高等代数在中学数学中的应用

《高等代数（上）》课程标准1.课程说明《高等代数（上）》课程标准课程编码〔 37008 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022.11.20 〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：本门课程是数学教育专业的专业基础课程之一，是本专业的核心课程，也是必修课程。

本课程是初等代数的延续与提高, 它的知识，技能，思想方法，对中小学数学教学有直接的指导作用，特别是数学能力的培养和提升发挥着不可替代的作用，可以增强学生的数学思维品质和提高学生的数学素养，为未来的数学教师生涯和今后的再学习奠定良好的专业理论基础。

（2）课程任务：本课程主要针对中小学数学教育教师及相关等岗位开设，主要任务是培养学生在中小学数学教育教师岗位的数学课程教学能力，要求学生掌握中小学数学教师在代数方面的专业理论基础知识、基本技能及思想方法和解决相关问题的能力。

（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有中学数学，后续课程有《高等代数（下）》、《解析几何》、《概率统计基础》、《数论》等。

2.学习目标通过本课程的学习，使学生掌握《高等代数（上）》的基础知识、基本理论、基本方法。

提高学生的逻辑推理能力，提高学生的数学思维能力，提高学生的再学习的能力。

培养学生实事求是、诚实守信、爱岗敬业、团结协作的职业精神，培养学生善于沟通、勇于合作的良好品质，为发展职业能力奠定良好的基础。

使学生成为具备从事中小学数学教育职业的高素质劳动者和教学高级技术人才。

（1）知识目标掌握一元多项式理论、线性方程组、行列式与矩阵及二次型的基本知识、基本理论。

熟练掌握行列式、矩阵的运算。

熟练掌握运用初等变换求解线性方程组、求可逆矩阵的逆矩阵等基本方法。

（2）素质目标培养良好的思想品德、心理素质。

培养良好的职业道德，包括爱岗敬业、诚实守信、遵守相关的法律法规等。

培养学生踏实、认真、求实的做事态度，使学生形成勇于承担责任、实事求是的工作作风。

培养良好的团队协作、协调人际关系的能力。

数学专业毕业论文选题一、计算机1.数据库图书查询管理设计2.最优轧板成品率的VFP6编程3.基于VFP6的通讯录设计4.基于Mathematicn的课件设计5.用Mathematica帮助理解中数问题6.基于VFP6的成绩统计7.实用的网上共享数据库录入程序8.通用答卷统计系统的总体设计方案9.通用答卷统计系统的录入编程10.通4用答卷统计系统的统计编程11.通用答卷统计系统的报表设计12.通用答卷统计系统的帮助系统设计二、常微分方程1.一阶常微分方程的奇解的求法(或判定)1.微分方程中的补助函数3.关于奇解的运用4.曲线的包络与微分方程的奇解5.用微分方程定义初等函数6.常微分方程唯一性定理及其应用7.求一阶显微分方程积分因子的方法8.二阶线性微分方程另几种可积类型9.满足某些条件黎卡提方程的解法10.一阶常微分方程方向场与积分曲线11.变换法在求解常微分方程中用应用12.通解中任意常数C的确定及意义13.三阶常系数线笥齐次方程的求解14.三维线性系统15.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨16.非线性方程的特殊解法17.可积组合法与低阶方程(方程组)三、数学分析1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系2.费尔马最后定理初探3.求极值的若干方法4.关于极值与最大值问题5.求函数极值应注意的几个问题6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法7.导数的运用8.泰勒公式的几种证明法及其应用9.利用一元函数微分性质证明超越不等式10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值11.函数列的各种收敛性及其相互关系12.复合函数的连续性初探13.关于集合的映射、等价关系与分类14.谈某些递推数列通项公式的求法15.用特征方程求线性分式递推数列的通项16．谈用生成函数法求递归序列通项17.高级等差数列18.组合恒等式证明的几种方法19.斯特林数列的通项公式20.一个递归数列的极限21.关于隶属函数的一些思考22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题23.由数列递推公式求通项的若干方法24.定积分在物理学中的应用25.一个极限不等式的证明有及其应用26.可展曲面的几何特征27.再谈微分中值公式的应用28.求极限的若干方法点滴29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系30.不定积分中的辅助积分法点滴四、复变函数1.谈残数的求法2.利用复数模的性质证解某些问题3.利用复函数理论解决中学复数中的有关问题3.谈复数理论在中学教学中的运用4.5.谈解析函数五、实变函数1.可测函数的等价定义2.康托分集的几个性质3.可测函数的收敛性4.用聚点原理推证其它实数基本定理5.可测函数的性质及其结构6.6.凸函数性质点滴7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用8.谈反函数的可测性9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴10.试用Lebesgue积分理论叙达黎曼积分的条件11.再谈CANTOR集六、高等几何1.二阶曲线渐近线的几种求法2.笛沙格定理在初等数学中的运用3.巴斯加定理在初等数学中的运用4.布里安香定理在初等数学中的运用5.二次曲线的几何求法6.二维射影对应的几何定义、性质定义、代数定义的等价性7.用巴斯加定理证明锡瓦一美耐劳斯定理8.仿射变换初等几何中的运用9.配极理论在初等几何中的运用10.二次曲线的主轴、点、淮线的几种求法11.关于巴斯加线和布利安香点的作图12.巳斯加和布利安香定理的代数证明及其应用13.关于作第四调和点的问题14.锡瓦一美耐劳斯定理的代数证明及应用15.关于一维几何形式的对合作图及应用七、概率论1.态分布浅谈3.用概率思想计算定视分的近似值3.欧拉函数的概率思想证明4.利用概率思想证明定积分中值定理5.关于均匀分布的几个问题6件概率的几种类型解题浅析7．概率思想证明恒等式8.古典概率计算中的模球模型9.独立性问题浅谈八、近世代数①集合及其子集的概念在不等式中的作用②论高阶等差数列②谈近世代数中与素数有关的重点结论④商集、商群与商环⑤关于有限映射的若干计算方法⑥关于环(Z2×2,+,、)⑦关于环(ZP2×2,+,、)(这里Zp是模p的剩余环,p为素数)⑧关于环(Z23×3,+,、)⑨关于环(zPQ2×2,+,、)(这里p、q是两个素数)⑩关于环(Znxn, +、)九、高等代数1.关于循环矩阵2.行列式的若干应用3.行列式的解法技巧4.欧氏空间与柯两不等式5.《高等代数》在中学数学中的指导作用6.关于多项式的整除问题7.虚根成对定理的又一证法及其应用8.范德蒙行列式的若干应用9.几阶行列式的一个等价定义10.反循环矩阵及其性质11.矩阵相似及其应用12.矩阵的迹及其应用13.关于整数环上的矩阵14.关于对称矩阵的若干问题15.关于反对称短阵的性质16.关于n阶矩阵的次对有线的若干问题17.关于线性映射的若干问题18.线性空间与整数环上的矩阵十、教学法1.关于学生能力与评价量化的探索2.浅谈类比在教学中的若干应用3.浅谈选择题的解法4.谈谈中学数学课自学能力的培养5.怎样培养学生列方程解题的能力6.谈通过平面几何教学提高学生思维能力7.谈数列教学与培养学生能力的体会8.创造思维能力的培养与数学教学9.数学教学中的心理障碍及其克服10.关于启发式教学11.浅谈判断题的解法12.对中学数学教学中非智力因素的认识13.数学教学中创新能力培养的探讨14.计算机辅助数学教学初探15.在数学课堂教学中运用情感教育16.在数学教学中恰当进行数学实验17.数学语言、思维及其教学18.在平面几何教学中渗透为类比、猜想、归纳推理的思想方法19.试论数学学习中的迁移20.数学例题教学应遵循的原则十一、初等数学1.数学证题中的等价变换与充要条件2.关于充要条件的理解和运用3.参数方程的运用4.极坐标方程的运用5.怎样证明条件恒等式6.不等式证明方法7.极值与不等式8.证明不等式的一种重要方法9.谈中学二次函数解析式的求法10.二元二次方程组的解11.谈数列求和的若干12.谈立体几何问题转化为平面几何问题的方法13.求异面直线距离的若干方法14.利用对称性求平面几何中的极值15.浅谈平面几何证明中的辅助线16.浅谈对称性在中学数学解题中的运用17.浅谈韦达定理的运用18.论分式方程的增根19.数列通项公式的几种推导方法20.函数的周期及其应用21.数学归纳法的解题技巧22.等价关系的几种判定方法23.数学归纳法及其推广和变形24.浅谈用几何方法证明不等式25.浅谈初等数学中的不等式与极值26.几个不等式的推广27.函数的概念及发展28.组合恒等式的初等证明法29.谈用生成函数计算组合与排列30.试论一次函数的应用。

融入数字图像的“高等代数”案例分析作者：杨天骥来源：《科技风》2024年第03期摘要：为解决学生对“高等代数”中众多抽象的定义、定理难以理解的情况，本文将数字图像融入“高等代数”课程，旨在运用直观生动的图像改进“高等代数”中对于概念的传统教学模式，增强学生学习数学的兴趣，进一步提升学生发散思维与创新能力。

关键词：高等代数；数字图像；抽象概念；课程融入"Advanced Algebra" Case Analysis Combining Digital ImagesYang TianjiLianyungang Normal College JiangsuLianyungang 222000Abstract：To solve the problem of students having difficulty understanding the numerous abstract definitions and theorems in "Advanced Algebra"，this article integrates digital images into the "Advanced Algebra" course，aiming to use intuitive and vivid images to improve the traditional teaching mode of concepts in "Advanced Algebra"，enhance students' interest in learning mathematics，and further enhance their divergent thinking and innovation abilities.Keywords：Advanced Algebra；Digital images；Abstract definitions；Course integration1 概述Algebra（代數）这一词汇，最早由清代传入中国，并在1859年被著名数学家、翻译家李善兰正式翻译为“代数”，一直沿用至今。

高等代数思想高等代数是数学专业的一门重要的专业基础课，是深入研究数学以及从事高等数学相关工作的必要保障，高等代数内容丰富体系庞杂，高等代数的学习历来是数学专业学生的难点；主要表现在解决高等代数问题时感觉束手无策，无从下手，最终原因归根结底是学生对数学思1引言1.1研究高等代数数学思想的目的及意义首先高等代数课程是数学专业以及其他一些理工科专业所必修的基础课程,也是后续课程和近代数学的基础，此外高等代数的学习对于学生数学思维的培养至关重要，通过高等代数的学习对学生的抽象思维和逻辑推理有很大帮助，并对数学创新思维以及科研潜力的发展具有重要意义.而学好高等代数这门基础课程就离不开对数学思想方法的研究；此外从数学的发展历史分析，不难发现其实数学的重要发展和重大创新都体现着一定的数学思想方法，数学思想方法在数学领域内随处可见，没有数学思想方法的数学就不是真正的数学；比如早在16世纪之前，关于方程求解的问题中，期初数学家们很容易得到了一次、二次方程的根式解，然后类似地找到了三次、四次以及某些特殊的五次代数方程的根式解法，事实上，在这个艰辛的求解历程中，而且这些解法中都有类比的方法，也有同构、分类讨论、函数与方程的数学思想，此后也有许多数学家探究一般五次方程的解得存在性问题，包括当时著名数学家卡当、伟达、笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、拉格朗日等，他们都是利用各种各样的数学思想方法，虽然经过了无数次的失败，但最终是阿贝尔等人从逆问题出发，严格证明了五次及五次以上的代数方程不存在根式解法，还有许许多多实例，都在说明着数学思想方法在数学发展中的积极推动作用，所以说数学思想方法对于数学的发展至关重要.1.2高等代数数学思想方法的研究现状由于高等代数数学思想方法的重要意义，近年来关于数学思想方法的研究层出不穷，有关数学思想方法的名称和应用的文献举不胜举，这些有关高等代数数学思想方法的研究在一定程度上推动着高等代数教学研究的发展和完善，对高等代数的学习以及数学其他分支的学习具有重要的指导意义和参考价值；其中比较典型的比如布合力且木·阿不都热合木在文献[1]中主要结合高等代数在解决相关问题以及发展思维工具方面的功能进行了探究，充分展示了高等代数的数学思想的丰富、深刻，以及其理论内容的严密和抽象。

数学毕业(学位)论文题目汇总一、数学理论1。

试论导函数、原函数的一些性质。

ﻫ２。

有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。

ﻫ3。

数学中一些有用的不等式及推广.4。

函数的概念及推广.ﻫ5。

构造函数证明问题的妙想。

6.对指数函数的认识。

ﻫ7。

泰勒公式及其在解题中的应用。

8。

导数的作用。

9。

Ｈiｌbert空间的一些性质。

ﻫ10。

Banaｃｈ空间的一些性质。

ﻫ１1。

线性空间上的距离的讨论及推广。

12。

凸集与不动点定理．ﻫ１3。

Hｉlberｔ空间的同构．ﻫ1４。

最佳逼近问题。

ﻫ１5。

线性函数的概念及推广．ﻫ1６.一类椭圆型方程的解．18.线性赋范空间上的模等价。

1７。

泛函分析中的不变子空间。

ﻫ19.范数的概念及性质．２0。

正交与正交基的概念。

22。

隐函数存在定理的再证明。

ﻫ２3.线性空间的等距同构。

2１。

压缩映像原理及其应用.ﻫ24。

列紧集的概念及相关推广。

２５。

Lebｅsguｅ控制收敛定理及应用。

26。

Lebｅｓｇue积分与Rieｍann积分的关系。

27。

重积分与累次积分的关系.28。

可积函数与连续函数的关系。

２９。

有界变差函数的概念及其相关概念。

ﻫ30。

绝对连续函数的性质。

3１.Lｅbesguｅ测度的相关概念。

33。

可测函数的定义及其性质。

ﻫ３４．分部积分公式的32。

可测函数与连续函数的关系。

ﻫ推广。

35。

Fatoｕ引理的重要作用。

36.不定积分的微分的计算。

ﻫ37。

绝对连续函数与微积分基本定理的关系。

ﻫ3８。

Ｓchwartz 不等式及推广。

39。

阶梯函数的概念及其作用.40。

Fourｉer级数及推广。

ﻫ４1.完全正交系的概念及其作用。

ﻫ42。

Ｂanach空间与Hｉlbe ｒｔ空间的关系。

44。

数学分析中的构造法证题术,43。

函数的各种收敛性及它们之间的关系。

ﻫ4５。

用微积分理论证明不等式的方法4６.数学分析中的化归法47。

微积分与辩证法49。

在上有界闭域的D中连续函数的性质４8. 积分学中一类公式的证明ﻫ51。

《高等代数》课程教学大纲一、大纲说明课程名称: 高等代数课程名称（英文）：Advanced Algebra适用专业：数学与应用数学课程性质：学科教育必修课程总学时： 192其中理论课学时: 192 实践（实验）课学时:0学分：12先修课程：二、本课程的地位、性质和任务《高等代数》是数学与应用数学专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考硕士研究生的必考课程之一。

通过本课程的学习，使学生掌握多项式和线性代数的系统知识和理论，提高学生抽象思维、逻辑推理和运算能力，培养学生运用抽象的、严格的代数思想方法分析问题、解决问题的能力，为常微分方程、近世代数、计算方法、泛函分析等后续课程的学习打下坚实的基础。

三、教学内容、教学要求第一章基本概念教学内容本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。

1、集合子集集合的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域教学要求了解：整数的一些整除性质理解：集合掌握：映射；数学归纳法；数环和数域重点与难点映射；可逆映射；数域。

第二章多项式本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。

多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。

教学内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根※9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数※10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理教学要求了解：多元多项式对称多项式理解: 一元多项式的定义和运算；多项式的整除性；多项式函数与多项式的根；复数域和实数域上多项式的因式分解掌握: 多项式的重因式；多项式的最大公因式；复数域和实数域上多项式的因式分解；有理数域上多项式的可约性及有理根重点与难点整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、因式分解定理的应用、k重因式与k 重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。

数学与计算机学院数学专业（师范类）毕业论文参考题目二○一一年十一月第一部分第二部分1、浅谈建构主义与数学教育2、试论中学数学习题课教学(可结合一个年级)3、中学数学中的探究式学习4、浅谈高中数学课程中的××专题教学5、Banach空间中压缩映射原理的推广及应用.6、Desargues 定理的几种证明方法7、奥数中的构造方法8、不等式证明的常用方法和技巧9、选谈高中数学课程的数列与差分专题教学10 抽屉原则在数学竞赛中的应用.11、初等几何中的面积法和体积法。

12、初等数学教学中的数学文化及数学人文。

13、创设疑问开展一题多解激发学习兴趣14、大数定理及其在随机理论中的应用15、对高中数学课程设计改革的思考16、对偶原理在二次曲线的应用17、对数学课堂教学中创新能力培养的认识18、对中学数学教育实习中若干问题的思考19、多媒体教学在中学数学教学中的地位和作用、怎样开展多媒体教学、20、二阶曲线上的对合及其应用21、二维异素射影变换及其应用22、发展学生数学应用意识的研究23、反例在高等教学中的作用。

24、反证法及反证思想在中学数学中的应用25、非初等函数的表示方法26、分配问题中事件概率的计算的讨论27、概率论在数学中的某些应用28、概率统计在经济中的应用。

29、高等几何对初等几何指导的研究。

30、高中导数教学中所蕴含的数学思想和应用31、高中导数教学中所蕴含的数学思想方法32、高中数学思想方法及运用33、高中数学探究性学习的探讨34、高中数学中的数学建模及数学实验教学探讨35、高中微积分初步中的数学文化及数学人文36 古典概型恒等式的证明37、古典概型解题规律探讨.38、古典概型在现实生活中的应用39、古典概型中样本空间的选取的研讨40、关于二阶曲线切点切线的方法探讨41、关于高楼层的疏散与控制42、关于函数最值问题43、关于立体几何中如何培养空间想象力的探讨.44、关于中学生学习数学兴趣的研究45 关于诸点共线与诸线共点的证明方法探讨46 级数敛散性判定法研究(归结已有的各科判别法，阐述之间的关系47 几何变换在几何作图中的应用。