而得到半径AO ．再由△AOE∽△ACB，得到OE的长；（2）连结OC，得到∠1=∠A，再证∠3=∠CDE，从而得到结论．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：222242AC BC+=+=25∴AO=125∵OD⊥AB，∴∠AOE=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△AOE∽△ACB，∴OE AO BC AC=，∴OE=254 BC AOAC⋅==52.（2）∠CDE=2∠A．理由如下：连结OC，∵OA=OC，∴∠1=∠A，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠2+∠CDE=90°，∵OD⊥AB，∴∠2+∠3=90°，∴∠3=∠CDE．∵∠3=∠A+∠1=2∠A，∴∠CDE=2∠A．考点：切线的性质；探究型；和差倍分．24、（1）DE与⊙O相切,证明见解析；（2）AC=8. 【解析】(1)解：（1）DE与⊙O相切．证明：连接OD、AD，∵点D是的中点，∴=，∴∠DAO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．（2）连接BC,根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．AC=8。

中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列函数中，y关于x的二次函数是（） A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项 A，B 错误；tanA= = ，则 BC=2tanA，故选项 C 正确；则选项 D 错误．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键．3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（）B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A．当时，能判断ED∥BC；B.当时，能判断ED∥BC；C.当时，不能判断ED∥BC；D.当时，能判断ED∥BC；故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 =，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα= ．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20 米，背水坡AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底BC 的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解 Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在 Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底BC的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4 ．【分析】连接AE并延长交BD于 G，连接AF并延长交CD于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE= ．【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在 Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON．（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b．（3）、在ON上截取OC=c．（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且 BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO= ∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB= =．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．∴P（﹣，）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP= x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y= （1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。

2021年中考数学一模试题(含解析)2021年上海市浦东新区中考数学一模试卷一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（） A．y=2x B．y=2x ﹣2 C．y=ax D．2．如果向量、、满足+=（﹣A．B．C．22），那么用、表示正确的是（）D．3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（） A． B．2sinα C．D．2cosα4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（） A．B．C．D．5．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，且AD⊥CE，联结BG并延长与AC交于点F，如果AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（）A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=156．如果抛物线A：y=x2﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y=x﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（） A．y=x+2二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于 cm． 8．已知点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA= ． 9．已知||=2，||=4，且和反向，用向量表示向量= ． 10．如果抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，那么m= ． 11．如果抛物线y=（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是．22B．y=x﹣2x﹣1 C．y=x﹣2x D．y=x﹣2x+122212．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是．13．如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= ． 14．二次函数y=（x﹣1）的图象上有两个点（3，y1）、（，y2），那么y1 y2（填“＞”、“=”或“＜”）15．如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB= 米．216．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= ．17．如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，点B、C分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC边交于点D，那么= ．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19．计算：2cos30°﹣sin30°+2．20．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是CD上一点，且DE=2，CE=3，射线AE与射线BC相交于点F；（1）求（2）如果的值； =，=，求向量；（用向量、表示）21．如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3；（1）求证：△ADC∽△BAC；（2）当AB=8时，求sinB．22．如图，是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC；《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：坡度最大高度（米） 1：20 1.50 1：16 1.00 1：12 0.75 （1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由；（2）求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G；（1）求证：AC=2CF；（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC?CF．24．已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．25．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M；（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．2021年上海市浦东新区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（） A．y=2x2 B．y=2x ﹣2 C．y=ax2 D．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义形如y=ax+bx+c （a≠0）是二次函数．【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意； B、是一次函数，故B错误；C、a=0时，不是二次函数，故C错误；D、a≠0时是分式方程，故D错误；故选：A．【点评】本题考查二次函数的定义，形如y=ax+bx+c （a≠0）是二次函数． 2．如果向量、、满足+=（﹣A．B．C．），那么用、表示正确的是（）22D．【考点】*平面向量．【分析】利用一元一次方程的求解方法，求解此题即可求得答案．【解答】解：∵ +=（﹣∴2（+）=3（﹣∴2+2=3﹣2，∴2=﹣2，解得： =故选D．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握一元一次方程的求解方法是解此题的关键．﹣．），），3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（） A． B．2sinα C．D．2cosα【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA=，代入求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，∴sinA=∴AB=故选A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（） A．B．C．D．，cosA=，tanA=．， =，【考点】平行线分线段成比例；平行线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：只有选项C正确，理由是：∵AD=2，BD=4，∴==，=，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，故选C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．5．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，且AD⊥CE，联结BG并延长与AC交于点F，如果AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（）A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=15【考点】三角形的重心．【分析】根据题意得到点G是△ABC的重心，根据重心的性质得到AG=AD=6，CG=CE=8，EG=CE=4，根据勾股定理求出AC、AE，判断即可．【解答】解：∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴AG=AD=6，CG=CE=8，EG=CE=4，∵AD⊥CE，∴AC=AE=∴AB=2AE=4=2=10，A正确；，，B错误；∵AD⊥CE，F是AC的中点，∴GF=AC=5，∴BG=10，C正确； BF=15，D正确，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．6．如果抛物线A：y=x﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y=x﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（） A．y=x2+2B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2x D．y=x2﹣2x+122【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．【解答】解：抛物线A：y=x﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线C：y=x﹣2x+2=（x﹣1）222+1的顶点坐标是（1，1）．则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线C．所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x．故选：C．【点评】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于 2【考点】比例线段．【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵线段a=3cm，b=4cm，∴线段a、b的比例中项=故答案为：2．=2cm．cm．【点评】本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数．8．已知点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA= 【考点】黄金分割．﹣1 ．【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值是计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，∴PB=解得，AB= AB， +1， +1﹣2=﹣1．﹣1，∴PA=AB﹣PB=故答案为：【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC 和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割． 9．已知||=2，||=4，且和反向，用向量表示向量= ﹣2 ．【考点】*平面向量．【分析】根据向量b向量的模是a向量模的2倍，且和反向，即可得出答案．【解答】解：||=2，||=4，且和反向，故可得： =﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了平面向量的知识，关键是得出向量b向量的模是a向量模的2倍．10．如果抛物线y=mx+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，那么m= 2 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据图象上的点满足函数解析式，可得答案．【解答】解：由抛物线y=mx+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，得﹣m+2=0．解得m=2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把原点代入函数解析式是解题关键．11．如果抛物线y=（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是 a＞3 ．【考点】二次函数的最值．【分析】由于原点是抛物线y=（a+3）x2的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以22确定a的范围．【解答】解：∵原点是抛物线y=（a﹣3）x2﹣2的最低点，∴a﹣3＞0，即a＞3．故答案为a＞3．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．12．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 y=﹣x2+4（0＜x＜2）．【考点】函数关系式．【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积得出y与x 的函数关系式即可．【解答】解：设剩下部分的面积为y，则： y=﹣x+4（0＜x＜2），故答案为：y=﹣x2+4（0＜x＜2）．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积得出是解题关键．13．如果抛物线y=ax﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= 3 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而求出x的值．【解答】解：∵抛物线的解析式为y=ax﹣2ax+1，∴抛物线的对称轴方程为x=1，∵图象经过点A（﹣1，7）、B（x，7），∴∴x=3，故答案为3．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出抛物线的对称轴，=1，222此题难度不大．14．二次函数y=（x﹣1）2的图象上有两个点（3，y1）、（，y2），那么y1 ＜ y2（填“＞”、“=”或“＜”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把两点的横坐标代入函数解析式分别求出函数值即可得解．【解答】解：当x=3时，y1=（3﹣1）2=4，当x=时，y2=（﹣1）2=y1＜y2，故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象上的点满足函数解析式求出相应的函数值是解题的关键．15．如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB= 4 米．，【考点】相似三角形的应用．【分析】由CD⊥BE、AB⊥BE知CD∥AB，从而得△CDE∽△ABE，由相似三角形的性质有将相关数据代入计算可得．【解答】解：由题意知CD⊥BE、AB⊥BE，∴CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，∴ =，即=，=，解得：AB=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= 4 ．【考点】梯形中位线定理．【分析】根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG是△ABD 的中位线，即可求得EG的长，则FG即可求得．【解答】解：∵EF是梯形ABCD 的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×2=1，∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．故答案是：4．【点评】本题考查了梯形的中位线，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．17．如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是 1：4 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵AT是△ABC的角平分线，∵点M是△ABC的角平分线AT的中点，∴AM=AT，∵∠ADE=∠C，∠BAC=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴=（）=（）=1：4，22故答案为：1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，点B、C分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC边交于点D，那么=．【考点】旋转的性质．【分析】根据直角三角形的性质得到BC=AB，根据旋转的性质和平行线的判定得到AB∥B′C′，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴BC=AB，由旋转的性质可知，∠CAC′=60°，AB′=AB，B′C′=BC，∠C′=∠C=90°，∴∠BAC′=90°，∴AB∥B′C′，∴∴==，==，∵∠BAC=∠B′AC，∴==，又=，∴=，故答案为：．【点评】本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前、后的图形全等是解题的关键．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19．计算：2cos230°﹣sin30°+【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×（=1+ +．）﹣+2．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 20．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是CD上一点，且DE=2，CE=3，射线AE与射线BC相交于点F；（1）求（2）如果的值； =，=，求向量；（用向量、表示）【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；*平面向量．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=5、AB∥EC，证△FEC∽△FAB得=；（2）由△FEC∽△FAB得质及向量可得===，==，从而知FC=BC，EC=AB，再由平行四边形性，最后根据向量的运算得出答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，DE=2，CE=3，∴AB=DC=DE+CE=5，且AB∥EC，∴△FEC∽△FAB，∴（2）∵△FEC∽△FAB，∴=，==；∴FC=BC，EC=AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，EC∥AB，∴∴则===+=， ==，=．=，【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及向量的运算，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21．如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3；（1）求证：△ADC∽△BAC；（2）当AB=8时，求sinB．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）作AE⊥BC，根据△ADC与△ABD的面积比为1：3且CD=2可得BD=6，即BC=8，从而得，结合∠C=∠C，可证得△ADC∽△BAC；，求出AD的长，根据AE⊥BC得DE=CD=1，由勾股定理（2）由△ADC∽△BAC得求得AE的长，最后根据正弦函数的定义可得．【解答】解：（1）如图，作AE⊥BC于点E，∵===，∴BD=3CD=6，∴CB=CD+BD=8，则∴=，，，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC；（2）∵△ADC∽△BAC，∴，即，∴AD=AC=4，∵AE⊥BC，∴DE=CD=1，∴AE=∴sinB===．，【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及勾股定理、等腰三角形的性质、三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．22．如图，是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC；《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：坡度最大高度（米） 1：20 1.50 1：16 1.00 1：12 0.75 （1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由；（2）求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）计算最大高度为：0.15×10=1.5（米），由表格查对应的坡度为：1：20；（2）作梯形的高BE、CF，由坡度计算AE和DF的长，相加可得AD 的长．【解答】解：（1）∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，∴最大高度为0.15×10=1.5（米），由表知建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度是1：20；（2）如图，过B 作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，∴BE=CF=1.5，EF=BC=2，∵∴==，，∴AE=DF=30，∴AD=AE+EF+DF=60+2=62，答：斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD为62米．【点评】本题考查了坡度坡角问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，利用三角函数的定义列等式即可．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G；（1）求证：AC=2CF；（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD=AC?CF．2【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）由BD=DE=EC知BE=2CE，由CF∥AB证△ABE∽△FCE得根据AB=AC即可得证；（2）由∠1=∠B证△DAG∽△BAD得∠AGD=∠ADB，即∠B+∠2=∠5+∠6，结合∠B=∠5、∠2=∠3得∠3=∠6，再由CF∥AB得∠4=∠B，继而知∠4=∠5，即可证△ACD∽△DCF得CD=AC?CF．【解答】证明：（1）∵BD=DE=EC，∴BE=2CE，∵CF∥AB，∴△ABE∽△FCE，∴=2，即AB=2FC，2=2，即AB=2FC，又∵AB=AC，∴AC=2CF；（2）如图，∵∠1=∠B，∠DAG=∠BAD，∴△DAG∽△BAD，∴∠AGD=∠ADB，∴∠B+∠2=∠5+∠6，又∵AB=AC，∠2=∠3，∴∠B=∠5，∴∠3=∠6，∵CF∥AB，∴∠4=∠B，∴∠4=∠5，则△ACD∽△DCF，∴，即CD2=AC?CF．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形外角性质和平行线的性质得出三角形相似所需要的条件是解题的关键．24．已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）﹣1，把（0，3）代入可得a=1，即可解决问题．（2）首先证明∠ADB=90°，求出BD、AD的长即可解决问题．（3）由△PDB ∽△ADP，推出PD2=BD?AD=3=6，由此即可解决问题．2【解答】解：（1）∵顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）代入可得a=1，∴抛物线的解析式为y=x﹣4x+3．（2）令y=0，x﹣4x+3=0，解得x=1或3，∴C（1，0），D（3，0），∵OB=OD=3，∴∠BDO=45°，∵A（2，﹣1），D（3，0），∴∠ADO=45°，∴∠BDA=90°，∵BD=3，AD=，22∴S△ABD=?BD?AD=3．（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，∴∠DBP=∠APD，∵∠PDB=∠ADP=135°，∴△PDB∽△ADP，∴PD2=BD?AD=3∴PD=∴OP=3+∴点P（3+，，，0）．=6，【点评】本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法．三角形的面积、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．25．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M；（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）首先证明△ABE∽△ADF，推出=，推出=，因为∠BAD=∠EAF，即可证明△AEF∽△ABD．（2）如图连接AG．由△AEF∽△ABD，推出∠ABG=∠AEG，推出A、B、E、G四点共圆，推出∠ABE+∠AGE=180°，由∠ABE=90°，推出∠AGE=90°，推出∠AGM=∠MDF，推出∠AMG=∠FMD，推出∠MAG=∠EFC，推出y=tan∠MAG=tan∠EFC=x，由此即可解决问题．（3）分两种情形①如图2中，当点E在线段CB上时，②如图3中，当点E在CB的延长线上时，分别列出方程求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，∴∠BAD=∠EAF，∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，∴△ABE∽△ADF，∴∴==，，∵∠BAD=∠EAF，，由△ABE∽△ADF，得=，得DF=∴△AEF∽△ABD．（2）解：如图连接AG．∵△AEF∽△ABD，∴∠ABG=∠AEG，∴A、B、E、G四点共圆，∴∠ABE+∠AGE=180°，∵∠ABE=90°，∴∠AGE=90°，∴∠AGM=∠MDF，∴∠AMG=∠FMD，∴∠MAG=∠EFC，∴y=tan ∠MAG=tan∠EFC=∵△ABE∽△ADF，∴=，，∴DF=x，∴y=，即y=（0≤x≤4）．（3）解：①如图2中，当点E在线段CB上时，∵△AGM∽ADF，∴tan∠MAG==，∴=，解得x=．②如图3中，当点E在CB的延长线上时，由△MAG∽△AFD∽△EFC，∴=，∴=，解得x=1，∴BE的长为或1．【点评】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．21/ 21。

--浦东新区2017学年第一学期初三教学质量检测数 学 试 卷（完卷时间:100分钟,满分:150分）２０18.1一、选择题：（本大题共6题,每题4分，满分24分)１．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍,那么锐角A 的余切值（Ａ）扩大为原来的两倍; ﻩ(Ｂ)缩小为原来的21； (Ｃ)不变； ﻩ(D)不能确定． 2．下列函数中，二次函数是(A)54+-=x y ； （Ｂ）)32(-=x x y ； （Ｃ）22)4(x x y -+=;(D ）21xy =. 3．已知在Rt △A ＢC 中,∠C =90°,A Ｂ＝7，ＢC =5,那么下列式子中正确的是(A)75sin =A ; (B ）75cos =A ; ﻩ（Ｃ)75tan =A ; (D ）75cot =A . 4．已知非零向量a ，b ,c ，下列条件中，不能判定向量a与向量b 平行的是（A ）c a //，c b //； （=; ﻩ(Ｃ)c a =，c b 2=； (D)0=+b a ． 5.如果二次函数2y ax bx c =++的图像全部在ｘ轴的下方,那么下列判断中正确的是 (Ａ）0<a ，0<b ; ﻩﻩ ﻩ （B)0>a ,0<b ； （C)0<a ,0>c ;ﻩﻩ（D)0<a ,0<c ．6．如图，已知点D 、Ｆ在△A ＢC 的边AB 上,点E 在边ＡC 上,且ＤE ∥BC ，要使得ＥＦ∥CD ,还需添加一个条件,这个条件可以是（A)EF ADCD AB=； ﻩ (B)AE AD AC AB =； (C)AF AD AD AB =； ﻩﻩﻩ(D ）AF AD AD DB =．二、填空题：（本大题共1２题，每题４分，满分4８分)7．已知23=y x ,则yx y x +-的值是 . 8.已知线段ＭN 的长是４ｃm ，点P 是线段MN 的黄金分割点,则较长线段MP 的长是 c ｍ. ９.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,△A ＢC 的周长与△A 1B １Ｃ１的周长的比值是23，BE 、B 1Ｅ１分别是它 们对应边上的中线，且BE =6,则B 1E 1= .BA F E CD （第6题图）--10．计算：132()2a ab +-= ． 11.计算:3tan30sin45︒+︒= .12．抛物线432-=x y 的最低点坐标是 .13．将抛物线22x y =向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是 . １4．如图，已知直线l 1、ｌ2、l 3分别交直线l 4于点A 、Ｂ、C ，交直线ｌ５于点D 、E 、F ,且ｌ１∥l 2∥l 3，ＡB =4，A Ｃ＝6，ＤF =9，则ＤE ＝ ．１5．如图,用长为10米的篱笆,一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为ｘ米,花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数解析式是 . （不写定义域).16.如图，湖心岛上有一凉亭B ，在凉亭Ｂ的正东湖边有一棵大树A ,在湖边的C 处测得Ｂ在北偏西４5°方向上,测得Ａ在北偏东30°方向上，又测得Ａ、C 之间的距离为100米，则A 、B 之间的距离是 米(结果保留根号形式）．17.已知点(-1，m ）、（2，n )在二次函数122--=ax ax y 的图像上,如果m >n ,那么a 0(用“＞”或“＜”连接）．１８.如图，已知在Rt △A ＢC 中,∠A ＣB =９0°,54cos =B ,BC=８，点D 在边ＢC 上，将 △ABC 沿着过点D 的一条直线翻折,使点B 落在AB 边上的点E 处,联结CE 、D Ｅ，当∠ＢDE =∠A ＥC 时，则BE 的长是 ．三、解答题：（本大题共7题,满分78分） 1９.（本题满分１０分)将抛物线542+-=x x y 向左平移4个单位,求平移后抛物线的表达式、顶点坐标 和对称轴.（第15题图） A DEB CFl 1 l 2 l 3l 4（第14题图）l 5 （第16题图）CB A45° 30° CBA（第18题图）2０.（本题满分10分，每小题5分）如图,已知△AB Ｃ中,点D 、E 分别在边AB 和AC 上,D Ｅ∥BC ， 且DE 经过△ABC 的重心,设BC a =.(1)=DE ．(用向量a 表示）； （2)设AB b =,在图中求作12b a +.(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量.）2１．（本题满分1０分，其中第（１）小题4分,第(２）小题6分）ﻩ如图，已知G 、H 分别是□ABCD 对边ＡD 、ＢC 上的点,直线ＧＨ 分别交BA 和DC 的延长线于点E 、Ｆ.(１)当81=∆CDGHCFH S S 四边形时，求DGCH 的值； (２）联结BD 交ＥF 于点M ,求证：MG ME MF MH ⋅=⋅.22．(本题满分10分，其中第（1）小题4分,第（2)小题6分)如图,为测量学校旗杆A Ｂ的高度,小明从旗杆正前方3米处的点C 出发,沿坡度为3:1=i 的斜坡C Ｄ前进32米到达点Ｄ，在点Ｄ处放置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为3７°,量得测角仪DE 的高为1．5米．Ａ、B 、C 、D 、E 在同一平面内,且旗杆和测角仪都与地面垂直. (1）求点D 的铅垂高度(结果保留根号）; (2)求旗杆ＡB 的高度(精确到0.1）.（参考数据:ｓin ３7°≈0.60,ｃos37°≈0.8０,t ａn37°≈0.75,73.13≈．）（第20题图）ABC DE（第22题图）（第21题图）AHF EC G D23．(本题满分１2分，其中第(1)小题6分,第（2)小题6分)如图，已知,在锐角△ＡB Ｃ中，C Ｅ⊥AB 于点E ，点Ｄ在边AC 上， 联结B Ｄ交ＣE 于点F ，且DF FB FC EF ⋅=⋅. （1)求证：BD ⊥AC ；（2）联结AF ，求证:AF BE BC EF ⋅=⋅.24.（本题满分12分，每小题4分)已知抛物线ｙ＝ａx 2＋b ｘ+5与x 轴交于点A (1,０)和点B (5，0），顶点为M .点Ｃ在x 轴的负半轴上,且AC =ＡB ,点Ｄ的坐标为(０，3),直线l 经过点C 、D ． (1）求抛物线的表达式；(2）点P 是直线ｌ在第三象限上的点,联结AP ，且线段CP 是线段CA 、C Ｂ的比例中项,求tan ∠C ＰA 的值;（3)在（2)的条件下,联结AM 、BM ，在直线ＰM 上是否存在点Ｅ,使得∠ＡE Ｍ=∠ＡM Ｂ.若存在，求出点E 的坐标;若不存在，请说明理由.A （第23题图）DEFBC（第24题图）25．(本题满分1４分,其中第（1）小题4分,第(2)小题5分，第（3）小题5分）如图,已知在△A ＢＣ中，∠ＡC Ｂ=90°,ＢＣ=2，AC ＝4,点Ｄ在射线ＢC 上,以点D 为圆心,B Ｄ为半径画弧交边ＡB 于点E ,过点Ｅ作ＥF ⊥AB 交边AC 于点F ,射线ED 交射线A Ｃ于点G . （１)求证：△ＥFG ∽△AE Ｇ；(2）设FG =x ,△EFG 的面积为y ,求ｙ关于x 的函数解析式并写出定义域； （3)联结D Ｆ，当△ＥFD 是等腰三角形时,请直接．．写出FG 的长度.（第25题备用图）ABC（第25题备用图）ABC浦东新区2０1７学年度第一学期初三教学质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：(本大题共6题,每题4分，满分24分） １.C; 2.B ； 3．A ； ４．B ； ５.Ｄ; ６．Ｃ.二、填空题：(本大题共1２题,每题４分,满分48分)7.51；8．252-； 9.4；１０．5a b -;１１.223+；1２．（０,－４);13.322-=x y ； 14．6； 1５．x x S 1022+-=;１6.50350+;17.＞；18．539．三、解答题：（本大题共7题,满分７8分)19．解：∵54442+-+-=x x y =1)2(2+-x ．…………………………………（3分） ∴平移后的函数解析式是1)2(2++=x y .………………………………（3分)顶点坐标是(-2，1)．……………………………………………………(2分） 对称轴是直线2x =-.………………………………………………… (2分）２0.解：(1)=23a ．……………………………(5分）(2）图正确得４分，结论:AF 就是所要求作的向量. …（１分)．21．(1）解：∵81=∆CDGH CFHS S 四边形， ∴ 91=∆∆DFG CFH S S ．……………………………………………………(1分）∵ □ＡＢCD 中,AD ／／BC ,∴ △CFH ∽△ＤFG . ………………………………………………(1分)∴ 91)(2==∆∆DG CH S S DFG CFH ．…………………………………………… (1分）∴ 31=DG CH ． …………………………………………………………（1分）（2)证明:∵ □ＡB ＣD 中，AD //BC , ∴ MGMH MD MB =. ……………………………………(2分） ∵ □AB ＣD中，ＡＢ//C Ｄ， ∴ MD MB MF ME =．……………………………………（2分） ∴ MG MH MF ME =．……………………………………(1分） ∴ MH MF ME MG ⋅=⋅. ……………………………（１分) ２2.解:(1)延长ED 交射线BC 于点H .由题意得DH ⊥BC .（第21题图） A BHFEC GD M（第20题图）B在Rt △CD Ｈ中，∠DHC ＝90°,tan ∠ＤＣＨ=1:i =……………（1分） ∴ ∠DCH =30°.∴ ＣD =2DH ．……………………………(1分) ∵ CD＝∴ DHＣH =3 .……………………（１分） 答：点D 的铅垂高度是3米.…………(1分)(2）过点E 作EF ⊥AB 于Ｆ.由题意得,∠AE Ｆ即为点E 观察点Ａ时的仰角,∴ ∠AEF =３7°. ∵ ＥF ⊥AB ，ＡB ⊥ＢC ，ED ⊥B Ｃ, ∴ ∠BFE =∠B =∠B ＨE ＝90°. ∴ 四边形FBHE 为矩形.∴ EF =BH ＝ＢC ＋C Ｈ=6. ……………………………………………（1分)F Ｂ=EH =ED +DH ＝１.5+3. ……………………………………(1分) 在Ｒt △ＡEF 中,∠AFE =90°,5.475.06tan ≈⨯≈∠⋅=AEF EF AF ．(1分) ∴ ＡB ＝AF +FB =6+3 ………………………………………………(1分) 7.773.16≈+≈． ……………………………………………（1分) 答:旗杆ＡB 的高度约为7．7米. …………………………………（1分)23．证明:（1）∵ DF FB FC EF ⋅=⋅,∴FCFBDF EF =. ………………………（１分） ∵ ∠EF Ｂ=∠DFC , …………………(1分）∴ △E ＦB ∽△ＤF Ｃ. …………………(1分) ∴ ∠ＦEB =∠FDC . ………………… （1分） ∵ CE ⊥AB ， ∴ ∠FEB ＝ 90°.……………………… (１分) ∴ ∠ＦＤＣ= 90°. ∴ BD ⊥ＡＣ. ………………………… （1分) (２）∵ △ＥＦB ∽△DFC ，∴ ∠ABD =∠ACE . …………………………………………… (1分）∵ CE ⊥A Ｂ，∴ ∠FEB = ∠A ＥC= 90°．∴ △ＡE Ｃ∽△FEB . ……………………………………………(1分）∴ EBECFE AE =.……………………………………………………(1分） （第22题图）A （第23题图） D EF B C∴EBFEEC AE =． …………………………………………………(１分) ∵ ∠AEC =∠FEB ＝ ９0°，∴ △AEF ∽△CEB .………………………………………………(1分）∴ EBEFCB AF =,∴ AF BE BC EF ⋅=⋅． ………………………(1分) 2４．解：(1）∵ 抛物线52++=bx ax y 与x 轴交于点A (1,0）,B （５，0）,∴ ⎩⎨⎧=++=++.0552505b a b a ；………………………解得⎩⎨⎧-==.61b a ；∴ 抛物线的解析式为562+-=x x y .……（1 （2）∵ A （1,0),Ｂ(５，0),∴ OA=1,A Ｂ＝4．∵ ＡC ＝AB 且点C 在点A 的左侧，∴ A Ｃ＝4 .∴ CB ＝CA+A Ｂ=8. ………………………………………………（1分） ∵ 线段CP 是线段ＣA 、CB 的比例中项,∴CBCPCP CA =. ∴ CP ＝24. ……………………………………………………(１分)又 ∵ ∠PCB 是公共角,∴ △CP A ∽△C ＢP .∴ ∠ＣＰA= ∠CB Ｐ． ………………………………………………(1分)过P 作PH ⊥x 轴于H .∵ O Ｃ=OD=３，∠D ＯC=９0°,∴ ∠ＤC Ｏ＝45°.∴ ∠PC Ｈ=45°∴ PH=C Ｈ=C Ｐ 45sin ＝4,∴ Ｈ(-7,0),BH=12. ∴ P (-７，-4）.∴ 31tan ==∠BH PH CBP ，31tan =∠CPA ． ………………………（1分） （３） ∵ 抛物线的顶点是M (３，－4),………………………………… (１分） 又 ∵ P (-7,-4）,∴ P Ｍ∥ｘ轴 .当点E 在M 左侧， 则∠B ＡM ＝∠A ＭE . ∵ ∠AEM=∠AMB ,∴ △ＡＥM ∽△B ＭA .…………………………………………………（１分）∴BA AM AM ME =. ∴45252=ME . （第24题图）∴ ME=5，∴ Ｅ(-2,-４). …………………………………(１分） 过点Ａ作ＡN ⊥PM 于点N ，则N (１,-４）.当点Ｅ在M 右侧时，记为点E ', ∵ ∠A E 'N=∠AE Ｎ,∴ 点E '与Ｅ 关于直线ＡN 对称,则E '（4，-4).………………(1分） 综上所述,Ｅ的坐标为（-２，-４）或（４，-４).２5.解：(1)∵ ED ＝B Ｄ，∴ ∠B ＝∠ＢED ．………………………………(1∵ ∠ACB =9０°, ∴ ∠B ＋∠Ａ=90°． ∵ EF ⊥AB ,∴ ∠B ＥF ＝9０°． ∴ ∠BED +∠GEF =90°．∴ ∠A =∠G ＥF ． ………………………………（1分∵ ∠Ｇ是公共角, ……………………………（1分） ∴ △EFG ∽△A ＥG ． （2）作ＥＨ⊥ＡF 于点Ｈ.∵ 在Ｒt △ABC 中，∠ACB ＝90°,ＢＣ=2,AC =4, ∴ 21tan ==AC BC A . ∴ 在Rt △AEF 中，∠AEF =90°，21tan ==AE EF A . ∵ △EFG ∽△ＡＥＧ, ∴21===AE EF GA GE EG FG .……………………………………………(1分) ∵ FG =x ,∴ EG =2ｘ，AG =４x .∴ A Ｆ=3x . ……………………………………………………………（1分） ∵ ＥH ⊥AF ，∴ ∠A ＨE =∠ＥHF =9０°. ∴ ∠ＥF Ａ+∠ＦEH ＝90°. ∵ ∠AEF =90°， ∴ ∠A +∠EF A ＝90°． ∴ ∠A =∠F ＥH ．∴ tan Ａ =tan ∠F ＥH ．∴ 在Rt △ＥH Ｆ中,∠EH Ｆ＝90°，21tan ==∠EH HF FEH .∴ ＥH =２ＨＦ．∵ 在R ｔ△ＡEH 中,∠AHE ＝90°，21tan ==AH EH A ．∴ AH ＝２EH ． ∴ AH ＝4HF ． ∴ ＡＦ=5HF ．∴ ＨF ＝x 53.∴ x EH 56=．…………………………………………………………(１分）∴ 253562121x x x EH FG y =⋅⋅=⋅⋅=.………………………………（1分) 定义域:（340≤<x ).……………………………………………（1分）(３）当△E ＦD 为等腰三角形时，ＦＧ的长度是:254,273．……（5分)。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在平行线l 1、l 2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A ，B 分别在直线l 1、l 2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（ ）A ．25°B ．35°C ．45°D ．65°【答案】A 【解析】如图，过点C 作CD ∥a ，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】如图，过点C 作CD ∥a ，则∠1=∠ACD ，∵a ∥b ，∴CD ∥b ，∴∠2=∠DCB ，∵∠ACD+∠DCB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1=65°，∴∠2=25°，故选A ．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 2．平面直角坐标系内一点()2, 3P -关于原点对称点的坐标是（ ）A ．()3,2-B ．()2,3C ．()2,3--D ．()2,3-【答案】D【解析】根据“平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点A （-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选D ．【点睛】本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.3．如图1，在等边△ABC 中，D 是BC 的中点，P 为AB 边上的一个动点，设AP=x ，图1中线段DP 的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）A ．4B ．23C ．12D ．43【答案】D【解析】分析： 由图1、图2结合题意可知，当DP ⊥AB 时，DP 最短，由此可得DP 最短=y 最小=3，这样如图3，过点P 作PD ⊥AB 于点P ，连接AD ，结合△ABC 是等边三角形和点D 是BC 边的中点进行分析解答即可.详解：由题意可知：当DP ⊥AB 时，DP 最短，由此可得DP 最短=y 最小=3，如图3，过点P 作PD ⊥AB 于点P ，连接AD ，∵△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上的中点，∴∠ABC=60°，AD ⊥BC ，∵DP ⊥AB 于点P ，此时DP=3，∴BD=332sin 602PD =÷=， ∴BC=2BD=4，∴AB=4，∴AD=AB·sin ∠B=4×sin60°=23，∴S △ABC=12AD·BC=1234432⨯⨯=. 故选D.点睛：“读懂题意，知道当DP⊥AB于点P时，DP最短=3”是解答本题的关键.4．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．5．计算：9115()515÷⨯-得（）A．-95B．-1125C．-15D．1125【答案】B【解析】同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化．【详解】919111551551515⎛⎫⎛⎫÷⨯-=⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-1125故选B.【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.6．下列计算正确的是（）A．a4+a5=a9B．（2a2b3）2=4a4b6C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D．（2a﹣b）2=4a2﹣b2【答案】B【解析】分析：根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算．详解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（2a2b3）2=4a4b6，故本选项正确；C 、-2a （a+3）=-2a 2-6a ，故本选项错误；D 、（2a-b ）2=4a 2-4ab+b 2，故本选项错误；故选：B ．点睛：本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 分别交BC ，AC 于点D ，E ，若AE=3cm ，△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的周长为（ ）A ．16cmB ．19cmC ．22cmD ．25cm【答案】B 【解析】根据作法可知MN 是AC 的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案.【详解】解：根据作法可知MN 是AC 的垂直平分线，∴DE 垂直平分线段AC ，∴DA=DC ，AE=EC=6cm ，∵AB+AD+BD=13cm ，∴AB+BD+DC=13cm ，∴△ABC 的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm ，故选B ．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．8．如图，函数y ＝kx ＋b(k≠0)与y ＝m x (m≠0)的图象交于点A(2，3)，B(－6，－1)，则不等式kx ＋b ＞m x的解集为( )A ．602x x <-<<或B ．602x x -<或C ．2x >D ．6x <-【答案】B【解析】根据函数的图象和交点坐标即可求得结果．【详解】解：不等式kx+b＞mx的解集为：-6＜x＜0或x＞2，故选B．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．9．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸【答案】C【解析】分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可.详解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选C．点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题10．下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：图B、C、D中，线段MN不与直线l垂直，故线段MN的长度不能表示点M到直线l的距离；图A中，线段MN与直线l垂直，垂足为点N，故线段MN的长度能表示点M到直线l的距离．故选A．二、填空题（本题包括8个小题）11．如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是_____．【答案】a ＞1【解析】根据二次函数的图像，由抛物线y=ax 2+5的顶点是它的最低点，知a ＞1，故答案为a ＞1．12．如图，在△ABC 中，AB=5cm ，AC=3cm ，BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于D 、E ，则△ACD 的周长为 cm ．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质得，BD=CD ，则AB=AD+CD ，所以，△ACD 的周长=AD+CD+AC=AB+AC ，解答出即可解：∵DE 是BC 的垂直平分线，∴BD=CD ，∴AB=AD+BD=AD+CD ，∴△ACD 的周长=AD+CD+AC=AB+AC=8cm ；故答案为8考点：线段垂直平分线的性质点评：本题主要考查了线段垂直平分线的性质和三角形的周长，掌握线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等13．如图是利用直尺和三角板过已知直线l 外一点P 作直线l 的平行线的方法，其理由是__________．【答案】同位角相等，两直线平行．【解析】试题解析：利用三角板中两个60°相等，可判定平行考点:平行线的判定14．若一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．【答案】：k ＜1．【解析】∵一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，∴△=24b ac -=4﹣4k ＞0，解得：k ＜1，则k 的取值范围是：k ＜1．故答案为k ＜1．15．如图，在△ABC 中，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，若S 四边形ABFE =9，则S 三角形EFC =________．【答案】3【解析】分析：由已知条件易得：EF ∥AB ，且EF ：AB=1：2，从而可得△CEF ∽△CAB ，且相似比为1：2，设S △CEF =x ，根据相似三角形的性质可得方程：194x x =+，解此方程即可求得△EFC 的面积. 详解：∵在△ABC 中，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AB ，EF ：AB=1：2，∴△CEF ∽△CAB ，∴S △CEF ：S △CAB =1：4，设S △CEF =x ，∵S △CAB =S △CEF +S 四边形ABFE ，S 四边形ABFE =9，∴194x x =+， 解得：3x =，经检验：3x =是所列方程的解.故答案为：3.点睛：熟悉三角形的中位线定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是正确解答本题的关键. 16．如图，用10 m 长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积________m 1．【答案】2【解析】设与墙平行的一边长为xm ，则另一面为202x - ， 其面积=2201·1022x x x x -=--， ∴最大面积为241005042ac b a -== ； 即最大面积是2m 1．故答案是2．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x1-1x+5，y=3x1-6x+1等用配方法求解比较简单．17．计算：2（a－b）＋3b＝___________．【答案】2a+b．【解析】先去括号，再合并同类项即可得出答案．【详解】原式=2a-2b+3b=2a+b．故答案为：2a+b．18．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为______．【答案】1：1．【解析】试题分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：1.考点：相似三角形的性质.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．求证：CF⊥DE于点F．【答案】证明见解析．【解析】根据平行线性质得出∠A=∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC=CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．【详解】∵AD∥BE，∴∠A＝∠B．在△ACD和△BEC中∵，∴△ACD≌△BEC（SAS），∴DC＝CE．∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE（三线合一）．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出DC=CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．20．计算：()10154532π-⎛⎫-+︒--+ ⎪⎝⎭．【答案】1【解析】根据特殊角的三角函数值，零次幂的性质，负整指数幂的性质、绝对值的性质，进行实数的混合运算即可.【详解】()101532π-⎛⎫-︒--+ ⎪⎝⎭ =1+1-3+2=121．有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？【答案】规定日期是6天．【解析】本题的等量关系为：甲工作2天完成的工作量+乙规定日期完成的工作量=1，把相应数值代入即可求解．【详解】解：设工作总量为1，规定日期为x 天，则若单独做，甲队需x 天，乙队需x+3天，根据题意列方程得1122133x x x x -⎛⎫++= ⎪++⎝⎭ 解方程可得x=6，经检验x=6是分式方程的解．答：规定日期是6天．22．先化简(31a +－a ＋1)÷2441a a a -++，并从0，－1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值． 【答案】1.【解析】试题分析：首先把括号的分式通分化简，后面的分式的分子分解因式，然后约分化简，接着计算分式的乘法，最后代入数值计算即可求解．试题解析：原式=223111(2)a a a a -++⨯+-=2(2)(2)11(2)a a a a a -+-+⨯+-=22a a +--； 当a=0时，原式=1．考点：分式的化简求值．23．在△ABC 中，AB=AC≠BC ，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD=BC ，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=110°，连接AD ，求∠ADB 的度数．（不必解答）小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图1），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=1．请直接写出线段BE的长为．【答案】（1）①△D′BC是等边三角形，②∠ADB=30°（1）∠ADB=30°；（3）7+3或7﹣3【解析】（1）①如图1中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC 是等边三角形；②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题．（1）当60°＜α≤110°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．（3）第①种情况：当60°＜α≤110°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）①如图1中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∵∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，在△ABD和△ABD′中，AB ABABD ABD BD BD'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，∵BD=BD′，BD=BC，∴BD′=BC，∴△D′BC是等边三角形，②∵△D′BC是等边三角形，∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，在△AD′B和△AD′C中，AD AD D B D C AB AC=⎧⎪=⎨⎪=''⎩'∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∴∠AD′B=12∠BD′C=30°，∴∠ADB=30°．（1）∵∠DBC＜∠ABC，∴60°＜α≤110°，如图3中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BAC=α，∴∠ABC=12（180°﹣α）=90°﹣12α，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣12α﹣β，同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣12α﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣12α﹣β+90°﹣12α=180°﹣（α+β），∵α+β=110°，∴∠D′BC=60°，由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∴∠AD′B=12∠BD′C=30°，∴∠ADB=30°．（3）第①情况：当60°＜α＜110°时，如图3﹣1，由（1）知，∠ADB=30°，作AE⊥BD，在Rt△ADE中，∠ADB=30°，AD=1，∴DE=3，∵△BCD'是等边三角形，∴BD'=BC=7，∴BD=BD'=7，∴BE=BD﹣DE=7﹣3；第②情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC=12（180°﹣α）=90°﹣12α，∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=β﹣（90°﹣12α），同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=β﹣（90°﹣12α），BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣12α﹣[β﹣（90°﹣12α）]=180°﹣（α+β），∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，∴∠ADB=∠AD′B=150°，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，AD=1，∴DE=3，∴BE=BD+DE=7+3，故答案为：7+3或7﹣3．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃）从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知在操作加热前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？【答案】（1）;（2）20分钟.【解析】（1）材料加热时，设y=ax+15（a≠0），由题意得60=5a+15，解得a=9，则材料加热时，y与x的函数关系式为y=9x+15（0≤x≤5）．停止加热时，设y=（k≠0），由题意得60=，解得k=300，则停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y=（x≥5）；（2）把y=15代入y=，得x=20，因此从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．25．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）4924；（1）DE的长分别为92或1．【解析】（1）由比例中项知AM AEAE AN＝，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠AEM＝∠DCE可得答案；（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，从而知DE DCDC AD＝，据此求得AE＝8﹣9 2＝72，由（1）得∠AEM＝∠DCE，据此知AM DEAE DC＝，求得AM＝218，由求得AM AEAE AN＝MN＝4924；（1）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA两种情况分别求解可得．【详解】解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项∴AM AEAE AN＝，∵∠A＝∠A，∴△AME∽△AEN，∴∠AEM＝∠ANE，∵∠D＝90°，∴∠DCE＋∠DEC＝90°，∵EM⊥BC，∴∠AEM＋∠DEC＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∴∠ANE＝∠DCE；（2）∵AC与NE互相垂直，∴∠EAC＋∠AEN＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ANE＋∠AEN＝90°，∴∠ANE＝∠EAC，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠EAC，∴tan∠DCE＝tan∠DAC，∴DE DCDC AD＝，∵DC＝AB＝6，AD＝8，∴DE＝92，∴AE＝8﹣92＝72，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴tan∠AEM＝tan∠DCE，∴AM DEAE DC＝，∴AM＝218，∵AM AEAE AN＝，∴AN＝143，∴MN＝4924；（1）∵∠NME＝∠MAE＋∠AEM，∠AEC＝∠D＋∠DCE，又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴∠AEC＝∠NME，当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时①∠ENM＝∠EAC，如图2，∴∠ANE＝∠EAC，由（2）得：DE＝92；②∠ENM＝∠ECA，如图1，过点E作EH⊥AC，垂足为点H，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠ECA＝∠DCE，∴HE＝DE，又tan∠HAE＝68 EH DCAH AD＝＝，设DE＝1x，则HE＝1x，AH＝4x，AE＝5x，又AE＋DE＝AD，∴5x＋1x＝8，解得x＝1，∴DE＝1x＝1，综上所述，DE的长分别为92或1．【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．26．如图1在正方形ABCD 的外侧作两个等边三角形ADE 和DCF ，连接AF ，BE ．请判断：AF 与BE 的数量关系是，位置关系 ；如图2，若将条件“两个等边三角形ADE 和DCF”变为“两个等腰三角形ADE 和DCF ，且EA=ED=FD=FC”,第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；若三角形ADE 和DCF 为一般三角形，且AE=DF,ED=FC,第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．【答案】（1）AF=BE ，AF ⊥BE ；（2）证明见解析；（3）结论仍然成立【解析】试题分析：（1）根据正方形和等边三角形可证明△ABE ≌△DAF ，然后可得BE=AF ，∠ABE=∠DAF ，进而通过直角可证得BE ⊥AF ；（2）类似（1）的证法，证明△ABE ≌△DAF ，然后可得AF=BE ，AF ⊥BE ，因此结论还成立；（3）类似（1）（2）证法，先证△AED ≌△DFC ，然后再证△ABE ≌△DAF ，因此可得证结论．试题解析：解：（1）AF=BE ，AF ⊥BE ．（2）结论成立．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BA="AD" =DC ，∠BAD =∠ADC = 90°．在△EAD 和△FDC 中，,{,,EA FD ED FC AD DC ===∴△EAD ≌△FDC ．∴∠EAD=∠FDC ．∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA ，即∠BAE=∠ADF ．在△BAE 和△ADF 中，,{,,BA AD BAE ADF AE DF =∠=∠=∴△BAE ≌△ADF ．∴BE = AF ，∠ABE=∠DAF ．∵∠DAF +∠BAF=90°，∴∠ABE +∠BAF=90°，∴AF ⊥BE ．（3）结论都能成立．考点：正方形，等边三角形，三角形全等中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=27，CD=1，则BE的长是()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=12AB=7在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+(7)2，解得，OA=4∴OD=OC-CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故选B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键2．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．CDACB．BCABC．BDBCD．ADAC【答案】D【解析】根据锐角三角函数的定义，余弦是邻边比斜边，可得答案．【详解】cosα=BD BC CD BC AB AC==.故选D. 【点睛】熟悉掌握锐角三角函数的定义是关键.3．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．【详解】∵点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．故选D．【点睛】此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．2．多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）【答案】A【解析】试题分析：首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．解：ax2﹣4ax﹣12a=a（x2﹣4x﹣12）=a（x﹣6）（x+2）．故答案为a（x﹣6）（x+2）．点评：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键．3．随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》一书也随之热销．如果一次性购买10本以上，超过10本的那部分书的价格将打折，并依此得到付款金额y（单位：元）与一次性购买该书的数量x（单位：本）之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（）A．一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本B．a＝520C．一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折D．一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花80元【答案】D【解析】A、根据单价＝总价÷数量，即可求出一次性购买数量不超过10本时，销售单价，A选项正确；C、根据单价＝总价÷数量结合前10本花费200元即可求出超过10本的那部分书的单价，用其÷前十本的单价即可得出C正确；B、根据总价＝200+超过10本的那部分书的数量×16即可求出a值，B正确；D，求出一次性购买20本书的总价，将其与400相减即可得出D错误．此题得解．【详解】解：A、∵200÷10＝20（元/本），∴一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本，A选项正确；C、∵（840﹣200）÷（50﹣10）＝16（元/本），16÷20＝0.8，∴一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折，C选项正确；B、∵200+16×（30﹣10）＝520（元），∴a＝520，B选项正确；D、∵200×2﹣200﹣16×（20﹣10）＝40（元），∴一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花40元，D选项错误．故选D．【点睛】考查了一次函数的应用，根据一次函数图象结合数量关系逐一分析四个选项的正误是解题的关键．4．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至点M，则∠BCM的度数为( )A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】B【解析】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选B．5．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后第七位，这一结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算半径为1的圆内接正六边形的面积S6，则S6的值为（）A．3B．23C．332D．233【答案】C【解析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．【详解】如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，△AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S6=6×12×1×1×sin60°=332．故选C．【点睛】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，关键是根据正三角形的面积，正n边形的性质解答．6．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是()A．AC=AB B．∠C=12∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D【答案】B【解析】先利用垂径定理得到弧AD=弧BD，然后根据圆周角定理得到∠C=12∠BOD，从而可对各选项进行判断．【详解】解：∵直径CD⊥弦AB，∴弧AD =弧BD ， ∴∠C=12∠BOD ． 故选B ． 【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 7．如图，直线y ＝kx+b 与y ＝mx+n 分别交x 轴于点A （﹣1，0），B （4，0），则函数y ＝（kx+b ）（mx+n ）中，则不等式()()0kx b mx n ++>的解集为（ ）A ．x ＞2B ．0＜x ＜4C ．﹣1＜x ＜4D ．x ＜﹣1 或 x ＞4【答案】C【解析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【详解】∵直线y 1＝kx+b 与直线y 2＝mx+n 分别交x 轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)， ∴不等式(kx+b)(mx+n)＞0的解集为﹣1＜x ＜4， 故选C ． 【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．8．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A ．0.7×10﹣8 B ．7×10﹣8C ．7×10﹣9D ．7×10﹣10【答案】C【解析】本题根据科学记数法进行计算.【详解】因为科学记数法的标准形式为a×10n (1≤|a|≤10且n 为整数),因此0.000000007用科学记数法法可表示为7×910﹣， 故选C. 【点睛】本题主要考察了科学记数法，熟练掌握科学记数法是本题解题的关键.9．如图,在△ABC 中,点D 是AB 边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC 的面积为1,则△BCD 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ， ∴12AC AD AB AC ==， ∴2ACD ABCS AD SAC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2112ABCS⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴S △ABC =4，∴S △BCD = S △ABC - S △ACD =4-1=1． 故选C考点：相似三角形的判定与性质.10．下列图形中，周长不是32 m 的图形是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可． 【详解】A. L=(6+10)×2=32，其周长为32.B. 该平行四边形的一边长为10，另一边长大于6，故其周长大于32.C. L=(6+10)×2=32，其周长为32.D. L=(6+10)×2=32，其周长为32. 采用排除法即可选出B 故选B. 【点睛】此题考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式. 二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为____________________．【答案】（6053，2）．【解析】根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解.【详解】第一次P 1（5，2），第二次P 2（8，1），第三次P 3（10，1），第四次P 4（13，1），第五次P 5（17，2），…发现点P 的位置4次一个循环， ∵2017÷4=504余1，P 2017的纵坐标与P 1相同为2，横坐标为5+3×2016=6053， ∴P 2017（6053，2）， 故答案为（6053，2）．考点：坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．12．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如﹣2x 2﹣2x+1＝﹣x 2+5x ﹣3：则所捂住的多项式是___． 【答案】x 2+7x-4【解析】设他所捂的多项式为A ，则22(53)(221)A x x x x =-+-++-；接下来利用去括号法则对其进行去括号，然后合并同类项即可.【详解】解：设他所捂的多项式为A ，则根据题目信息可得22(53)(221),A x x x x =-+-++- 2253221,x x x x =-+-++- 27 4.x x =+-他所捂的多项式为27 4.x x +- 故答案为27 4.x x +- 【点睛】本题是一道关于整数加减运算的题目，解答本题的关键是熟练掌握整数的加减运算； 13．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与x 的部分对应值如下： ... -1 0 1 2 3 ......105212...则当5y <时，x 的取值范围是_________. 【答案】0<x<4【解析】根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为x=2，结合表格中所给数据可得出答案．【详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2， 所以，x=4时，y=5，所以，y<5时，x 的取值范围为0<x<4. 故答案为0<x<4. 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值得取值范围，同学们应熟练掌握．14．已知抛物线y=ax 2+bx+c=0(a≠0) 与 x 轴交于 A ，B 两点，若点 A 的坐标为 ()2,0-，线段 AB 的长为8，则抛物线的对称轴为直线 ________________． 【答案】2x =或x=-1【解析】由点A 的坐标及AB 的长度可得出点B 的坐标，由抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴． 【详解】∵点A 的坐标为（-2，0），线段AB 的长为8， ∴点B 的坐标为（1，0）或（-10，0）．∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A 、B 两点， ∴抛物线的对称轴为直线x=262-+=2或x=2102--=-1． 故答案为x=2或x=-1． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，由抛物线与x 轴的交点坐标找出抛物线的对称轴是解题的关键．15．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.【答案】1【解析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：1，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【详解】如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=12CK，BF=12BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：1，∴KO=OF=12CF=12BF，在Rt△PBF中，tan∠BOF=BFOF=1，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=1．故答案为1【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．16．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=80cm，则截面圆的半径为cm．【答案】1【解析】过点O 作OM ⊥EF 于点M ，反向延长OM 交BC 于点N ，连接OF ，设OF=r ，则OM=80-r ，MF=40，然后在Rt △MOF 中利用勾股定理求得OF 的长即可．【详解】过点O 作OM ⊥EF 于点M ，反向延长OM 交BC 于点N ，连接OF ，设OF=x ，则OM=80﹣r ，MF=40，在Rt △OMF 中， ∵OM 2+MF 2=OF 2，即（80﹣r ）2+402=r 2，解得：r=1cm ． 故答案为1．17．如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在轴、轴上，点B 在第一象限，点D 在边BC 上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D 与四边形OABD 关于直线OD 对称（点A′和A ，B′和B 分别对应），若AB=1，反比例函数(0)ky k x=≠的图象恰好经过点A′，B ，则的值为_________．43【解析】解：∵四边形ABCO 是矩形，AB=1， ∴设B （m ，1）， ∴OA=BC=m ，∵四边形OA′B′D 与四边形OABD 关于直线OD 对称， ∴OA′=OA=m ，∠A′OD=∠AOD=30°， ∴∠A′OA=60°， 过A′作A′E ⊥OA 于E ， ∴OE=12m ，3， ∴A′（12m ，32m ），∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，∴12m•32m=m，∴m=433，∴k=433．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质，利用数形结合思想解题是关键．18．如图，点A，B在反比例函数kyx（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是______．【答案】【解析】试题解析：过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，如图所示．∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，E是AB的中点，∴S△ABC=2S△BCE，S△ABD=2S△ADE，∴S △ABC =2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ，∴AC=2BD ，∴OD=2OC ．∵CD=k ，∴点A 的坐标为（3k ，3），点B 的坐标为（-23k ，-32）， ∴AC=3，BD=32， ∴AB=2AC=6，AF=AC+BD=92，∴==． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理．构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k 值是解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．计算:2344(1)11x x x x x ++-+÷++. 【答案】22x x -+ 【解析】括号内先进行通分，进行分式的加减法运算，然后再与括号外的分式进行分式乘除法运算即可.【详解】原式=()22311112x x x x x ⎛⎫-+-⨯ ⎪+++⎝⎭ =()()()2x 22112x x x x +-+⨯++ =22x x -+. 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握有关分式的运算法则是解题的关键.20．现种植A 、B 、C 三种树苗一共480棵，安排80名工人一天正好完成，已知每名工人只植一种树苗，且每名工人每天可植A 种树苗8棵；或植B 种树苗6棵，或植C 种树苗5棵．经过统计，在整个过程中，每棵树苗的种植成本如图所示．设种植A 种树苗的工人为x 名，种植B 种树苗的工人为y 名．求y 与x 之间的函数关系式；设种植的总成本为w 元，①求w 与x 之间的函数关系式；②若种植的总成本为5600元，从植树工人中随机采访一名工人，求采访到种植C 种树苗工人的概率．【答案】（1）803y x =-；（2）①165760w x =-+；②14 【解析】（1）先求出种植C 种树苗的人数，根据现种植A 、B 、C 三种树苗一共480棵，可以列出等量关系，解出y 与x 之间的关系；（2）①分别求出种植A ，B ，C 三种树苗的成本，然后相加即可；②求出种植C 种树苗工人的人数，然后用种植C 种树苗工人的人数÷总人数即可求出概率．【详解】解：（1）设种植A 种树苗的工人为x 名，种植B 种树苗的工人为y 名，则种植C 种树苗的人数为（80-x-y ）人，根据题意，得：8x+6y+5（80-x-y ）=480，整理，得：y=-3x+80；（2）①w=15×8x+12×6y+8×5（80-x-y ）=80x+32y+3200，把y=-3x+80代入，得：w=-16x+5760，②种植的总成本为5600元时，w=-16x+5760=5600，解得x=10，y=-3×10+80=50，即种植A 种树苗的工人为10名，种植B 种树苗的工人为50名，种植B 种树苗的工人为：80-10-50=20名．采访到种植C 种树苗工人的概率为：2080=14． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际问题，以及概率的求法，能够将实际问题转化成数学模型是解答此题的关键．21．一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．【答案】 (1)见解析;(2)13. 【解析】（1）画树状图列举出所有情况；（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．【点睛】本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键.22．如图，已知点D 在反比例函数a y x =的图象上，过点D 作DB y ⊥轴，垂足为(0,3)B ，直线y kx b =+经过点(5,0)A ，与y 轴交于点C ，且BD OC =，:2:5OC OA =.求反比例函数a y x=和一次函数y kx b =+的表达式；直接写出关于x 的不等式a kxb x>+的解集. 【答案】（1）y=-6x ．y=25x-1．（1）x ＜2． 【解析】分析：（1）根据待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的表达式.详解：（1）∵BD OC =，:2:5OC OA =， 点A （5，2），点B （2，3），∴523OA OC BD OB ====，，，又∵点C 在y 轴负半轴，点D 在第二象限，∴点C 的坐标为（2，-1），点D 的坐标为（-1，3）．∵点()23D -，在反比例函数y=a x 的图象上， ∴236a =-⨯=-，∴反比例函数的表达式为6y x=-将A （5，2）、B （2，-1）代入y=kx+b ，502k b b +⎧⎨-⎩＝＝，解得：252k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝ ∴一次函数的表达式为2y x 25=-． （1）将2y x 25=-代入6y x =-，整理得： 222605x x -+=， ∵()2228246055=--⨯⨯=-<， ∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．观察图形，可知：当x ＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上方，∴不等式a x＞kx+b 的解集为x ＜2． 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．23．如图，在ABC 中，AB AC =，AE 是角平分线，BM 平分ABC ∠交AE 于点M ，经过B M ，两点的O 交BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 恰为O 的直径．求证：AE 与O 相切；当14cos 3BC C ==，时，求O 的半径． 【答案】 (1)证明见解析；(2)32． 【解析】(1)连接OM ，证明OM ∥BE ，再结合等腰三角形的性质说明AE ⊥BE ，进而证明OM ⊥AE ；(2)结合已知求出AB ，再证明△AOM ∽△ABE ，利用相似三角形的性质计算．【详解】(1)连接OM ，则OM=OB ，∴∠1=∠2，∵BM 平分∠ABC ，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OM ∥BC ，∴∠AMO=∠AEB ，在△ABC 中，AB=AC ，AE 是角平分线，∴AE ⊥BC ，∴∠AEB=90°，∴∠AMO=90°，∴OM ⊥AE ，∵点M 在圆O 上，∴AE 与⊙O 相切；(2)在△ABC 中，AB=AC ，AE 是角平分线，∴BE=12BC ，∠ABC=∠C ， ∵BC=4，cosC=13∴BE=2，cos ∠ABC=13， 在△ABE 中，∠AEB=90°，∴AB=cos BE ABC∠=6， 设⊙O 的半径为r ，则AO=6-r ，∵OM ∥BC ，∴△AOM ∽△ABE ，∴∴OM AO BE AB=， ∴626r r -=， 解得32r =， ∴O 的半径为32． 【点睛】本题考查了切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形等知识，综合性较强，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()10y kx b k =+≠与反比例函数()20m y m x=≠的图像交于点()3,1A 和点B ，且经过点()0,2C -. 求反比例函数和一次函数的表达式；求当12y y >时自变量x 的取值范围.【答案】 (1) 3y x=，2y x =-；（2）10x -<<或3x >. 【解析】（1）把点A 坐标代入()m y m 0x=≠可求出m 的值即可得反比例函数解析式；把点A 、点C 代入()1y kx b k 0=+≠可求出k 、b 的值，即可得一次函数解析式；（2）联立一次函数和反比例函数解析式可求出点B 的坐标，根据图象，求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x 的取值范围即可．【详解】（1）把()A 3,1代入()m y m 0x =≠得m 3=. ∴反比例函数的表达式为3y x= 把()A 3,1和()B 0,2-代入y kx b =+得132k b b =+⎧⎨-=⎩， 解得12k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数的表达式为y x 2=-.（2）由3x 2y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得()B 1,3--∴当1x 0-<<或x 3>时，12y y >.【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求反比例函数与一次函数的交点坐标时，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点．25．如下表所示，有A 、B 两组数：（1）A 组第4个数是 ；用含n 的代数式表示B 组第n 个数是 ，并简述理由；在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等，请说明．【答案】（1）3；（2）32n -，理由见解析；理由见解析（3）不存在，理由见解析【解析】（1）将n=4代入n 2-2n-5中即可求解；（2）当n=1，2，3，…，9，…，时对应的数分别为3×1-2，3×2-2，3×3-2，…，3×9-2…，由此可归纳出第n 个数是3n-2；（3）“在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等”，将问题转换为n 2-2n-5=3n-2有无正整数解的问题．【详解】解：（1））∵A 组第n 个数为n 2-2n-5，∴A 组第4个数是42-2×4-5=3，故答案为3；（2）第n 个数是32n -．理由如下：∵第1个数为1，可写成3×1-2；第2个数为4，可写成3×2-2；第3个数为7，可写成3×3-2；第4个数为10，可写成3×4-2；……第9个数为25，可写成3×9-2；∴第n 个数为3n-2；故答案为3n-2；（3）不存在同一位置上存在两个数据相等；由题意得，22532n n n --=-， 解之得，537n ±= 由于n 是正整数，所以不存在列上两个数相等．【点睛】本题考查了数字的变化类，正确的找出规律是解题的关键．26．如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD CD BD=． 求证：△ACD ∽△CBD ；求∠ACB 的大小．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°．【解析】试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD ∽△CBD ；（2）由（1）知△ACD ∽△CBD ，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD ，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．试题解析：（1）∵CD 是边AB 上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵AD CD．CD BD∴△ACD∽△CBD；（2）∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．考点：相似三角形的判定与性质．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD ．下列结论一定正确的是（ ）A ．∠ABD ＝∠EB ．∠CBE ＝∠C C ．AD ∥BC D ．AD ＝BC【答案】C 【解析】根据旋转的性质得，∠ABD ＝∠CBE=60°, ∠E ＝∠C,则△ABD 为等边三角形，即 AD ＝AB=BD,得∠ADB=60°因为∠ABD ＝∠CBE=60°，则∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD ，得AD ∥BC.故选C.2．反比例函数y=a x （a ＞0，a 为常数）和y=2x在第一象限内的图象如图所示，点M 在y=a x 的图象上，MC ⊥x 轴于点C ，交y=2x 的图象于点A ；MD ⊥y 轴于点D ，交y=2x 的图象于点B ，当点M 在y=a x 的图象上运动时，以下结论：①S △ODB =S △OCA ；②四边形OAMB 的面积不变；③当点A 是MC 的中点时，则点B 是MD 的中点．其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】根据反比例函数的性质和比例系数的几何意义逐项分析可得出解.【详解】①由于A 、B 在同一反比例函数y=2x图象上，由反比例系数的几何意义可得S △ODB =S △OCA =1,正确； ②由于矩形OCMD 、△ODB 、△OCA 为定值，则四边形MAOB 的面积不会发生变化，正确； ③连接OM ，点A 是MC 的中点，则S △ODM =S △OCM =2a ，因S △ODB =S △OCA =1,所以△OBD 和△OBM 面积相等，点B 一定是MD 的中点．正确；考点：反比例系数的几何意义.3．下列各式中，互为相反数的是（ ）A ．2(3)-和23-B ．2(3)-和23C ．3(2)-和32-D ．3|2|-和32- 【答案】A【解析】根据乘方的法则进行计算，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【详解】解：A. 2(3)-=9，23-=-9，故2(3)-和23-互为相反数，故正确； B. 2(3)-=9，23=9，故2(3)-和23不是互为相反数，故错误；C. 3(2)-=-8，32-=-8，故3(2)-和32-不是互为相反数，故错误；D. 3|2|-=8，32-=8故3|2|-和32-不是互为相反数，故错误.故选A.【点睛】本题考查了有理数的乘方和相反数的定义，关键是掌握有理数乘方的运算法则．4．如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点D,E 分别在边AB,AC 上,将△ABC 沿着DE 折叠压平,A 与A′重合,若∠A=70°,则∠1+∠2= ( )A ．70°B ．110°C ．130°D ．140°【答案】D 【解析】∵四边形ADA'E 的内角和为（4-2）•180°=360°，而由折叠可知∠AED=∠A'ED ，∠ADE=∠A'DE ，∠A=∠A'，∴∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE=360°-∠A-∠A'=360°-2×70°=220°，∴∠1+∠2=180°×2-（∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE ）=140°．5．若函数2m y x +=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣2B ．m ＜﹣2C ．m ＞2D ．m ＜2【解析】根据反比例函数的性质，可得m+1＜0，从而得出m的取值范围．【详解】∵函数2myx+=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，∴m+1＜0，解得m＜-1．故选B．6．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm【答案】C【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】A、3+4＜8，不能组成三角形；B、8+7＝15，不能组成三角形；C、13+12＞20，能够组成三角形；D、5+5＜11，不能组成三角形．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是灵活运用三角形三边关系.7．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）A．15 B．17 C．19 D．24【答案】D【解析】由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，第④个图案有三角形1+3+4+4＝12，…第n个图案有三角形4（n﹣1）个（n＞1时），由此得出规律解决问题．【详解】解：解：∵第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，…∴第n个图案有三角形4（n﹣1）个（n＞1时），则第⑦个图中三角形的个数是4×（7﹣1）＝24个，故选D．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出a n＝4（n﹣1）是解题的关键．8．随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》一书也随之热销．如果一次性购买10本以上，超过10本的那部分书的价格将打折，并依此得到付款金额y（单位：元）与一次性购买该书的数量x（单位：本）之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（）A．一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本B．a＝520C．一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折D．一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花80元【答案】D【解析】A、根据单价＝总价÷数量，即可求出一次性购买数量不超过10本时，销售单价，A选项正确；C、根据单价＝总价÷数量结合前10本花费200元即可求出超过10本的那部分书的单价，用其÷前十本的单价即可得出C正确；B、根据总价＝200+超过10本的那部分书的数量×16即可求出a值，B正确；D，求出一次性购买20本书的总价，将其与400相减即可得出D错误．此题得解．【详解】解：A、∵200÷10＝20（元/本），∴一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本，A选项正确；C、∵（840﹣200）÷（50﹣10）＝16（元/本），16÷20＝0.8，∴一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折，C选项正确；B、∵200+16×（30﹣10）＝520（元），∴a＝520，B选项正确；D、∵200×2﹣200﹣16×（20﹣10）＝40（元），∴一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花40元，D选项错误．故选D．【点睛】考查了一次函数的应用，根据一次函数图象结合数量关系逐一分析四个选项的正误是解题的关键．9．下列事件中，属于必然事件的是（）A ．三角形的外心到三边的距离相等B ．某射击运动员射击一次，命中靶心C ．任意画一个三角形，其内角和是 180°D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上【答案】C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A 、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B 、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C 、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D 、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C ．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．10．如图，在△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，则△ADE 的周长等于（ ）A ．8B ．4C ．12D ．16【答案】A 【解析】∵AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，∴DA=DB ，EA=EC ，则△ADE 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，故选A ．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，宽为(1020)m m <<的长方形图案由8个相同的小长方形拼成，若小长方形的边长为整数，则m 的值为__________．【答案】16【解析】设小长方形的宽为a，长为b，根据大长方形的性质可得5a=3b，m=a+b= a+53a=83a，再根据m的取值范围即可求出a的取值范围，又因为小长方形的边长为整数即可解答.【详解】解：设小长方形的宽为a，长为b，由题意得：5a=3b，所以b=53a，m=a+b= a+53a=83a，因为1020m<<，所以10<83a<20，解得：154<a<152，又因为小长方形的边长为整数，a=4、5、6、7，因为b=53a，所以5a是3的倍数，即a=6，b=53a=10，m= a+b=16.故答案为：16.【点睛】本题考查整式的列式、取值，解题关键是根据矩形找出小长方形的边长关系.12．如图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是_______.【答案】2【解析】设MN=y，PC=x，根据正方形的性质和勾股定理列出y1关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可．【详解】作MG⊥DC于G，如图所示：设MN=y，PC=x，根据题意得：GN=2，MG=|10-1x|，在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN1=MG1+GN1，即y1=21+（10-1x）1．∵0＜x＜10，∴当10-1x=0，即x=2时，y1最小值=12，∴y最小值=2．即MN的最小值为2；。

浦东新区2021学年度第一学期初三年级学业质量监测数 学 试 卷考生注意：1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．A 、B 两地的实际距离AB =250米，如果画在地图上的距离A'B'=5厘米，那么地图上的距离 与实际距离的比为 （A ）1∶500；（B ）1∶5 000；（C ）500∶1；（D ）5 000∶12．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B=α，AC =2，那么AB 的长等于 （A ）2sin α； （B ）2sin α； （C ）2cos α； （D ）2cos α．3．下列y 关于的函数中，一定是二次函数的是 （A ）2(1)3y k x =-+；（B ）211y x =+； （C ）2(1)(2)y x x x =+--；（D ）227y x x =-．4．已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，那么下列等式中正确的是 （A ）e a a =；（B ）b e b =；（C ）1a e a=； （D ）11a b ab=．5．如图，在△ABC 中，点D 、F 是边AB 上的点，点E 是边AC 上的点， 如果∠ACD=∠B ，DE ∥BC ，EF ∥CD ，下列结论不成立．．．的是 （A ）2AE AF AD =⋅；（B ）2AC AD AB =⋅； （C ）2AF AE AC =⋅； （D ）2AD AF AB =⋅．6．已知点A （1，2）、B （2，3）、C （2，1），那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是 （A ）点A 、B 、C ；（B ）点A 、B ；（C ）点A 、C ；（D ）点B 、C ．（第5题图）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．如果线段a 、b 满足52a b =，那么a bb-的值等于 ▲ ． 8．已知线段MN的长为4，点N的黄金分割点，那么较长线段M 2sin30tan 45-=OA a =OB b =AB a b ()24y m x m =++1y 2y ()21y x =+1y 2y 1C 2(1)1y x =--2C 2C 的直线将△ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）已知向量关系式()132a xb x -=+，试用向量a 、b 表示向量x ．2021本题满分10分）已知抛物线223y x x m =++-的顶点在第二象限，求m 的取值范围．21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ， 且AB =6，BC =8． （1）求DEDF的值； （2）当AD =5，CF =19时，求BE 的长．22．（本题满分10分）如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD ，现将一根木棒MN 放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N 与点C 重合，且经过点A ．已知燕尾角∠B =°，外口宽AD =180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE =°，求燕尾槽的里口宽BC （精确到1毫米）．（参考数据：sin 54.50.81︒≈，cos54.50.58︒≈，（第16题图）F E D CBA（第18题图）（第15题图）H GFE D CBA（第12题图）ODCBA（第21题图）A BCD EFl 1l 2tan 54.5 1.40︒≈，sin 26.50.45︒≈，cos 26.50.89︒≈，tan 26.50.50︒≈）23．（本题满分12分，其中每小题各6分）Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且CD =CA ，DE ⊥AB ． （1）求证：2CA CE CB =⋅．（2）联结AE ，取AE 的中点M ，联结CM 并延长与AB 交于点H ． 求证：CH ⊥AB ．24．（本题满分12分，其中每小题各4分）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点A （2，4）、B （5，0）和O （0，0）． （1）求二次函数的解析式；（2）联结AO ，过点B 作BC ⊥AO 于点C ，与该二次函数图像的对称轴交于点在经过点A 且与轴垂直的直线上，当△AMO 与△AB 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）四边形ABCD 是菱形，∠B ≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF ⊥AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC =3CF ．（1）如图1，当∠B =90°时，求ABE S △与ECF S △的比值； （2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE =∠B 且CF =2时，求菱形的边长．（第22题图）FEDCBA（第25题图3）（第25题图2）FEDCBA（第25题图1） FEDCBA（第23题图）ED CBA。