三角恒等变换的综合(提高)-学案
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2 2
① 两角和与差的正弦、余弦和正切公式,运用相关公式进行简单的三角恒等变换
2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴ cos (a — P )=co 曲 cosP +sin a sin P ;(2) cos (a + P ) = co 口 cosP -sin ot sin P
⑶ si n ( a-P)= si nacosP -cosasi n P :⑷ si n (a+P)=si n a cosP +cos a si n P
3、二倍角的正弦、余弦和正切公式: 2 2 2
=sin 2a + cos 2a ±2sin d cos a =(sin d ±cos a )2
2 2 2 2
2
cos 25 'I 2 1 —COS 2°
二降幕公式 cos J = ---------- , sin o =
授课主题 第12讲---三角恒等变换的综合
授课类型
T 同步课堂
P 实战演练
S 归纳总结
授课日期及时段
T (Textbook-Based )
司步课堂
体系搭建
知识概念
1同角关系: 商的关系:①tan 6 y sin 9 x cos 日
② sin 6 =y = cos 0 'tan
0 r ③ cosQ
x
===sin 0 cot 9 平方关系: sin 2 日 +cos 2
日=1
教学目标
⑸ tan(-P)=
tan -tan
3
1 + tana tan P
(tana -tan P =tan (a - P X 1 +tan ^ tan P ))
⑹ tan ZP)」
an 5an
3
1 -tan a tan P
(tana +tanP =tan (a "-tan ^ tanP ))
⑴ sin 2a =2sin a cos a= 1±sin2a
⑵ cos2a =COS Ct —sin a =2cos Ct —1 =1 —2sin a
2 a
ot
2 "幂公式l+c W2cos- , -CO曲=2si n -
cos2a +1
⑶ tan2d
=竺二
1 -tan ot
4、万能公式:
5、半角公式
cos —
泌
2^2
6、辅助角:asinQ +bcos 0 = J a 2
+b 2
sin(0 +9) (其中辅助角W 与点(a,b )在同一象限,且tan
a
典例分析
考点1熟悉三角函数公式,从公式的内在联系上寻找切入点
【方法点拨】三角函数中出现的公式较多,要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系,做到真正的理 解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式,要抓住问题的实质,善于联想,灵活运用。
也sin6,b=羊宥c=』l 笔,则有(
2
1+ ta n 13 2cos 25
考点2.明确三角恒等变换的目的,从数学思想方法上寻找突破口
三角恒等变换是三角函数与平面向量这两章的延续与发展,三角变换只变其形,不变其质, 它可以揭示有些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系,帮助我们达到三角恒等变换的目的。
①sin 2日=
2tan
2
1 +tan 9
② cos2£=—r
1 + tan 0
③
tan
^^lS
④ sin 2
e=
tan
Y
1 +ta n 6
⑤cos
1 -cosa I 1 -COS a Y l +COS a sina 1+cosa
sin a
〔-COSO =
(后两个不用判断符号,更加好用)
、 1 例 1 设 a = —
cos6
2
A. a Ab AC
B.acb 2 a sin — = ± (1)运用转化与化归思想,实现三角恒等变换 【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想,应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。 例2.已知n< 3< a< , cos ( a- 3) =12 , sin (o+ B) = —3,求 sin2 a 的值. 2 4 1 3 5 例3.化简:[2sin50°sin 10 ° (1+丽tan10 °:^sin280° . (2)运用函数方程思想,实现三角恒等变换 【方法点拨】三角函数也是函数中的一种,其变换的实质仍是函数的变换。因此,有时在三角恒等变换中, 可以把某个三角函数式看作未知数,利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。 例4:已知 sin ( a+3) =-, si n ( a- 3 =3,求仙("-严的值.。 3 4 tanP 怡门(《+ P) (3)运用换元思想,实现三角恒等变换 【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简,促使未知向已知转化,可以利用特定的关系,把某个式子用新元表示,实行变量替换,从而顺利求解,解题时要特别注意新元的范围。 例5:若sin a +sin P =——,求cosa + cos P的取值范围。 2 3.关注三角函数在学科内的综合,从知识联系上寻找结合点 【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛,主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合,特别是与平面向量的综合,要适当注意知识间的联系与整合。 例6:已知:向量a = (J3,-1) , b = (sin2x, cos2x),函数f(x)=a・b (1 )若f(x)=O且OCX吒兀,求x的值; (2)求函数f(x)取得最大值时,向量a与b的夹角.