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人教A版高中数学 必修五 第二章 2.3等差数列的前n项和1 课件(共28张PPT)

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人教版必修五数学课件：2.3等差数列及其前n项和 (共31张PPT)

人教版必修五数学课件：2.3等差数列及其前n项和 (共31张PPT)
由 得 ������������ = ������1 + (������-1)������ = 2, ������������ = ������1 ������ + ������(������-1)������ = 0, ������1 + ������-1 = 2,
基础诊断
考点突破
课堂总结
4.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 d d 2 Sn＝ n ＋a1－2n. 2 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数).
5.等差数列的前n项和的最值 大 值；若 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最___ 小 值. a1＜0，d＞0，则Sn存在最___
基础诊断 考点突破 课堂总结
2.等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an
a1＋(n－1)d ＝_______________. (n－m)d m，n∈N*). 通项公式的推广：am＋__________(
(2)等差数列的前 n 项和公式
基础诊断
考点突破
课堂总结
诊断自测
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则 这个数列是等差数列. ( ) (2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列 {an}一定是等差数列. ( ) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. ( ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有 2an+1=an+an+2. ( ) (5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. ( ) (6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. ( )

人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件

人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件

10 9 S10 10 500 50 7250 (万元 ) 2
答：从2001到2010年，该市在“校校通”工程中的总投入 是7250元。
等差数列的前 n 项和公式：
n（a1 an ) Sn 2 n（n 1) S n na1 d 2
问题：1.两个公式中共有几个量？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn, 其中p, q为常数， 且p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn r (r 0), 其中p, q 为常数，且 p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗？
小结：
1.知识点小结：1）等差数列的前
例1：2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
校通”工程的通知》，某市计划从2001年起用10年的时间，在 全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施， 计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起 的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 解：由题可知，从2001年起各年投入的资金构成等差数列， 设为{an }，则 a1 500, d 50 则到2010年，投入的资金总额为
16
等差数列的前 n 项和公式：
n（n 1) S n na1 d 2
d 2 d n (a1 )n 2 2
当
d 0 时， Sn 是 n的二
次函数形式，且常数项为 0
例2：已知一个等差数列{an }前10项的和是310，前20项的和是
解：由题意知 代入公式 得
1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

等差数列前n项和ppt课件-数学高一必修5第二章数列2经典.3人教A版经典.ppt

等差数列前n项和ppt课件-数学高一必修5第二章数列2经典.3人教A版经典.ppt
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1
第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和
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2
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3
学习目标
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握 等差数列五个量a1，n，d，an，sn之间的关系.
2.掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用.
(重点）
3.能熟练应用公式解决实际问题，并能体会方程
思想.（难点）
∴S1n＝n2＋1 2n＝nn1＋2＝121n－n＋1 2，
∴S11＋S12＋…＋S1n＝121－13＋12－14＋
13－15＋…＋n－1 1－n＋1 1＋1n－n＋1 2
＝
1 2
1＋12－n＋1 1－n＋1 2＝34－2n＋2n1＋n3＋2.
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41
1．若数列{an}是等差数列，公差为 d(d≠0)，则和式 Tn＝a11a2
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4
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5
高斯，让我们一起认识一下：C.F. Gauss是 德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测 量学家.他有数学王子的美誉，被誉为历史上最 伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同 享盛名.下面让我们一起学习
一下著名的“高斯算法”.
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6
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7
1.等差数列的概念是什么？ 2.等差数列的通项公式是怎样的？ 3.两数x，y的等差中项是如何定义的？
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38
等差数列前 n 项和的最值问题 (1)利用 an：当 a1＞0，d＜0 时，前 n 项和有最大值，可由 an≥0，且 an＋1≤0，求得 n 的值；当 a1＜0，d＞0 时，前 n 项和 有最小值，可由 an≤0，且 an＋1≥0，求得 n 的值． (2)利用 Sn：二次函数 Sn＝d2n2＋a1－d2n 由配方法求得 Sn 取 最值时 n 的值．

等差数列的前n项和ppt课件

等差数列的前n项和ppt课件

工教作学回 背景顾 教法分析 学法分析 教学程序 板书设计 教学效果
一、知识层面
二、能力层面
1、学生已经学习了 1、已经具备一定的观 等差数列的通项公式 察猜想，归纳类比能 及性质，具备了研究 力； 本节内容的知识基础； 2、已经具备了一定的 2、第一次正式接触 逻辑推理能力； 数列求和，缺乏学习 经验；
三、情感层面
1、学习兴趣较高， 但主动探索的难度 较大，需要教师合 适的启发和引导；
1.3 教学目标
工教作学回 背景顾 教法分析 学法分析 教学程序 板书设计 教学效果
知识目标 能力目标 情感目标
掌握等差数列的前n项和公式； 会根据简单的等差数列条件求其前n项和； 能用公式解决简单的实际问题；
感受从特殊到一般再到特殊以及数形结合的研究及学习方法； 培养学生观察猜想归纳类比的数学思维能力； 提升学生在逻辑推理、数学建模等方面的核心素养；
（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51）=101×50=5050.
4.3 新课探索
工教作学回 背景顾 教法分析 学法分析 教学程序 板书设计 教学效果
那你能用他的方法求一下1+2+3+……+n等于多少吗？ 分类讨论
n为偶数，1 2 n (1 n) n ; 2
n为奇数，1 2 n (1 n 1) n 1 n n(n 1) ;
an )
na1
n(n 1) 2
d
例2
↓
堂 练 习 题
教学程序
知三求二（方
程思想）
例3
板书设计
教学效果
教学效果
6.1 教学反思及教学效果

高中数学人教A版必修5第二章2.3等差数列前n项和(一)课件(共19张PPT)

高中数学人教A版必修5第二章2.3等差数列前n项和(一)课件(共19张PPT)
a通n ”a工n1程中5的0 总投S1入0 是多此少处？暂停3分a1钟思50考0
例题1
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校 通”工程中的总投入是多少？
那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首 项和公差分别是什么?
结论: 当r 0时为数列{an}等差数列, 当r 0时数列{an}不是等差数列
课堂小结
1.等差数列的前n项和公式1：
Sn
n(a1 2
an
)
2.等差数列的前n项和公式2：Sn
na1
n(n 1) 2
d
3.数列中an与Sn的关系： an=Sn-Sn-1（n ≥ 2）
此处暂停2分钟思考
解：由题意知S 10
310, S20
1220
方程组思想
将它们代入公式Sn
na1
n(n 1) 2
d
可得
10a1 20a1
45d 310 190d 1220
解得
ad1
4 6
Sn
=4n
n(n 1) 2
6
3n2
n
例题3 数列中an与Sn的关系
已知数列{an}的前n项和为
Sn
n2
1 2
n①2
1 2
n
[(n
1)2
1 2
(n
1)]
2n
1 2

人教A版高中数学必修五课件2.3等差数列的前n项的和(一).ppt

人教A版高中数学必修五课件2.3等差数列的前n项的和(一).ppt

解：Q Sn 1 2 3 L (n 1) n
Sn n (n 1) (n 2) L 2 1
2Sn (114n4) 4(14 2n) 4L4 4(143n)
n
Sn
n(n 1) 2
(倒序相加法）
3、数列{an}的前 n 项和常用sn表示 ,
即sn = a1 a2 a3L an1+a.n
你知道高斯的妙解吗？
• 高斯的算法： • 首项与末项的和：1+100=101, • 第2项与倒数第2项的和：2+99=101, • 第3项与倒数第3项的和：3+98=101,
• …… • 第50项与倒数第50项的和：50+51=101 • 于是所求的和为：
101 100 5050 2
问题1：1+2+3+…+n=?
=n (a1+an)
即
Sn=n(a1
2
an
)
——等差数列的 前n项和公式
例如： 1+2+3+ ··· +100=100(1 100) 5050
2
因为 an a1 (n 1)d
Sn
n(a1 an ) 2
n[a1
a1
(n 1)d] 2
na1
n(n 2
1)
d
等差数列的前n项和二个公式：
sn 158, an 44, d 3
sn
na1
n(n 1) 2
3 158
an a1 (n 1) 3 44
解得：n=4
答：这个多边形是四边形
5、在小于 100 的正整数中共有多少个被 7 除余 2 的数?这些数的和是多少?
解：这些数构成等差数列{an},且

高中数学必修五2.3.1等差数列的前n项和课件人教A版


������(������-1) ������(������+1) = . 2 2
答案:D 【做一做2-2】 在等差数列{an}中,已知an=2n-1,则其前n项和 Sn= . 解析:易知a1=1,故
Sn=
������(������1 +������������ ) 2
=
������(1+2������-1) = 2
������(������-1) ������ . 2
【做一做2-1】 在等差数列{an}中,a1=1,d=1,则Sn等于( A.n B.n(n+1)
������(������+1) C.n(n-1) D. 2 ������(������-1) 解析:Sn=na1+ ������ = 2
).
������ +
������2.
-5-
答案:n2
第1课时 等差数列的前n项和
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
等差数列前n项和公式与函数的关系
剖析等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+ 可以写为Sn= ������2 + ������1 ������ 2 ������ 2 ������ 2 ������ 2
2.3
等差数列的前n项和
-1-
第1课时
等差数列的前n项和
-2-
第1课时 等差数列的前n项和
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
1.掌握数列前n项和的概念. 2.理解等差数列前n项和公式的推导过程. 3.掌握等差数列前n项和公式及其应用.

高中数学人教版必修5课件：2.3等差数列的前n项和(3课时)1


追踪练习
1、(1)若Sn=n2-1，求an； (2)若Sn=2n2-3n，求an。
基础训练
1.数列{an}的前n项和 Sn=n2,则a8= 15 .
2.数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+5,
则a5+a6+a7= 39 .
将等差数列通项公式
an a1 (n 1)d
看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选

2021学年高中数学人教A版必修5课件：2-3-1+等差数列的前n项和


Sn与an的关系式的应用 “和”变“项”
Sn “项”变“和” an (1)“和”变“项”． 首先根据题目条件，得到新式(与条件相邻)，然后作差将 “和”转化为“项”之间的关系，最后求通项公式． (2)“项”变“和”． 首先将an转化为Sn－Sn－1，得到Sn与Sn－1的关系式，然后求 Sn.
[变式训练3] 已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为 Sn，且满足2Sn＝a2n＋n－4.
5．已知等差数列{an}． (1)a1＝56，a15＝－32，Sn＝－5，求n和d； (2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解：(1)∵a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16. 又Sn＝na1＋nn－2 1·d＝－5， 解得n＝15，n＝－4(舍)． (2)由已知，得S8＝8a12＋a8＝84＋2 a8＝172， 解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
第二章
数列
2．3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
[目标] 1.体会等差数列的前n项和公式的推导过程；2.记住 等差数列的前n项和公式，熟练等差数列前n项和公式的计算；3. 会用等差数列前n项和公式解决一些简单的等差数列前n项和问 题．
[重点] 等差数列的前n项和公式及应用． [难点] 对等差数列前n项和公式的理解．
na1＋an 2
求前n项和，用此公式时，有时要结合等差数列的性质；当已知
首项a1，公差d及项数n时，用Sn＝na1＋nn－2 1d求前n项和．
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8
等于( D )
A．18
B．36
C．54
D．72
解析：∵a4＝18－a5，∴a4＋a5＝18. ∴S8＝8a12＋a8＝4(a1＋a8)＝4(a4＋a5)＝72.

高中数学第二章数列2.3等差数列前n项和(第1课时)课件新人教A版必修5

算上容易出现失误，不能准确 求出首项 a1 和公差 d； (2)基本公式中的项数或奇偶项的 确定不正确； (3)判断一个数列是否为等差数列
时，易忽略验证第一项．
[活学活用] 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3 可得 1＋2d＝－3.解得 d＝－2. 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n.所以 Sn＝n1＋23－2n＝2n－ n2.进而由 Sk＝－35，可得 2k－k2＝－35. 又 k∈N*，故 k＝7 为所求．
归纳小结
等差数列的前 n 项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用 公式
Sn＝na12＋an
Sn＝na1＋nn2－1d
[化解疑难] 等差数列前 n 项和公式的特点
(1)两个公式共涉及到 a1，d，n，an 及 Sn 五个基本量，它 们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前 n 项和．
[答案] B
(2)[解] ∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100 也成等差数列． 设其公差为 D，则 S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100 －S90)＝S100，
即 10S10＋10×2 9×D＝S100＝10. 又∵S10＝100，代入上式，得 D＝－22， ∴S110－S100＝S10＋(11－1)×D＝100＋10×(－ 22)＝－120， ∴S110＝－120＋S100＝－110.
答案：104
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对n的奇偶性的讨论显得麻烦了， 是否有更好的方法去求等差数列前 n项和？
探索发现
问题2：图案中，第1层到第21层一
共有多少颗宝石？
教学过程
探索发现1
图案中，第1层到第21层一
共有多少颗宝石？ 借助几何 图形之直观性， 引导学生使用 熟悉的几何方 法：把“全等 三角形”倒置， 与原图补成平 行四边形。
高斯的算法是：
首项与末项的和：1+100=101， 第2 项与倒数第2 项的和：2+99=101， 第3 项与倒数第3项的和：3+98=101， …… 第50项与倒数第50项的和：50+51=101，
于是所求的和是：101 100 5050 2
如何快速计算 1+2+3+4+…+101？
计算1+2+3+4+…+n？
2. 若a, A, b为等差数列，则A a b ; 2
3. 若m n p q，则am an ap aq
其中m,n,p,q均为正整数。
(二)、新课引入
泰姬陵坐落于印度古都阿格，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成
的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石
镶饰，图案之细致令人叫绝。
在中小学实施“校校通”工程的通知》某
市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中
小学建成不同标准的校园网，据测算， 2001年该市用于“校校通”工程的经费为 500万元，为了保证工程的顺利实施，计划 每年投入的资金都比上一年增加50万元。 那么从2001年起的未来10年内，该市在 “校校通”工程中的总投入是多少？
解：据题意，从2001~2010年，该市每年投 入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50万元，所以，可建立一个等差数列{an}, 表示从2001年起各年投入的资金，则a1=500， d=50.那么到2010年（n=10），投入的资金 总额为：S10=10x500+10x（10-1）x50=7250
Sn
na1
n(n 1) 2
d
(四)、例题分析
例1：在等差数列an中，
1已知a1 1, a10 10, 求S10;
2 已知a1
3, d
1 2
, 求S10;
解：(1)s10
10(a1 2
a10
)
55
(2)s10
10a1
10 * 9 2
*(
1 ） 2
15 2
例2、2000年11月14日教育部下发了《关于
Sn an an1 an2 a3 a2 a1
n个 2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an )
=n(a1+an)
Sn
n(a1 2
an )
倒序相加法
Sn
n(a1 2
an )
首项与末项的 和与项数乘积
的一半
思路二：
由an a1 n 1d可得：
教学过程
1 2 3
21 20 19
21
1
获得算法：
s21
(1
21) 21 2
如何快速计算 1+2+3+4+…+101？
计算1+2+3+4+…+n？
(三)、讲解新课
1.公式推导
a 问题：设等差数列an 的首项为 1，公差为d ，
Sn a1 a2 a3 L an
Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
等差数列前n项和
一.学习目标: 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简
单的与前n项和有关的问题. 二.学习重难点:
1.等差数列前n项和公式是重点.
2.获得等差数列前n项和公式推导的思路是 难点.
三、学习过程
(一)、复习回顾
1.
an an1 d
(n 1)d为常数;
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，
问
共有100层，奢靡之程度，可见一斑。
题
一
泰
……
颐
陵
宝
…
石
……
图
案 宝石数量： 1+2+3+4+…+98+99+100=？
问题就是 “1 2 3 4 100 ? ”
对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾 很快求出它的结果。你知道应如何计算吗？
答:从2001~2010年，该市在“校校通”工程 中的总投入是7250万元。
例3
根据条件，求等差数列an中有关未知数：
1.a1 20, an 54, Sn 999,求d及n;
2.d
1,n 3
37, Sn
629, 求a1及an ;
3.a1
5 6
,d
1 6d 2, n 15, an 10,求a1及Sn
于是有：
Sn
n[a1
a1
(n 1)d ] 2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
于是得到了两个公式：
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2.公式记忆
用等腰梯形面积公式记忆等差数 列前n项和公式
a1 n
an
Sn
n(a1 2
an )
a1
n
n
a1
(n-1)d
an
等腰梯形的面积=平行四边形面积+三角形面积
(六)、课堂小结
1.公式的推导方法:倒序求和。
2.公式
Sn
n(a1 an ) 2
n(n 1)
Sn na1
2
d
3.公式的应用。
谢谢观赏 请多多指教