第六章 第四节 基本不等式

第4节基本不等式【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.下列不等式一定成立的是( C )(A)lg(x2+)>lg x(x>0)(B)sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)(C)x2+1≥2|x|(x∈R)(D)>1(x∈R)解析:对选项A,当x>0时,x2+-x=(x-)2≥0,所以lg(x2+)≥lg x;对选项B,当sin x<0时显然不成立;对选项C,x2+1=|x|2+1≥2|x|,一定成立;对选项D,因为x2+1≥1,所以0<≤1.故选C.2.(2016·遵义校级期末)下列各函数中,最小值为2的是( D )(A)y=x+(B)y=sin x+,x∈(0,2π)(C)y=(D)y=+-2解析:当x=-1时,y=x+=-2,排除A;当sin x=-1时,y=sin x+=-2,排除B;当x=0时,y==,排除C;对于y=+-2,利用基本不等式可得y≥2-2=2,当且仅当x=4时,等号成立,故D满足条件.3.(2016·河北保定一模)司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰有两次甲、乙同时加同单价的油,但这两次的油价不同,则从这两次加油的均价角度分析( B )(A)甲合适 (B)乙合适(C)油价先高后低甲合适(D)油价先低后高甲合适解析:设甲每次加m升油,乙每次加n元钱的油,第一次加油x元/升,第二次加油y元/升,甲的平均单价为=;乙的平均单价为=,因为x≠y,所以=>1,即乙的两次平均单价低,乙的方式更合适,故选B.4.(2016·郑州外国语学校月考)若a>b>1,P=,Q=(lg a+lg b), R=lg,则( C )(A)R<P<Q (B)Q<P<R(C)P<Q<R (D)P<R<Q解析:因为a>b>1,所以lg a>lg b>0,(lg a+lg b)>,即Q>P.因为>,所以lg>lg=(lg a+lg b)=Q,所以R>Q,所以P<Q<R,故选C.5.(2016·安徽六校联考)若正实数x,y满足x+y=2,且≥M恒成立,则M 的最大值为( A )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为x>0,y>0,且x+y>2,所以xy≤()2==1,所以≥1;又≥M恒成立,所以M≤1,即M的最大值为1,故选A.x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为( D )(A) (B) (C) (D)4解析: 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=ax+by得y=-x+,当z变化时,它表示经过可行域的一族平行直线,其斜率为-,在y 轴的截距为,由图可知当直线经过点A(4,6)时,在y轴上的截距最大,从而z也最大,所以4a+6b=12,即2a+3b=6,所以+=(+)·=(12++)≥4,当且仅当a=,b=1时取等号,故选D.7.(2016·山东泰安模拟)若直线l:+=1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线l 在x轴和y轴上的截距之和的最小值是.解析:直线l在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,由于直线l经过点(1,2)得+=1,于是a+b=(a+b)×1=(a+b)(+)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=时取等号,所以a+b≥3+2,即(a+b)min=3+2.答案:3+28.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.解析:每台机器运转x年的年平均利润为=18-(x+),而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:5 89.(2016·山东青岛模拟)下列命题正确的是.①y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4;②y=sin2x+的最小值是4;③y=2-3x-(x<0)的最小值是2-4.解析:①正确,因为y=2-3x-=2-(3x+)≤2-2=2-4,当且仅当3x=,即x=时等号成立.②不正确.令sin2x=t,则0<t≤1,所以g(t)=t+,显然g(t)在(0,1]上单调递减,所以g(t)min=g(1)=1+4=5,③不正确,因为x<0,所以-x>0.最小值为2+4,而不是2-4.答案:①10.(2016·开封模拟)已知a,b都是正实数,且a+b=1.求(a+)2+(b+)2的最小值.解:(a+)2+(b+)2≥2×≥=.所以(a+)2+(b+)2≥,当且仅当a=b=时上式等号成立.所以(a+)2+(b+)2的最小值为.11.已知f(x)=.(1)若f(x)>k的解集是{x|x<-3或x>-2},求k的值;(2)若对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求实数t的取值范围. 解:(1)f(x)>k⇔kx2-2x+6k<0,由已知其解集为{x|x<-3或x>-2},得x1=-3,x2=-2是方程kx2-2x+6k=0的两根,所以-3-2=.所以k=-.(2)因为x>0,f(x)==≤,当且仅当x=时取等号,所以f(x)max=.所以t≥,故实数t的取值范围是,+∞).能力提升练(时间:15分钟)a,b满足a+b=2,则+的最小值是( B )(A)1 (B) (C)9 (D)16解析:+=(+)·=(1+4++)≥(5+2)=,当且仅当=,即a=,b=时取等号,故选B.13.(2015·重庆卷)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为.解析:设=m,=n,则m,n均大于零,因为m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+n)2,所以m+n≤·,所以+≤·=3,当且仅当=,即a=,b=时“=”成立, 所以所求最大值为3.答案:314.已知x>0,y>0,且2x+5y=20.(1)求u=lg x+lg y的最大值;(2)求+的最小值.解:(1)因为x>0,y>0,所以由基本不等式,得2x+5y≥2.因为2x+5y=20,所以2≤20,xy≤10,当且仅当2x=5y时,等号成立.因此有解得此时xy有最大值10.所以u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.所以当x=5,y=2时,u=lg x+lg y有最大值1.(2)因为x>0,y>0,所以+=(+)·=(7++)≥(7+2)=,当且仅当=时,等号成立.由解得所以+的最小值为.15. (2016·江苏苏州一模)如图,某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树,已知角A为120°,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.(1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?(2)已知AP段围墙高1米,AQ段围墙高1.5米,造价均为每平方米100元,若围围墙用了20 000元,问如何围可使竹篱笆用料最省?解:(1)设AP=x米,AQ=y米,则x+y=200,△APQ的面积S△APQ=xysin 120°=xy,所以S≤·()2=2 500,当且仅当即x=y=100时取“=”.(2)由题意得100×(1×x+1.5×y)=20 000,即x+1.5y=200,要使竹篱笆用料最省,只需其长度PQ最短,所以PQ2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40 000=1.75(y-)2+(0<y<)所以当y=时,PQ有最小值,此时x=.所以当AP=米,AQ=米时,可使竹篱笆用料最省.好题天天练1.(2016·湖北黄冈模拟)若实数x,y,z满足x2+y2+z2=2,则xy+yz+zx的取值范围是( A )(A)-1,2] (B)1,2](C)-1,1] (D)-2,2]解析:因为(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0,所以x2+y2+z2≥xy+yz+zx,所以xy+yz+zx≤2.又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)≥0,所以xy+yz+zx≥-(x2+y2+z2)=-1,综上可得-1≤xy+yz+zx≤2,故选A.2.(2016·河北唐山一模)已知x,y∈R,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围是.解题关键:把已知条件转化为用x2+4y2表示的不等式求解.解析:因为2xy=6-(x2+4y2)≤,所以x2+4y2≥4,当且仅当x=2y取等号.又因为(x+2y)2=6+2xy,即2xy≥-6,所以z=x2+4y2=6-2xy≤12, 综上可得4≤x2+4y2≤12. 答案:4,12]。

第六章 不等式、推理与证明第四讲 基本不等式【考纲速读吧】1．了解基本不等式的证明过程．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要个必会变形1. 公式的逆用：a 2＋b 2≥2ab 的逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)的逆用就是ab ≤(a ＋b 2)2.2. ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)，这个不等式链用处很大．项必须注意1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．在同一个问题中连续多次使用均值不等式，要注意判断等号是否能同时成立．【课前自主导学】011． 基本不等式ab ≤a ＋b2（1）基本不等式成立的条件：________．（2）等号成立的条件：当且仅当________时取等号．（3）两个平均数：a ＋b2称为正数a ，b 的________，ab 称为正数a ，b 的________．归纳拓展：常用的几个重要不等式：（1）a 2＋b 2≥2ab （a ，b ∈R ）． （2）ab ≤（a ＋b 2）2（a ，b ∈R ）．（3）（a ＋b 2）2≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ）． （4）b a ＋ab≥2（a ·b >0）．（5）21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22（a >0，b >0）．（1）若a ，b ∈R ，且ab >0，下列不等式①a 2＋b 2>2ab ②a ＋b ≥2ab ③1a ＋1b >2ab ④b a ＋a b ≥2 ⑤ab ≤（a ＋b 2）2，其中恒成立的是________．（2）设0<a <b ，则a ，b ，ab ，a ＋b2的大小关系为________．2．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p （简记：“积定和最小”）．（2）如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s24（简记：“和定积最大”）．（1）当x >1时，则x ＋4x －1的最小值________．（2）当x <0时，则x ＋2x的最大值________．（3）已知x ，y >0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值________，1x ＋1y________．【自我校对】1． a >0，b >0 a ＝b 算术平均数 几何平均数填一填：（1）④⑤ （2）a <ab <a ＋b2<b2．填一填：（1）5 （2）－22 （3）1169【核心要点研究】02【考点一】利用基本不等式求最值例1 （1）[2011·重庆高考]已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是（ ）A ．72B ．4C ．92 D ．5（2）[2011·浙江高考]若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．【审题视点】通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立的条件．[解析] （1）2y ＝2（1a ＋4b ）＝（a ＋b ）（1a ＋4b ）＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b＝9（当且仅当b a ＝4a b ，a ＋b ＝2即a ＝23，b ＝43时等号成立），所以y 的最小值为92．（2）∵x 2＋y 2＋xy ＝1，∴（x ＋y ）2＝xy ＋1．又∵xy ≤（x ＋y 2）2，∴（x ＋y ）2≤（x ＋y 2）2＋1，即34（x ＋y ）2≤1． ∴（x ＋y ）2≤43．∴－233≤x ＋y ≤233．∴x ＋y 的最大值为233．[答案] （1）C （2）233奇思妙想：本例（1）改为“若a >0，b >0，且a ＋b ＝2ab ，求y ＝4a ＋b 的最小值”，则结果如何？解：由a ＋b ＝2ab 得1a ＋1b＝2，∴4a ＋b ＝12（1a ＋1b ）（4a ＋b ）＝12（5＋4a b ＋b a ）≥924a ＋b 的最小值为92．【师说点拨】利用基本不等式求最值时，必须注意三点：“一正，二定，三相等”，缺一不可．如果项是负数，可转化为正数后解决，当和（或积）不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和（或积）化为定值．【变式探究】已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求（1）xy 的最小值；（2）x ＋y 的最小值．解：（1）∵2x ＋8y ＝xy ≥216xy ， ∴xy －8xy ≥0，∴解得xy ≥64． 当x ＝16，y ＝4时，xy 最小值为64．（2）∵2x ＋8y ＝xy ，∴8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝（x ＋y ）（8x ＋2y ）＝10＋8y x ＋2xy≥18，当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 的最小值为18．【考点二】利用基本不等式证明不等式例2 [2012·湖北高考]设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的（ ） A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【审题视点】按照化繁为简的原则，先对不等式的左侧进行变形化简，关键是题设条件“abc ＝1”的灵活应用． [解析] 先考查充分性：当abc ＝1时，1a ＋1b ＋1c ＝abc a ＋abc b ＋abcc＝ab ＋bc ＋ca ，又因为2（a ＋b ＋c ）＝（a ＋b ）＋（b ＋c ）＋（c ＋a ）≥2ab ＋2bc ＋2ca（当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号），即1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca ≤a ＋b ＋c ，故充分性成立；再考查必要性：取a ＝b ＝c ＝3，显然有1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，故必要性不成立．应选A ．[答案] A【师说点拨】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【变式探究】[2012·福建高考]下列不等式一定成立的是（ ）A ．lg （x 2＋14）>lg x （x >0）B ．sin x ＋1sin x≥2（x ≠k π，k ∈Z ）C ．x 2＋1≥2|x |（x ∈R ）D ．1x 2＋1>1（x ∈R ）答案：C解析：本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件．对于A 选项，当x ＝12时，lg （x 2＋14）＝lg x ；所以A 不一定正确；B 命题，需要满足当sin x >0时，不等式成立，所以B 也不正确；C 命题显然正确；D 命题不正确，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋11，所以正确的是C ．【考点三】利用基本不等式解决实际问题例3 [2012·江苏高考]如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120（1＋k 2）x 2（k >0）表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3．2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[解] （1）令y ＝0，得kx －1201＋k 2）x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km ．（2）因为a >0，所以炮弹可以击中目标等价于存在k >0，使ka －120（1＋k 2）a 2＝3．2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根．由Δ＝（－20a ）2－4a 2（a 2＋64）≥0得a ≤6，此时，k ＝20a＋(－20a )2－4a 2(a 2＋64)2a2>0（不考虑另一根）．当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标【师说点拨】解实际应用题要注意以下几点：（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；（3）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．【变式探究】[2013·郑州模拟]把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 答案：B解析：设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16>x >0，则围成的两个正方形面积之和为S ＝（x 4）2＋（16－x 4）2≥(x 4＋16－x 4)22＝8，当且仅当x 4＝16－x4，即x ＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8，故选B ．【课课精彩无限】03忽视不等式中等号成立的条件而致误【选题·热考秀】 [2012·浙江高考]若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是（ ）A ．245B ．285C ．5D ．6[规范解答] ∵x ＋3y ＝5xy ，∴1y ＋3x ＝5，∵x >0，y >0，∴（3x ＋4y ）（1y ＋3x ）＝3x y ＋12y x ＋9＋4≥23x y ·12yx＋13＝25，∴5（3x ＋4y ）≥25，∴3x ＋4y ≥5，当且仅当x ＝2y 时取等号，∴3x ＋4y 的最小值是5，选C ． 答案：C 【备考·角度说】No ．1 角度关键词：易错分析（1）不能根据函数解析式的特征适当变形，化为两式之和为定值，使题目无法进行． （2）两次使用基本不等式时，忽视等号的一致性出错．如本题易出现：x ＋3y ＝5xy ≥23xy ，∴xy ≥1225，又3x ＋4y ≥212xy ≥2 12·1225＝245，误选A 项，第一个等号成立条件“x ＝3y ”，而第二个等号成立条件为“3x ＝4y ”，显然等号不能同时成立，故不正确． No ．2 角度关键词：备考建议（1）重视基本不等式的形式及其条件，在解题中要根据不同的情况进行适当地变形，为使用基本不等式提供前提；（2）对于在同一问题中连续使用基本不等式的情况，要注意及时判断等号能否同时取得，以防止出错； （3）要注意利用常数代换法对代数式进行转化的技巧．【经典演练提能】041．[2012·陕西高考]小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a <b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）A ．a <v <abB ．v ＝abC ．ab <v <a ＋b2D ．v答案：A解析：由小王从甲地往返到乙地的时速为a 和b ，则全程的平均时速为v ＝2s (s a ＋s b)＝2aba ＋b ，又∵a <b ，∴2a 22a <2ab a ＋b <2ab 2ab＝ab ，∴a <v <ab ，A 成立． 2．[2013·青岛质检]已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为（ ）A ．14B ．4C ．12D ．2答案：C解析：由4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，又a >0，b >0，所以1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．3．[2013·福建质检]设a >0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在（1，＋∞）上恒成立，则a 的最小值为（ ）A ．16B ．9C ．4D ．2 答案：C解析：∵关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在（1，＋∞）上恒成立，∴a ≥（5－x ）（x －1）在（1，＋∞）上恒成立．∵（5－x ）（x －1）＝－（x －3）2＋4≤4，∴a ≥4，即a 的最小值为4．4．[2013·金版原创]已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2 答案：D解析：∵x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝（x ＋2y ）（2x ＋1y ）＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·xy＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即4y 2＝x 2，x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y＝1，此时x ＝4，y ＝2，∴（x ＋2y ）min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需（x ＋2y ）min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2． 5．[2013·提升题]已知a >0，b >0，给出下列四个不等式：①a ＋b ＋1ab ≥22；②（a ＋b ）（1a ＋1b ）≥4；③a 2＋b 2ab ≥a ＋b ；④a ＋1a ＋4≥－2．其中正确的不等式有________（只填序号）．答案：①②③解析：∵a >0，b >0，∴①a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22ab ·1ab ＝22．②（a ＋b ）（1a ＋1b ）≥4ab ·1ab ＝4．③∵a 2＋b 22≥a ＋b 2，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝（a ＋b ）·a ＋b 2≥（a ＋b ）ab ，∴a 2＋b 2ab≥a ＋b ．④a ＋1a ＋4a ＋4）＋1a ＋4－4≥2 (a ＋4)·1a ＋4－4＝－2，当且仅当a ＋4＝1a ＋4，即（a ＋4）2＝1时等号成立，而a >0，∴（a ＋4）2≠1．∴等号不能取得．综上①②③正确． 【限时规范特训】05（时间：45分钟 分值：100分）一、选择题1．[2013·常州质检]已知f （x ）＝x ＋1x－2（x <0），则f （x ）有（ ）A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 答案：C解析：∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－（－x ＋1－x ）－2≤－2－x 1－x2＝－4，当且仅当－x ＝1－xx ＝－1时，等号成立．2．[2013·长沙质检]若0<x <1，则当f （x ）＝x （4－3x ）取得最大值时，x 的值为（ ）A ．13B ．12C ．34D ．23答案：D解析：∵0<x <1， ∴f （x ）＝x （4－3x ）＝13·3x （4－3x ）≤13×（3x ＋4－3x 2）2＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取得“＝”，故选D ．3．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1（x >－1）的图象最低点的坐标为（ ）A ．（1,2）B ．（1，－2）C ．（1,1）D ．（0,2） 答案：D解析：y ＝x ＋2＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1，当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，y 最小值为2，故选D 项．4．已知m ＝a ＋1a －2a >2），n ＝（12）x 2－2（x <0），则m ，n 之间的大小关系是（ ）A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n 答案：A解析：∵a >2，x <0，∴m ＝（a －2）＋1a －2＋2≥2a －2·1a －22＝4，n ＝22－x 2<22＝4，∴m >n ，故选A ． 5．[2013·商丘模拟]若向量a ＝（x －1,2），b ＝（4，y ）相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为（ ） A ．12 B ．23 C ．32 D ．6 答案：D解析：依题意得4（x －1）＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y ＝232＝6， 当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y 的最小值是6，选D ．6．已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式（x ＋y ）（a x ＋by）>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[4，＋∞）B ．（－∞，1]C ．（－∞，4]D ．（－∞，4） 答案：D解析：因为（x ＋y ）（a x ＋b y ）＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可，正确选项为D ． 二、填空题 7．[2013·金版原创]规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b （a ，b 为正实数）．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f （x ）＝k ⊗xx的最小值为________．答案：1 3解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2（舍），∴k ＝1．f （x ）＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立．8．[2013·西安质检]函数f （x ）＝1＋log a x （a >0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为________．答案：2解析：由题知，函数图象恒过点A （1,1），且点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n ＝2，其中mn >0，所以1m ＋1n ＝12（1m ＋1n ）（m ＋n ）＝12（2＋n m ＋m n ）≥12×（2＋2）＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取得最小值，故所求的最小值为2． 9．[2013·鹤岗模拟]若a ，b ，c >0，且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，则2a ＋b ＋c 的最小值为________． 答案：4解析：由已知得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝（a ＋b ）（a ＋c ）＝4， 则2a ＋b ＋c ＝（a ＋b ）＋（a ＋c ）≥2(a ＋b )(a ＋c )＝4，∴2a ＋b ＋c 的最小值为4． 三、解答题 10．[2013·梅州质检]已知lg （3x ）＋lg y ＝lg （x ＋y ＋1）． （1）求xy 的最小值； （2）求x ＋y 的最小值．解：由lg （3x ）＋lg y ＝lg （x ＋y ＋1）得⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >03xy ＝x ＋y ＋1（1）∵x >0，y >0， ∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1， ∴3xy －2xy －1≥0，即3（xy ）2－2xy －1≥0，∴（3xy ＋1）（xy －1）≥0，∴xy ≥1，∴xy ≥1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1．（2）∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·（x ＋y 2）2，∴3（x ＋y ）2－4（x ＋y ）－4≥0，∴[3（x ＋y ）＋2][（x ＋y ）－2]≥0，∴x ＋y ≥2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2． 11．[2013·房山区模拟]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：（1）1a ＋1b ＋1ab ≥8；（2）（1＋1a ）（1＋1b）≥9．证明：（1）1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2（1a ＋1b），∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8（当且仅当a ＝b ＝12时等号成立）． （2）方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba，同理，1＋1b ＝2＋a b ，∴（1＋1a ）（1＋1b ）＝（2＋b a ）（2＋a b ）＝5＋2（b a ＋ab ）≥5＋4＝9．∴（1＋1a ）（1＋1b ）≥9（当且仅当a ＝b ＝12时等号成立）．方法二（1＋1a ）（1＋1b ）＝1＋1a ＋1b ＋1ab ．由（1）知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，故（1＋1a ）（1＋1b ）＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9．12．[2013·三明模拟]某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4200元/m 2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2．（1）设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； （2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区．解：（1）设DQ ＝y ，则x 2＋4xy ＝200，y ＝200－x 24x．S ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38000＋4000x 2＋400000x 2（0<x <102）．（2）S ＝38000＋4000x 2＋400000x2≥38000＋216×108＝118000， 当且仅当4000x 2＝400000x2，即x ＝10时，S min ＝118000（元），即计划至少要投入11．8万元才能建造这个休闲小区．。