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《二次根式的除法》教课方案1、使学生掌算术平方根的性质；2、学生会二次根式除法的计算；教课目标3、使学生掌握分母有理化知识，并能利用它推行二次根式的化简及近似计算；教课难点算术平方根与二次根式的除法的关系与应用；知识要点算术平方根与二次根式的除法的关系与应用；教课方法和手教课过程段一、知识导向：从教材的编排看，二次根式的乘除法侧重讲乘法，除法给学生自己去研究，有了乘法的经验，理应不难归纳除法运算法例。
在教课中主要让学生充足地推行议论、沟通，发布看法，应侧重二课程引入次根式乘除法公式的对照，并复习有关因数分解的知识，多练习，发现问题即时解决。
二、新课解说：1、知识设疑：其一、积的算术平方aba b(a0,b0)其二、49(7)27而8199自主研究，合作沟通，当堂训根的性质：练，让学生感觉到成功的愉悦。
激发学生的学497，因此习兴趣。
81 949=49。
81812、知识形成新课分析商的算术平方根：归纳：商的算术平方根的性质：a=a（a≥0，b b(1)b＞0）。
(2)商的算术平方根等于被除式的算术平方根(3)除以除式的算术平方根。
(4)注意：若根式中的被开方数的分子与分母都是两个因数之积，因此先使用商的算术平方根的性质，再使用积的算术平方根的性质将讲堂练习讲堂小结本课作业例题精讲分子与分母分别化简.若根式中的被开方数的分子是多项式，可先分解因式，再应用商的算术平方根的性质和积的算术平方根的性质分别将分子及分母化简。
3、例题解说： 例1、化简：（1） 15 ；（） 3 ；（3） 25x 412100 9y 249例2、化简：（1）1625；（2） 0.9 121640.36 100例3、式子 x4 x4成立的条件是什x 5x 5么？ 例4、计算：（1）72；（2）11 1626三、稳固训练： Ｐ12“做一做增补： 1、把以下各式分母有理化：（1）5；（2） 3m 。
246m2、计算：（1）1995 ；（2）12x3y5小结与作业 四、知识小结： 1、商的算术平方根的性质； 2、会利用商的算术平方根的性质对一些式子推行化简。
《二次根式的乘除（2）》教课方案教课目的：一、知识与技术会推行简单的二次根式的除法运算。
使学生能利用商的算术平方根的性质推行二次根式的化简与运算。
理解最简二次根式的观点，并使用它将二次根式化成最简。
在学习了二次根式乘法的基础上推行总结对照,得出除法的运算法例。
指引学生利用从特别到一般总结概括的方法以及类比的方法，解决数学识题。
三、感情态度与价值观经过本节课的学习使学生理解到事物之间是互相联系的,互相作用的。
教课要点：会利用商的算术平方根的性质推行二次根式的化简，会推行简单的二次根式的除法运算。
教课难点：娴熟推行二次根式的除法运算。
教课过程一、自主研究，获得新知问题1.计算以下各式，察看计算结果，你能发现此中的规律吗？(1)4(2)49 916 16(3)(3)25 25问题2.用你发现的规律填空，并与小组内同学议论发现的规律能否一致？2 2 5 5(1)(2)3 3 7 7二、思虑考证，感觉新知问题3.想想经过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法例，你能说出二次根式a的结果吗？与伙伴沟通。
b师生共同回首思虑，总结出二次根式除法运算法例：一般地，对二次根式的除法有：a ab a0,b0b教师指引学生必定要注意除法法例建立的条件。
三、例题解说，掌握新知问题4.例题：计算：(1)24(2)21331 8教师给出例题后，让学生独立作业，同时分别选派四名同学上黑板演算。
教师巡视，对学生演算过程中的失误即时予以指正，最后师生共同评析，让学生加深对二次根式除法的理解和掌握，并保存每道题的最后结果。
12.2二次根式的乘除（1）教学目标：1.a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简；2.经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则；3.在具体的计算过程中讨论交流，总结公式，体会“数学知识来源于实践”的理念．教学重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质．教学难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质的理解与运用．教学过程：一、情境创设同学们，上节课我们了解了二次根式的概念，掌握了二次根式的性质，并能运用这些性质进行一些简单的计算，那么对于二次根式更为复杂的运算我们还能解决吗？数学来源于生活，下面我们就一起走进数学实验室，看看生活中的数学给我们带来了怎样新的问题？二、数学实验室（1）在图中，小正方形的边长为1，AB＝2，BC＝8，画出矩形ABCD 的面积是多少？（2）在图中，小正方形的边长为1．画出矩形EFGH，使EF＝2，FG＝18．矩形EFGH 的面积是多少？三、探索活动活动一：计算：（1＝，＝；（2＝，＝；（3）2)32(×2)53(＝ ， 22)53()32(⨯＝ ． 你有什么发现？请与同学交流．活动二：a ≥0，b ≥0）的正确性．计算：（1）8×2； （2）21×8； （3）a 2·a 8（a ≥0）． 活动三：了解了二次根式的乘法公式，请同学们逆向思考，你又有什么新发现呢？例1、化简：（1 （2）3a （a ≥0）； （3）324b a （a ≥0，b ≥0）． 知识拓展，能力提高．（a ≥0，b ≥0）.×=c ？例2、 计算：（1）xy ·y x 3·2xy ； （2）18×24×27．四、小结我们的收获：一路走来，我们结识了很多新知识，你能谈谈自己的收获吗？说一说让大家一起来分享．12.2二次根式的乘除（2）教学目标：1．进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算；2．能熟练地进行二次根式的化简及变形；3．在讨论、交流、总结方法的过程中，让学生学会尊重和理解他人的见解，敢于发表自己的观点．教学重点：熟练地进行二次根式的乘法运算．教学难点：熟练地进行二次根式的化简及变形．教学过程：一、情景创设同学们，上节课我们学习了二次根式的乘法，你能用式子表示出乘法运算的法则吗？运用这个法则可以进行乘法运算，还可以对结果进行化简，请同学们完成知识回顾中的三小题．＝；＝；＝（x≥0，y≥0)．问题1：:如何对二次根式进行化简？问题2：本组题中化简结果有何要求？二、探索活动：活动一：刚才的问题说明同学上节课的知识掌握的很好，复杂一点的化简你能解决吗？例1、化简．（1a≥0，b≥0）；（2a≥0，b≥0）；（3（a≥0，b≥0）．问题：用刚才的方法尝试解决以下问题．化简：（1x≥0，x－y≥0）；（2x≥0，y≥0）．活动二：例2、计算：（1（2（3）3a·ab（a≥0，b≥0）；（4）．活动三例3、计算：（1）（－×（－)；（2c a≥0，b≥0，c≥0）．×活动四：例4、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm，求AC．三、课堂小结本节课我们继续学习二次根式的乘法法则和二次根式的化简，我们是如何进行化简的？你还有哪些困惑？12.2二次根式的乘除（3） 教学目标：1．能运用除法法则b a ＝ba （a ≥0，b ＞0），进行二次根式的除法运算； 2．能逆用二次根式的除法运算法则，对简单的二次根式进行化简；3．在解问题的过程中培养学生探究意识、合作意识．教学重点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的应用．教学难点：商的算术平方根的性质的理解与运用．教学过程：一、情境创设：（1＝ ＝ ；（2＝ ＝ ；（3＝ ＝ ；（4＝ ． 比较上述各式，你猜想到什么结论？二、探索活动活动一： 运用二次根式的除法运算法则进行计算．计算：（1（2 （3； （4． 学生练习：（1）1560＝ ；（2）872＝ ；（3）18÷6＝ ；（4）322÷311＝ ． 由b a b a＝（a ≥0，b ＞0），可以得到，ba b a ＝（a ≥0，b ＞0）． 利用商的算术平方根的性质可以化简一些二次根式．活动二：商的算术平方根的性质进行化简．化简：（1 （2 ； （3 （4a ≥0，b ＞0）． 学生练习：化简：（1）94＝ ；（2）953＝ ； （3）493＝ ；（4）24925y x （y ＞0）＝ ． 活动三：二次根式的除法运算法则的意义． 等式22－＝－x x x x 成立的条件是 ． 练习：等式x x x x －＋＝－＋2121成立的条件是 ． 三、拓展提高1．计算2．已知一个长方形的面积为2，求长方形的对角线的长．四、课堂小结：你能总结一下，我们这节课学习的公式吗？12.2二次根式的乘除（4） 教学目标：1．使学生能运用法则b a ＝ba （a ≥0，b ＞0）化去被开方数的分母或分母中的根号；使学生能进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式，也不含有分母．根式运算的结果中分母不含有根号．2．在解问题的过程中培养学生的探究意识、合作意识．[来源:学&科&网]教学重点：商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的应用．教学难点：商的算术平方根的性质的理解与运用．教学过程：一、情境创设： 想一想：b a＝？（a _ _，b _ _），ba ＝？（a _ _，b _ _）． 二、探索活动：活动一：问题1的被开方数中的分母呢？ 问题2：如何化去31的被开方数中的分母呢？问题3a ＞0）的被开方数中的分母呢？ 对于更一般的情况：问题4a ≥0，b ＞0）的被开方数中的分母呢？ 由此你能得到一般的结论吗？活动二：例1、化去根号内的分母：（1）32 ；（2）312 ；（3）x y 32（x ＞0，y ≥0）． 练习：化简．（1 （2； （3（a ＞0，b ≥0）． 活动三：想一想：如果上面31首先化成31，那么该怎样化去分母中的根号呢？该怎样化去分母中的根号呢？31＝31＝3331⨯⨯＝33， ==．[来源:.] 当一个式子的分母中有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号．例如，当a ≥0，b ＞0时，． 例2、 化简下列各式，使分母中不含根号．（1）32； （2（x ＞0）； （3x ＞0，y ≥0）． 练习：计算．（1（2（3（a ＞0，b ≥0）． 三、小结与作业：一般地，二次根式运算的结果中，被开方数中应不含有分母，分母中应不含有根号．那么应该怎样进行这两类二次根式的化简呢？最简二次根式满足什么形式？。
§二次根式的除法教课方案一、教课内容及内容分析：1、内容二次根式的除法法例及其逆用，最简二次根式的观点。
2、内容分析二次根式除法法例及商的算术平方根的研究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指了然方向，学习了除法法例后，就有比较丰富的运算法例和公式依照，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础。
鉴于以上剖析，确立本节课的教课要点：二次根式的除法法例和商的算术平方根的性质，最简二次根式。
二、目标和目标分析1、教课目的（1）利用概括类比的方法得出二次根式的除法法例和商的算术平方根的性质；（2）会推行简单的二次根式的除法运算；（理解最简二次根式的观点。
2、目标分析1）学生能经过运算，类比二次根式的乘法法例，发现并描绘二次根式的除法法例；（2）学生能理排除法法例逆用的意义，联合二次根式的观点、性质、乘除法法例，对简单的二次根式推行运算。
经过察看二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特色，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式。
3、教课要点二次根式的除法法例与商的算术平方根的性质之间的关系和应用。
4、教课难点理解最简二次根式的特色，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式。
三、教法建议1、本节内容是在学习了二次根式乘法的基础后学习，因此可以采纳学生自主研究学习的模式，经过前一节的复习，让学生经过详细实例再联合积的性质，对照、概括获得商的二次根式的性质。
教师在此过程中给与适合的指导，提出问题让学生有必定的研究方向。
2、指引学生思虑“研究”中的内容，培育学生思想的深刻性，教师组织学生思虑、议论，在这个过程中，鼓舞学生勇敢猜想，踊跃研究，使用类比、概括和从特别到一般的思虑方法研究新知。
四、教课识题诊疗剖析本节内容主假如在做二次根式的除法运算时，分母含根号的办理方式上，学生可能会出现困难或简单失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来推行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再联合乘法法例和积的算术平方根的性质来推行。
数学八年级下册《二次根式的乘除（第3课时）》教案教学内容本节课主要学习最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算。
教学目标知识技能理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式。
情感态度灵活运用不同方法化简二次根式，通过本节课的学习使学生认识到知识之间是相互联系的。
重难点、关键重点：最简二次根式的概念及运用。
难点：灵活选用恰当的方法化简二次根式。
关键：掌握化简二次根式常见方法。
教学准备教师准备：制作课件，精选习题。
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容。
教学过程 一、复习引入完成下列各题（请三位同学上台板书）1、计算（1）35，（2）3227，（3）82a2、现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h 1km ，h 2km ，•那么它们的传播半径的比是_________。
它们的比是1222Rh Rh 。
教师给出题目。
学生根据所学知识回答问题。
【设计意图】由复习二次根式的除法，引导学生观察计算结果，发现其中的规律，激发学生探索新知识的兴趣。
二、探索新知观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
【提出问题】那么上题2中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式。
教师提出问题，请学生自己计算出结果,并力争独立发现规律。
【设计意图】让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般，再回到特殊的认识过程，对最简二次根式有一个较清晰的理解。
三、范例点击例1 P11第10题【活动方略】教师将例1给出，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】通过题目的练习，使学生加深对所学知识的理解，能用商的算术平方根的性质对二次根式进行化简。
四、反馈练习课本P14 练习2、3题补充练习化简:(1)5312; (2) 2442x y x y+; (3) 238x y学生独立思考、独立解题。
《二次根式的乘除》教学详案1.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.2.能利用二次根式的乘、除法法则和性质化简二次根式.1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖,相互补充的辩证关系.2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.【重点】能熟练进行二次根式的乘法和除法运算.【难点】综合运用有关法则和性质化简二次根式.第课时1.理解=·(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步了解数学知识之间是互相联系的.2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.【重点】会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算.【难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习二次根式的定义和代数式的定义.导入一:古希腊的几何家海伦的邻居家有一块三角形的菜地,测得三边的长分别为7 m,5 m,8 m,海伦很快就算出了这块菜地的面积,邻居想了很久也算不出来,你知道海伦是如何将这块地的面积计算出来的吗?原来海伦先算出三角形的周长的一半为10 m,再根据计算三角形的面积公式得=(m2),可是后面这个式子该如何化简呢?这节课我们一起来进行探讨.创设情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.导入二:我们知道长方形的面积等于长乘宽,一个一组邻边长为2和3的长方形,你能算出它的面积吗?其实这个长方形的面积是2×3,你能算出这个结果,求出长方形的面积吗?联系生活实际导入新课,让学生感受到数学来源于生活,唤起学生探究新知的欲望.1.二次根式的乘法思路一计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)×=,=;(2)×=,=;(3)×=,=.参考上面的结果,用“>,<或=”填空.×,×,× .老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.老师点评:(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的乘法等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.提问:二次根式的乘法法则是什么?字母表达式是怎样的?学生总结二次根式的法则:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.培养学生细心观察问题,并合作完成问题的习惯.(1)·=成立的条件是a≥0且b≥0,千万不能忽略.(2)此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).在·=(a≥0,b≥0)中,a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数,如m·n=mn(a≥0,b≥0).思路二出示教材第6页“探究”.计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)×=,=;(2)×=,;(3)×=,=.学生自己计算,并力争独立发现规律:×=,×=,×=.教师演算:×=×5=,==,则×=.由上面的特殊例子引导学生总结:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.尝试练习(教材例1):计算:(1)×;(2)×.学生独立做完后,同桌内确定答案,并记录下自己的错误之处,以便后面交流.由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式乘法的法则,通过尝试练习使学生先学会初步掌握如何进行二次根式的乘法.2.积的算术平方根的性质思路一计算并思考:①==,×=2×5=;②==,×=6×=;③==,×=0.1×3=.你认为=(a≥0,b≥0).学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现.教师根据学生情况引导:根据算术平方根的意义,得==10,×=2×5=10,则=×;同样,==,×=6×=,则有=×;==0.3,×=0.1×3=0.3,则有=×.由此可以得出两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.进一步明确:=·(a≥0,b≥0).让学生亲自动手,进行探究,得出结论,激发学生求知欲望.思路二尝试练习:化简:(1);(2)(m>0).学生讨论,得出:(1)先把被开方数化为202×10,再利用=·计算;(2)先把被开方数化为(9m)2与n乘积的形式,再利用=·计算.解:(1)原式=×=20.(2)原式==·=9m.教师针对练习中的错误进行纠正,引导学生归纳:两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积,即=·(a≥0,b≥0).鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.(1)当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=·,而不等于·.(2)积的算术平方根性质可推广为:当a≥0,b≥0,c≥0时,=··.(3)公式中a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式,但必须满足a≥0,b≥0.3.例题讲解(教材例1)计算:(1)×;(2)×.引导学生结合前面尝试练习分析:根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)进行计算.解:(1)×=.(2)×===3.(教材例2)化简:(1);(2).教师引导发现:被开方数4a2b3含4,a2,b3这样的因数或因式,它们被开方后可以移到根号外,是开得尽方的因数或因式.根据积的算术平方根的性质=·进行二次根式的化简.解:(1)=×=4×9=36.(2)=··=2·a·=2ab.(教材例3)计算:(1)×;(2)3×2;(3)·.〔解析〕根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)计算,其中3×2中,二次根式前面有系数,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数.解:(1)×===×=7.(2)3×2=3×2=6=6×=6×5=30.(3)·===·=x.化简二次根式的方法:①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.【变式训练】判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正.(1)=×;(2)×=4××=4×=4=8.解:(1)不正确.改正:==×=2×3=6.(2)不正确.改正:×=×===4.让学生把所学知识灵活运用,给前面尝试练习错误的学生一次强化训练的机会,力争人人能过关.师生共同回顾本节课所学主要内容:1.·=(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式进行相乘的运算,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).2.=·(a≥0,b≥0),用语言叙述为:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.1.若=·,则a的取值范围是()A.-4≤a≤4B.a>-4C.a≤4D.-4<a<4解析:由题意可知:4-a≥0且4+a≥0,得a≤4且a≥-4,因此-4≤a≤4.故选A.2.下列各式成立的是()A.4×2=8B.5×4=20C.4×3=7D.5×4=20解析:A错,正确结果为40;B错,正确结果为20;C错,正确结果为12;D正确.故选D.3.一个长方形的长和宽分别是cm和cm,则这个长方形的面积是.解析:×==25(cm2).故填25 cm2.4.已知x>0,y>0,则·=.解析:·=·=·=xy.故填xy.5.化简:(1);(2)(a≥0,b≥0).解:(1)=×=6×9=54.(2)=··=3·a·=3a·=3ab.6.计算:(1)×;(2)4×7;(3)3×5;(4)·.解:(1)×==6.(2)4×7=4×7=28=252.(3)3×5=3×5=15.(4)·==a.第1课时1.二次根式的乘法2.积的算术平方根的性质3.例题讲解例1例2例3一、教材作业【必做题】教材第7页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第1题.【选做题】教材第11页习题16.2第6题.二、课后作业【基础巩固】1.下列各数中,与的积为有理数的是()A. B.3 C.2 D.2.(2015·安徽中考)计算×的结果是()A. B.4 C. D.23.已知m=×(-2),则有()A.5<m<6B.4<m<5C.-5<m<-4D.-6<m<-54.k,m,n为三个整数,若=k,=15,=6,则下列有关k,m,n的大小关系正确的是()A.k<m=nB.m=n<kC.m<n<kD.m<k<n【能力提升】5.张老师在计算机上设计了一个长方形,已知长方形的长是cm,宽是cm.他又想设计一个面积与其相等的圆,则圆的半径是.6.·是一个整数,那么最小正整数a的值为.7.计算:(1)××;(2)×0.5(a≥0);(3)×(-)×.8.一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器中装满水,现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的长方体铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20 cm,求铁桶的底面边长是多少厘米.(容器的尺寸为从里面量得的)9.若y=,且x,y为实数,求·的值.【拓展探究】10.观察下列各式:=2,=3,=4,….(1)你能发现上述式子有什么规律吗?将猜想到的规律用含自然数n(n为正整数)的代数式表示出来是;(2)请你运用所发现的规律,写出第9个式子;(3)请你验证所发现的规律.【答案与解析】1.C(解析:因为×=,而为无理数,所以选项A错误;因为3×=3,而3是无理数,所以选项B错误;因为2×=6,而6是有理数,所以选项C正确;因为×=3,而3为无理数,所以选项D错误.故选C.)2.B(解析:∵·=(a,b都是非负数),∴×====4.故选B.)3.A(解析:m=×(×)=××=2.∵25<28<36,∴<<,即5<2<6.故选A.)4.D(解析:化简二次根式得到k,m及n的值,=3,=15,=6,可得k=3,m=2,n=5,则m<k<n.故选D.)5. cm(解析:设圆的半径为r cm,则πr2=·,r=.)6.2(解析:因为50=52×2,所以50×2=52×22,因此a的最小整数值为2.)7.解:(1)××=××===4.(2)×0.5===abc.(3)×(-)×=×=×=60.8.解:设铁桶的底面边长为x cm,则x2×10=30×30×20,x2=30×30×2,所以x==30,所以铁桶的底面边长是30 cm.9.解:由已知得4-x2≥0,x2-4≥0且x≠-2,∴x=2,∴y=.当x=2,y=时,·=·==.10.解析:解决这类问题的方法是先观察已知几个等式的数字特征,从而发现各式的数字变化规律,归纳出几个式子所反映的一般规律,这种探索性解题的方法在今后的学习中经常用到,望同学们引起高度重视.解:(1)=(n+1)(n为正整数)(2)当n=9时,可得到第9个式子为:=10.(3)因为左边= ===(n+1)=右边,所以=(n+1)(n为正整数).本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,不断进行自主探究,在探究过程中注意观察知识产生发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.学生基本掌握了二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质,但一些学生在计算被开方数相乘时,喜欢急于算出乘积的结果,而应将被开方数进一步分解因数,以便把开得尽方的因数移到根号外面,从而使计算简便.进一步放手让学生自学本节内容,让学生在观察、归纳出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质基础上,重点进行计算和化简方面的练习,让学生先练,教师后教.练习(教材第7页)1.解:(1)×==.(2)×===6.(3)2×=2=2.(4)×===2.2.解:(1)=×=7×11=77.(2)==15.(3)=·=2.(4)=···=4bc.3.解:S=×2=2=2=2×=4.教材设计意图本节课主要内容是二次根式的乘法运算和二次根式的化简,通过本节学习应使学生掌握根式的乘法运算法则和化简二次根式的常用方法,建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构,并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备.探究二次根式的乘法法则,教材从具体例子出发,由特殊到一般、由具体到抽象地归纳给出二次根式的运算法则.通过“探究”栏目,引导学生利用二次根式的性质,从具体数字的运算中发现规律,进而得出二次根式的乘法法则.“探究”栏目中的两个问题是两个不同层次的探究活动.首先是让学生通过计算发现规律,然后是让学生对发现的规律进行类比,得出乘法法则的具体内容.为了使学生更全面地了解二次根式的运算,提高学生的运算能力,也为今后的数学学习打下必要的基础,教材在正文中设置了“选学例题”,采用举例的方式,让学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式”的运算.由于数式通性,只要将二次根式中的实数看成字母,二次根式的运算实际上就是整式的运算.将二次根式的乘法法则·=反过来,就得到积的算术平方根的性质.利用这条性质可以对二次根式进行化简.通过学习,应该使学生对化简二次根式的基本要求有所认识,即在化简时,一般先将被开方数进行因数分解或因式分解,然后再将能开得尽方的因数或因式开出来,这一点教材利用了一个小贴士加以说明.第课时1.会进行简单的二次根式的除法运算.2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.【重点】会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.【难点】二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习二次根式的乘法法则.导入一:化育中学有一块直角三角形的花台,计划让九年级的同学负责花台周围的清洁卫生.已知直角边AC= m,BC=3 m,你能求出斜边AB的边长吗?在学习了下一章后,根据勾股定理得AB== =.在上面的问题中,你会计算的结果吗?学习这节课后,你将很容易地解答这类问题.创设问题情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.导入二:1.请同学们回忆·=(a≥0,b≥0)是如何得到的?学生回忆二次根式乘法的运算法则的推导过程,并总结学习方法.2.计算下面的式子,并请每一个同学举出一个例子.(1)=,=;(2)=,=;教师巡视学生举例和计算结果是否正确.这些式子的计算涉及我们这节课要学习的二次根式的除法等相关内容,让我们一起来探究一下.1.二次根式的除法思路一计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)=,=;(2)=,=;(3)=,=.参考上面的结果,用“>”“<”或“=”填空.;;.老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.提问:二次根式的除法法则是什么?字母表达式是怎样的?学生总结二次根式除法的法则:=(a≥0,b>0).即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.追问:a,b的取值范围为什么不同?学生思考,交流:因为分母不能为0,所以b≠0.当a<0,b<0时,,无意义,因此a≥0,b>0.运用二次根式乘法的方法探索,使学生清楚新旧知识之间的区别与联系,培养学生从特殊到一般的归纳概括能力.思路二,.提问:比较上面的式子,你能得到什么样的结论呢?引导学生比较计算结果,发现规律.因为=,=,所以=;因为=,=,所以=.由此可以看出两个二次根式相除,把被除数的被开方数除以除数的被开方数,根指数不变.明确二次根式的除法法则:=(a≥0,b>0).你会应用二次根式的除法法则吗?尝试练习:(教材例4)计算:(1);(2)÷.学生利用=(a≥0,b>0)进行计算,根据学生计算情况指点.对于(2)题,需将除法转化成乘法后,再进行化简.解:(1)===2.(2)÷====3.由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式的除法法则,通过尝试练习使学生先学,教师后教,初步掌握二次根式的除法运算.(1)当被除式的被开方数能被除式中的被开方数整除时,可直接利用二次根式除法法则计算.如÷===2.(2)当被除式中的被开方数不能被除式中的被开方数整除时,或者被除式是整数而除式是二次根式时,可以利用分数的基本性质把分母中的根号化去.如==,==.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式除以单项式的法则进行运算,即系数之商作为系数,被开方数之商作为被开方数,如m÷n=(m÷n)×(÷),其中a≥0,b>0且n≠0.2.商的算术平方根的性质思路一=(a≥0,b>0)反过来也成立吗?(1)=,=;(2)=,=;(3)=,=.参考上面的结果,用“>”“<”或“=”填空.;; .你认为=(a≥0,b>0).学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现,教师明确商的算术平方根的性质:=(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.让学生亲自动手计算,提出猜想,归纳论证,得出结论,培养学生探究能力和探究的良好习惯.思路二二次根式的乘法公式可以逆用,那么除法公式可以逆用吗?学生阅读教材第8页内容:把=(a≥0,b>0)反过来,就得到=(a≥0,b>0),利用它就可以将二次根式化简.尝试练习:(教材例5)化简:(1);(2).学生独立完成后,找学生口述解题过程,教师将过程写在黑板上.解:(1)==.(2)===.引导学生归纳:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即=(a≥0,b>0).鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.(1)当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=,而不等于.(2)如果被开方数是带分数,应先将其化成假分数,如必须化成,防止出现=×这样的错误.3.最简二次根式你能用积的算术平方根和商的算术平方根化简吗?化简:=;=.学生独自练习后,教师讲解.由于27可以分解为32×3,根据=·(a≥0,b≥0),则有=×=3,可以根据=(a≥0,b>0)得,再利用分数的基本性质可以变形,则有===.追问:观察化简结果3和,它们有什么特点?自己可以再举例说明.引导学生从上面两小题化简的过程来看:(1)把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)开出来;(2)把被开方数中所含有的分母化去.进一步归纳总结:如果二次根式满足下列两个条件:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数中不含有分母.那么这样的二次根式叫做最简二次根式.(1)在二次根式的运算中,一般都要把最后结果化成最简二次根式.(2)判断一个二次根式是不是最简二次根式,就要紧扣最简二次根式的特点:①被开方数中不含有分母或小数;②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式;③若被开方数是和或差的形式,则先把被开方数写成积的形式,再判断,若无法写成积或一个数的平方的形式,则为最简二次根式.如因为=,所以不是最简二次根式;因为无法进行因式分解或变成一个数或因式的平方,所以是最简二次根式.4.例题讲解(教材例6)计算:(1);(2);(3).先引导学生分析本题3道小题,根据二次根式的除法法则进行计算,计算结果应化成最简二次根式,在自己练习后小组交流.解法1:(1)=====.解法2:(1)===.解:(2)======.(3)===.化简二次根式的方法:①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数的,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.(教材例7)设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=2,b=,求a.学生先分析题意,独立列出式子,再代值计算.分析:∵S=ab,∴a=,将S,b的值代入进行化简即可.解:a=====.通过对例题的分析和解答,加深对二次根式的除法与商的算术平方根的理解和应用.师生共同回顾本节课所学主要内容:1.=(a≥0,b>0),即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.2.=(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.3.如果一个二次根式满足以下两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们称这样的二次根式为最简二次根式.1.下列计算正确的是()A.==B.==C.===D.=±=±解析:当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=,而不等于,因此===.故选C.2.(2015·淮安中考)下列式子为最简二次根式的是()A. B. C. D.解析:=2,=2,=,均不是最简二次根式.故选A.3.计算4÷2的结果是.解析:4÷2=(4÷2)×=2×=2×3x=6x.故填6x.4.计算:(1);(2);(3);(4).解:(1)==.(2)==.(3)==.(4)=-=-=-1.5.计算:(1)(y>0);(2)-÷;(3).解:(1)==.(2)-÷=-=-3.(3)==.第1课时1.二次根式的除法例12.商的算术平方根的性质例23.最简二次根式4.例题讲解例3例4一、教材作业【必做题】教材第10页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第2,3,4题.【选做题】教材第11页习题16.2第7,8,9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.若等式÷=成立,则实数a应是()A.正实数B.大于-1的实数C.非负实数D.非正实数2.下列各式正确的是()A.=16B.÷=1C.=D.=93.下列根式中最简二次根式有(),,,,,,.A.2个B.3个C.4个D.5个4.计算的结果是()A.4bB.2C.D.【能力提升】5.(2015·南京中考)计算的结果是.6.长方形的长为3,面积为30,要在这个长方形中分割出一个面积最大的正方形,则该正方形的面积是.7.计算:(1)×÷;(2)×÷;(3).【拓展探究】8.已知x=×,y=×,试比较x与y的大小.【答案与解析】1.C(解析:由被开方数的非负性和除数不为零,可得a为非负实数.)2.C(解析:A的结果为4;B的结果为;D的结果为3.故选C.)3.A(解析:,是最简二次根式.故选A.)4.D(解析:====.故选D.)5.5(解析:=×=5.)6.60(解析:30÷3=2,=60.)7.解:(1)原式=÷==2.(2)原式=-×÷=-×4=-.(3)原式==3×2=6.8.解:设a=2013,则x=×==,y=×==.∵a2+3a+2>a2+3a,∴x<y.本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,运用类比学习的方法探究得出二次根式的除法法则.在探究过程中注意观察知识产生、发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.由于本节课内容较多,练习量大,学生基本掌握了二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,但一些学生在计算时,没有把结果化成最简二次根式.在总结二次根式乘法一课的学习方法之后,进一步放手让学生自学本节内容,让学生观察、归纳出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,重点进行计算练习,提高二次根式乘除运算的能力.练习(教材第10页)1.解:(1)÷===3.(2)===2.(3)÷===.(4)÷====2a.2.解:(1)==4.(2)==2.(3)==.(4)===.3.解:由题意,知S=ab,∵S=16,b=,∴a×=16,∴a===.习题16.2(教材第10页)1.解:(1)×=2×3=6=6×3=18.(2)×(-)=-=-3.(3)××=3×2×5=30=30.(4)=3×4=12=12×2=24.2.解:(1)÷===.(2)==2.(3)÷===.(4)==.3.解:(1)=×=2×7=14.(2)=×=10.(3)==.(4)==.4.解:(1)==.(2)===.(3)====.(4)==.(5)==y.(6)=-×=-=-×3=-.5.解:(1)当a=1,b=10,c=-15时,====-5+2. (2)当a=2,b=-8,c=5时,====2+.6.解:(1)由题意可知S=ab,∵a=,b=,∴S=×===4.(2)由题意可知S=ab,∵a=2,b=3,∴S=2×3=10×12=10×12×2=240.7.解:(1)由题意可知S=a2,∵S=50,∴50=a2,∴a==5(负值已舍去).(2)由题意可知S=a2,∵S=242,∴242=a2,∴a==11(负值已舍去).8.解:(1)×===. (2)×===.(3)×===.(4)×÷====3×5=15.9.解:∵≈1.414,∴=≈×1.414=0.707,即≈0.707.∵≈1.414,∴=2≈2×1.414=2.828,即≈2.828.10.解:∵S=ab,S=4,a=,∴b=4,∴b=====.11.解:∵V=S·h,V=4,h=3,∴S====.12.解:由题意知截去的两个小正方形的边长分别为cm和cm,而留下的是两个全等的小长方形,其宽为cm,长为cm,∴留下部分的面积=2××=2×=2×6=12(cm2).13.解:(1)==10.(2)==100.(3)==1000.(4)==10000.10n本节内容在中考中主要考查二次根式的化简,题型一般为选择题和填空题,有时出现二次根式化简和混合运算综合题,但难度不大,掌握二次根式的乘除法法则及最简二次根式就能顺利解答.(2014·山东中考)下列式子中,属于最简二次根式的是()A. B. C. D.〔解析〕判断一个二次根式是否为最简二次根式的主要方法是根据最简二次根式的定义进行判断.选项A:=3,故A选项错误;选项C:=2,不是最简二次根式,故C选项错误;选项D:=,不是最简二次根式,故D选项错误.故选B.(2014·济宁中考)如果ab>0,a+b<0,那么下面各式:①=,②·=1,③÷=-b,其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③〔解析〕∵ab>0,a+b<0,∴a<0,b<0.①中,等号右边被开方数小于零,无意义,∴①不正确;②中,根据二次根式乘法法则得·===1,∴②正确;③中,÷====|b|=-b,∴③正确.故选B.(2014·河北中考)计算:×=.〔解析〕运用二次根式乘法法则计算,然后化简.×===2.故填2.。
12.2二次根式的乘除教案苏科版数学八年级下册教学目标：1.学会对二次根式进行乘法和除法运算。
2.能够在不改变二次根式的值的情况下，对二次根式进行化简。
3.具有二次根式的加减、乘除能力及其应用能力。
教学重点：能熟练地进行二次根式的乘除运算，并能化简。
教学难点：通过实例的形式梳理知识点，提高学生的运算能力和思考能力。
教学环节：一、导入教师在黑板上写下两个二次根式，让学生回忆上一节课讲过的加减运算方法，并例如：3√5 + 2√5 = _____答案是：5√5接下来，教师提出今天的新课题：“二次根式的乘除运算”并介绍相关的概念和步骤。
二、知识讲解1.二次根式的乘法：(1)同项式相乘：将系数相乘，并将根数相加。
例如：√3 ×√5 = √(3×5)(2)异项式相乘：将各项的系数乘起来，再将根号下的算式进行约分。
例如：√3 × 2√5 = 2√152.二次根式的除法：(1)分子分母都为同项式时，可以进行约分。
例如：√(32/8) = √(4×8/8) = 2(2)分子分母都为异项式时，可以将被除数的分子、分母都同时乘以除数的分母的共轭。
例如：√6/√2 = √6/√2 ×√2/√2 = √12/2 = 2√3三、案例分析小班小球直径的单位是厘米，假设有四个同样大小的小班小球，要把它们平铺在地上，请问需要多少平方分米的面积？教师在黑板上列出大小相同的四个圆球的面积，并让学生看出每一个圆的面积是(1/4)πd²，其中d表示圆半径。
然后让学生求出圆的直径d。
d = 2r = 2 × 2√3 = 4√3将d带入 (1/4)πd²公式中，得到圆的面积：(1/4)πd² = (1/4)π(4√3)² = 4π3 = 4√3π四、巩固练习1.计算以下乘积。
(1) (1/2)√2 × (2/3)√6解：(1/2)√2 × (2/3)√6 = ((1/2) × (2/3))√2 ×√6 = (1/3)√12 = (2/3)√3(2) (3√5)²解：(3√5)² = (3²)×(√5)² = 9×5 = 452.计算以下商。
16.2 二次根式的除法学习目标：1、会推行简单的二次根式的除法运算；2、会对二次根式推行适合化简；3、知道什么是最简二次根式。
学习要点：理解二次根式的除法法例；学习难点：灵巧使用二次根式的除法法例和性质推行计算和化简．学习过程一、引入新课：上节数学课我们学习了二次根式的乘法计算，那么该如何推行二次根式的除法运算呢？本节课我们一同学习。
二、展现目标，自主学习：自学指导：仔细阅读课本第8页——10页内容，达成以下任务：1、先自主达成8页“研究”，再和伙伴沟通，你们获得的结论是：。
尝试用文字语言表述这个法例。
、仔细看例4、例5、例6的每一步计算和化简，有疑问随即和伙伴沟通或向老师讨教；3、最简二次根式知足的两个条件是：①；②；4、模仿例题格式达成10页练习并和伙伴相互找缺点。
（12分钟）三、检测反应1、师生共同解决“自学指导”中的问题。
2、找同学演板10页练习1、2、3四、讲堂小结：本节课你有哪些收获？（1）二次根式的除法法例是什么？请写在下边。
2）在推行二次根式的除法计算和化简时你有感觉应当注意些什么？请告诉大家。
五、部署作业：1、作业：习题16.2第2，4题2、课外延长计算和化简（1）243（2）5213（3）3273a2b（4）2 8 2 ab1525x4（5）149（6）9y27）1625 64x4xi9）式子xii5（8）.9121.36100xxixiixiii4建立的条件是什么？x 5。
