高考数学热点难点突破技巧精讲第03讲导数中的二次求导问题

高考导数的题型及解题技巧高考中，导数是数学必修内容之一，也是考生需要重点掌握的知识点之一。

导数作为微积分的基础，不仅能帮助我们求出函数的极值、最大值、最小值等，还能证明函数的性质，解决数学问题。

在高考中，涉及导数的题目类型有很多，以下是常见的几种题型及解题技巧。

一、求导数求导数是导数的基础操作，也是高考中出现频率最高的题型之一。

求导数的方法有很多，如极限法、公式法、差商法、反函数法等。

在解题时，需要掌握各种方法，依据题目的具体情况选择合适的方法求解。

二、函数的单调性和极值要判断函数的单调性和极值，需要先求出函数的导数，然后通过导数的符号来判断函数的单调性和极值。

如果导数为正，则函数单调递增；如果导数为负，则函数单调递减；如果导数为0，则函数取极值。

在解题时，需要注意导数为0时，还需要判断函数是否具有拐点。

三、曲线的凹凸性和拐点要判断曲线的凹凸性和拐点，同样需要求出函数的导数和二阶导数，然后通过二阶导数的符号来判断曲线的凹凸性和拐点。

如果二阶导数为正，则曲线凹向上；如果二阶导数为负，则曲线凹向下；如果二阶导数为0，则曲线具有拐点。

在解题时，需要注意拐点处是否是函数的极值点。

四、函数的应用题导数在实际生活中有很多应用，如速度、加速度、最优化等。

在解决这类题目时，需要将问题转化为函数的导数问题，然后根据导数的性质求解。

在解题时，需要理解速度、加速度等概念，并注意题目中给定的条件。

总之，导数是高考数学的重点和难点，需要考生认真掌握，熟练运用。

在复习时，建议多做例题，掌握各种求导方法和计算技巧，熟悉各种题型的解题思路，才能在考试中发挥出自己的水平。

难点4 三个“二次”及关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.●难点磁场已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值范围. ●案例探究［例1］已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围.命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目.知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.(1)证明：由⎩⎨⎧-=++=bxy cbx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)解：设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－a b 2,x 1x 2=ac . |A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(2222222++=++=---=-=--=a c a c a c a acc a a ac b a c a b∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0∴a >－a －c >c ,解得ac ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是21-=a c .ac ∈(－2,－21)时，为减函数∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3).［例2］已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义. 错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过) ●锦囊妙计1.二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n .(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21(p +q ). 若－ab2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0,则f (－ab2)=m ,f (q )=M ;若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M ,f (－ab 2)=m ; 若－ab2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m . 2.二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件.(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0; (2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立.(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a .3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0;(2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+a b 2|<|β+a b 2|,当a <0时，f (α)<f (β)⇔|α+ab 2|> |β+ab2|; (3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p ,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p a b a b f q ab p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或 ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞,2]B.[－2,2]C.(－2,2]D.(－∞,－2)2.(★★★★)设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能 二、填空题3.(★★★★★)已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________.4.(★★★★★)二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★★)已知实数t 满足关系式33log log aya t a a = (a >0且a ≠1)(1)令t=a x ,求y =f (x )的表达式；(2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值. 6.(★★★★)如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.7.(★★★★★)二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m >0,求证：(1)pf (1+m m)<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？参考答案难点磁场解：由条件知Δ≤0,即(－4a ）2－4(2a +12)≤0,∴－23≤a ≤2(1)当－23≤a ＜1时，原方程化为：x =－a 2+a +6,∵－a 2+a +6=－(a －21)2+425.∴a =－23时，x mi n =49,a =21时，x max =425.∴49≤x ≤425. (2)当1≤a ≤2时，x =a 2+3a +2=(a +23)2－41∴当a =1时，x mi n =6,当a =2时，x max =12,∴6≤x ≤12.综上所述,49≤x ≤12.歼灭难点训练一、1.解析：当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a =2,当a －2≠0时，则a满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2.答案：C2.解析：∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =21,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1), ∴m －1＜0,∴f (m －1)>0. 答案：A二、3.解析：只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1.∴p ∈(－3,23). 答案：(－3，23）4.解析：由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， ∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0. 答案：－2＜x ＜0三、5.解：(1）由log a 33log aya t t =得log a t －3=log t y －3log t a 由t =a x 知x =log a t ，代入上式得x －3=xx y a 3log -,∴log a y =x 2－3x +3，即y =a 332+-x x (x ≠0).(2)令u =x 2－3x +3=(x －23)2+43(x ≠0),则y =a u ①若0＜a ＜1,要使y =a u 有最小值8，则u =(x －23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值.②若a >1,要使y =a u 有最小值8，则u =(x －23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值∴当x =23时，u mi n =43,y mi n =43a由43a =8得a =16.∴所求a =16,x =23. 6.解：∵f (0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意.(2）当m >0时，则⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030mm 解得0＜m ≤1综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}.7.证明：(1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+ ])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p m pm pm m r m q m pm pm)2()1(122++-=m m pm ,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (1+m m)＜0.(2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r ①当p ＜0时，由(1）知f (1+m m)＜0 若r >0,则f (0)>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(0，1+m m)内有解; 若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－m r m p -+2)+r =mrm p -+2>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(1+m m ,1)内有解.②当p ＜0时同理可证.8.解：(1）设该厂的月获利为y ,依题意得 y =(160－2x )x －(500+30x )=－2x 2+130x －500 由y ≥1300知－2x 2+130x －500≥1300∴x 2－65x +900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.(2）由(1）知y =－2x 2+130x －500=－2(x －265)2+1612.5∵x 为正整数，∴x =32或33时，y 取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.Von Neumann 说过：In mathematics you don't understand things .You just get used to them. 掌握了课本，一般的数学题就都可以做了。

二次求导是高中数学中的一个重要概念，它对于解决一些函数问题具有非常重要的作用。

下面我将通过一些经典例题来介绍二次求导的应用和解题技巧。

例1：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 1在区间[0, 2]上的最大值。

解：首先，我们需要对函数f(x)进行二次求导，得到f’(x) = 3x^2 - 6x。

当x在区间[0, 2]上时，f’(x)的符号由负变正，说明函数f(x)在区间[0, 2]上先减后增，所以最大值为f(2) = 8。

例2：求函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 - 1在区间[0, 2]上的极值点。

解：首先，我们需要对函数f(x)进行二次求导，得到f’(x) = 4x^3 - 12x^2 + 4x。

令f’(x) = 0，得到x = 0或x = 1或x = 3/2。

当x在区间[0, 2]上时，只有x = 1是极值点，且为极大值点。

例3：求函数f(x) = x^3 - x^2 - x + 5在区间[-1, 1]上的单调区间。

解：首先，我们需要对函数f(x)进行二次求导，得到f’(x) = 3x^2 - 2x - 1。

当f’(x) > 0时，得到x > 1或x < -1/3；当f’(x) < 0时，得到-1 < x < 1。

所以函数f(x)在区间[-1, -1/3]和[1, 1]上单调递减，在区间[-1/3, 1]上单调递增。

总结：二次求导是解决一些函数问题的重要工具，通过它可以判断函数的单调性、极值点等性质。

在进行二次求导时，需要注意导函数的符号变化，以及极值点和单调区间的判断方法。

同时，解题时还需要结合函数的定义域和性质进行分析，才能得到正确的答案。

除了以上三个例题外，二次求导还可以应用于解决一些其他类型的函数问题，如最值问题、零点问题、方程根的问题等。

只要掌握了二次求导的基本方法和技巧，就可以轻松应对各种数学问题。

二次函数的导数与极值二次函数是一类以x的二次幂为最高次幂的函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a不等于0。

在本文中，我们将探讨二次函数的导数以及如何利用导数找到二次函数的极值。

一、二次函数的导数二次函数的导数即该函数的斜率。

要计算二次函数的导数，可以使用常规的求导方法。

以一般形式的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 为例，我们可以按照求导法则逐项求导。

首先，对于每一项 ax^2，其导数为 2ax。

对于 bx，其导数为 b。

对于常数项 c，其导数为0。

因此，二次函数 f(x) 的导数可以表示为 f'(x) = 2ax + b。

二、二次函数的极值在求解二次函数的极值之前，我们需要了解极值点的概念。

一个函数的极值点可以是极大值或者极小值。

对于二次函数来说，极值点通常是一个顶点。

要找到二次函数的极值点，首先需要求导得到二次函数的导函数。

在上一节中，我们已经得到了二次函数 f(x) 的导函数 f'(x) = 2ax + b。

接下来，我们需要找到导函数 f'(x) 的零点，即使其等于0的x值。

通过求解 2ax + b = 0这个方程，我们可以得到x的值。

假设我们求解得到的x值为 x0，则在二次函数 f(x) 中，这个x值对应的y值就是极值点的纵坐标。

因此，极值点可以表示为(x0, f(x0))。

如果二次函数的二次系数 a 大于0，则极值为最小值；如果 a 小于0，则极值为最大值。

三、应用举例为了更好地理解二次函数的导数与极值，我们举两个具体的例子来说明。

例子1：考虑二次函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 3。

首先，计算导函数 f'(x) = 4x - 4。

接着，令导函数 f'(x) = 0，解得 x = 1。

因此，当 x = 1 时，二次函数 f(x) 达到极小值，极小值为 f(1) = 1。

例子2：考虑二次函数 f(x) = -3x^2 + 6x + 2。

高考专题：二次求导例题1、已知函数f(x)＝ln x－.(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．例题2、设f(x)＝ln x＋ax(a∈R且a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a＝1，证明：x∈[1，2]时，f(x)－3<成立．例题3.已知函数函数在x=1处的切线与直线垂直.（1）求实数a的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.例题4、已知函数（为常数，为自然对数的底）（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上无零点，求的最小值；（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．强化训练1、已知函数在点处的切线方程为，且对任意的，恒成立.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求实数的最小值；（Ⅲ）求证：（）2.已知函数（Ⅰ）试判断函数的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）求证：.参考答案例题1、【解】(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f(x)<x2，∴ln x－<x2.又x>0，∴a>x ln x－x3.令g(x)＝x ln x－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，h′(x)＝－6x＝∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数．g(x)<g(1)＝－1，∴当a≥－1时，f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立．那a的取值范围是[－1，＋∞)．例题2、【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋a，当a>0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．当a<0时，f′(x)＝，由f′(x)>0得0<x<－；由f′(x)<0得，x>－.∴函数f(x)在(0，－)上是增函数；在(－，＋∞)上是减函数．(2)证明：当a＝1时，f(x)＝ln x＋x，要证x∈[1，2]时，f(x)－3<成立，只需证x ln x＋x2－3x－1<0在x∈[1，2]时恒成立．令g(x)＝x ln x＋x2－3x－1，则g′(x)＝ln x＋2x－2，设h(x)＝ln x＋2x－2，则h′(x)＝＋2>0，∴h(x)在[1，2]上单调递增，∴g′(1)≤g′(x)≤g′(2)，即0≤g′(x)≤ln 2＋2，∴g(x)在[1，2]上单调递增，∴g(x)≤g(2)＝2ln 2－3<0，∴当x∈[1，2]时，x ln x＋x2－3x－1<0恒成立，即原命题得证．例题3、解：(1) ∵，. ∵与直线垂直，∴，∴.（2）由题知在上有解，设，则，所以只需故b的取值范围是.，故所求的最小值是例题4、（1）时，由得得故的减区间为增区间为（2）因为在上恒成立不可能故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立即时，令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为（3），当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为当时，不合题意当时，故①此时，当变化时，，的变化情况如下时，，任意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满足下列条件即②即③令令得，当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立由③解得④，由①④当时对任意，在上存在两个不同的使成立强化训练1、解：（Ⅰ）将代入直线方程得，∴①，∴②①②联立，解得∴（Ⅱ），∴在上恒成立；即在恒成立；设，，∴只需证对于任意的有设，1）当，即时，，∴在单调递增，∴2）当，即时，设是方程的两根且由，可知，分析题意可知当时对任意有；∴，∴综上分析，实数的最小值为.（Ⅲ）令，有即在恒成立-令，得∴，∴原不等式得证.强化训练2、【解析】：（Ⅰ）故在递减…3分（Ⅱ）记………5分再令在上递增。

二次求导法解高考导数题胡贵平（甘肃省白银市第一中学 ，甘肃 白银 730900）导数是研究函数性质的一种重要工具，用导函数判断原函数的单调性，如果导函数大于零，则原函数为增，导函数小于零，则原函数为减.而当导数与0的大小确定不了时，对导函数或导函数中的一部分再构造，继续求导，也就是二次求导，不失为一种妙法，下面我们结合高考题来看看二次求导数题中的应用.１ （2017年高考课标Ⅱ卷（文）（21））设函数2()(1)e x f x x =-. （I ）讨论()f x 的单调性；(II)当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围.解：（I ）略.(II)当0x ≥时，()1f x ax ≤+等价于2(1)1x ax x e ≥--.若=0x ，显然成立，a R ∈.若0x >时，2(1)1x x e a x --≥，设2(1)1()x x e g x x--=， 2232222(1)(1)1(1)1()x x x x xe x e x x e x x x e g x x x ⎡⎤⎡⎤-+------+-+⎣⎦⎣⎦'== ，令32()(1)1x h x x x x e =--+-+，32()(4)0x h x e x x x '=-++<，所以()h x 在(0,)x ∈+∞内是减函数，易知(0)=0h ，所以当(0,)x ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递减，所以22022000(1)1(101(1)1lim lim (1)1x x x x x x x e e x e x e x x →→=⎡⎤-------'⎣⎦⎡⎤==--⎣⎦）20(21)=1x x x x e =⎡⎤=--+⎣⎦，所以1a ≥，综上所述，a 的取值范围是[)1+∞，. ２ （2016年高考课标Ⅱ卷（文）（20）） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；(II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.解：（I ）略.(II)当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 1x x a x +<-，设(1)ln ()1x x g x x +=-， 2221(ln )(1)(1)ln 2ln 1()(1)(1)x x x x x x x x x g x x x x ++--+--'==-- ，令2()2ln 1h x x x x =--，()22ln 22(ln 1)0h x x x x x '=--=-->，所以()h x 在()1,x ∈+∞内是增函数，易知(1)=0h ，所以当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，所以()g x 在()1,x ∈+∞上单调递增，所以[]1111(1)ln (1)ln (11)ln1(1)lim lim (1)ln ln 211x x x x x x x x x x x x x x x →→==++-++⎡⎤'==+=+=⎢⎥--⎣⎦，所以2≤a ，即a 的取值范围是(],2-∞.3 （2010年高考安徽卷（理）（17））设a 为实数，函数()22,x f x e x a x R =-+∈. （Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a ＞ln21-且x ＞0时，x e ＞221x ax -+.解：（I ）略.（Ⅱ）设()221x g x e x ax =-+-， 则()22x g x e x a '=-+， 继续对()g x '求导得()2xg x e ''=- ，当x 变化时()g x ''，()g x '变化如下表由上表可知()()ln 2g x g ''≥，而()()ln2ln 22ln 2222ln 222ln 21g e a a a '=-+=-+=-+，由a ＞ln21-知 ()ln 20g '>，所以()0g x '>，即()g x 在区间()0,+∞上为增函数.于是有()(0)g x g >，而()02002010g e a =-+⨯-=，故()0g x >，即当a ＞ln21-且x ＞0时，x e ＞221x ax -+. 4（2008年高考湖南卷（理）（21））已知函数22()ln (1)1x f x x x =+-+. (I) 求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若不等式1(1)n a e n ++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）.求a 的最大值.解：（I ）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞， 22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)x x x x x x x f x x x x ++++--'=-=+++. 设2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2g x x x '=+-.令()2ln(1)2h x x x =+-，则22()211x h x x x-'=-=++. 当10x -<<时， ()0h x '>，从而()h x 在(1,0)-上为增函数，当0x >时，()0h x '<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数.所以h (x )在0x =处取得极大值，而(0)0h =，所以()0(0)g x x '<≠，函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数.于是当10x -<<时，()(0)0g x g >=，当0x >时，()(0)0g x g <=.所以当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在(1,0)-上为增函数.当0x >时，()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数.故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞.（Ⅱ）略.。