导数题型归纳
请同学们高度重视：
首先，关于二次函数的不等式 恒成立的主要解法： 1分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法
5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问 题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立;
1此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f '(x)
0得到两个根；
第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值 ——用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(
>0,=0,<0)
第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元)；
例1：设函数y f (x)在区间D 上的导数为f (x)， f (x)在区间D 上的导数为g(x)，若在区间D 上，g(x) 0恒成立，则称函数y f (x)在区间D 上为“凸函数”，已知实数 m 是常数，
(2)若对满足 m 2的任何一个实数 m ,函数f (x)在区间a,b 上都为“凸函数”，求b
解法二：分离变量法：
当x 0时，g(x) x 2 mx 3 3 0恒成立，
则 g(x) x 2 mx 3 0在区间［0,3］上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值 g(0) 0
3 0 g(3) 0
9 3m 3 0
入手：等价于g max (x) f(x)
x 4 mx 3 3x 1 2 12 6 2
(1 )若y f (x)在区间
0,3上为“凸函数” ，求m 的取值范围;
4
x 解：由函数f(x) 12 2 g (x) x mx 3
3
mx 6 牛得f (x) 2
mx 3x 2
a 的最大
2
当 Ox 3 时，g(x)
x 2
3
等价于m -—3
x 3 而 h(x) x ( 0
x
m 2
(2) •••当m 2时f (x)在区间 则等价于当m 2时g(x):
解法三：变更主元法
2
再等价于F(m) mx x
2
x mx 3
0恒成立
3
的最大值(0x3 )恒成立,
x
3 )是增函数，贝y h max (X ) h(3)
I a,b 上都为“凸函数” 2
x
mx 3 0恒成立
2恒成立 例2 :设函数f(x)
F( F(2)
b
2) 1
3
x 2ax
3
(I)求函数f (x )的单调区间和极值; 3a 2x b(0
(n)若对任意的 x [a 1, a
(二次函数区间最值的例子)
(视为关于 2
2x x 3 2x x 2
3
1,b R)
m 的一次函数最值问题)
2],不等式f (x)
a 恒成立，求a 的取值范围.
x 3a x a
解: (I) f (x) 令 f (X )
0,得f (x)的单调递减区间为
x 2 4ax 3a 2
当x= 3a 时, f(x) 极大值 =b.
x=a 时，f (x) 极小值=—a 3 4
b
；
由| f (x) a ,得：对任意的
[a 1,a 2],
x 2
4ax
2
3a a 恒成立①
g max (x) a
则等价于g(x)这个二次函数amax
g min (x) a
g(x) x
2
4ax 3a 的对称轴x 2a
g(x) x 2 4ax 3a 2在[a 1,a 2]上是增函数.
g(x)max g(a 2) 2a 1. g(x)min g(a 1)
4a 4.
于是，对任意x [a 1,a
2]，不等式①恒成立，等价于
g(a 2) 4a 4 a
，解得
a 1.
g(a 1) 2a 1 a 5
又 0 a 1,二一a 1.
5
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 第三种：构造函数求最值
题型特征：f(x) g(x)恒成立 h(x) f (x) g(x) 0恒成立；从而转化为 第一、二种题型
例3 ；已知函数f (x) x 3 ax 2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为 3 ,
3
t 6
2
g(x) x 3
x 2 (t 1)x 3 (t 0)
2
(［)求a,b 的值；
(n)当x ［ 1,4］时，求f (x)的值域；
(川)当x ［1,4］时，不等式f(x) g(x)恒成立，求实数t 的取值范围。
又 f ( 1) 4, f (0) 0, f (2) 4, f (4) 16
• f(x)的值域是[4,16]
思路1：要使f(x) g(x)恒成立，只需h(x) 0,即t(x 2 2x) 2x 6分离变量 思路2 :二次函数区间最值
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1 :转化为f '(x) 0或f '(x) 0在给定区间上恒成立， 回归基础题型
解法2：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让 所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在(m,n )上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b )”，要弄清楚 两句话的区别：前者是后者的子集
1 3 ^a 1 2
Q0 a 1, a 1 a a 2a (放缩法)
解：(I)
f /(x)
3x 2
2ax
•••
f /(1) 3
b 1 a
解得a
(n)由(i)知, f (x)在［1,0］上单调递增，在 ［0, 2］上单调递减，在［2, 4］上单调
递增 g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
(川)令 h(x) f(x) g(x)
-x 2 (t 1)x 3 x [1,4] 2
即定义域在对称轴的右边,
