安徽省a10联盟2016届高三(下)开学数学试卷(理科)(解析版)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

)1.已知全集{}{},|0,|1U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()C A B =（ )A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≤C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|01x x <<2。

设复数z 满足()()225z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 【答案】A 【解析】试题分析：()()5225,22,22232z i i z i i z i i i i --=∴-==+∴=++=+-，综上所述， 故选A 。

考点:复数加减乘除法的运算。

3.已知13212112,log ,log 33a b c -===，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】C 【解析】试题分析：1032210221,log log 103a b -<=<==<=，12221log log 3log 21,3c c a b ==>=∴>>， 故选C 。

考点:1、指数函数的性质；2、对数函数的性质.4.已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥ C ．若,m m n α⊥⊥,则//n α D ．若//,m m n α⊥，则n α⊥ 【答案】B 【解析】5。

设,,a b c 是非零向量。

已知命题:p 若0,0a b b c ==,则0a c =；命题:q 若//,//a b b c ，则//a c 。

则下列命题中真命题是（）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 【答案】A 【解析】试题分析：若0a b =,0b c =，故 a b b c =,即()0a c b -=，则0a c =不一定成立, 故命题p 为假命题, 若a b ，bc ，则a c 平行， 故命题q 为真命题， 则p q ∨为真命题,()()(),,p q p q p q ∧⌝∧⌝∨⌝都为假命题，故选A.考点：1、真值表的应用；2、平行向量的垂直与平行关系。

2016-2017学年皖智教育A10联盟高三（下）开学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M＝{x∈Z|x＜3}，N＝{x|e x＞1}，则M∩N＝（）A．{1，2}B．{0，1}C．{1，2，3}D．∅2．（5分）设i是虚数单位，复数z＝（1﹣2i）（i+4），则|z|＝（）A．B．5C．D．3．（5分）我国古代著名的思想家庄子在《庄子•天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前一日的一半．如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么剩下的部分所成的数列的通项公式为（）A．a n＝n B．a n＝n C．a n＝（）n D．a n＝2n4．（5分）设x，y∈N*，x+y＝10，xy＞20的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（m＞0）的右焦点为F，则点F到渐近线的距离为（）A．B．6C．D．36．（5分）已知直线l1的斜率为3，直线12经过点（0，5），且l1⊥l2，则直线l2的方程为（）A．x﹣3y+5＝0B．x﹣3y+15＝0C．x+3y﹣5＝0D．x+3y﹣15＝0 7．（5分）运行下列程序，若输入的p，q的值分别为70，30，则输出的p﹣q的值为（）A．47B．54C．61D．688．（5分）若函数f（x）＝sin（x+φ）在x＝时取得最小值，则函数y＝f（﹣x）的一个单调递增区间是（）A．（﹣，﹣）B．（0，）C．（，π）D．（，2π）9．（5分）“log a2＞log b2”是“0＜a＜b＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）函数y＝cos x•ln，x∈[﹣，]的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）一个空间几何体的三视图及其尺寸如下图所示，则该空间几何体的体积是（）A．B．C．7D．1412．（5分）已知函数f（x）＝2ax﹣a sin x+cos x在（﹣∞，+∞）内单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，﹣]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上.）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝y﹣3x的最大值是．14．（5分）设点F，B分别为椭圆C：+＝1（a＞0）右焦点和上顶点，O为坐标原点，且△OFB的周长为3+，则实数a的值为．15．（5分）已知正四面体ABCD的外接球的表面积为16π，则该四面体的棱长为．16．（5分）设正项等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝（n∈N*）．若对任意正整数n，都有λ＞++…+恒成立，则实数λ的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足4a2cos B﹣2ac cos B＝a2+b2﹣c2（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）当函数f（A）＝2sin2（A+）﹣cos（2A+）取最大值时，判断△ABC的形状．18．（12分）某公司为确定2017年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售收益y（单位：万元）的影响，2016年在若干地区各投入4万元的宣传费，并将各地的销售收益的数据作了初步处理，得到下面的频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度，并估计对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得一组数据如表所示：表中的数据显示，y与x之间存在线性相关关系，求y关于x的回归直线方程；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当宣传费投入为10万元时，销售收益大约为多少万元？附：＝，＝﹣．19．（12分）如图，多面体ABCDEFG中，四边形ABCD是正方形，F A⊥平面ABCD，F A∥BG∥DE，BG＝AF，且AF＝AB（1）证明：GC∥平面ADEF；（2）若DE＝AF＝3，求多面体ABCDEFG的体积．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线是圆C：（x﹣1）2+y2＝4的切线．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）若过抛物线E的焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，Q（﹣1，0），且BQ ⊥BF，如图所示．证明：|BF|﹣|AF|＝﹣4．21．（12分）已知函数f（x）＝a（3x﹣1）+（3a2+1）lnx，a∈R，（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[，1]上有且只有1个零点，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数，α为直线l的倾斜角）．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两个坐标系下取相同的长度单位．（Ⅰ）当α＝时，求直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C和直线l交于M，N两点，且|MN|＝，求直线l的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥7；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+|x﹣2|＞a恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年皖智教育A10联盟高三（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：因为集合N＝{x|e x＞1}＝{x|x＞0}，且集合M＝{x∈Z|x＜3}，所以M∩N＝{1，2}，故选：A．2．【解答】解：由z＝（1﹣2i）（i+4）＝i+4﹣2i2﹣8i＝6﹣7i，得．故选：C．3．【解答】解：由题意知剩下的部分所成的数列为，是以为首项，以为公比的等比数列，∴a n＝（）n．故选：C．4．【解答】解：∵x，y∈N*，x+y＝10，则（x，y）为（1，9），（2，8），…，（8，2），（9，1）共9种情况，由xy＝x（10﹣x）＞20，解得：5﹣＜x＜5+，又x∈N*，故满足条件的（x，y）为（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），则所求概率为，故选：B．5．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（m＞0）的右焦点为F（c，0），点F到渐近线y ＝x的距离为：b＝，故选：A．6．【解答】解：∵直线l1的斜率为3，l1⊥l2，∴直线l2的斜率为﹣．∵直线l2经过点（0，5），∴直线l2的方程为：y＝﹣+5，即x+3y﹣15＝0．故选：D．7．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下第一次运行，S＝100，p＝72，q＝25；第二次运行，S＝97，p＝74，q＝20；第三次运行，S＝94，p＝76，q＝15；第四次运行，S＝91，p＝78，q＝10，退出循环，此时p﹣q＝68．故选：D．8．【解答】解：∵当x＝时，函数f（x）＝sin（x+φ）取得最小值，∴+φ＝2kπ﹣，解得φ＝2kπ﹣，k∈Z，不妨取k＝0，则φ＝﹣，即f（x）＝sin（x﹣）∴y＝f（﹣x）＝sin[（﹣x）﹣]＝﹣sin x，∴函数的一个单调递增区间为（，π）．故选：C．9．【解答】解：∵log a2＞log b2，∴＞，即＞．∴a＞1＞b＞0，或0＜a＜b＜1．或1＜a＜b．∴“log a2＞log b2”是“0＜a＜b＜1”的必要不充分条件．故选：B．10．【解答】解：函数y＝cos x•ln，x∈[﹣，]是偶函数，排除B，D，当x＝时，y＝•ln＝ln＜0，排除C，故选：A．11．【解答】解：三视图复原几何体是四棱台，底面边长为2的正方形，一条侧棱长为2，并且垂直底面，上底面是正方形边长为1，它的体积是：故选：B．12．【解答】解：f′（x）＝2a﹣a cos x﹣sin x，由f′（x）≤0得，a≤，令y＝，则2y﹣y cos x＝sin x，∴2y＝sin（x+θ），∴sin（x+θ）＝，∵|sin（x+θ）|≤1，∴||≤1，解得：﹣≤y≤，∵函数f（x）在R递减，∴a≤y min＝﹣，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上.）13．【解答】解：由z＝y﹣3x，得y＝3x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y＝3x+z，由平移可知当直线y＝3x+z经过点A时，直线y＝3x+z的截距最大，此时z取得最大值，由，解得，即A（，3）代入z＝y﹣3x，得z＝3﹣＝，即z＝y﹣3x的最大值为．故答案为：14．【解答】解：由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，b＝，则三角形OFB的轴l＝a+b+c＝3+，则a+c＝3，①b2+c2＝a2，即a2﹣c2＝3，②由①②可知：a＝2，c＝1，故答案为：2．15．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为a，正方体的对角线长为，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴正四面体的外接球的半径为a∴外接球的表面积的值为4πr2＝3πa2＝16π，∴a＝．∴a＝，故答案为．16．【解答】解：∵a n＝（n∈N*）．∴a n＝＝，解得a n＝2n﹣1．∴＝．∴++…+＝+…+＝．∵对任意正整数n，都有λ＞++…+恒成立，∴．则实数λ的取值范围为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∵4a2cos B﹣2ac cos B＝a2+b2﹣c2，∴4a2cos B﹣2ac cos B＝a2+（a2+c2﹣2ac cos B）﹣c2，化简得，cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝；（Ⅱ）f（A）＝2sin2（A+）﹣cos（2A+）＝1﹣cos（2A+）﹣cos（2A+）＝1+sin2A﹣cos2A+sin2A＝1+sin2A﹣cos2A＝，∵B＝，∴，则，当时，即A＝，f（A）取到最大值，此时△ABC是正三角形．18．【解答】解：（Ⅰ）设个小长方形的宽度为m，则（0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02）m ＝1，∴m＝2．各区间中点值分别为1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，估计平均值为1×0.16+3×0.20+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04＝5；（Ⅱ）由题意，＝3，＝3.8，＝＝，＝1.2，＝﹣＝3.8﹣1.2×3＝0.2，∴y关于x的回归直线方程y＝1.2x+0.2；（Ⅲ）x＝10时，y＝12.2，则当宣传费投入为10万元时，销售收益大约为12.2万元．19．【解答】解：（1）证明：由F A∥BG，BC∥AD，BG∩BC＝B，F A∩AD＝A，可得平面BCG∥平面ADEF，由GC⊂平面BCG，可得GC∥平面ADEF；（2）过G作GH∥AB，交AF于H，连接DH，由题意可得底面ABCD的边长为4，BG＝1，DE＝3，AF＝4，GH＝4，FH＝3，则多面体ABCDEFG的体积等于直三棱柱ADH﹣BCG的体积、三棱锥G﹣CDE的体积和四棱锥G﹣DEFH的体积之和．由V ADH﹣BCG＝S△BCG•AB＝×1×4×4＝8，V G﹣CDE＝S△CDE•GH＝××3×4×4＝8，V G﹣DEFH＝S平行四边形DEFH•GH＝×3×4×4＝16．故多面体ABCDEFG的体积为8+8+16＝32．20．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线x＝﹣，圆C：（x﹣1）2+y2＝4，圆心为（1，0），半径为2，则1+＝2，则p＝2，∴抛物线E的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由BQ⊥BF，则丨BQ丨2+丨BF丨2＝丨QF丨2，即（x2+1）2+（x2﹣1）2+2y22＝4，由y22＝4x2，则x22+4x2﹣1＝0，由x2＞0，则x2＝﹣2+，由AB与x轴不垂直，设直线AB的方程y＝k（x﹣1），则，整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，则x1x2＝1，则x1＝2+，∴|BF|﹣|AF|＝（x2+）（x1+）＝（﹣2++1）﹣（2++1）＝﹣4，方法二：设直线AB的倾斜角为α，则丨AF丨＝丨AF丨cosα+丨QF丨＝丨AF丨cosα+2，则丨AF丨＝，同理可知：丨BF丨＝，由BQ⊥BF，则丨BF丨＝＝2cosα，即cosα＝1﹣cos2α，则|BF|﹣|AF|＝﹣＝＝﹣4，∴|BF|﹣|AF|＝﹣4．21．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝3x﹣1+4lnx，f′（x）＝3+，∴f（1）＝2，f′（1）＝7，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣2＝7（x﹣1），即7x﹣y﹣5＝0；（Ⅱ）f′（x）＝，x＞0．a＞0，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在区间[，1]上单调递增，∵f（）＝（3a2+1）ln＜0，f（1）＝2a＞0，∴函数f（x）在区间[，1]上有且只有1个零点；a＜0，f′（x）＜0，∴x＜﹣．﹣＝﹣a+（﹣）≥＞1，当且仅当a＝﹣时取等号，∴函数f（x）在区间[，1]上单调递增，∵f（1）＝2a＜0，∴函数f（x）在区间[，1]上无零点，综上所述，a≥0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（I）由，消去参数t可得：x﹣y﹣1＝0，可得极坐标方程：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，即＝1．（II）由曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ可得：（x﹣2）2+y2＝4．将直线l的参数方程为（l为参数，代入圆的方程：t2﹣2t cosα﹣3＝0，△＞0．则t1+t2＝2cosα，t1•t2＝﹣3，|MN|＝|t1﹣t2|＝＝＝，cosα＝±．∴α＝或．∴直线l的倾斜角为或．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（I）当x≤﹣时，不等式可化为2﹣x﹣2x﹣1≥7，得x≤﹣2，此时x≤﹣2；当﹣＜x＜2时，不等式可化为2﹣x+2x+1≥7，得x≥6，此时无解；当x≥2时，不等式可化为x﹣2+2x+1≥7，得x≥，∴x≥．…（4分）综上，所求不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣2}．…（5分）（Ⅱ）f（x）+|x﹣2|＝2|x﹣2|+|2x+1|≥|2x+1﹣（2x﹣4）|＝5，若关于x的不等式f（x）+|x﹣2|＞a恒成立，则a＜5．。

2025届安徽省1号卷A10联盟高考数学三模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2B ．4C ．12D ．82．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 3．设函数()22cos 23sin cos f x x x x m =++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()17,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m =（ ） A ．12B ．32C ．1D ．724．已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数()1ln 11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭6．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．7．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( ) A ．1B ．2C ．22D ．28．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．929．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知正项数列{}{},n n a b 满足：1110n n nn n na ab b a b ++=+⎧⎨=+⎩，设n n n ac b =，当34c c +最小时，5c 的值为( )A ．2B ．145C ．3D ．411．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．012．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ） A ．③④B ．①②C ．②④D ．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学试题巢湖一中合肥八中淮南二中六安一中南陵中学舒城中学太湖中学天长中学屯溪一中宣城中学滁州中学池州一中阜阳一中灵壁中学宿城一中合肥六中太和中学合肥七中科大附中野寨中学本试卷分第Ⅰ卷（进择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据：1，3，5，1，9，5，6，11，8的60%分位数是（）A.5B.5.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】根据百分位数的定义进行求解即可.【详解】样本数据按照从小到大的顺序为1,1,3,5,5,6,8,9,11，因为60%9 5.4⨯=，所以样本数据的60%分位数是第6个数，为6.故选：C .2.已知集合{}0,1,2,3,4,2xA B x ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭N N ，则A B ⋂的子集的个数为（）A.16B.8C.4D.2【答案】B 【解析】【分析】利用交集定义与子集个数与元素个数的关系计算即可得.【详解】由{}0,1,2,3,4,2xA B x ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭NN ，可得{}0,2,4A B = ，则A B ⋂的子集的个数为328=.故选：B .3.已知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S 满足3n S n n =+,则4a =（）A.272B.152C.68D.38【答案】B 【解析】【分析】借助数列前n 项和性质计算即可得.【详解】()()3344344336830384a S S =-=+-+=-=，则4384152a =⨯=.故选：B.4.已知函数(2()log f x x =+，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 的解析式判断出()f x 在R 上是奇函数、增函数，然后可以判断出答案.【详解】()f x 的定义域为R ，且在R 上是增函数，因为((22()log log f x x x -=-+=-+，((((2222log 10()()log log log f x f x x x x x +-=++-+=⎡⎤=+⨯-+=⎢⎥⎣⎦，所以()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，所以由0a b +≤可得a b ≤-，所以()()()f a f b f b ≤-=-，所以()()0f a f b +≤，反之，由()()0f a f b +≤得()()()f a f b f b ≤-=-，所以a b ≤-，0a b +≤.所以“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的充要条件，故选：C.5.已知0,0x y >>，且21x y +=，则2y xxy+的最小值为（）A.4B.C.1+ D.1【答案】D 【解析】【分析】由21x y +=，可得221y x y xxy x y +=++，再利用基本不等式计算即可得.【详解】2122111y x y y x y y x xy x y x y x y ++=+=+=++≥+，当且仅当2y x x y =，即21,12y x =-=-时，等号成立.故选：D.6.某年级在元旦活动中要安排6个节目的表演顺序，其中有3个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，要求第一个和最后一个都必须安排舞蹈节目，且不能连续安排3个歌唱节目，则不同的安排方法有（）A.144种B.72种C.36种D.24种【答案】B 【解析】【分析】先排第一及最后一个节目，再排歌唱节目，最后用插空法计算即可得.【详解】先从3个不同的舞蹈节目选出2个分别安排在第一及最后一个，有23A 种，再将3个不同的歌唱节目排成一列，有33A 种，3个不同的歌唱节目中间有2个空，从中选1个安排最后一个节目，有12C 种，故共有231332A A C 66272=⨯⨯=.故选：B.7.过双曲线2222:1(0)y x C a b a b-=>>的下顶点F 作某一条渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于,M N 两点，若2NF FM =,则C 的离心率为（）A.233B.C. D.3【答案】A 【解析】【分析】过点F 作另一条渐近线的垂线FM '于M '，借助双曲线的对称性计算可得ab，即可得离心率.【详解】过点F 作另一条渐近线的垂线FM '于M '，由对称性可得FM FM ='，由2NF FM =，则有2NF FM ='，则π6FNM '∠=，故π3NOM ∠=，故π6NOF ∠=，故πππtan tan 263a b ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，即233c e a ====.故选：A.8.已知()π3e ,ln eπ2e ,π2a b c -==-=-，则（）A.b<c<a B.b a c<< C.c<a<bD.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】构造函数()1ex f x x -=-，利用导数求取单调性可得a 、c 之间大小关系，构造函数()ln 1g x x x =-+，利用导数求取单调性可得b 、c 之间大小关系，即可得解.【详解】由()π3e ,ln eπ2e a b -==-，即()()()π21e,ln eπ2e ln π21a b --==-=-+，令()()1e1x f x x x -=->，则()1e10x f x -'=->在()1,+∞上恒成立，故()f x 在()1,+∞上单调递增，则有()()()()π21π2eπ210f f ---=-->=，即a c >，令()()ln 11g x x x x =-+>，则()1110xg x x x-'=-=<在()1,+∞上恒成立，故()g x 在()1,+∞上单调递减，则有()()()()π2ln π21π210g g -=-+--<=，即b c <，故b<c<a .故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数()1ex f x x -=-、()ln 1g x x x =-+，以比较a 、c 与b 、c 之间大小关系.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量(1,2),(3,1)a a b =-=，则（）A.(2,1)b =-B.a b∥C.a b⊥ D.a b - 在a 上的投影向量为a【答案】ACD 【解析】【分析】由向量的线性运算、平行以及垂直的坐标表示可判断ABC ，由投影向量的定义可判断D.【详解】对于A ，()()(1,2)(3,1)2,1b a a b =--=-=-，故A 正确；对于BC ，由于()112250⨯-⨯-=≠，()()12210⨯-+⨯-=，故B 错误，C 正确；对于D ，a b - 在a 上的投影向量为()()255a b a a b a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪⋅=⋅⋅ ⎪ ⎝-⎪ ⎪⎭⎝⎭-= ，故D 正确.故选：ACD.10.已知函数()sin f x x x =，则（）A.()f x 是偶函数B.()f x 的最小正周期是πC.()f x的值域为2⎡⎤⎣⎦D.()f x 在ππ,2⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明()()0πf f ≠即可否定；对于C ，先证明()2f x ≤≤，再说明对2u ≤≤总有()f x u =有解即可验证；对于D ，直接说明5π2π63f f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可否定.【详解】对于A ，由于()f x 的定义域为R ，且()()()()sin sin sin f x x x x x x x f x -=---=--=-=，故()f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于()0sin 00f =-=()πsin ππf =-=()()0πf f ≠，这说明π不是()f x 的周期，B 错误；对于C ，由于()sin sin f x x x x x =-≤+=≤=2===，且()sin f x x x x =-≥≥，故()2f x ≤≤.而对2u ≤≤，有()0f u =≤，5π26f u ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，故由零点存在定理知一定存在5π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()f x u =.所以()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦，C 正确；对于D ，由于5π2πππ632-<-<-<-，5π2π263f f ⎛⎫⎛⎫-=>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱1DD 的中点，点F 是正方形11CDD C 内一动点（包括边界），则（）A.三棱锥11B A B F -的体积为定值B.若1//B F 平面1A BE ，则点FC.当点Q 在直线1BC 上运动时，1A Q QC +的最小值是D.若点F 是棱11C D 的中点，则平面1A BF 截正方体所得截面的周长为2++【答案】AB【分析】对A ：由平面平行可得点F 到平面11ABB A 的距离为定值，结合体积公式即可得；对B ：借助线面平行的判定定理与性质定理与面面平行的性质定理可得平面1//B MN 平面1A BE ，计算即可得点F 的轨迹长度；对C ：将1BCC 沿1BC 翻折到与11A C B △在同一个平面，借助两点之间线段最短计算即可得；对D ：画出截面图形后计算即可得.【详解】对于A ：平面11//ABB A 平面11CDD C ，则点F 到平面11ABB A 的距离为定值2，则1111114222323B A B F F A B B V V --==⨯⨯⨯⨯=，故A 正确；对于B ：如图1，分别取111C D C C 、中点,M N ，连接11,,,B N NE MN B M ，则11//NE C D ，且11NE C D =，又1111//A B C D ，1111A B C D =，故11//NE A B 且11NE A B =，所以四边形11A B NE 是平行四边形，所以11//A E B N ，因为1B N ⊄平面11,A BE A E ⊂平面1A BE ，所以1//BN 平面1A BE ，同理11////MN CD AB ，有//MN 平面1A BE ，因为1B N MN N ⋂=且都在面1B MN ，所以平面1//B MN 平面1A BE ，因为平面1B MN 平面11CDDC MN =，所以点F 的轨迹是线段MN ，故B 正确；对于C ，把1BCC 沿1BC 翻折到与11A C B △在同一个平面(如图2所示)，连接1AC ，则1AC 是1A Q QC +的最小值，其中11A C B △是边长为1BCC 是直角边为2的等腰直角三角形，由对称性得112A C A Q QC =+==，即1A Q QC +C 错误；对于D ：如图3，由B 选项知，四边形1A BNF 就是平面1A BF 截正方体所得截面的图形，+=，故D 错误.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数z 满足i(1)2z -=，则z =_____________．【答案】12i +【解析】【分析】借助复数四则运算与共轭复数定义计算即可得.【详解】由i(1)2z -=，则212i iz -==-，即12z i =-，故12i z =+.故答案为：12i +.13.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足a =sin 1cos ()(sin sin )sin 3sin ,sin cos C Ca c A Cb Bc A B B-++=+=，则ABC 的面积是_____________．【答案】334【解析】【分析】先化角为边结合余弦定理得出B ，利用sin 1cos sin cos C CB B-=可得A B =，利用面积公式可得答案.【详解】因为()(sin sin )sin 3sin a c A C b B c A ++=+，由正弦定理可得22()3a c b ca +=+，整理得222a cb ac +-=，2221cos 22a cb B ac +-==，因为()0,πB ∈，所以π3B =；由sin 1cos sin cos C CB B-=得cos sin cos sin sin C B B C B +=，即()sin sin B C B +=，因为()()sin sin πsin B C A A +=-=，所以sin sin A B =，即3πA B ==，所以三角形是正三角形，因为a =ABC的面积是344S =⨯=.故答案为：33414.已知曲线221:(2)(1)5C x y -++=与曲线22:C y x =在第一象限交于点A ，记两条曲线在点A 处的切线的倾斜角分别为,()αβαβ<，则()tan βα-=_____________．【答案】34##0.75【解析】【分析】求出交点后，借助圆的切线的性质与导数的几何意义计算即可得.【详解】()()222215x y y x⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，解得1100x y =⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，故()1,1A ，设曲线1C 在点A 处的切线为()11:11l y k x =-+，即111:10l k x y k --+=，曲线2C 在点A 处的切线为()22:11l y k x =-+，由221:(2)(1)5C x y -++=可得其圆心为()2,1-=，即2114410k k -+=，解得112k =，对22:C y x =，有2y x '=，则1212x y ==⨯='，则22k =，即11tan 2k α==，2tan 2k β==，则()132tan tan 322tan 11tan tan 24122βαβαβα---====+⋅+⨯.故答案为：34.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立．已知甲答对每题的概率均为p ，乙答对每题的概率均为()01q p q <<<，且某道题两人都答对的概率为310，都答错的概率为15．（1）求p ，q 的值；（2）乙回答3题后，记乙的积分为X ，求X 的分布列和期望()E X ．【答案】（1）12p =，35q =（2）分布列见解析，()72E X =【解析】【分析】（1）借助相互独立事件的乘法公式可得方程组，解出该方程组即可得；（2）得出X 的所有可能取值后计算相应概率即可得分布列，借助分布列计算即可得其期望.【小问1详解】由题意可得()()3101115pq p q p q ⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪<⎪⎪⎩，解得1235p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；【小问2详解】X 的可能取值为0,40,80,120，()303380C 15125P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()213333640C 155125P X ⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎝⎭，()223335480C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333327120C 5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则其分布列为：X4080120P8125361255412527125()83654270408012072125125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,AB AD AD BC ⊥∥，平面PAB ⊥平面,ABCD E 为PD 上一点，且2,4PB AB AD BC ====．（1）若PAB 是直角三角形，求证：CD BE ⊥；（2）若PBA ∠为锐角，且四棱锥P ABCD -的体积为PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）借助面面垂直的性质定理与线面垂直的性质定理可得线面垂直，再利用线面垂直的性质定理推导即可得；（2）利用面面垂直的性质定理及体积公式计算相应长度，再建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得.【小问1详解】连接BD ，因为PAB 是直角三角形，PB AB =，所以PB BA ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PB CD ⊥，因为四边形ABCD 为直角梯形，,2,4,45AB AD AB AD BC DBC ⊥===∠=︒，所以BD CD ==，所以222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，因为PB BD B ⋂=，,PB BD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥平面PBD ，因为BE ⊂平面PBD ，所以CD BE ⊥；【小问2详解】因为PBA ∠为锐角，作PO AB ⊥于O ，则点O 在线段AB 上，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PO =⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，则PO 为四棱锥P ABCD -的高，因为四棱锥P ABCD -的体积为所以()1124232P ABCD V OP -=⨯⨯+⨯⋅=，解得OP =，则1OB ==，以O 为坐标原点，,OA OP 所在直线分别为,x z 轴，过O 与AD 平行的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图，则()()(1,4,0,1,2,0,0,0,C D P -，所以(()1,4,,2,2,0PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，则0n PC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40220x y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，得1,y z ==，即平面PCD的一个法向量为(n =，易知平面PAB 的一个法向量为()0,1,0m =，设平面PAB 与平面PCD 的夹角为α，则5cos 5m n m n α⋅===⋅，即平面PAB 与平面PCD夹角的余弦值为5.17.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，C 在点()()000,0P x y y ≠处的切线l 分别交直线1x =和直线2x =于,M N 两点．（1）求证：直线00220x x y y +-=与C 相切；（2）探究：MF NF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）22，理由见解析【解析】【分析】（1）联立曲线后消去纵坐标可得一元二次方程，借助椭圆方程代入计算可得该一元二次方程有唯一解即可得证；（2）由（1）可得直线l 的方程，即可得,M N 两点坐标，计算出MF 与NF 即可得MF NF.【小问1详解】联立002222012x x y y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()()2222000024440x y x x x y +-+-=，又因为220012x y +=，即220022x y +=，则220020x x x x -+=，即()200x x -=，此方程有唯一解，即直线00220x x y y +-=与椭圆C 相切；【小问2详解】由（1）知，直线l 的方程为00220x x y y +-=，即0022x xy y -=，将直线1x =和直线2x =分别与上式联立，由题意可得0000211,,2,2x x M N y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()1,0F ，所以()220224x MFy-=，()2222220000002200012121211x x x x y x NF y y y ⎛⎫--++-+=-+=+= ⎪⎝⎭()2202002200121222x x x x y y ⎛⎫+--+ ⎪-⎝⎭==所以()()222222241222xMF yNF xy-==-，即MFNF 为定值22.18.已知函数()e e(1),0x xf x a a x a-=--+>．（1）求证：()f x至多只有一个零点；（2）当01a<<时，12,x x分别为()f x的极大值点和极小值点，若()()12f x kf x+>成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）(],1-∞-【解析】【分析】（1）分1a=、01a<<及1a>进行讨论，利用导数求得函数的单调性后结合零点的存在性定理即可得；（2）由（1）可将()()12f x kf x+>转换为11ln11aak a-⎛⎫<-⋅⎪+⎝⎭，再构造函数()()11ln1,0,11xg x x xk x-⎛⎫=--⋅∈⎪+⎝⎭，分1k≤-及10k-<<进行分类讨论即可得.【小问1详解】由题意得，()()()()()111e1e1e1e1e e ex x x xx x xf x a a a a⎛⎫=-++=---⎭'=-⎪⎝，当0a>时，令()0f x'=，解得120,lnx x a==-，①当1a=时，()()()2e1e e2,0exx xxf x x f x-'-=--=≥，所以()f x在R上单调递增，又()00f=，此时函数()f x有唯一的零点0；②当01a<<时，ln0a->，所以(),0x ∞∈-时，()()0,f x f x '>单调递增，()0,ln x a ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，()ln ,x a ∞∈-+时，()()0,f x f x '>单调递增，又()()ln 010f a f a -<=-<，则函数()f x 在区间(),ln a ∞--上无零点，在()ln ,a ∞-+上至多只有一个零点，所以函数()f x 至多只有一个零点；③当1a >时，ln 0a -<，所以(),ln x a ∞∈--时，()()0,f x f x '>单调递增，()ln ,0x a ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，()0,x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，又()()ln 010f a f a ->=->，则函数()f x 在(),ln a ∞--上至多只有一个零点，在区间()ln ,a ∞-+上无零点，所以函数()f x 至多只有一个零点，综上，函数()f x 至多只有一个零点；【小问2详解】由（1）知，当01a <<时，()f x 在()(),0,ln ,a ∞∞--+上单调递增，在()0,ln a -单调递减，所以()f x 的极大值点为10x =，极小值点为2ln x a =-，此时()()()()()1201,ln 11ln f x f a f x f a a a a ==-=-=-++，因为()()120f x kf x +>，所以()111ln 0a k a a a ⎡⎤-+-++>⎣⎦，因为01a <<，所以()()210f x f x <<，所以0k <,所以()()()1ln 11k a a a k +>--，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅⎪+⎝⎭()*，设()()11ln 1,0,11x g x x x k x -⎛⎫=--⋅∈ ⎪+⎝⎭，则()222211121(1)(1)x x k g x x k x x x ++⎛⎫=--= ⎪++'⎝⎭，令2210x x k++=，则24Δ4k =-，①当1k ≤-时，Δ0≤，此时()0g x '≥恒成立，则()g x 在()0,1上单调递增，所以()111ln11011g x k -⎛⎫<--= ⎪+⎝⎭，此时11ln 11a a k a -⎛⎫<- ⎪+⎝⎭，②当10k -<<时，Δ0>，设2210x x k++=的两个根为34,x x ，且34x x <，则343420,1x x x x k+=->=，所以3401x x <<<，则当31x x <<时，()0g x '<，此时()g x 在()3,1x 上单调递减，所以当31x a <<时，()()10g a g >=，此时11ln 11a a k a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭，与()*矛盾，不合题意.综上所述，k 的取值范围是(],1-∞-.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于借助第一问所得，将双变量1x 、2x 变为单变量，从而可构造函数()()11ln 1,0,11x g x x x k x -⎛⎫=--⋅∈ ⎪+⎝⎭，分1k ≤-及10k -<<进行讨论即可得.19.特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列{}n a 满足()221120,40,,n n n a ba ca bc b c a s a t ++=+≠+>==，则数列{}n a 的通项公式可按以下步骤求解：①21n n n a ba ca ++=+对应的特征方程为2x bx c =+，该方程有两个不等实数根,αβ；②令n n n a A B αβ=⋅+⋅，其中A ，B 为常数，利用12,a s a t ==求出A ，B ，可得{}n a 的通项公式．已知数列{}n b 满足2112,1,3n n n b b b b b ++=+==．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求满足不等式((332024n n++->的最小整数n 的值；（3）记数列{}n b 的所有项构成的集合为M ，求证：1*2111,n i i n n b b +=+∀∈⋅∑N 都不是M 的元素．【答案】（1）151522n nn b ⎛⎫⎛+-=+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭（2）5（3）证明见解析【解析】【分析】（1）借助题目中所给特征根方程法计算即可得；（2）((233202422024nnn n b ++->⇔⋅>，结合数列{}22nn b ⋅是单调递增数列，计算即可得；（3）由21n n n b b b ++=+计算可得12121112i i n n n n b b b b ++++==-⋅∑，由*n b ∈N 可得*12n b +∉N ，即可得*212n n b b ++-∉N ，从而可得122n n M b b ++-∉，即可得证.【小问1详解】由题意可得21n n n b b b ++=+对应的特征方程为21x x =+，解得12x ±=，不妨设152α+=，12β-=，则可设1122nnn b A B ⎛⎫⎛-=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中A ，B 为常数，由121,3b b ==，可得22151512211322A B A B ⎧⎛⎫⎛+-=⋅+⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎛⎪+-=⋅+⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎩，即有((((112336A B A B ⎧++=⎪⎨++-=⎪⎩，解得11A B =⎧⎨=⎩，故151522nnn b ⎛⎛+-=+ ⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】((335152132322424n n n nn n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎛⎛⎫⎛⎫+-+-⎢⎥⎢⎥+-+=+ ⎥=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎣⎦⎣⎦⋅⎭2211222n n n ⎡⎤⎛⎛+-⎢⎥+ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⋅，即((233202422024n nn n b ++->⇔⋅>，由34b =，47b =，511b =，618b =，729b =，847b =，976b =，10123b =，则48216477522024b ⋅=⨯=<，51023212339362024b ⋅=⨯=>，且数列{}22nn b ⋅是单调递增数列，故满足要求的最小整数n 的值为5；【小问3详解】由21n n n b b b ++=+，可得12121n n n n n b b b b b ++++=+，即21121n n n n n b b b b b ++++-=，故()()()42222313221332211n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b +++++++=-+-++- 2121133n n n n b b b b ++++=-⨯=-，故222212312121312n n n n n b b b b b b b b +++++++++=-+=- ，故121111212122n n n n i i n n n b b b b b b b +=++++++-==-⋅∑，易知数列{}n b 为单调递增数列，且*n b ∈N ，当*n ∈N 时，*12n b +∉N ，故*212n n b b ++-∉N ，即122n n M b b ++-∉，故对1*2111,n i i n n b b +=+∀∈⋅∑N 都不是M 的元素.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助21n n n b b b ++=+得到12121112i i n n n n b b b b ++++==-⋅∑，从而证明122n n M b b ++-∉.。

绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至3 页，第Ⅱ卷 3 至5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S=S x P(x 2)(x 3) 0 ,T x x 0 ，则S I T=(A) [2 ，3] (B) （- ，2] U [3,+ ）(C) [3,+ ）(D) （0，2] U [3,+ ）4i（2）若z=1+2i ，则zz 1(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量u uvBA1 2( , )2 2,u u u vBC3 1( , ),2 2则ABC=(A)30 0 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低0C，B 点表示四月的平均最低气气温的雷达图。

图中 A 点表示十月的平均最高气温约为150C。

下面叙述不正确的是温约为 51(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于20 C 的月份有 5 个（5）若tan 34 ，则2cos 2sin 2(A) 6425(B)4825(C) 1 (D)16254 3 1（6）已知 3a 2 ，4b 4 ，3c 25 ，则（A ）b a c （B）a b c（C）b c a（D）c a b（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=2（A ）3 （B）4 （C）5 （D）6（8）在△ABC中，πB = ，BC 边上的高等于413BC ,则cos A=（A）31010 （B）1010（C）10- （D）10-3 1010(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18 36 5（B）54 18 5（C）90（D）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A1B1C1 内有一个体积为V 的球，若AB BC，AB=6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π（B）92 （C）6π（D）323（11）已知O 为坐标原点， F 是椭圆C：2 2x y2 2 1( 0)a ba b的左焦点，A，B 分别为 C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF⊥x 轴.过点 A 的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点 E.若直线BM 经过OE 的中点，则 C 的离心率为（A ）13 （B）12（C）23（D）343（12）定义“规范01 数列”{a n} 如下：{ a n} 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k 2m ，a1,a2, ,a k 中0 的个数不少于 1 的个数.若m=4，则不同的“规范01 数列”共有（A ）18 个（B）16 个（C）14 个（D）12 个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第( 13) 题~第( 21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第( 22) 题~第( 24) 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若x，y 满足约束条件则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

绝密★启用前2016年第二次全国大联考【新课标I 卷】理科数学试卷考试时间：120分钟；满分150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{}260,A x x x x =--<∈R ，{}||3,B y y x x A ==-∈，则A B 等于（ ）A ．{}03x x << B ．{}10x x -<< C ．{}20x x -<<D ．{}33x x -<<2．命题p ：0x ∃∈R ，不等式00cos 10xx e +-<成立，则p 的否定为（ ） A ．0x ∃∈R ，不等式00cos 10xx e +-≥成立 B ．x ∀∈R ，不等式cos 10x x e +-<成立C ．x ∀∈R ，不等式cos 10x x e +-≥成立D ．x ∀∈R ，不等式cos 10x x e +->成立3．在复平面内复数)0z b =>，则复数z bi -在复平面上对应的点在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（ ）A ．1998立方尺B ．2012立方尺C ．2112立方尺D ．2324立方尺 5．cos54cos 66cos 6︒+︒-︒=（ ） A ．0 B ．13 C ．12D ．1 6．已知双曲线22221(0)x y a b a b=>>－与两条平行直线1l ：y x a =+与2l ：y x a =-相交所得的平行四边形的面积为26b ，则双曲线的离心率为（ ）ABCD ．2 7．如图，已知在等腰梯形ABCD 中，AB CD ，45BAD ∠=︒，,,EFG 分别是,,AB BC CD的中点，若EF 在AG，则||ABCD=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．如图所示，函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线231122y x x =-++上，则()f x ＝（ ）A ．1()sin()63f x x π=+ B ．1()sin()23f x x π=+ C ．()sin()23f x x ππ=+ D ．()sin()26f x x ππ=+第7题图 第8题图 第9题图 9．某程序框图如图所示，若输出43S =，则判断框中M 为（ ） A ．7k <？ B ．6k ≤？ C ．8k ≤？ D ．8k <？10．已知5()a bx -的展开式中第4项的系数与含4x 的系数分别为80-与80，则5()a bx -展开式所有项系数之和为（ ）A ．1-B ．1C ．32D ．6411．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为169π ） A． B． C ．4 D+ 12．已知关于x 的方程22ln 20x a x ax --=有唯一解，则实数a 的 值为（ ）A ．1B ．12 C ．13 D ．14第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知函数3()()x xa f x e x e =+为偶函数，则实数a =___________． 14．已知F 是抛物线24y x =的焦点，过该抛物线上一点M 作准线的垂线，垂足为N ，若4||3MF =，则NMF ∠=___________． 15．已知实数x 、y 满足00220y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩，则213log ()12y z x -=+-的取值范围是___________．16．如图，已知点D 在ABC ∆的BC 边上，且90DAC ∠=︒，cos C =6AB =，BD =则sin AD BAD ∠=__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且1(3)6n n n S a a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)(2)n n n b a a =-+，12n n T b b b =+++ ，求证：16n T <．18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，11,2BC CC AC ===，=90ABC ∠︒． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11A B C ；（2）设D 为AC 的中点，求平面1ABC 与平面1C D B 所成锐角的 余弦值．19．（本题满分12分）广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征．2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20,30），[30,40），[40,50），[50,60），[60,70），[70,80]后得到如图所示的频率分布直图．问：（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40,70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的值；（3）若从年龄在[20,40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在[30,40）中的人数x的分布列及其数学期望．20．（本小题满分12分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点到直线0x y-+=的距离为5（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在一点Q，使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足2211QA QB+为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2()21(f x ax bx e=++为自然对数的底数)．（1）若21=a，求函数()()xF x f x e=的单调区间；（2）若aeb21--=，方程()xf x e=在)1,0(内有解，求实数a的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选讲4-1：几何证明选讲如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O 于A与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．（1）求证：DE BF；（2）若PC=，1DE=，求PB的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若曲线C的极坐标方程为6cos2sinρθθ=+，直线l的参数方程为12xy⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设点(1,2)Q ，直线错误！未找到引用源。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U R =，集合{|2}A y y ==+，2{|7120}B x x x =-+≤，则()U A C B =（ ）A ．[2,3)B ．(2,4)C ．(3,4]D ．(2,4] 【答案】A考点：集合的运算． 2.复数34343iz i+=+-，则||z 等于（ ） A ．3 BD ．4 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得()()()()344334333434343i i iz i i i i +++=+=+=+--+=B ． 考点：复数的运算．3.设42x yz =∙中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 【答案】C 【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图所示，由42xyz =∙，得22x yz +=，令2m x y =+，则2y x m =-+，由可行域可知当直线2y x m =-+经过点b 时截距最小，即m 最小，解方程组143x x y =⎧⎨-=-⎩，得(1,1)B ，所以m 的最小值为2113⨯+=，z 的最小值为328=．考点：简单的线性规划．4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S 在函数1()(21)xf x t dt =+⎰的图象上，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．22n a n n =+- C ． 0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ D ．0,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩【答案】D考点：数列的通项公式及定积分的计算．5.过点(2,0)引直线l 与圆222x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆面积取最大值 时，直线l 的斜率为（ ） AB． C．【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，设直线的斜率为k ，则直线方程为(2)y k x =-，即20kx y k -+=，当AOB ∆面积取最大值时，OA OB ⊥,此时圆心O 到直线的距离为1d =，由点到直线的距离公式得1d k ==⇒=，故选C ．考点：直线与圆的位置关系的应用．6.将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（ ） A ．24种 B ．28种 C ．32种 D ．16种 【答案】D考点：排列组合的应用． 7.下列四个结论：①命题“若()f x 是周期函数，则()f x 是三角函数”的否命题是“若()f x 是周期函数，则()f x 不是三 角函数”；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”； ③在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“A B >”的充要条件； ④当0a <时，幂函数ay x =在区间(0,)+∞上单调递减. 其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得①命题“若()f x 是周期函数，则()f x 是三角函数”的否命题是“若()f x 不是是周期函数，则()f x 不是三角函数”，所以是错误的；②中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”，是正确的；③在ABC ∆中，由正弦定理得“sin sin A B >”则22a ba b A b R R>⇔>⇔>，所以是正确的；④当0a <时，根据幂函数的性质，幂函数ay x =在区间(0,)+∞上单调递减，是正确的，故选C ． 考点：命题的真假判定．8.阅读如图所示的程序框图，若输入2016m =，则输出S 等于（ ）A ．21007B ．21008C ．21009D ．22010【答案】C考点：程序框图的应用．9.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()f x f a ≤对x R ∈恒成立，则函数（ ） A ．()f x a -一定为奇函数 B ．()f x a -一定为偶函数 C ．()f x a + 一定为奇函数 D ．()f x a +一定为偶函数 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，()sin(2)1f x a ϕ=+=时，则222a k πϕπ+=+，k ∈Z ，所以()sin(22)sin(22)cos 22f x a x a x k x πϕπ+=++=++=，此时函数为偶函数，故选D ．考点：三角函数的图象与性质．10.已知函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =--只有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞ 【答案】B考点：函数的零点的应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点即根的存在性及根的个数的判断，着重考查了数形结合法思想的应用及转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中将函数()()g x f x x a =--只有一个零点，转化为函数()y f x =与函数y x a =+图象的交点个数，通过作出函数()y f x =与函数y x a =+图象，即可借助图象得到图象交点个数的判断．11.已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是等腰梯形，则该几何体的体积 为（ ）A ．17B ．553 C ．523D ．18【答案】C 【解析】试题分析：由已知中的三视图，可知给几何体是一个四棱台切去一个三棱锥的几何体，棱台的上下底面的边长2和4，故棱台的上下底面的面积分别为4和16，所以棱台的高为2h =，所以棱台的体积为156(164233+⨯=，棱锥的底面是棱台上底面的一半，所以底面积为2，高为2，所以棱锥的体积为142233⨯⨯=，所以组合体的体积为56452333V =-=，故选C ． 考点：几何体的三视图及组合体的体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，由已知中的三视图，可知给几何体是一个四棱台切去一个三棱锥的几何体是解答问题的关键．12.如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =，()n E n N +∈为边AC 的一列点，满 足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中实数列{}n a 中10,1n a a >=，则{}n a 的通项公式为（ ） A ．1322n -∙- B ．21n - C ．32n - D ．1231n -∙-【答案】D考点：等比数列的通项公式及向量的运算．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的递推公式、等比数列的通项公式及平面向量的运算，着重考查了平面向量的三点共线，等比数列的定义及等比数列的通项公式的求解，同时考查了学生分析问题、解答问题的能力及推理运算能力，本题的解答中，根据平面向量的运算，得到数列{}1n a +表示首项为2，公比为3的等比数列是解得本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.函数2cos y x x =+-[0,]2π上的最大值是 .【答案】6π【解析】试题分析：由题意得，12sin y x '=-，令0y '=，因为[0,]2x π∈，所以6x π=，当[0,]6x π∈时，0y '>；当[,]62x ππ∈时，0y '<，所以当6x π=时，函数取得极大值，也是最大值，此时最大值为6y π=．考点：利用导数研究函数的最值．14.设常数0a >，25()ax x+的二项展开式中4x 项的系数为40，记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 已知246a a +=，45S a =，则10a = . 【答案】10考点：二项式定理的通项及等差数列的通项的应用．15.已知tan 2α=-，抛物线22(0)y px p =>的焦点为(sin cos ,0)F αα-，直线l 经过点F 且与 抛物线交于,A B 两点，且||4AB =，则线段AB 的中点到直线12x =-的距离为 . 【答案】2110【解析】试题分析：因为tan 2α=-，抛物线22(0)y px p =>的焦点为(sin cos ,0)F αα-，所以2(,0)5F ，所以45p =，因为直线l 经过点F 且与抛物线交于,A B 两点，且||4AB =，所以12445x x ++=，所以12165x x +=，所以线段AB 的中点到直线12x =-的距离为81215210+=． 考点：抛物线的标准方程及其简单的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的集合性质的应用，着重考查了转化与化归的思想方法的应用、推理与计算能力，属于基础题，本题的解答中，利用tan 2α=-，得到抛物线的饿焦点坐标2(,0)5F ，得出45p =，由直线过过抛物线的焦点，利用抛物线的定义转化为12445x x ++=，求解12x x +的值，即可运算AB 的中点到直线的距离．16.已知函数333|ln |,0()3,x x e f x x e x e ⎧<≤=⎨-++>⎩，存在123x x x <<，123()()()f x f x f x ==，则32()f x x 的 最大值为 . 【答案】1e考点：分段函数的性质及利用导数求解函数的最值．【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性与极值、最值，着重考查了学生分析、解答问题的能力，同时考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，先确定321x e <<的范围，构造新函数ln xy x=，求解新函数的单调性及其极值、最值，即可求解结论的最大值．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）在ABC ∆中，边,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足2sin sin sin B A C =+， 设B 的最大值为0B . （1）求0B 的值；（2）当0,1,3B B a c ===，D 为AC 的中点时，求BD 的长.【答案】（1）03=B π；（2．（2）03πB =B =，1a =，2c =，∴2222cos 3b a c ac =+-B =，得222c a b =+，∴C 2π=，∴D B ==12分 考点：正弦定理与余弦定理的应用．18.（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得 到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4:2:1.（1）求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；（2）若将频率视为频率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区 间[45,75)内的产品件数为X ，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）0.05；（2）1.8．（2）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验， 所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+， 将频率视为概率得0.6p =因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，且033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 P0.0640.2880.4320.216所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）……………12分考点：频率直方图、离散型随机变量的分布列及数学期望．19.（12分）已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，090BAC ACD ∠=∠=，060EAC ∠=，AB AC AE ==.（1）若P 是BC 的中点，求证：//DP 平面EAB ；（2）求平面EBD 与平面ACDE 所成的锐二面角θ的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2．试题解析：（1）设AB ＝a ，取AC 的中点O ，连接EO ，OP. ∵AE ＝AC ，又∠EAC ＝60°，∴EO ⊥AC.又平面ABC ⊥平面ACDE ，∴EO ⊥平面ABC ，∴EO ⊥OP ， 又OP ∥AB ，AB ⊥AC ，所以OP ⊥AC.以射线OP ，OC ，OE 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图，则C （0，2a ，0），A （0，－2a，0），E （0，0），D （0，2a ），B （a ，－2a ，0）. 则P （2a，0，0），设平面EAB 的法向量为n ＝（x 0，y 0，z 0）. AB ＝（a ，0，0），AE ＝（0，2a）， ∴AE ·n ＝0，AB ·n ＝0，即000020a y x a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，令z 0＝1，得y 0，又x 0＝0， ∴n ＝（0，1）.∴(0,(,,)022aa n DP ∙=∙-=， ∴DP ∥平面EAB （另法：取AB 中点F ，然后证DP ∥EF 或证平面ODP ∥平面EAB ） …………………………6分考点：线面位置关系的判定与证明；二面角的求解．20.（12分）已知点(2,0)A -，P 是圆22:4O x y +=上任意一点，P 在x 轴上的射影为Q ，2QP QG =，动点G 的轨迹为C ，直线(0)y kx k =≠与轨迹C 交于,E F 两点，直线,AE AF 分别与y 轴交于点,M N . （1）求轨迹C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）()11,0P ，()21,0P -．试题解析：（1）设(,)G x y , ∴(,0)Q x ,∵2QP QG = ∴(,2)P x y ∵P 在22:4O x y += 上，∴2244x y +=所以轨迹C 的方程为2214x y +=． …………………………6分 （2）因为点A 的坐标为()2,0-因为直线(0)y kx k =≠与轨迹C 于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,14y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22414x k =+．所以0x =，则0y =． 所以直线AE的方程为)2y x =+．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =，即点M ⎛ ⎝．同理可得点N ⎛ ⎝．…8分-考点：轨迹方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系的应用．【方法点晴】本题主要考查了轨迹方程的求解方法、直线与圆锥曲线位置关系的应用，着重考查直线方程与圆锥曲线方程联立，利用根与一元二次方程的系数的关系的转化与化归，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中利用直线与椭圆方程联立，求解出,M N 的坐标，利用两点间的距离公式计算出MN 的长及MN 的中点坐标，写出以MN 为直径的圆的方程是解答的关键． 21.（12分）已知函数1()(2)ln 2()f x a x ax a R x=-++∈. （1）0a =时，求()f x 的单调区间和极值； （2）0a <时，求()f x 的单调区间；（3）当32a -<<-时，若存在12,[1,3]λλ∈，使不等式12|()()|(ln 3)2ln 3f f m a λλ->+-成立，求m 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；极小值是22ln 2-，无极大值；（2）单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）38,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】试题分析：（1）由0a =，求得()f x '，利用()0f x '<和()0f x '>，即可求解函数的单调区间和极值；（2）求解()21122a x x a f x x⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'=，分三类讨论，即可求解函数的单调区间；（3）先求解函数()max f x 和()minf x ，把不等式12|()()|(ln 3)2ln 3f f m a λλ->+-成立，转化为12max |()()|(ln 3)2ln 3f f m a λλ->+-恒成立，可得243m a>-，利用32a -<<-，即可求解m 取值范围．②当2a =- 时，112a -=，()0,f x '≤()f x 在()0,+∞上单调递减； ③当2a >- 时，112a -> ，令()0,f x '<解得：12x <，或1x a>-令()0,f x '>解得：112x a <<-，所以当20a -<< 时，()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是11,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭；…………………7分 (3)由（2）知，当32a -<<- 时，()f x 在[]1,3上单调递减 所以max ()(1)21f x f a ==+ ，()min 1()(3)2ln 363f x f a a ==-++ ()()()12max 2|()()|1342ln 33f f f f a a λλ-=-=-+-考点：利用导数研究函数单调性、极值与最值中应用．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用函数的性质求解不等式的恒成立问题的求解，着重考查了分类讨论思想和转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的第三问的解答中先求解函数()max f x 和()min f x ，把存在12,[1,3]λλ∈不等式12|()()|(ln 3)2ln 3f f m a λλ->+-成立，转化为12max |()()|(ln 3)2ln 3f f m a λλ->+-恒成立是解答本问的关键．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 交BC 于D ，过D 点作圆O 的切线交AC 于E ，求 证：（1）DE AC ⊥； （2）2BD CE CA =∙.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】考点：圆周角定理；直角三角形的射影定理． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线112:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求||AB ；（2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12，得到曲线2C ，设点P 是 曲线2C 上的一个动点，求它的直线l 的距离的最小值.【答案】（1）1||=AB ；（2）)12(46-． 【解析】试题分析：（1）将直线l 中的x 与y 代入到直线1C ，即可得到焦点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出AB ；（2）将直线的参数方程化为普通方程，曲线2C 任意点P 的坐标，利用点到直线的距离公式求得点P 到直线的距离，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母的分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离的最小值． 试题解析：（1） 的普通方程为1),1(3C x y -=的普通方程为.122=+y x 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,1),1(322y x x y 解得 与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B ,则1||=AB . … …5分考点：圆的参数方程；函数的图象与图象的变化；直线与圆相交的性质． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|||f x x x =+--. （1）当1a =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）若对任意[0,1]a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围.【答案】（1）1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭;（2）)+∞．【解析】试题分析：（1）当1a =时，利用绝对值的意义求得不等式的解集；（2）由题意可得b 大于()f x 的最大值，再根据绝对值的意义可得()f x 的最大值为1，可得实数b 的范围．试题解析：（1）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥． ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解；②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………5分思路2：因为 ()f x x =+x x ≤+-++当且仅当x ≥()max f x ⎡⎤⎣⎦=．因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >以下给出三种思路求()g a =.思路1：令()g a =所以()21ga =+2212≤++=．=，即12a =时等号成立所以()max g a =⎡⎤⎣⎦．所以b 的取值范围为)+∞．…………………………………………………10分g a=思路2：令()==．此时x y所以b的取值范围为)+∞．…………………………………………………10分考点：绝对值不等式的解法．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合 ，则（ ）()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=>S T =（A ） （B ） （C ）（D ）[]2,3(][),23,-∞+∞ [)3,+∞(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由解得或，，所以，故选()()230x x --≥3x ≥2x ≤{}23S x x ∴=≤≥或{}023S T x x x =<≤≥ 或D ．【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若，则（ ）i 12z =+4i1zz =-（A ）1 （B ） （C ） （D ）1-i i -【答案】C【解析】，故选C ．4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多i 项式的乘法相类似，只是在结果中把换成．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减2i 1-法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量，，则（ ）1(2BA =u u v 1)2BC =u u u v ABC ∠=（A ） （B ） （C ） （D ）30︒45︒60︒120︒【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A ．cos BA BC ABC BA BC⋅∠=== 30ABC ∠=︒【点评】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值a b ·cos a b a b θ或θa b 范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，因此，0180θ︒≤≤︒|a ·cos a ba bθ=·0a b a b ⇔⊥ 或利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为A ，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是（ ）15C ︒B 5C ︒（A ）各月的平均最低气温都在以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 0C ︒（C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于的月份有5个20C ︒【答案】D【解析】由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在以上，A 正确；由图0C ︒0C ︒可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均7.5C ︒7.5C ︒温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，5C ︒C 正确；由图可知平均最高气温高于的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．20C ︒【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若，则（）3tan4α=2cos2sin2αα+=（A）（B）（C）1 （D）642548251625【答案】A【解析】由，得或，所以，3tan4α=34sin,cos55αα==34sin,cos55αα=-=-2161264cos2sin24252525αα+=+⨯=故选A．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．（6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知，，，则（）432a=254b=1325c=（A）（B）（C）（D）b a c<<a b c<<b c a<<c a b<<【答案】A【解析】因为，，所以，故选A．422335244a b==>=1223332554c a==>=b a c<<【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的46a b==或（）n=（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B【解析】第一循环，得；第二循环，得；2,4,6,6,1a b a s n=====2,6,4,10,2a b a s n=-====第三循环，得；第四循环，得2,4,6,16,3a b a s n=====；2,6,4,2016,4a b a s n=-===>=退出循环，输出，故选B．4n=【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在中，，边上的高等于，则 ( )ABCDπ4B=BC13BC cos A=（A（B（C）（D）--【答案】C【解析】设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，BC AD3BC AD=AC==AB=知，故选C．222cos2AB AC BCAAB AC+-===⋅【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）（B）（C）90 （D）8118+54+【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积B．2362332354S=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，111ABC A B C -V AB BC ⊥，，，则的最大值是（ ）6AB =8BC =13AA =V （A ） （B ） （C ） （D ）4π92π6π323π【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半V R 径取得最大值，此时球的体积为，故选B ．32334439(3322R πππ==【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分O F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,A B 别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于C P C PF x ⊥A l PF M y 点．若直线经过的中点，则的离心率为（ ）E BM OE C （A ） （B ） （C ） （D ）13122334【答案】A【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由l ()y k x a =+x c =-0x =()FM k a c =-OE ka=~OBE ∆，得，即，整理得，所以椭圆离心率为，故选A ．CBM ∆12OE OB FM BC=()2ka ak a c a c=-+13c a =1e 3=【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立,a c e 的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．,,a b c ba e e （12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为{}n a {}n a 2m m m 1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若，则不同的“规范01数列”共有（2k m ≤12,,,k a a a 4m =）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：，故选C ．10a =81a =011101101111001101011001110100110101100101010101【点评】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2015-2016学年云南开远四中高一（下）期中数学试题一、选择题1．设集合{}01≥-=x x xM ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫⎝⎛==0,21x y y N x，则M N ⋂= （ ） A ．[]0,1 B ．{}0 C ．()0,1 D ．(]0,1 【答案】C【解析】试题分析：{}10<≤=x x M ，{}10≤<=y y N ，{}10<<=x x N M ，故选C.【考点】集合的运算 2．已知复数21iz i-=+（i 为虚数单位），则复数z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A【解析】试题分析：()()()()i i i i i i i i z 2321231111212-=-=-+--=+-=，i z 2321+=，复数z对于的复平面内的点是⎪⎭⎫⎝⎛23,21，在第一象限，故选A. 【考点】1.复数的运算；2.复数的几何意义.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间()5,3--内单调递增的为（ ） A ．2223y x x =-- B ．2xy =C ．2x xe e y --=D ．13log y x =【答案】D【解析】试题分析：A.不是偶函数；B.是偶函数，但在()3-5-，内是单调递减函数；C.奇函数，D.偶函数，并且满足在()3-5-，内单调递增，故选D. 【考点】函数的性质4．若随机变量()2~,Z Nμσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()28P x <<=（ ）A ．0.8185B ．0.6826C ．0.9544D ．0.2718【答案】A【解析】试题分析：26==σμ，()()()()8185.026826.09544.09544.0222282=--=+<<+-+<<-=+<<-=<<σμσμσμσμσμσμx P x P x P x P故选A.【考点】正态分布5．已知双曲线M2，则双曲线M 的标准方程可以是 （ ）A ．22144x y -=B ．22124y x -=C ．22214x y -= D ．22142y x -= 【答案】B【解析】试题分析：焦点在x 轴时，渐近线方程0=±ay bx ，()0,c F ，焦点到渐近线的距离222==+=b b a bc d ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==22232cb a ac b ，解得4,222==b a ，即方程是14222=-x y ，若焦点在y 轴方程就是14222=-y x ，故选B. 【考点】双曲线标准方程6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足数列{}2na 是等比数列，若23201410094=++a a a ，则2017S 的值是 （ ） A ．20172B ．1008C ．2015D ．2016 【答案】A【解析】试题分析：若{na 2}是等比数列，即q n n n n aa a a ==---11222，即qa a n n 21log =--）（2≥n ，所以数列{}n a 是等差数列，23201410094=++a a a ，所以根据等差数列的性质：1009201442a a a =+，即2331009=a ，即211009=a ，而()220172017220171009201712017==+=a a a S ，故选A.【考点】等差数列的性质7．执行如图所示的程序框图，若输出的值为5-，则判断框中可以填入的条件为（ ）A ．10?z >B ．10?z ≤C ．20?z >D ．20?z ≤ 【答案】D【解析】试题分析：321,2,1=+===z y x ，满足条件，532,3,2=+===z y x ，满足条件，853,5,3=+===z y x ，满足条件，1385,8,5=+===z y x 满足条件，21138,13,8=+===z y x ，有题意，此时该不满足条件，推出循环，输出5138-=-=-y x ，所以判断框内可填入的条件是20≤z ?,故选D.【考点】循环结构8．设2000:,20,:p x R x x m q ∃∈-+->函数()3212413f x x x mx =-++在R 内是增函数，则p ⌝是q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】试题分析：0:>∆p ，04-4>m ，解得：1<m ；()m x x x f q 44:2+-='，01616≤-=∆m ，解得：1≥m ，1:≥⌝m p ，根据两个集合相等，即p ⌝是q 的充要条件，故选C. 【考点】命题9．函数()y g x =的图像是由函数()sin 2f x x x =的图像向左平移6π个单位而得到的，则函数()y g x =的图像与直线20,,3x x x π==轴围成的封闭图形的面积为 （ ）A ．0B ．32C ．2D ．52【答案】D【解析】试题分析：()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx x f ，向左平移6π个单位后得到()x x x g 2sin 2362sin 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ，根据函数的图像表示封闭图形的面积()252c o s 2c o s 2s i n 22s i n 2322220322=+-=-=⎰⎰ππππππxx x d x x d x S ，故选D. 【考点】1.三角函数图像变换；2.定积分.10．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图的矩形1111O A B C 如图②，其中11116,2,O A O C ==则该几何体的体积为 （ ）A ．．．32 D ．64【答案】B【解析】试题分析：根据所给图像，可判断几何体是四棱锥，底面直观图的面积是1262=⨯，那么实际图像的面积是2242212=⨯=S ,四棱锥的高是4，故几何体的体积是232422431=⨯⨯=V ,故选B. 【考点】1.三视图；2.斜二测画法. 【方法点睛】本题主要考察了几何体的体积以及斜二测画法下的直观图，属于基础题型，根据图形可得该几何体是四棱锥，并且高等于4，所以重点转化为求底面面积，而在斜二测画法下，42=实际直观图S S ，这样根据直观图的面积，可以直接求实际图形的面积. 11．抛物线2:8C x y =的准线与y 轴交于点A ，焦点为F ，点P 是抛物线C 上的任意一点，令PAt PF=，当t 取得最大值时，直线PA 的斜率是 （ ） A ．1 B ．1± C ．2± D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：如图，抛物线上一点到焦点的距离等于抛物线上一点到准线的距离，根据抛物线的对称性，所以设点P 在第一象限PABPBPA PFPA t ∠===sin 1,当PAB∠最小时，t 最大，所以当直线AP 与抛物线相切时，PAB ∠最小，设直线AP ：2-=kx y 与抛物线方程联立，01682=+-kx x ，064642=-=∆k ，解得1±=k ，故选B.【考点】抛物线的几何性质【一题多解】本题主要考察了抛物线的几何性质，属于中档题型，抛物线有一条重要的性质：抛物线上任意一点到焦点的距离和其到准线的距离相等，这样就将到焦点的距离转化为到准线的距离，根据数形结合，可得本题就是求过点A 的抛物线的切线的斜率，法一，可以设直线，与抛物线联立方程，令0=∆，求斜率，或者设切点()00,y x P ，根据()0x f k PA '=，求切点，再求切线的斜率.12．已知定义域为R 的函数满足一下条件：①()()2,68x R f x x g x ∀∈-+-=；②()()2g x g x =+；③当[]2,3x ∈时，()221218g x x x =-+-.若方程()()a log 1g x x =+在区间()0,+∞内至少有4个不等的实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．⎛⎝⎭ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．⎛ ⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：根据条件①可得()[]()x g x f =+--132，说明函数()()x g x g -=+33对R x ∈∀恒成立，说明()x g 关于3=x 对称，又根据条件②说明函数的周期2=T ,最后根据条件③就可得到完整的函数()x g 的图像，如图所示，若要满足()()1log +=x x g a 在区间()∞+，0有至少4个不等实根，转化为函数()x g 与函数()1log +=x y a 有至少4个交点，先找到恰有4个交点时的图像，此时()1log +=x y a 恰过点()2-4，，即25log -=a ，解得55=a ，若要多于4个交点时，550<<a ，故选D.【考点】1.函数的性质；2.函数图像的应用.【思路点睛】本题综合的考察了函数的性质与函数图像的应用，属于中档题型，本题的出题意图比较明显，最终转化为熟悉的两个函数的交点问题的题型，条件②③比较好理解，但对于条件①()()2,68x Rfx x g x ∀∈-+-=的转化，因为()1386-22+--=-+x x x ，关于3=x 对称，所以满足()()x g x g -=+33，即转化为()x g 关于3=x 对称，这样本题的难点就突破了.谨记函数有关对称性的常用公式，若对于R x ∈∀，函数()x f y =满足：①()()x a f x a f -=+或()()x f x a f =-2，说明函数关于a x =对称，②()()x b f x a f -=+说明函数关于2ba x +=对称，③若满足()()x a f x a f --=+或()()x f x a f -=-2，都说明函数关于()0,a 对称.二、填空题 13．已知等腰ABCRt ∆的斜边2=BC ，则()A BA CBC B A+⋅+【答案】1【解析】试题分析：因为三角形是等腰直角三角形，所以⊥=+2,所以()0=⋅+1==-,故填：1. 【考点】向量的运算14．将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配方法总数为a ，则二项式5313⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ax 的展开式中含x 项的系数为 （用数字作答）.【答案】25-【解析】试题分析：62223==A C a ,所以二项式等腰5312⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，()r r r r rrr r x C x x C T 3455535512112---+⋅⋅⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=，当1345=-r 时，3=r ，所以含x 项的系数为()25213523-=⋅⋅--C ,故填：25-. 【考点】1.二项式定理；2.排列组合.15．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+3213,1222x y x y x y x 表示的平面区域的面积为 .【答案】π23 【解析】试题分析：如图，阴影表示圆心角为π43的扇形，所以扇形面积是ππ232832=⨯⨯=S ,故填：π23.【考点】不等式组表示的平面区域【方法点睛】本题主要考察了不等式组表示的平面区域，属于基础题型，当0>a 时，0>++c by ax 表示直线的右侧区域，0<++c by ax 表示直线的左侧区域，如果直线给的是斜截形式，b kx y +>表示直线的上方区域，b kx y +<表示直线的上方区域,这样就比较快速方便的找到不等式组表示的平面区域. 16．若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n 的前n 项和为n S ，不等式n n n t S n 2941+≤-+对任意的N n ∈恒成立，则实数t 的最小值为 . 【答案】161【解析】试题分析：根据错位相减法，可求得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n 的前n 项和为1224-+-=n n n S ,n n n S 2341+-=+，所以原不等式可化简为nn nt n n 2923+≤+⋅，N n ∈恒成立，所以max226⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥n n n t ，0=n 时，0262=-n n n 1=n ，，25262-=-n n n ，2=n时，2-262=-n n n ，3=n 时，89-262=-n n n ，4=n 时，21-262=-n n n ，5=n 时，325-262=-n n n ，6=n 时，0262=-nn n ，7=n 时，1287262=-n n n ，8=n 时，161262=-nn n ，9=n 时，16151227262<=-n n n ，……,数列是先减后增的数列，所以当8=n 时，161)26(max 2=-nn n ，即161≥t ，所以实数t 的最小值是161,故填：161. 【考点】1.错位相减法求和；2.数列的函数特征.【易错点睛】本题主要考察了错位相减法求和以及数列的最值问题，属于中档题型，对于错位相减法求和是一个易错点，方法就是多练，再有整理后转化为max 226⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥n n n t ，*N n ∈，除了本题所给的方法外，也可以求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，同样需要带特殊值得到函数的最大值.三、解答题 17．已知A B C ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,若()(),cos ,cos cos ,1,2A C a A c n b m +==且n m //.（1）求角A 的值. （2）若ABC ∆的面积2，试判断ABC ∆的形状. 【答案】（1）3π=A ;（2）等边三角形.【解析】试题分析：（1）首先根据向量平行的坐标表示01221=-y x y x ，得到三角形的边和角的等式，然后根据正弦定理的变形公式C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===,将边化为角，再根据两角和的余弦公式，化简，即得结果；（2）利用三角形的面积公式A bc S sin 21=,将等式化简，再根据余弦定理，()bc c b A bc c b a +-=-+=2222cos 2化简，得到边的关系，判断三角形的形状. 试题解析：（1）由n m //，得0cos cos cos 2=+-A c C a A b ， 由正弦定理，得C A A C A B cos sin cos sin cos sin 2+=， 即()B C A A B sin sin cos sin 2=+=， 在ABC ∆中，0sin >B ， 所以21cos =A ，又()π,0∈A ，所以3π=A ，（2）由ABC ∆得面积2433sin 21a bc S ==π，得bc a =2， 由余弦定理，得()bc c b A bc c b a +-=-+=2222cos 2， 所以()02=-c b ，所以c b =，此时有c b a ==，所以ABC ∆为等边三角形.【考点】1.正余弦定理；2.判断三角形的形状.18．2016年，我国诸多省市将使用新课标全国卷作为高考用卷.（以下简称A 校）为了调查该校师生对这一举措的看法，随机抽取了30名教师，70名学生进行调查，得到（1）根据以上数据，能否有90%的把握认为A 校师生“支持使用新课标全国卷”与“师生身份”有关？（2）现将这100名师生按教师、学生身份进行分层抽样，从中抽取10人，试求恰好抽取到持“反对使用新课标全国卷”态度的教师2人的概率；（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从A 校所有师生中，采用随机抽样的方法抽取4位师生进行深入调查，记被抽取的4位师生中持“支持新课标全国卷”态度的人数为X .①求X 的分布列；②求X 的数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）没有%90的把握认为A 校师生“支持使用新课标全国卷”与“师生身份”有关；（2）14552=P ;（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据所给公式计算2K ,然后和表格所给的706.2比较大小，如果706.22>K 就表示有把握，706.22<K 就表示没有把握；（2）根据分层抽样，教师应抽取3人，学生应抽取7人，教师一共是30人，相当于是从30人中抽取3人，其中2人反对，一人支持，所以根据超几何分布得到CC C P 330116214=；（3）首先计算抽到持“支持使用新课标全国卷”态度的师生的频率为5310060=视为概率，X 可视作服从二项分布，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,4B X ，根据二项分布求分布列和数学期望np EX =，()p np DX -=1.试题解析：（1）由列联表，得()()()()()()706.27937.04060703044142516100222<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K所以没有%90的把握认为A 校师生“支持使用新课标全国卷”与“师生身份”有关. （2）由分层抽样知识知抽取了教师3人，学生7人，所以恰好抽取到持“反对使用新课标全国卷”态度的教师2人的概率14552330116214==CC C P . （3）①由22⨯列联表，知抽到持“支持使用新课标全国卷”态度的师生的频率为5310060=，将频率视为概率，即从A 校师生中任意抽取到一名持“支持使用新课标全国卷”态度的师生的概率为53.X 可视作服从二项分布，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,4B X ，所以()()4,3,2,1,0525344=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k X P kkkC②();512534=⨯==np X E ()().2524525341-⨯⨯=-=p np X D【考点】1.独立性检验；2.古典概型；3.二项分布.19．三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等边三角形，BC 的中点为O ，1AO ⊥底面ABC ，1AA 与底面ABC 所成的角为3π，点D 在棱1AA 上，且2AD AB ==.（1）求证：OD ⊥平面11BB C C ；（2）求二面角11B B C A --的平面角的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）1313-. 【解析】试题分析：（1）要证明⊥OD 平面C C BB 11,就要证明OD 与平面内的两条相交直线垂直，所以根据线面角和边长，以及余弦定理求OD 长，根据勾股定理证明1AA OD ⊥,再根据侧棱平行证明一组垂直，根据条件易证明⊥BC 平面O AA 1,即证明OD BC ⊥,这样就证明了OD 与平面内的两条相交直线垂直；（2）以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 所在的直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，分布求两个平面的法向量，根据公式><n m,cos 求解. 试题解析：（1）连接AO ，⊥O A 1 底面ABC ，⊂BC AO ,底面ABC ，AO O A O A BC ⊥⊥∴11,，且1AA 与底面ABC 所成的角为AO A 1∠，即31π=∠AO A .在等边ABC ∆中，易求得3=AO . 在AOD ∆中，由余弦定理，得32OD ==， 2223OA AD OD ==+∴，即1AA OD ⊥.又.,//111BB OD BB AA ⊥∴,,,BC AO OC OB AC AB ⊥∴==又O O A AO O A BC =⋂⊥11, ，⊥∴BC 平面O AA 1，又⊂OD 平面O AA 1，BC OD ⊥∴，又B BB BC =⋂1，⊥∴OD 平面C C BB 11.（2）如下图所示，以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 所在的直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则()()()()0,1,0,3,0,0,0,1,0,0,0,31B A C A -故()()111,0,1,3A B AB AC ===--由（1）可知11,4AD AA =∴可得点D 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛43,0,433，∴平面C C BB 11的一个法向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43,0,433.设平面C B A 11的法向量()z y x n ,,=，由11100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得⎩⎨⎧=+=+-,03,03x y y x 令,3=x 则,1,3-==z y 则()1,3,3-=n ，cos ,OD n OD n OD n⋅∴== 易知所求的二面角为钝二面角 ，∴二面角11A C B B --的平面角的余弦角值是1313-【考点】1.线面垂直的判定定理；2.空间向量的应用.20．设点P 是圆224x y +=上的任意一点，点D 是点P 在x 轴上的投影，动点M 满2MD =.过定点()0,2Q 的直线l 与动点M 的轨迹交于,A B 两点.（1）求动点M 的轨迹方程；（2）在y 轴上是否存在点()0,E t ，使EA EB =？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 13422=+y x ；（2）存在符合题意的点E ，且实数t 的取值范围为1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）根据“求什么设什么”的原则，设()y x M ,，再根据条件2MD =，表示P 点的坐标，代入圆的方程，422=+y x ，就得到点M 的轨迹方程；（2）当斜率不存在时，易得点E 是原点，当斜率存在时，设直线l ：2+=kx y ，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系以及0>∆，若EB EA =则AB EB EA ⊥+,这样转化为向量数量积等于0，转化为坐标的关系得到实数t 的取值范围. 试题解析：（1）设点M 的坐标为()y x ,， 点P 的坐标为()yp xp ,，由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧==,332,y yp x xp点P 在圆上，433222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴y x ， 即13422=+y x ， ∴点M 的轨迹方程为13422=+y x . （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0=x ，当E 与原点重合，即0=t 时，满足EB EA =. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，代入22143x y +=，消去y ，得()2341640k k x +++=， 则由()()221616340k k ∆=-+>，得12k >. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12216,43k x x k +=-+122443x x k =+ (),0EA EB EA EB AB =∴+⋅=又()()1212,42EA EB x x k x x t +=+++-， ()()2121,AB x x k x x =--，()()()()21211212,,420x x k x x x x k x x t ∴--⋅+++-=展开化简，得()()2121420k x x k kt +++-=，（9分） 将1221643k x x k +=-+代入化简，得2243t k =-+ 又2121,,02432k t k ⎛⎫>∴=-∈- ⎪+⎝⎭. 综上，存在符合题意的点E ，且实数t 的取值范围为1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【考点】1.轨迹法；2.直线与椭圆的位置关系. 21．已知函数()3221cos 32h x x x a =++，()ln g x a x =，其中a 为正实数. （1）设函数()()f x h x x '=-，若不等式()()g x f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：333444ln 2ln 3ln 2+23n n e++<…（其中e 为自然对数的底数）.【答案】（1）(]0,4e ;（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）首先求()x h '，再求()x f ，令()()()x g x f x u -=，()0>x ，根据导数求函数在定义域内的最小值，令最小值大于等于0，即求得a 的取值范围；（2）根据第一问当(]e a 4,0∈时，x a x ln 22≥，观察所证明的不等式，令e a 3=，化简为2432ln exx x ≤，令2,3,x =…,n,再将所得的1n -个不等式相加，最后采用放缩法，利用裂项相消法求和，即证明不等式. 试题解析：（1）因为()22h x x x '=+,所以()()22f x h x x x '=-=.因为()()g x f x ≤恒成立，所以()()0f x g x -≥在区间()0,+∞内恒成立. 令()()()()22ln 0u x f x g x x a x x =-=->，因为0a >，所以()44x x a u x x x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'=-=，令()0u x '<，解得02x <<； 令()0u x '>，解得x >. 所以()u x在区间⎛ ⎝⎭内单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增， 所以()u x在x =处取得唯一的极小值，即为最小值，（3分） 因此()2min20u x u a ==-≥⎝⎭⎝⎭，即1ln22≤，所以4a e ≤. 故实数a 的取值范围为(]0,4e .（2）由（1），知当3a e =时，()0u x ≥，即223ln x e x ≥在()0,x ∈+∞时恒成立，即2432ln exx x ≤在()0,x ∈+∞时恒成立.在2432ln exx x ≤的两边，分别令2,3,x =…,n,再将所得的1n -个不等式相加，得()333444222ln 2ln 3ln 23211123211112231211111122312121,n n e n e n n e n n e n e++⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭⎡⎤<++⎢⎥⨯⨯-⎣⎦⎛⎫=-+-+- ⎪-⎝⎭⎛⎫=-< ⎪⎝⎭…+…+…+…+故333444ln 2ln 3ln 223n n e++<…+.【考点】1.导数与不等式的证明；2.导数与不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考察了导数与证明不等式问题以及根据不等式恒成立，求参数的取值范围，对于第一问恒成立的问题，除了本题所选择的方法外，也可以根据0ln 22≥-x a x 恒成立，转化为参变分离的问题，但需要分()∞+，1和()1,0两种情况下的参变分离，对于本题第二问，需要观察所证明的不等式，需要用累加法，通项是43ln xx ，而第一问得到x a x ln 22>，0>a 时，整理为a xx 12ln 2<，根据通项进行整理为24316ln x a xx ⨯<，这样就可设e a 3=，采用累加，放缩法证明不等式. 22．已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且180ADB ADC ∠+∠=，CT 切圆O 于点C 且交AB 的延长线于点T .（1）求证：AB AC =；（2）若4CT =，8AT =，135ADC ∠=，试求圆O 的半径的长.【答案】（1）详见解析；（2）R =【解析】试题分析：（1）根据圆内接四边形的对角互补0180=∠+∠ADC ABC ，和同弧多对的圆周角相等ACB ADB ∠=∠,再结合条件，就可得到ABC ACB =∠,即证得边长相等；（2）切割线定理，得TB TA CT ⨯=2,在ADC ∆中，由正弦定理，得0062sin135sin 45AC R ===,即得到圆的半径. 试题解析：（1）,,,A B C D 四点共圆，0180ABC ADC ∴∠+∠=，又0180,ADB ADC ADB ABC ∠+∠=∴∠=∠. 又,ACB ADB ACB ABC ∠=∠∴∠=∠，AB AC ∴=，（2）由切割线定理，得TB TA CT ⨯=2，即168TB =，2,6TB AB AC ∴===.设圆O 的半径为R ，在ADC ∆中，由正弦定理，得0062sin135sin 45AC R ===，∴圆O 的半径R =【考点】1.圆内接四边形的性质；2.切割线定理.23．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程是12x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 是参数），曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为()1,2，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，试求AB 及PA PB ⋅的值.【答案】（1） 直线l 的普通方程为30x y +-=；所以曲线C 的直角坐标系方程为()()22228x y -+-=;（2）30=AB ;7=PB PA .【解析】试题分析：（1）参数方程消参后就是直线的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式222y x +=ρ，θρθρsin ,cos ==y x 进行转化；（2）首先将直线的参数方程转化为直线参数方程的标准形式，代入曲线的直线坐标方程，转化为关于t '的二次方程，根据公式21t t AB '-'=()212214t t t t ''-'+'=，21t t PB PA ''=.试题解析：（1）直线l 的普通方程为30x y +-=；由4sin 4cos 4πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，得24sin 4cos ρρθρθ=+. 所以曲线C 的直角坐标系方程为22440x y x y +--=（或()()22228x y -+-=）（5分） （2）直线l 的参数方程化为标准型为12,22x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩（t '为参数） 把l 的参数方程代入22440x y x y +--=，得270t ''-=设,A B 对应参数分别为12,t t ''，则12,t t ''为方程的两个根.所以1212,7t t t t ''''+==-，点()1,2P 显然在l 上，由直线l 中参数t '的几何意义，知12AB t t ''=-==127PA PB t t ''==.【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标方程与直角坐标方程的互化；3.直线参数方程t 的几何意义.【方法点睛】主要考察了参数方程与极坐标方程，属于基础题型，当直线方程的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x ，()00,y x P ，当其与曲线的直角坐标方程联立后得到关于t 的一元二次方程，那么21t t AB -=，21t t PB PA =，但如果所给方程不是直线的标准参数方程形式，则可采用化为标准形式，αtan 0=--x x y y ，根据αtan 分别求αsin 和αcos ，得到直线的参数方程的标准形式.24．已知函数()11f x x x =-++，记()f x 的最小值为m . （1）解不等式()6f x ≤； （2）已知正数a ，b 满足11m a b+=，且()233a b a b -≥，试求ab 的值.【答案】（1）[]3,3-；（2）2=ab .【解析】试题分析：（1）形如：d cx b ax +++形不等式可采用零点分段法求不等式的解集，绝对值的两个零点将数轴分为三个区间，三个区间分别去绝对值解不等式，最后求并集；（2）首先根据三角形不等式()()21111=+--≥++-x x x x ，先求得函数的最小值，然后根据条件()233a b a b -≥，两边同时除以22b a ，得到44ab ab+≤。