2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.5.1正弦函数的图像学案北师大版必修4

§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质(一)内容要求 1.结合具体实例，了解y ＝A sin(ωx ＋φ) 的实际意义(重点).2.能借助计算器或计算机画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，观察参数A ，ω、φ对函数图像变化的影响(难点)．知识点1 振幅变换(1)在函数y ＝A sin x (A ＞0)中，A 决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A 为振幅．(2)要得到函数y ＝A sin x (A ＞0，A ≠1)的图像，只要将函数y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)即可得到． 【预习评价】(1)函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的最大值为________最小值为________．答案 2 －2(2)函数y ＝－12cos x 取得最大值时的x 的集合为________．答案 {x |x ＝2k π＋π，k ∈Z } 知识点2 相位变换(1)在函数y ＝sin(x ＋φ)中，φ决定了x ＝0时的函数值，通常称φ为初相，x ＋φ为相位．(2)对于函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的． 【预习评价】(1)如何由y ＝sin x 的图像变换为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像？提示 向左平移π4个单位长度．(2)如何由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像变换为y ＝sin x 的图像？提示 向右平移π3个单位长度知识点3 周期变换(1)在函数y ＝sin ωx (ω＞0)中，ω决定了函数的周期T ＝2πω，通常称周期的倒数f ＝1T ＝ω2π为频率． (2)对于函数y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．【预习评价】1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π5的周期、振幅依次是( ) A ．4π，－2 B ．4π，2 C ．π，2 D ．π，－2答案 B2．若函数y ＝3sin ωx 的最小正周期为π，则ω＝________. 答案 ±2题型一 五点作图法【例1】 用五点法作函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相． 解 (1)列表：(2)描点：在直角坐标系中描出点⎝ ⎛⎭⎪2，0，⎝ ⎛⎭⎪2，3，⎝⎛⎭⎪2，0，⎝⎛⎭⎪2，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2，0. (3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．(4)这样就得到了函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在一个周期内的图像，再将这部分图像向左、向右平移4k π(k ∈Z )个单位长度，得函数y ＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像．此函数振幅为3，周期为4π，频率为14π，初相为－π4.规律方法 五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法：(1)分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，再求出对应的x ，这体现了整体换元的思想．(2)取ωx 0＋φ＝0，得x 0＝－φω，再把x 0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的14，就可得到其余四个点的横坐标．【训练1】 用五点法作函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．解 (1)列表：列表时2x ＋π3取值为0、π2、π、3π2、2π，再求出相应的x 值和y 值.(2)描点．(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如右图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图(图略)．此函数的振幅为2，周期为π，频率为1π，初相为π3.题型二 由图像求函数的解析式【例2】 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图像的一部分如图所示，求此函数的解析式．解 方法一 (逐一定参法)由图像知A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在函数图像上， ∴0＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6×2＋φ.∴－π6×2＋φ＝2k π，得φ＝π3＋2k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法二 (待定系数法)由图像知A ＝3.∵图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，∴⎩⎪⎨⎪⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法三 (图像变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在图像上，可知函数图像由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.规律方法 三角函数中系数的确定方法：给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图像可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图像变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图像平移规律确定相关的参数．【训练2】 如图，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像，根据图中条件，写出该函数解析式．解 由图像知A ＝5.由T 2＝5π2－π＝3π2， 得T ＝3π，∴ω＝2πT ＝23.∴y ＝5sin(23x ＋φ)．下面用两种方法求φ： 方法一 (单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上，∴2π3＋φ∈[π2＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )． 由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.方法二 (最值点法)将最高点坐标(π4，5)代入y ＝5sin(23x ＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.∴函数式为y ＝5sin(23x ＋π3)．【例3】 如何由y ＝sin x 的图像得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的图像？解 y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4，【迁移1】 从例3中得到的函数图像再得出y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －π4的图像应如何变换？解 因为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4－π2＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12x ＋π＋π4， 所以只需把y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的图像向左平移π个单位．【迁移2】 从例3中得到的函数图像再得出y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像应如何变换？解 因为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，所以只需把y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的图像向左平移π个单位．【迁移3】 从例3中得到的函数图像再得出y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的图像应如何变换？解 把y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的图像作关于x 轴的对称图像即可．规律方法 通常，由y ＝sin x 的图像经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的图像的步骤如下：(1)(相位变换)先把y ＝sin x 的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，得函数y ＝sin(x ＋φ)的图像．(2)(周期变换)把函数y ＝sin(x ＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)，得函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像．(3)(振幅变换)把函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)，得函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像． (4)把得到的y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像向上(当b ＞0时)或向下(当b ＜0时)平移|b |个单位长度，得函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图像． 也可以先周期变换再相位变换.课堂达标1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( ) A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.答案 A2．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析 C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 首先曲线C 1，C 2统一三角函数名，可将C 1：y ＝cos x 用诱导公式处理．y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.答案 D3．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向________平移________个单位得到y ＝sin 2x 的图像．解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将其向右移π12个单位得到y ＝sin 2x 的图像． 答案 右π124．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ≤π2，且此函数的图像如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．解析 由T 2＝7π8－3π8＝π2，∴T ＝π，由T ＝2πω(ω＞0)得ω＝2.由2×3π8＋φ＝π得φ＝π4.∴点的坐标为(2，π4)．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2，π45．作出函数y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图像．解 列表：课堂小结1．图像变换是三角函数的重点内容之一．函数的各种变换都是自变量x 或函数值y 进行的变换．图像变换与函数变换紧密相连，相位变换是用x ＋φ来代替y ＝f (x )中的x ，周期变换是用ωx (ω＞0)代替x ，振幅变换是用yA来代替y (A ＞0)． 2．图像变换中，还常用以下三种变换：(1)y ＝－sin x 的图像可由y ＝sin x 的图像沿x 轴翻折180°而得到．(2)y ＝|sin x |的图像可由y ＝sin x 的图像得到．其变化过程为在x 轴上方的部分不变，在x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°而得到．(3)y ＝sin |x |的图像可通过让y ＝sin x 的图像在y 轴右边的部分不变，y 轴左边的图像由y 轴右侧的图像关于y 轴翻转180°而得到.基础过关1．最大值是12，周期是2π3，初相是π6的函数表达式可能是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6解析 ∵函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的最大值为12，周期为2π3，初相为π6，∴A＝12，ω＝3，φ＝π6. 答案 A2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的相位和初相分别是( )A ．－2x ＋π3，π3B ．2x －π3，－π3C ．2x ＋2π3，2π3D ．2x ＋2π3，π3解析 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3∴相位和初相分别为2x ＋2π3，2π3.答案 C3．将函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平移π3个单位长度，再将图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析 将y ＝sin x 的图像上所有点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图像．答案 A4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，3π2＜φ＜2π的最小值是－3，周期为π3，且它的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，则这个函数的解析式是________．解析 由已知得A ＝3，T ＝π3＝2πω，故ω＝6. ∴y ＝3sin(6x ＋φ)．把⎝⎛⎭⎪⎫0，－32代入，得3sin φ＝－32，sin φ＝－12.又32π＜φ＜2π，∴φ＝11π6. ∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋11π6.答案 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋11π65.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，|φ|＜π2的图像如图所示，则f (x )=________．解析 由图知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2.又2×π3＋φ＝π，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.答案 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 6．怎样由函数y ＝sin x 的图像变换得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像，试叙述这一过程．解 由y ＝sin x 的图像通过变换得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像有两种变化途径： ①y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. ②y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．解 (1)因为函数图像的一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2， 所以A ＝2，x ＝π8为其中一条对称轴，这个最高点到相邻最低点的图像与x 轴交于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0.所以T 4＝3π8－π8＝π4.又T ＝2πω＝π，所以ω＝2，此时y ＝f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1， 即π4＋φ＝π2＋2k π，即φ＝π4＋2k π. 又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以φ＝π4，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)列出x ，y 的对应值表：作图如下：能力提升8.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2等于( )A ．－32B ．－22C.32D.22 解析 ∵12T ＝3π4－5π12＝π3，∴T ＝2π3.∴2πω＝2π3，即ω＝3. 又∵3×5π12＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，∴φ可取－π4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝sin 5π4＝－22.答案 B9．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π4解析 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图像，因为此时函数为偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以选B .答案 B10．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图像向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图像；②将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图像； ③将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图像； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像是由y ＝sin 2x 的图像向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______（填序号）．答案 ①③11．若y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的最小值为－2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为3π，又图像过点(0,1)，则其解析式是________． 解析 由最小值为－2可得A ＝2， 由题意得T ＝6π＝2πω，故ω＝13，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ，又sin φ＝12，|φ|＜π2，故φ＝π6，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6.答案 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6 12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝12f (2x )cos x ，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值．解 (1)由图可知A ＝2，T ＝7π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4π，则ω＝2π4π＝12， ∴解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ， 且由f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＝2，可得φ＝2k π＋π4，又－π2＜φ＜π2，得φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4.(2)∵g (x )＝12f (2x )cos x＝12×2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos x ， ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋π4cos 5π4 ＝sin 3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝22. 13．(选做题)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图像在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)． (1)求f (x )的解析式．(2)将x ＝f (x )图像上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，然后再将所得图像沿x轴正方向平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像．写出函数y ＝g (x )的解析式并用“五点法”画出y ＝g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图像． 解 (1)由已知，易知A ＝2，T2＝(x 0＋3π)－x 0＝3π，解得T ＝6π，所以ω＝13.把(0,1)代入解析式y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x3＋φ， 得2sin φ＝1.又|φ|＜π2，所以解得φ＝π6.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6.(2)压缩后的函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再平移，得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.列表：图像如图：。

1.5.2 正弦函数的性质整体设计教学分析对于函数性质的研究,在高一必修中学生已经熟悉了.研究了幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图像,从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.正弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图像观察,不要求证明,而正弦的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.重点难点教学重点:正弦函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.教学难点:正弦函数性质的理解及灵活运用,特别是周期性的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往往通过它们的图像来研究.本节可先让学生画出正弦函数的图像,从学生画图像、观察图像入手,由此展开正弦函数性质的探究.思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质,y=sinx是函数,我们当然也要探讨它们的一些性质.本节课,我们就来研究正弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线,观察它的形状及在坐标系中的位置;②观察正弦曲线,说出正弦函数的定义域是什么?③观察正弦曲线,说出正弦函数的值域是什么?由值域又能得到什么?④观察正弦曲线,函数值的变化有什么特点?⑤观察正弦曲线,它有哪些对称?图1活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导. 在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质. 对问题①,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它的变化趋势. 对问题②,学生很容易看出正弦函数的定义域是实数集R 〔或(-∞, +∞)〕.对问题③,学生很容易观察出正弦曲线上、下都有界,得出正弦函数的值域是［-1,1］.教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明. ∵正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度, ∴|sinx|≤1,即-1≤sinx≤1.也就是说,正弦函数的值域是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x ∈R ),1°当且仅当x=2π+2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. 2°当且仅当x=-2π+2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1.对问题④,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图2,通过学生充分讨论后确定,选图像上的［-2π,23π］(如图3)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选［0,2π］的道理,其他类似.图2 图3这个变化情况也可从下表中显示出来: x -2π 0 2π π 23π sinx-1↗↗1↘↘-1就是说,函数y=sinx,x ∈［-2,23］. 当x ∈［-2π,2π］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx 的值由-1增大到1;当x ∈［2π,23π］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx 的值由1减小到-1. 结合正弦函数的周期性可知:正弦函数在每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［2π+2kπ,23π+2kπ］(k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.对问题⑤,学生能直观地得出正弦曲线关于原点O 对称.在R 上,y=sinx 为奇函数.教师要恰时恰点地引导,并提问学生怎样用学过的知识方法给予证明呢? 由诱导公式,∵sin(-x)=-sinx, ∴y=sinx 为奇函数.至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还关于直线x=2π对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,为今后的学习打下伏笔. 讨论结果:①略. ②定义域为R .③值域为［-1,1］,最大值是1,最小值是-1. ④单调性(略). ⑤奇偶性(略). 应用示例思路11.函数y=-3sin2x,x ∈R 有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.解:令z=2x,使函数y=-3sinz,z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z|z=-2π+2kπ,k ∈Z }, 由2x=z=-2π+2kπ,得x=-4π+kπ. 因此使函数y=-3sin2x,x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x|x=-4π+kπ,k∈Z }. 同理,使函数y=-3sin2x,x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x|x=4π+kπ,k∈Z }.函数y=-3sin2x,x ∈R 的最大值是3,最小值是-3.点评:以前我们求过最值,本例也是求最值,但这里最值对应的自变量x 的值却不唯一,这从正弦函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数的最大(小)值的性质,对于形如y=Asin(ωx+φ)+B 的函数,一般通过变量代换(如设z=ωx+φ化归为y=Asinz+B 的形式),然后进行求解.这种思想对于利用正弦函数的其他性质解决问题时也适用.2.利用三角函数的单调性,比较sin(-18π)与sin(-10π)的大小. 解:因为-2π＜-10π＜-18π＜0,正弦函数y=sinx 在区间［-2π,0］上是增函数,所以sin(-18π)＞sin(-10π).点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化到同一个单调区间内,其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题.3.求函数y=sin(21x+3π),x ∈［-2π,2π］的单调递增区间. 活动:可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的思考方向: 把21x+3π看成z,这样问题就转化为求y=sinz 的单调区间问题,而这就简单多了. 解:令z=21x+3π.函数y=sinz 的单调递增区间是［-2π+2kπ,2π+2kπ］. 由-2π+2kπ≤21x+3π≤+2kπ,得-35π+4kπ≤x≤3π+4kπ,k∈Z .由x ∈［-2π,2π］可知,-2π≤-35π+4kπ且3π+4kπ≤2π,于是-121≤k≤125,由于k ∈Z ,所以k=0,即-35π≤x≤3π,而［-35π,3π］⊂［-2π,2π］,因此,函数y=sin(2x +3π),x ∈［-2π,2π］的单调递增区间是［-35π,3π］.点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用正弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x 的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.4.利用“五点法”画出函数y=sinx-1的简图,并根据图像讨论它的性质. 解:列表,根据表中数据画出简图(如图4所示).x 0 2π π23π 2π Sinx 0 1 0 -1y=sinx-1-1图4函数 y=sinx-1定义域 R 值域 ［-2,0］ 奇偶性 非奇非偶函数周期2π单调性当x ∈［2kπ-2π,2kπ+2π］(k ∈Z )时,函数是递增的; 当x ∈［2kπ+2π,2kπ+23π］(k ∈Z )时,函数是递减的最大值与最小值当x=2kπ+2π(k ∈Z )时,最大值为0;当x=2kπ+23π(k ∈Z )时,最小值为-2 思路2例1 求函数y=xsin 11+的定义域.活动:学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图像,根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正学生出现的一些错误或书写不规范等. 解:由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠23π+2kπ(k∈Z ). ∴原函数的定义域为{x|x≠23π+2kπ,k∈Z }. 点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线直接写出结果.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用三角函数曲线写出解集.2.在下列区间中,函数y=sin(x+4π)的单调增区间是( ) A.［2π,π］ B.［0,4π］ C.［-π,0］ D.［4π,2π］活动:函数y=sin(x+4π)是一个复合函数,即y=sin ［φ(x)］,φ(x)=x+4π,欲求y=sin(x+4π)的单调增区间,因φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,故应求使y 随φ(x)递增而递增的区间.也可从转化与化归思想的角度考虑,即把x+4π看成一个整体,其道理是一样的.解:∵φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,又y=sinx 在［2kπ-2π,2kπ+2π］(k ∈Z )上是递增的,故令2kπ-2π≤x+4π≤2kπ+2π.∴2kπ-43π≤x≤2kπ+4π.∴y=sin(x+4π)的递增区间是［2kπ-43π,2kπ+4π］. 取k=-1、0、1分别得［-411π,47π］、［-43π,4π］、［45π,49π］. 答案:B点评:像这类题型,上述解法属常规解法,而运用y=Asin(ωx+φ)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,若本题运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图像变换等手段更快地解出. 解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是:(1)求定义域;(2)确定复合过程,y=f(t),t=φ(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性;(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子,并求出x 的范围;(5)得到x 的范围,与其定义域求交集,即是原函数的单调区间.结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断. 变式训练1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( )A.T=2,θ=2πB.T=1,θ=πC.T=2,θ=πD.T=1,θ=2π解:T=ππ2=2,又当x=2时,sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ,要使f(x)取得最大值,可取θ=2π答案:A 2.求函数y=21sin(4π-32x )的单调递减区间及单调递增区间.解:y=21sin(4π-32x )=-21sin(32x -4π).由2kπ-2π≤32x -4π≤2kπ+2π,可得3kπ-83π≤x≤3kπ+89π(k ∈Z ),为单调减区间;由2kπ+2π≤32x -4π≤2kπ+23π,可得3kπ+89π≤x≤3kπ+821π(k ∈Z ),为单调增区间.所以原函数的单调减区间为［3kπ-83π,3kπ+89π］(k ∈Z );原函数的单调增区间为［3kπ+89π,3kπ+821π］(k ∈Z ).知能训练课本本节练习2 1、2、3. 课堂小结1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们研究了正弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对正弦函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这个函数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数的图像的画法.2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点. 作业判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xsin(π+x);(2)f(x)=xxx sin 1cos sin 12-++-.解答:(1)函数的定义域为R ,它关于原点对称.又∵f(x)=xsin(π+x) =-xsinx, f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x),∴函数为偶函数.(2)函数应满足1-sinx≠0,∴函数的定义域为{x|x ∈R 且x≠2kπ+2π,k ∈Z }. ∵函数的定义域关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数.设计感想1.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.2.在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,加大应用图像与性质解题的力度.较好地利用图像解决问题,这也是本节课主要强调的数学思想方法.3.学习三角函数的性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如sin(α+2π)=sinα这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了,它表明正弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.备课资料一、近几年三角函数知识的变动情况三角函数一直是高中固定的传统内容,但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第(7)条为:“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式,不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中,已尽可能减少了这8个公式的出现次数,在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供查阅.而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效),这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了.但是,如果认为这次调整的仅仅是8个公式,仅仅是降低了对8公式的要求,那就太表面、太肤浅了.我们知道,三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一,相当部分的三角题都是围绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力.现在要求降低了,有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了.这样一来,三角部分还要我们教些什么呢?又该怎样教?立刻成了部分教师心头的一大困惑.有鉴于此,我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标.1.是“三角”还是“函数”应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的.三角本是几何学的衍生物,起始于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科,历史上的很长一段时期,只有《三角学》盛行于世,却无“三角函数”之名.“三角函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过300余年.但是,此概念一经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌,特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作,致使三角函数可以完全独立于三角形之外,而成为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任意实数了.有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是有见地的,所以,作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在.现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局,将三角并入了代数内容.这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重.从《代数学》的历史演变来看,在相当长的历史时期内,“式与方程”一直是它的核心内容,那时的教材都是围绕着它们展开的.所以,书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍,所在皆是.这是由当时的数学认知水平决定的.而现在,函数已取代了式与方程成为代数的核心内容,比起运算技巧和变形套路来,人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时,首要强调的是“形式演算能力”,1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”.现行高中《代数》课本中,充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质及应用,对这三种代数式的变形却轻描淡写.所以,三角函数部分应重在“函数的图像和性质”是无疑的,这也是国际上普遍认可的观点.2.是“图像”还是“变换”现行高中三角函数部分,单列了一章专讲三角函数,这是与数学发展的潮流相一致的.大多数师生头脑中反映出来的,还是“众多的公式,纷繁的变换”,而三角函数的“图像和性质”倒是在其次的,这一点,与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差.调整以后,降低了对这部分的要求,大面积地减少了题量.把“函数”作为关键词,将目光放在“图像和性质”上,应当是正确的选择,负担轻了,障碍小了,这更方便于我们将注意力转移到对函数图像和性质的关注上,这才是“三个有利于”得以贯彻的根本. 3.国外的观点及启示下面来看一下美国和德国的观点:美国没有全国统一的教材和《考试说明》,只有一个《课程标准》,在《课程标准》中,他们对三角函数提出了下面的要求:“会用三角学的知识解三角形;会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象;掌握三角函数图像;会解三角函数方程;会证基本的和简单的三角恒等式;懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”.他们还特别指出,不要在推导三角恒等式上花费过多的时间,只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了,比较复杂的恒等式就应该完全避免了.德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容,10年级要求如下:(1)一个角的弧度;(2)三角函数sinx 、cosx 、tanx 和它们的图像周期性;(3)三角形中角和边的计算;(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系).另外,在11年级和12年级的“无穷小分析”中,继续研究三角函数的图像变换、求导、求积分、求极限.从以上罗列,我们可以看出下面的共同点: 第一,突出强调三角函数的图像和性质;第二,淡化三角式的变形,仅涉及同角变换,而且要求较低,8公式根本不予介绍; 第三,明确变换的目的是为了三角形中的实际计算; 第四,注意三角函数和其他知识的联系.这带给我们的启示还是很强烈的,美国和德国的中学教育以实用为主,并不太在乎教材体系是否严谨,知识系统是否完整;我国的教材虽作调整,怎样实施且不去细说,有一个意图是可猜到的,那就是要让学生知道教材是严谨与完整的.现在看来严谨的东西,在更高的观点下是否还严谨?在圈内看是完整的,跳出圈子看,是否还完整?在一个小地方钻得太深,在另外更大的地方就可能无暇顾及.人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分,我们却热衷于在个别地方穷追不舍,这早已引起行家的注意,从这个意义上说,此次调整应当只是第一步.在中学阶段即试图严谨与完整,其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故. 二、备用习题1.函数y=sin(3π-2x)的单调减区间是( ) A.［2kπ-12π,2kπ+125π］(k ∈Z ) B.［4kπ-35π,4kπ+311π］(k ∈Z ) C.［kπ-125π,kπ+1211π］(k ∈Z ) D.［kπ-12π,kπ+125π］(k ∈Z )2.满足sin(x-4π)≥21的x 的集合是( )A.{x|2kπ+125π≤x≤2kπ+1213π,k ∈Z }B.{x|2k π-12π≤x≤2kπ+127π,k ∈Z }C.{x|2kπ+6π≤x≤2kπ+65π,k ∈Z }D.{x|2kπ≤x≤2kπ+6π,k ∈Z }∪{x|2kπ+65π≤x≤(2k+1)π,k∈Z }3.求函数y=lgsinx 的定义域和值域.4.已知函数y=f(x)的定义域是［0,41］,求函数f(21sin 2-x )的定义域. 参考答案:1.D2.A3.解:由题意得sinx ＞0,∴2kπ＜x ＜(2k+1)π,k∈Z .又∵0＜sinx≤1,∴lgsinx≤0. 故函数的定义域为(2kπ,(2k+1)π),k∈Z ，值域为(-∞,0］.4.解:由题意得0≤21sin 2-x ≤41,∴-23≤sinx≤-22或22≤sinx≤23∴x∈［kπ+4π,kπ+3π］∪［kπ+32π,kπ+43π］,k ∈Z .。

§7 正切函数［学习目标］1.理解任意角的正切函数的定义2 能画出y=tan x x€ R, x工亍+ k n , k € Z 的图像.3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间i —y , -2内的单调性.4.正切函数诱导公式的推导及应用.预习新知劳实基础问题导学知识点一正切函数的定义思考1设角a的终边与单位圆交于点P(a, b)，那么b何时有意义？a答案当a^0时，b有意义.a思考2正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？“宀sin a f n 、答案tan a = a € R, a 工石+ k n , k€ Z .COS a k 2 J梳理(1)任意角的正切函数n .如果角a满足：a € R, a — + k n (k € Z)，那么，角a的终边与单位圆交于点P( a, b),b n唯一确定比值=,我们把它叫作角a的正切函数，记作y = tan a ,其中a € R, a工=+ k n ,a 2(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系sin a根据疋乂知 tan a= COS =T (a € R(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时」 值为负• 知识点二 正切线思考 正切线是过单位圆上哪一点作出的？ 答案过单位圆与x 轴的非负半轴的交点 A (1 , 0).梳理 如图所示，线段 AT 为角a 的正切线.知识点三正切函数的图像与性质 思考1正切函数的定义域是什么？r 'n答案 c x x € R, X M"2"+ k n , k € Z :思考2能否说正切函数在整个定义域内是增函数? 答案不能•n n I k n —, k n +~2 (k € Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数 梳理解析式y = tan X(na 丰—--F k n , k € Z).知识点四正切函数的诱导公式n思考前面我们学习过n ± a，—a , ~2 ± a , 2 n± a等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀•对正切函数能适用吗？答案因为tan a = Sin a € R, a 工k n , k € Z ,cos a k 2 丿所以口诀对正切函数依然适用•梳理题型探究类型一正切函数的概念 例1 若角0的终边经过点4 口 3 nt A — 5, m ，且 tan 0 = 4，贝m=考点 正切函数的定义题点 已知正切值求参数答案 3—5解析 由正切函数的定义得，m 33 —,解得m=•4 4 5—5反思与感悟 (1)解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即 tan a = ba(2)已知角终边上的一点 Ma , b )( a *0)，求该角的正切函数值，或者已知角 a 的正切值，求角a 终边上一点的坐标， 都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置•跟踪训练1已知点P ( — 2a , 3a )( a *0)是角0终边上的一点，求tan 0的值考点 正切函数的定义题点由定义求正切值,3a3解 由于 a *0,…tan 0 ——2a2类型二 正切函数的图像及性质例2 画出函数y — |tan x |的图像, 并根据图像判断其单调区间、奇偶性、 周期性 考点 正切函数的图像及性质题点 正切函数的图像及性质综合解 由 y — |tan x |，得tan x , k nw x <k n+~^ k € Z ,y =n—tan x , - — + k n <x <k n k € Z ,其图像如图所示肿/M .启迪思维探究垂点_0 ；卫F ：加X2i ：幺H Ii q 律1 2 1 1由图像可知，函数y= |tan x|是偶函数，递增区间为［k n , k n + -2 ( k € Z)，递减区间为1一-2 + k n , k n (k€ Z)，周期为n .反思与感悟(1)作出函数y=|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：①保留函数y = f(x)图像在x轴上方的部分；②将函数y= f (x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可跟踪训练2 将本例中的函数y =|tan x|改为y = tan| x|，回答同样的问题，结果怎样？考点正切函数的图像及性质题点正切函数的图像及性质综合tan x(x i解由于y= tan| x| = ctan ( —x jx<0)其图像如下：由图像可知，函数y=tan| x|是偶函数，I n i n n递增区间为0, 2 , n —2，k n+~2j(k为正整数)，递减区间为i k n —2，k n +专(k为负整数)和一专,0 ,不是周期函数.类型三正切函数诱导公式的应用例3求下列各式的值.(1)7cos 270 ° + 3sin 270 ° + tan 765 ° ;tan 225 °+ tan 750 ° ⑵ tan( —30° 一tan ( —45° j考点正切函数的诱导公式题点利用诱导公式求值解⑴原式=7cos(180 ° + 90° ) + 3sin(180 ° + 90° ) + tan(2 X 360°+ 45°)=—7cos 90 °—3sin 90 ° + tan 45 ° = 0—3X 1+ 1 = —2.tan ( 180°+ 45°” tan (2X 360°+ 30°)tan 45 ° + tan 30—tan 30 ° + tan 45 °tan 45 ° — tan 30(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键 • (2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角 函数值•亠亠 cos 190 ° • sin f — 210° \ 跟踪训练3 •cos ( — 350 )• tan (— 585 ) 考点同名诱导公式的综合应用题点同名诱导公式的综合应用 解 原式=cos (180°+ 10°)• [ — si n (180+ 30°)八 cos — 360°+ 10°• [ — tan 360°+ 225° ]—cos 10 ° • sin 30 °— sin 30 °1=cos 10 °・[—tan (180°+ 45°[ =— tan 45 ° =2.达标检测答案2. 函数 f (x ) = tan x + 亍 I1 +捋 1二=2 +3(2)原式=,3. 反思与感悟 检测评价达标过关1.函数 y = tan2x + -6的最小正周期是(A. n nB.2 nC. 一D.考点正切函数的周期性 题点 求正切函数的周期 解析n n最小正周期为T =両=亍(n n ik n ——, k n +~2 , k€ ZC3n , n)C.i k n —〒,k n +"4 , k € Z 考点正切函数的单调性题点求正切函数的单调区间答案C B.( k n , (k+ 1) n ) , k€ Z D. k n —-4, k n + 乎,k€ ZA. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数 考点 正切函数的周期性、对称性 题点正切函数的奇偶性 答案 A解析 函数的定义域是j xx 工1k n , k € Z 鳥 □i i C1且 tan( — x ) +=— tan x —=— j tan x +tan — xtan xtan x '所以函数y = tan x +是奇函数.tan x5.将tan 1 , tan 2 , tan 3按大小排列为 .(用" <”连接)考点正切函数的单调性 题点正切函数单调性的应用答案 tan 2<ta n 3<ta n 1解析 tan 2 = tan(2 — n ) , tan 3 = tan(3 — n ),••• tan(2 — n )<tan(3 — n )<tan 1 ,詐--n <3— n <1<—,x 在—2,专上是增加的,A. y = tan x xc.y =tan2考点正切函数的性质 题点正切函数性质的综合 答案 c D.y =— tan x且 y = tan4.函数 y = tan3.在下列函数中同时满足：①在 2n 为周期；③是奇函数的是B.y = cos x即tan 2<tan 3<tan 1.r-规律与育法 ---- -------------- 1. 正切函数的图像正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 X = k n+卡,k € Z ,相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且是增加的. 2.正切函数的性质(1)正切函数y = tan x 的定义域是jx x 丰k n +今,k € Z r ，值域是 R.⑵ 正切函数y = tan x 的最小正周期是n ，函数y = A tan( w x +)( A , w 丰0)的周期为T =nrwr.( n n(3)正切函数在 一2 + k n , "2 + k n ( k € Z)上是增加的，不能写成闭区间，正切函数无递减 区间•课时对点练、选择题1.函数y = tan i x +专,x € R 且x 丰^n + k n , k € Z 的一个对称中心是(2.函数 f (x ) = 2tan( — x )是( )A.奇函数考点正切函数的奇偶性 题点正切函数的奇偶性 答案 A解析 因为f (— x ) = 2tan x = — 2tan( — x ) =— f (x )，且f (x )的定义域关于原点对称，所以 函数f (x ) = 2tan( — x )是奇函数. 3.满足tan A >— 1的三角形的内角A 的取值范围是( )A.(0 , 0)4c. 5n,0考点 正切函数的对称性 题点 求正切函数的对称中心答案 CD.( n , 0)C.奇函数，也是偶函数D.非奇非偶函数B.偶函数4• f (x ) = tan 4 x ,n = 0.6.下列关于函数 y = tan x +才的说法正确的是(4.下列各点中，不是函数 y=tan 4 — 2x 的图像的对称中心的是()n c nc3¥，0 C.a ,0D.—8 n，0考点正切函数的对称性 题点求正切函数的对称中心 答案 Cn k n小 n k n解析 令丁 — 2x = , k € Z ,得 x = ——-(k € Z).4 2 o 4n令 k = 0，得 x = $; 令 k =1，得 x =—-8 ；3 n令k = 2，得x = — -^.故选C.值是()nA.0B.1C. —1D.匸 考点正切函数的图像及应用 题点 正切函数的图像及应用 答案 An n解析 由题意，得T = —= 丁，••• 3 = 4.3 4A. 0,B.o ，nC. 3n, nD.考点 正切函数的单调性题点 利用正切函数的单调性解不等式 答案解析 因为A 为三角形的内角，所以 0<A <n . 又tanA >— 1，结合正切曲线得 A € 0 ,才「比5.函数f (x ) = tan 3 x ( 3 >0)的图像的相邻两支截直线y =n 所得的线段长为n ，则f nn 的Tt 32，4n2.13C.图像关于点［才，0成中心对称nD.图像关于直线x = 成轴对称6 考点正切函数的图像及应用题点正切函数的图像与性质的综合问题 答案 Bn n n 5 n n in 5 n ' \解析 令 k n --2<x +"3<k n +~2,解得 k n --^<x <k n +百,k € Z ,显然 一石,~6 不满 足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为n ，故B 正确；令x +n =k n ，解得x =宁-专，k € Z ,任取k 值不能得到x =子，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此234函数y =tan i x +才 的图像也没有对称轴，故 D 错误.故选A.在区间冗 ~6，5n 上是增加的B.最小正周期是7tB.2.14二、填空题考点正切函数的对称性7.已知 1 A. 2 B.考点 题点 答案解析 所以 sin n — a cos 2n — a tanCOs — n — a一1 C 迈D 一迪 2 2 D. 2 三角函数的诱导公式 利用诱导公式求值 由于,■ 3n tan i — a +"2Sin a COs asin3n—a +~2f ( a )—COS a31 I 3 n丿——COs3n 、 -a+〒31~3n的值为（ —COs acos —a+ 3nCOs a—sincos a a ，sin sin a =—COs a , 313n=—cos_ 7t3 =— COs弓18.函数 y = 3tan 3x + -4 f 【勺对称中心的坐标是题点求正切函数的对称中心 答案 \~6~—12，0（M Z ）k n k n解析由 3x +4 = -n （k € Z ），得 x = ~f- $（k € Z ）,所以对称中心的坐标为-g —12， 0（k € Z ）.9.函数y —屏x + 4tan x + 1, x € [-了，屮的值域为 考点正切函数的值域 题点正切函数的值域 答案 [—4, 4]片 f l7C7C解析•••— - < X < - ,•••— 1< tan X <1.令 tan x = t ，贝U t € [ — 1, 1], • y = — t 2+ 4t + 1 = — (t — 2)2+ 5.%••当 t = — 1，即 X = — "4时，y min = — 4 ,jr当 t = 1，即 x =—时，y max = 4. 故所求函数的值域为[—4, 4].10.函数y = 3tan w x +"g 的最小正周期是 专，贝卩®= 一一 考点正切函数的周期性 题点求正切函数的周期 答案 ±2三、解答题tan x + 1"判断函数f （x ）= ©kl 的奇偶性. 考点正切函数的奇偶性 题点判断正切函数的奇偶性解析T = —n —=—I 3 I = 2， w =± 2.由t-ta nx + 1 x —1 >0,得 tan x >1 或 tan x <— 1.•函数定义域为 k n —专,k n — "4 Unn ik n + —, k n + — (k € Z)，关于原点对称y = _5 = 3|O^ = ~T = —5.r r tan f—x 计1 tan x+ 1 (— tan x+1f ( —x) + f (x) = Ig + Ig = Ig -tan —x —1 tan x—1 —tan x—1 ••• f ( —x) =—f (x)，二f (x)是奇函数.12.求函数y = tan —的定义域、周期、单调区间和对称中心y 3丿考点正切函数的图像及应用题点正切函数的图像与性质的综合问题x n n 十 5 n解①由2一~3 中 k n+ , k€ Z,得X^2k n + , k€ Z.•••函数的定义域为jX x€ R且x M2k n+ , k € Z 二② T T= -1 = 2 n ,21 = 0. tan x —1③由心-H■一亍“+寺,k € Z，一n 5 n解得2k n ——<x<2k n + -^, k € 乙•函数的递增区间为2k n —n3, 2k n + 罟,k €乙x n k n ,口 2 n④由2—3 = ~2，k € Z,得x = k n + ~3-, k€ 乙•函数的对称中心是2nkn+ T，0 , k€ Z.13.已知角a的终边经过点P：3.(1)求sin a的值;sin ⑵求n2 — asin a + n 考点tan a —cos 3 n -三角函数定义与诱导公式匹一的值. a题点三角函数定义与诱导公式• sin a解(1)T|OP =sin acos a⑵原式一—sin atan a tan a cos a 1—cos a sin a sin a cos a '由余弦函数的定义得 COs a 4一 5，5故所求式子的值为匸.四、探究与拓展14.函数 y 一 sin x 与 y =tan x 的图像在区间［0 , 2n ］上交点的个数是多少?考点正切函数的图像题点 正切函数的图像解 因为当x € 0,手 时，tan x >x >sin x , k 2丿在区间［0 , 2n ］内的图像如图所示,点的距离为-2，且图像关于点 M —；，0对称，求f (x )的解析式. 考点正切函数综合问题 题点正切函数综合问题n解 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T =~2, 即—=n,- 3=2.32从而 f (x ) = tan(2 x + 0 )••••函数y =f (x )的图像关于点 M —〒，0对称，n 3 n即 0 = k n + ；或 0 = k n + 二~( k € Z).44所以当x € 0, -n E寸，y = sin x 与y = tan x 没有公共点，因此函数 y = sinx 与 y = tan x观察图像可15.设函数 f (x ) = tan( 3 x +0 )3 >0, o<o <专，已知函数 y = f (x )的图像与x 轴相邻两交2X f +0= k n8 k €Z ,］上有3个交点.n••• 0< 0 <-2,n0 只能取〒.4故f (x) = tan)2x+ -4 .。

§9三角函数的简单应用学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.思考现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？答案三角函数模型.梳理(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：收集、整理数据，建立数学模型.根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.(2)三角函数模型的建立程序如图所示：类型一 三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ).(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图像，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 考点 三角函数模型在物理中的应用 题点 三角函数模型在物理中的应用解 (1)由图可知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175.∴ω＝2πT＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6.(2)依题意知，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N ＋， 故所求最小正整数ω＝943.反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S (单位：cm)与时间t (单位：s)的函数关系是S ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6. (1)画出它的图像； (2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 考点 三角函数在物理中的应用 题点 三角函数在物理中的应用 解 (1)周期T ＝2π2π＝1(s).列表：描点画图：(2)①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 类型二 三角函数模型在生活中的应用例2 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在日常生活中的应用解 (1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值， 所以6ω＝π，即ω＝π6，所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0).(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距离地面60.5米. 由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8，所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米， 故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在距离地面2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m. 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处.这时此人所转过的角为2π300 t ＝π150t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sinπ150t ＋12(t ≥0). (2)由10sin π150t ＋12≥17，得sin π150t ≥12，则25≤t ≤125.故此人有100 s 相对于地面的高度不小于17 m.1.一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝ cm. 考点 三角函数模型在物理中的应用 题点 三角函数模型在物理中的应用 答案g4π2解析 ∵T ＝2πgl＝1，∴g l ＝2π，∴l ＝g 4π2. 2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为 ℃. 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 20.5解析 由题意可知A ＝28－182＝5，a ＝28＋182＝23，从而y ＝5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)＋23.故10月份的平均气温值为y ＝5cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6×4＋23＝20.5.3.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h (m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h 关于时间t 的函数解析式为 .考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用 答案 h ＝－6sin π6t ，t ∈[0，24]解析 根据题图设h ＝A sin(ωt ＋φ)， 则A ＝6，T ＝12，2πω＝12，∴ω＝π6.点(6，0)为“五点”作图法中的第一点， ∴π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π， ∴h ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π＝－6sin π6t ，t ∈[0，24]. 4.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 解 (1)因为f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温. 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.一、选择题1.如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为－5 cmC.该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D.该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 考点 三角函数模型在物理中的应用 题点 三角函数模型在物理中的应用答案 D解析 该质点的振动周期为T ＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A 是错误的；该质点的振幅为5 cm ，故B 是错误的；该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零，故C 是错误的.故选D. 2.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( ) A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)B.f (x )＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N ＋)C.f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 A解析 令x ＝3可排除D ，令x ＝7可排除B ，由A ＝9－52＝2可排除C.或由题意，可得A ＝9－52＝2，b ＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7.∵当x ＝3时，f (x )＝9， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋7＝9，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1. ∵|φ|＜π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋).3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则人流量是增加的时间段为( )A.[0，5]B.[5，10]C.[10，15]D.[15，20]考点 三角函数模型在生活中的应用题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 C解析 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z 知，函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.4.如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A.ω＝2π15，A ＝3B.ω＝152π，A ＝3C.ω＝2π15，A ＝5D.ω＝152π，A ＝5考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 A解析 由题意可知最大值为5，所以5＝A ×1＋2⇒A ＝3.T ＝15 s ，则ω＝2π15.故选A. 5.如图所示为2018年某市某天中6 h 至14 h 的温度变化曲线，其近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，π2<φ<π的半个周期的图像，则该天8 h 的温度大约为( )A.16 ℃B.15 ℃C.14 ℃D.13 ℃ 考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用 答案 D解析 由题意得A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，∵2×(14－6)＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20， 将x ＝6，y ＝10代入得10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×6＋φ＋20＝10，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，由于π2<φ<π，可得φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6，14].当x ＝8时，y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×8＋3π4＋20＝20－52≈13，即该天8 h 的温度大约为13 ℃，故选D.6.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系.设秒针针尖的位置为P (x ，y )，若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针针尖从P 0(注：此时t ＝0)开始正常走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 C解析 由题意，可得函数的初相是π6，排除B ，D.又函数的最小正周期是60，且秒针按顺时针走动，即T ＝2π|ω|＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选C.7.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )考点 三角函数模型在物理中的应用 题点 三角函数模型在物理中的应用 答案 C解析 取特殊值检验，由题意及图知f (0)＝2，排除A ，D ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，故选C. 二、填空题8.设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin 160πt ，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是 . 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 80解析 T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T＝80(次/分).9.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 .考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 8解析 由y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k 可知，y min ＝－3＋k ，所以－3＋k ＝2，即k ＝5，所以y max ＝3＋k ＝8.10.如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动.开始时小球在平衡位置上方2 cm 处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm ，每经过π s 小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y 与振动时间x 的关系式可以是 .考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在物理学方面的应用 答案 y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6解析 不妨设y ＝A sin(ωx ＋φ). 由题意知A ＝4，T ＝π，所以ω＝2πT＝2.当x ＝0时，y ＝2，且小球开始向上运动， 所以有φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，不妨取φ＝π6，故所求关系式可以为y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.11.电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数I ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图像如图所示，则当t ＝150秒时，电流强度是 安.考点 三角函数在物理中的应用 题点 三角函数在物理中的应用 答案 5 三、解答题12.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？ 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 解 (1)如图所示建立平面直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角. OP 每秒钟内所转过的角为2π60＝π30， 则OP 在时间t (s)内所转过的角为π30t .由题意可知水轮逆时针转动， 得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π6＝1， 令π30t －π6＝π2，得t ＝20， 故点P 第一次到达最高点大约需要20 s. 四、探究与拓展13.一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32 m(即OM 长)，巨轮的半径长为30 m ，AM ＝BP ＝2 m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为h (t ) m ，则h (t )等于( )A.30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t －π2＋30B.30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋30C.30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋32D.30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 B解析 过点O 作地面的平行线作为x 轴，过点O 作x 轴的垂线，作为y 轴，过点B 作x 轴的垂线BN 交x 轴于N 点，如图，点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是2π12＝π6，所以t 分钟转过的弧度数为π6t .设θ＝π6t ，当θ>π2时，∠BON ＝θ－π2，h ＝OA ＋BN ＝30＋30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，当0<θ<π2时，上述关系式也适合.故h ＝30＋30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋30.14.(2017·福建龙岩一中高一月考)某海滨浴场一天的海浪高度y (m)是时间t (0≤t ≤24)(h)的函数，记作y ＝f (t )，下表是某天各时的浪高数据：(1)选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y (m)与时间t (h)的函数关系； (2)依据规定，当海浪高度不小于1 m 时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的8 h 至20 h 之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？ 考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用解 (1)以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：依据散点图，可以选用函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y (m)与时间t (h)的函数关系. 从表中数据和散点图，可知A ＝1.5－0.52＝12，T ＝12，所以2πω＝12，得ω＝π6.又h ＝1.5＋0.52＝1，于是y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋1.由图，知π6×0＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|≤π2，所以φ＝π2，从而y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π2＋1，即y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24).(2)由题意，可知y ≥1，所以12cos π6t ＋1≥1，即cos π6t ≥0，所以2k π－π2≤π6t ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －3≤t ≤12k ＋3(k ∈Z ).又0≤t ≤24，所以0≤t ≤3或9≤t ≤15或21≤t ≤24.故一天内的8 h 至20 h 之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即9 h 至15 h.。

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§8函数y＝A sin（ωx＋φ）的图像与性质（一）学习目标 1.结合具体实例,了解y＝A sin（ωx＋φ) 的实际意义（重点).2.能借助计算器或计算机画出y＝A sin（ωx＋φ）的图像，观察参数A,ω、φ对函数图像变化的影响（难点）．知识点1 振幅变换(1）在函数y＝A sin x(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A 为振幅．（2)要得到函数y＝A sin x（A＞0，A≠1）的图像,只要将函数y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时)到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．【预习评价】（1)函数y＝－2sin错误!的最大值为________最小值为________．答案 2 －2(2)函数y＝－错误!cos x取得最大值时的x的集合为________．答案{x｜x＝2kπ＋π,k∈Z｝知识点2 相位变换（1)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位．(2）对于函数y＝sin（x＋φ)(φ≠0）的图像,可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动｜φ｜个单位长度得到的．【预习评价】(1）如何由y＝sin x的图像变换为y＝sin错误!的图像？提示向左平移错误!个单位长度．（2）如何由y＝sin错误!的图像变换为y＝sin x的图像？提示向右平移错误!个单位长度知识点3 周期变换(1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝错误!，通常称周期的倒数f＝错误!＝错误!为频率．（2）对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时)到原来的错误!倍（纵坐标不变)而得到的．【预习评价】1．函数y＝2sin错误!的周期、振幅依次是（）A．4π，－2 B．4π，2C．π,2D．π，－2答案B2．若函数y＝3sin ωx的最小正周期为π，则ω＝________。

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》5正弦函数的图像导学案 北师大版必修4【学习目标】1.会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图像.2.掌握正弦函数图像的“五点作图法”.【重点难点】重点：“五点作图法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图像.难点：利用单位圆中的正弦线画正弦函数图像.【使用说明】首先从单位圆中观察正弦函数x y sin =的简单性质（定义域、值域、周期、区间]2,0[π上的单调性等），然后了解正弦函数图像的三种画法：描点法，几何法，五点法，特别是“五点法”应予以重视，最后通过完成合作探究进一步加深对“五点作图法”的理解.【自主学习】3. 正弦函数的图像（1）描点法：按照_______，________，________的顺序可作出正弦函数的图像.（2）几何法：①在x 轴上点)0,1(-的左侧任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆；②从圆1O 与x 轴交点A 起把圆1O 分成16等份；③过圆上各分点作x 轴的垂线，可得对应于角πππππ2,,2,83,4,8,0Λ的正弦线；④相应的再把x 轴上从原点O 开始，把π2~0这段分成16等份；⑤把各角的正弦线平移，使正弦线的起点与x 轴上的对应的点重合；⑥用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就可以得到函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图像；⑦利用函数的周期就可以得到函数x y sin =，R x ∈的图像.（3）五点法：函数x y sin =在]2,0[π∈x 上的图像有五个关键点非常重要，分别是与x 轴的三个交点（可称为平衡点）、最高点、最低点，即：)0,0(， )1,2(π，)0,(π，)1,23(-π，)0,2(π.只要描出这五个点后，函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图像的形状基本上就确定了. 因此，在精确度要求不太高时，常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图.【课堂检测】1. x y sin 1+=，]2,0[π∈x 的图像与直线23=y 的交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32.利用正弦线比较83sin ,8sin ,6sin πππ的大小关系是（ ） A. 83sin 6sin 8sin πππ<< B. 83sin 8sin 6sin πππ<< C. 8sin 6sin 83sin πππ<< D. 6sin 8sin 83sin πππ<<【课堂小结】【课后训练】1. 用五点法画出函数x y sin 2-=在区间]2,0[π上的简图.2. 令)18sin(π-=a ，)10sin(π-=b ，则b a ,的大小关系是_________.。

1.5 正弦函数课堂导学三点剖析1.正弦函数的定义及诱导公式【例1】 sin （-2 010°）的值是（ ） A.-21 B.23 C.21D.23-解析:∵-2 010°=-6×360°+150°，∴-2 010°的终边与150°角的终边相同.∴sin（-2 010°）=sin150°=sin（180°-30°） =sin30°=21. 答案：C 友情提示求解任意角的三角函数值时，应先将该任意角化负为正，化大为小（在0°—360°内），再利用诱导公式求值. 各个击破 类题演练 1求下列各式的符号：（1）sin(4π-)；(2)sin 311π. 解：(1)∵4π-是第四象限角，∴sin(4π-)＜0.(2)∵sin(311π)=sin(2π+35π),而35π是第四象限角，∴sin 311π＜0变式提升 1已知x∈［0，6π］，且sinx=2m+1，则m 的取值范围是_____________. 解析:由于0≤x≤6π，且y=sinx 在［0，6π］上为增函数，∴sin0≤sinx≤sin 6π，即0≤sinx≤21.∴0≤2m+1≤21，从而-21≤m≤-41.答案：［-21，-41］2.正弦函数性质的综合应用【例2】 判断函数f(x)=lg(sinx+x 2sin 1+)的奇偶性.思路分析:判断函数的奇偶性，主要依据定义，要注意一下两个要点：（1）定义域是否关于原点对称；（2）是否满足f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x).解:显然f(x)的定义域为R .f(-x)=lg ［sin(-x)+)(sin 12x -+］ =lg(-sinx+x 2sin 1+) =lg(xx 2sin 1sin 1++)=-lg(sinx+x 2sin 1+)=-f(x)，∴f(x)为奇函数. 友情提示有些同学容易被函数解析式的复杂性所迷惑，当函数的式子较复杂时，我们可以用变形f(-x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0，则f(x)为偶函数. 类题演练 2求函数y=1sin 2+x 的定义域.解析：由题意知，需2sinx+1≥0,也即需sinx≥21-,① 在一周期［-2π,23π］上符合①的角为［67,6ππ-］,由此可得函数定义域为 ［2kπ-6π,2kπ+67π］(k∈Z ).变式提升 2(2005上海高考) 函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______.解析：f(x)=⎩⎨⎧∈-∈-]2,(,sin ],,0[,sin 3πππx x x x由图象知1＜k ＜3.答案：1＜k ＜3 3.正弦函数的图象【例3】 作出函数y=-sinx(0≤x≤2π)的图象.解析:利用“五点法”作图，关键是找出五个关键点，所以，最好利用列表整理数据，使问题既清晰又准确. x2π π23π 2πSinx 0 1 0 -1 0 -sinx 0-11（2）描点作图友情提示由于正弦曲线直观地表现了正弦函数的各种性态，因此要熟悉图象，理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y=sinx 的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x 轴的交点.一般地，观察y=sinx 的一个周期，常常是［0，2π］或［-2π，23π］.类题演练 3用“五点法”画函数y=-1+sinx,x∈［0,2π］的简图. x 0 2ππ 23π 2π Sinx 0 1 0 -1 0 -1+sinx-1-1-2-1变式提升 3对于函数y=|sinx|，作出它的图象，写出它的定义域、值域、单调递增区间，并判断其奇偶性、周期性.解析：y=|sinx|的图象为： y=|sinx|的定义域是R ，值域为［0，1］，单调递增区间：［kπ,kπ+2π］,k∈Z ,它是偶函数，其周期为π.。

1.5 正弦函数课堂导学三点剖析1.正弦函数的定义及诱导公式【例1】 sin （-2 010°）的值是（ ） A.-21 B.23 C.21D.23-解析:∵-2 010°=-6×360°+150°，∴-2 010°的终边与150°角的终边相同.∴sin（-2 010°）=sin150°=sin（180°-30°） =sin30°=21. 答案：C 友情提示求解任意角的三角函数值时，应先将该任意角化负为正，化大为小（在0°—360°内），再利用诱导公式求值. 各个击破 类题演练 1求下列各式的符号：（1）sin(4π-)；(2)sin 311π. 解：(1)∵4π-是第四象限角，∴sin(4π-)＜0.(2)∵sin(311π)=sin(2π+35π),而35π是第四象限角，∴sin 311π＜0变式提升 1已知x∈［0，6π］，且sinx=2m+1，则m 的取值范围是_____________. 解析:由于0≤x≤6π，且y=sinx 在［0，6π］上为增函数，∴sin0≤sinx≤sin 6π，即0≤sinx≤21.∴0≤2m+1≤21，从而-21≤m≤-41.答案：［-21，-41］2.正弦函数性质的综合应用【例2】 判断函数f(x)=lg(sinx+x 2sin 1+)的奇偶性.思路分析:判断函数的奇偶性，主要依据定义，要注意一下两个要点：（1）定义域是否关于原点对称；（2）是否满足f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x).解:显然f(x)的定义域为R .f(-x)=lg ［sin(-x)+)(sin 12x -+］ =lg(-sinx+x 2sin 1+) =lg(xx 2sin 1sin 1++)=-lg(sinx+x 2sin 1+)=-f(x)，∴f(x)为奇函数. 友情提示有些同学容易被函数解析式的复杂性所迷惑，当函数的式子较复杂时，我们可以用变形f(-x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0，则f(x)为偶函数. 类题演练 2求函数y=1sin 2+x 的定义域.解析：由题意知，需2sinx+1≥0,也即需sinx≥21-,① 在一周期［-2π,23π］上符合①的角为［67,6ππ-］,由此可得函数定义域为 ［2k π-6π,2k π+67π］(k∈Z ). 变式提升 2(2005上海高考) 函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______.解析：f(x)=⎩⎨⎧∈-∈-]2,(,sin ],,0[,sin 3πππx x x x由图象知1＜k ＜3.答案：1＜k ＜3 3.正弦函数的图象【例3】 作出函数y=-sinx(0≤x≤2π)的图象.解析:利用“五点法”作图，关键是找出五个关键点，所以，最好利用列表整理数据，使问题既清晰又准确.（2）描点作图友情提示由于正弦曲线直观地表现了正弦函数的各种性态，因此要熟悉图象，理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y=sinx 的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x 轴的交点.一般地，观察y=sinx 的一个周期，常常是［0，2π］或［-2π，23π］.类题演练 3用“五点法”画函数y=-1+sinx,x∈［0,2π］的简图.变式提升 3对于函数y=|sinx|，作出它的图象，写出它的定义域、值域、单调递增区间，并判断其奇偶性、周期性.解析：y=|sinx|的图象为： y=|sinx|的定义域是R ，值域为［0，1］，单调递增区间：［k π,k π+2π］,k∈Z ,它是偶函数，其周期为π.。

5．1 正弦函数的图像学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．知识点一几何法作正弦函数的图像思考1 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图像的？其基本步骤是什么？梳理正弦函数的图像叫作____________．知识点二“五点法”作正弦函数的图像思考1 描点法作函数图像有哪几个步骤？思考2 “五点法”作正弦函数在x∈[0,2π]上的图像时是哪五个点？梳理“五点法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图像的步骤：(1)列表x 0π2π3π22πsin x 010－10(2)描点画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，五个关键点是________________________________________________________________________；(3)连线用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图．类型一“五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．跟踪训练1 作出函数y ＝－sin x (0≤x ≤2π)的简图．类型二 利用正弦函数图像求定义域例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．跟踪训练2 求函数y ＝ log 21sin x－1的定义域．1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图像时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π32．下列图像中，y ＝－sin x 在[0,2π]上的图像是( )3．不等式sin x ＞0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π24．函数y＝2sin x －1的定义域为__________________________________________________． 5．用“五点法”画出函数y ＝2－sin x 的简图．1．对“五点法”画正弦函数图像的理解(1)与前面学习函数图像的画法类似，在用描点法探究函数图像特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图像的“关键点”，就可以根据函数图像的变化趋势画出函数图像的草图．(2)正弦型函数图像的关键点是函数图像中最高点、最低点以及与x轴的交点．2．作函数y＝a sin x＋b的图像的步骤：3．用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0,2π]内的图像，如果要画出在其他区间上的图像，可依据图像的变化趋势和周期性画出．答案精析问题导学 知识点一思考1 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：①作出单位圆：作直角坐标系，并在直角坐标系中y 轴左侧的x 轴上取一点O 1，作出以O 1为圆心的单位圆；②等分单位圆，作正弦线：从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份．过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线；③找横坐标：把x 轴上从0到2π这一段分成12等份；④找纵坐标：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上对应的点x 重合，从而得到12条正弦线的12个终点；⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像，如图．因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π)，k ∈Z 且k ≠0的图像与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图像的形状完全一致．于是只要将函数y ＝sinx ，x ∈[0,2π)的图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像，如图．梳理 正弦曲线 知识点二思考1 列表、描点、连线． 思考2画正弦函数图像的五点(0，0) ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1 (2π，0)梳理 (2)(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)题型探究例1 解 (1)取值列表：x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121描点连线，如图所示．跟踪训练1 解 (1)列表：x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x－11描点并用光滑的曲线连接起来，如图．例2 解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，－4≤x ≤4，作出y ＝sin x 的图像，如图所示．结合图像可得x ∈[－4，－π)∪(0，π)．跟踪训练2 解 为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即0<sin x ≤12.由正弦函数的图像或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为{x |2k π<x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z }．当堂训练 1．B 2.D 3.B4．[π6＋2k π，5π6＋2k π]，k ∈Z5．解 (1)取值列表如下：x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 2－sin x21232(2)描点、连线，如图所示．。