2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ ) 文

§1.4 基本不等式 考试要求 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．( × ) (2)y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.( √ )(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( × )教材改编题1．若正实数a ，b 满足a ＋4b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2答案 A解析 因为正实数a ，b 满足a ＋4b ＝ab ，所以ab ＝a ＋4b ≥24ab ＝4ab ，所以ab ≥16，当且仅当a ＝4b ，即a ＝8，b ＝2时等号成立．2．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________． 答案 1解析 因为x ≥0，所以x ＋1>0，1x ＋1>0， 利用基本不等式得y ＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1， 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立． 所以函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为1. 3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， 其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，等号成立，∴y max ＝25，即矩形场地的最大面积是25 m 2.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)已知x >2，则函数y ＝x ＋12(x －2)的最小值是( ) A ．2 2B ．22＋2C ．2 D.2＋2 答案 D解析 由题意可知，x －2>0，∴y ＝(x －2)＋12(x －2)＋2≥2(x －2)·12(x －2)＋2＝2＋2，当且仅当x ＝2＋22时，等号成立，∴函数y ＝x ＋12(x －2)(x >2)的最小值为2＋2. (2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________． 答案 92解析 ∵0<x <32，∴3－2x >0， y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立． ∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. 命题点2 常数代换法例2 已知x >0，y >0，且4x ＋2y －xy ＝0，则2x ＋y 的最小值为( )A ．16B ．8＋4 2C ．12D ．6＋4 2答案 A解析 由题意可知2x ＋4y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫2x ＋4y ＝8x y ＋2y x ＋8≥28x y ·2y x＋8＝16， 当且仅当8x y ＝2y x，即x ＝4，y ＝8时，等号成立， 则2x ＋y 的最小值为16.命题点3 消元法例3 (2023·烟台模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 6解析 方法一 (换元消元法)由已知得9－(x ＋3y )＝xy ＝13·x ·3y ≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号． 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.方法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y， 所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y－6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号， 所以x ＋3y 的最小值为6.延伸探究 本例条件不变，求xy 的最大值．解 9－xy ＝x ＋3y ≥23xy ，∴9－xy ≥23xy ，令xy ＝t ，∴t >0，∴9－t 2≥23t ，即t 2＋23t －9≤0，解得0<t ≤3， ∴xy ≤3，∴xy ≤3，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，∴xy 的最大值为3.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)(多选)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则下列说法错误的是( )A ．ab 有最小值14B ．8a ＋8b 有最大值8 2C.1a ＋1b有最小值4 D ．a 2＋b 2有最小值22答案 AD解析 由1＝a ＋b ≥2ab ⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 得ab ≤14，故ab 有最大值14，故A 错误； (a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋214＝2⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 则a ＋b ≤2，则8a ＋8b 有最大值82，故B 正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 故1a ＋1b有最小值4，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥12⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 所以a 2＋b 2有最小值12，故D 错误． (2)已知x >1，则y ＝x －1x 2＋3的最大值为________． 答案 16解析 令t ＝x －1，∴x ＝t ＋1，∵x >1，∴t >0，∴y ＝t (t ＋1)2＋3＝t t 2＋2t ＋4＝1t ＋4t＋2≤124＋2＝16， 当且仅当t ＝4t，t ＝2，即x ＝3时，等号成立， ∴当x ＝3时，y max ＝16. 题型二 基本不等式的常见变形应用例4 (1)若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．b >a ＋b 2>a >ab B ．b >ab >a ＋b 2>a C ．b >a ＋b 2>ab >a D ．b >a >a ＋b 2>ab 答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b 2>ab . ∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b 2>ab >a . (2) (2023·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案 D 解析 由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )， OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )， 在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12(a 2＋b 2)， ∵CF ≥OF ，∴12(a 2＋b 2)≥12(a ＋b )(a >0，b >0)． 思维升华 基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 跟踪训练2 (2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( )A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2abD.2a 2＋b 2答案 B解析 ∵a ，b 为互不相等的正实数， ∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b<22ab ＝1ab <2ab ， 2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b. 题型三 基本不等式的实际应用例5 中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？解 (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，供货单价为50＋105＝52(元)， 总利润为5×(100－52)＝240(万元)．(2)设售价为x 元，则销售量为(15－0.1x )万套，供货单价为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋1015－0.1x 元， 单套利润为x －50－1015－0.1x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －50－100150－x 元，因为15－0.1x >0，所以0<x <150. 所以单套利润为y ＝x －50－100150－x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(150－x )＋100150－x ＋100≤100－2(150－x )·100150－x＝80，当且仅当150－x ＝10，即x ＝140时取等号，所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．思维升华 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． 跟踪训练3 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD ，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm 2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为__________ cm 时，用纸量最少(即矩形ABCD 的面积最小)．答案 12 5 解析 设直角梯形的高为x cm ， ∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm 2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm ，∴海报宽AD ＝x ＋4，海报长DC ＝1 440x＋8， 故S 矩形ABCD ＝AD ·DC ＝(x ＋4)⎝⎛⎭⎫1 440x ＋8＝8x ＋5 760x ＋1 472≥28x ·5 760x＋1 472＝1925＋1 472，当且仅当8x ＝5 760x， 即x ＝125时，等号成立．∴当直角梯形的高为12 5 cm 时，用纸量最少．课时精练1．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2答案 C解析 当x <0时，y ＝x ＋2x <0，故A 错误；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＝－1时取等号，又x 2≠－1，故B 错误； y ＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时取等号，故C 正确； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x ∈(0,1)，y ＝sin x ＋1sin x ≥2，当且仅当sin x ＝1sin x ，即sin x ＝1时取等号，因为sin x ∈(0,1)，故D 错误．2．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则lg a ＋lg b 的最大值为() A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 A解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝2，∴lg a ＋lg b ＝lg ab ≤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝0，当且仅当a ＝b ＝1时，取等号．∴lg a ＋lg b 的最大值为0.3．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A ．13B ．12C ．9D ．6答案 C解析 由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立．所以|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.4．(2023·太原模拟)已知a ，b 为正实数，a ＋b ＝3，则1a ＋1＋1b ＋2的最小值为( ) A.23 B.56 C.12D ．4 答案 A解析 因为a ＋b ＝3，所以1a ＋1＋1b ＋2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋2(a ＋1＋b ＋2)＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋2a ＋1＋a ＋1b ＋2＋2≥16⎝⎛⎭⎪⎪⎫2b ＋2a ＋1·a ＋1b ＋2＋2＝23， 当且仅当b ＋2a ＋1＝a ＋1b ＋2，即a ＝2，b ＝1时，等号成立． 所以1a ＋1＋1b ＋2的最小值为23. 5．(多选)(2022·衡阳模拟)设a ＝log 23，b ＝log 243，则下列关系正确的是( ) A ．ab >a ＋b 2B ．ab <a ＋b 2 C.a ＋b 2>b aD ．ab >b a 答案 BCD解析 易知a >0，b >0，a ＋b 2＝1，a ≠b ，ab <(a ＋b )24＝1，ab >b a⇔a >1，显然成立． 所以a ＋b 2>ab >b a. 6．(多选)(2023·黄冈模拟)若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．0<1ab ≤14B.1a ＋1b ≥1 C ．log 2a ＋log 2b <2D.1a 2＋b 2≤18答案 BD 解析 因为a >0，b >0，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立， 则ab ≤⎝⎛⎭⎫422＝4或⎝⎛⎭⎫422≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，则1ab ≥14，a 2＋b 2≥8，1a 2＋b 2≤18， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，则log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 24＝2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故A ，C 不恒成立，D 恒成立；对于B 选项，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥4×14＝1， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故B 恒成立．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________． 答案 0解析 因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)， 所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立．所以y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为0. 8．(2023·娄底质检)已知a ，b 为正实数，且2a ＋b ＝1，则2a ＋a 2b的最小值为________． 答案 6解析 由已知条件得，2a ＋a 2b ＝4a ＋2b a ＋a 2b＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋4≥22b a ·a 2b＋4＝6， 当且仅当2b a ＝a 2b ，即a ＝25，b ＝15时，取等号．所以2a ＋a 2b的最小值为6. 9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)已知0<x <2，求函数y ＝x 4－x 2的最大值．解 (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x ≥2 3－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时，取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以4－x 2>0， 则y ＝x 4－x 2＝x 2·(4－x 2)≤x 2＋(4－x 2)2＝2， 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时，取等号，所以y ＝x 4－x 2的最大值为2.10．某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x (千部)手机，需另投入成本R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋100x ，0<x <40，701x ＋10 000x －9 450，x ≥40，通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．(1)求出今年的利润W (x )(万元)关于年产量x (千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；(2)今年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解 (1)当0<x <40时，W (x )＝700x －(10x 2＋100x )－300＝－10x 2＋600x －300，当x ≥40时，W (x )＝700x －⎝⎛⎭⎫701x ＋10 000x －9 450－300＝－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 150，∴W (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋600x －300，0<x <40，－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 150，x ≥40. (2)若0<x <40，W (x )＝－10(x －30)2＋8 700，当x ＝30时，W (x )max ＝8 700(万元)．若x ≥40，W (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 150≤9 150－210 000＝8 950， 当且仅当x ＝10 000x时，即x ＝100时，取等号． ∴W (x )max ＝8 950(万元)．∴今年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8 950万元．11. (2023·湘潭模拟)已知α，β为锐角，且tan α－tan β＋2tan αtan 2β＝0，则tan α的最大值为( )A.24B.23C.22D. 2 答案 A解析 因为β为锐角，所以tan β>0，由题意可得tan α＝tan β1＋2tan 2β＝12tan β＋1tan β≤122＝24， 当且仅当tan β＝22时取等号， 故tan α的最大值为24. 12．(2022·天津模拟)若a >0，b >0，则(a ＋b )2＋1ab的最小值为________． 答案 4解析 若a >0，b >0，则(a ＋b )2＋1ab ≥(2ab )2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥4， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，4ab ＝1ab ， 即a ＝b ＝22时取等号，故所求的最小值为 4.13.《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≤ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)D.a 2＋b 22≥a＋b 2(a >0，b >0)答案 C解析 根据图形，利用射影定理得CD 2＝DE ·OD ，又OD ＝12AB ＝12(a ＋b )，CD 2＝AC ·CB ＝ab ，所以DE ＝CD 2OD ＝aba ＋b 2，由于OD ≥CD ，所以a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)．由于CD ≥DE ， 所以ab ≥2aba ＋b ＝21a ＋1b(a >0，b >0)．14．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则() A ．x ＋y ≤1 B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案 BC解析 因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )， 由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x ＋y )2－1＝3xy ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x 2＋y 2)－1＝xy ≤x 2＋y 22， 解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确；因为x 2＋y 2－xy ＝1可变形为⎝⎛⎭⎫x －y 22＋34y 2＝1， 设x －y 2＝cos θ，32y ＝sin θ， 所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ， 因此x 2＋y 2＝cos 2θ＋53sin 2θ＋233sin θcos θ＝1＋33sin 2θ－13cos 2θ＋13 ＝43＋23sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6∈⎣⎡⎦⎤23，2，所以D 错误．。

第4讲 基本不等式[最新考纲]1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．辨 析 感 悟1．对基本不等式的认识(1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .(√)(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．(×) 2．对几个重要不等式的认识 (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．(√) (4)2ab a ＋b ＝21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22.(×)(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．(√) 3．利用基本不等式确定最值(6)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为4.(×)(7)(2014·福州模拟改编)若x ＞－3，则x ＋4x ＋3的最小值为1.(√) (8)(2013·四川卷改编)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝36.(√) [感悟·提升]两个防范 一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．如(2)、(4)、(6)．二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.学生用书第103页考点一 利用基本不等式证明简单不等式【例1】 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8.证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0，x y ＋z y ≥2 xzy ＞0， x z ＋y z ≥2 xyz ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．规律方法 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．【训练1】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．考点二 利用基本不等式求最值【例2】 (1)(2013·山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xyz 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为 ( )． A ．0 B ．1 C.94D ．3(2)(2014·广州一模)已知2x ＋2y ＝1，(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．8审题路线 (1)x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0⇒变形得z ＝x 2－3xy ＋4y 2⇒代入zxy ⇒变形后利用基本不等式⇒取等号的条件把2x ＋1y －2z 转化关于1y 的一元二次函数⇒利用配方法求最大值．解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4yx ≥4， 当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号． 答案 (1)B (2)D规律方法 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．【训练2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是A.245B.285 C ．5D ．6(2)(2014·浙江十校联考)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是A.43B.53 C ．2D.54解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.(2)由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 (1)C (2)C考点三 基本不等式的实际应用【例3】 (2014·济宁期末)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元， 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x时，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．∵9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．规律方法 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．【训练3】 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解 (1)由题意有1＝4－k 1，得k ＝3，故x ＝4－32t ＋1.∴y ＝1.5×6＋12xx ×x －(6＋12x )－t＝3＋6x －t ＝3＋6⎝⎛⎭⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)．(2)由(1)知：y＝27－182t＋1－t＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫t＋12.由基本不等式9t＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫t＋12≥29t＋12·⎝⎛⎭⎪⎫t＋12＝6，当且仅当9t＋12＝t＋12，即t＝2.5时等号成立，故y＝27－182t＋1－t＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫t＋12≤27.5－6＝21.5.当且仅当9t＋12＝t＋12时，等号成立，即t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2013年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元．1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．教你审题7——如何挖掘基本不等式中的“相等”【典例】(2013·天津卷)设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取得最小值为________．[审题]一审条件：a＋b＝2，b＞0，转化为条件求最值问题；二审问题：12|a|＋|a|b转化为“1”的代换；三审过程：利用基本不等式时取等号的条件．解析因为a＋b＝2，所以12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|·|a|b＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号，故12|a |＋|a |b 的最小值为34. 答案 34[反思感悟] 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值．【自主体验】(2013·台州一模)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为 A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16解析 由32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 答案 D对应学生用书P303基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·泰安一模)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )． A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b ＞2abC.b a ＋ab ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析因为ab＞0，即ba＞0，ab＞0，所以ba＋ab≥2ba×ab＝2.答案 C2．(2014·杭州一模)设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则1a＋1b的最小值是()．A．2 B.14C．4 D．8解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案 C3．(2013·金华十校模拟)已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋1 a，n＝a＋1b，则m＋n的最小值是()．A．3 B．4 C．5 D．6解析由题意知：ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b，n＝a＋1b＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4.答案 B4．(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()．A．a<v<ab B．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b2解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝2ssa＋sb＝2sab(a＋b)s＝2aba＋b<2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0，∴v>a.答案 A5．(2014·兰州模拟)已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝()．A．－3 B．2 C．3 D．8解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b ＝3.答案 C二、填空题6．(2014·广州模拟)若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________．解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．答案97．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为______．解析∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4，即当x＝32，y＝2时取等号．答案 38．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则1m＋1n的最小值为________．解析∵y＝a1－x恒过点A(1,1)，又∵A在直线上，∴m＋n＝1.而1m＋1n＝m＋nm＋m＋nn＝2＋nm＋mn≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝12时，取“＝”，∴1m＋1n的最小值为4.答案 4 三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8. 证明 1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.10．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 D2．(2014·郑州模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为( )．A.72 B ．4 C.16136 D.172解析 因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.答案 D 二、填空题3．(2014·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 解析 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案 6 三、解答题4．(2013·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10，x ∈N )，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋5 2.而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9，当且仅当x ＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．方法强化练——不等式 (对应学生用书P305)(建议用时：75分钟)一、选择题1．“|x |＜2”是“x 2－x －6＜0”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 不等式|x |＜2的解集是(－2,2)，而不等式x 2－x －6＜0的解集是(－2,3)，于是当x ∈(－2,2)时，可得x ∈(－2,3)，反之则不成立，故选A. 答案 A2．(2014·青岛一模)若a ，b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是( )． A ．a 2＞b 2 B.b a ＜1 C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b解析 ∵0＜13＜1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是减函数，又a ＞b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b . 答案 D3．(2014·杭州二中调研)若不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax 2＋bx ＞2的解集相等，则实数a ，b 的值分别为( )．A ．a ＝－8，b ＝－10B ．a ＝－4，b ＝－9C ．a ＝－1，b ＝9D ．a ＝－1，b ＝2解析 据题意可得|8x ＋9|＜7的解集是{x |－2＜x ＜－14}，故由{x |－2＜x ＜－14}是一元二次不等式ax 2＋bx ＞2的解集，可知x 1＝－2，x 2＝－14是ax 2＋bx －2＝0的两个根，根据根与系数的关系可得x 1x 2＝－2a ＝12， ∴a ＝－4，x 1＋x 2＝－b a ＝－94，∴b ＝－9，故选B. 答案 B4．(2013·浙江温岭中学模拟)下列命题错误的是( )．A ．若a ≥0，b ≥0，则a ＋b2≥ab B ．若a ＋b2≥ab ，则a ≥0，b ≥0C ．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b2＞ab ，则a ≠b D ．若a ＋b2＞ab ，且a ≠b ，则a ＞0，b ＞0解析 若a ＋b2＞ab ，且a ≠b ，则a ＝0，b ＞0或a ＞0，b ＝0或a ＞0，b ＞0.故D 错误． 答案 D5．(2014·长沙诊断)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧2x －y ≥0，x ＋2y ≥0，3x ＋y －5≤0，则2x ＋y 的最大值是( )．A ．0B ．3C ．4D ．5解析 设z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，作出不等式对应的区域，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线经过点B 时，直线的截距最大，由⎩⎨⎧2x －y ＝0，3x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即B (1,2)，代入z ＝2x ＋y ，得z ＝2x ＋y ＝4. 答案 C6．(2013·北京海淀一模)设x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )． A ．40 B ．10 C ．4 D ．2解析 ∵x ，y ∈R ＋，∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，当x ＝4y ＝20时取等号， ∴xy ≤100，lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 答案 D7．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)( )． A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x ，即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元． 答案 C8．(2014·天水一模)实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≤a (a >1)，x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为( )． A ．4 B ．3 C ．2 D.32 解析作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2. 答案 C9．(2014·湖州模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为( )． A.256 B.83 C.113 D ．4解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6. 所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b≥136＋2＝256(当且仅当a ＝b ＝65时等号成立)． 答案 A10．(2014·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为( )． A ．4 B ．5 C.115 D.72解析 依题意，得3x 2＋4xy ≤3x 2＋[x 2＋(2y )2]＝4(x 2＋y 2)，因此有3x 2＋4xyx 2＋y2≤4，当且仅当x ＝2y 时取等号，即3x 2＋4xy x 2＋y 2的最大值是4，结合题意得λ≥3x 2＋4xyx 2＋y 2，故λ≥4，即λ的最小值是4. 答案 A 二、填空题11．(2013·烟台模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)12．(2014·武汉质检)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ＜0，则不等式f (x )＜9的解集是________．解析 当x ≥0时，由3x ＜9得0≤x ＜2. 当x ＜0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＜9得－2＜x ＜0.故f (x )＜9的解集为(－2,2)． 答案 (－2,2)13．(2014·湖北七市联考)点P (x ，y )在不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域内，若点P (x ，y )到直线y ＝kx －1(k ＞0)的最大距离为22，则k ＝________.解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y ＝kx －1的大概位置，如图所示，因为k ＞0，所以由图可知，点(0,3)到直线y ＝kx －1的距离最大，因此|0－1－3|k 2＋1＝22，解得k ＝1(负值舍去)．答案 114．(2013·湘潭诊断)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为________．解析 由a ⊥b 得a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.所以9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝6. 答案 615．(2014·宁波十校联考)设a ，b ∈(0，＋∞)，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时，上式取等号，利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，12))的最小值为________． 解析 根据已知结论，f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15∈(0，12)时，f (x )取最小值为25. 答案 25 三、解答题16．(2014·长沙模拟)已知f (x )＝2x x 2＋6.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求实数t 的范围． 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0， 由已知其解集为{x |x <－3或x >－2}，得x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根， 所以－2－3＝2k ，即k ＝－25. (2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤66，由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.17．(2013·广州诊断)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积S＝xy，依题设，得40x ＋2×45y＋20xy＝3 200，由基本不等式，得3 200≥240x·90y＋20xy＝120 xy＋20xy＝120S＋20S，则S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故0＜S≤10，从而0＜S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y且xy＝100，解得x＝15，即铁栅的长应设计为15米．18．(2014·泉州调研)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．解(1)当a＝－2时，f(x)＝x3－32x2＋3x＋1.f′(x)＝3x2－62x＋3.令f′(x)＝0，得x＝2－1或2＋1.当x∈(－∞，2－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－1)上是增函数；当x∈(2－1，2＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(2－1，2＋1)上是减函数；当x∈(2＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(2＋1，＋∞)上是增函数．(2)法一∵当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，∴3ax2≥－x3－3x－1，∴a≥－x3－1x－13x2，设g(x)＝－x3－1x－13x2，∴求g(x)的最大值即可，则g′(x)＝－13＋1x2＋23x3＝－x3＋3x＋23x3，设h(x)＝－x3＋3x＋2，则h′(x)＝－3x2＋3，当x≥2时，h′(x)＜0，∴h(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴g′(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴g′(x)≤g′(2)＝0，∴g(x)在(2，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(2)＝－5 4，∴a ≥－54.法二 因为x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，所以由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0， 所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞. 学生用书第105页教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。

第4讲 基本不等式[学生用书P132]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0；(2)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1x ( ) A ．有最小值，且最小值为2 B ．有最大值，且最大值为2 C ．有最小值，且最小值为－2 D ．有最大值，且最大值为－2 解析：选D.因为x <0，所以－x >0， －x ＋1－x≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立， 所以x ＋1x ≤－2.2．若x ≥2，则x ＋4x ＋2的最小值为________．解析：设x＋2＝t，则x＋4x＋2＝t＋4t－2.又由x≥2，得t≥4，而函数y＝t＋4t－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4时，t＋4t －2取得最小值4＋44－2＝3.答案：3[学生用书P133]利用基本不等式求最值(多维探究)角度一通过拼凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．【解析】(1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x＋（4－3x）22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．(2)因为x<54，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x＋15－4x＋3≤－2 （5－4x）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.【答案】 (1)23 (2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案：4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________． 解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案：114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A.223B ．23 C.33D.233【解析】 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎨⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．角度四 多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】 因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.【答案】 4当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．1．(2021·湖北八校第一次联考)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．16C ．20D ．24解析：选B.方法一：由题意x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝1＋y x ＋9x y ＋9≥1＋2y x ×9xy＋9＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，y x ＝9x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B.方法二：由1x ＋9y ＝1得9x ＋y －xy ＝0，即(x －1)(y －9)＝9，可知x ＞1，y ＞9，所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞9，1x ＋9y＝1，x －1＝y －9＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B. 2．(2021·贵阳市四校联考)已知a ＋b ＝2，且a ＞－1，b ＞0，则1a ＋1＋1b的最小值为( )A.23 B ．1 C.43D.32解析：选C.由a ＋b ＝2，得a ＋1＋b ＝3.因为a ＞－1，所以a ＋1＞0，所以1a ＋1＋1b ＝13(a ＋1＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋b a ＋1＋a ＋1b ≥13·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2ba ＋1·a ＋1b ＝43，当且仅当b a ＋1＝a ＋1b ，即a ＝12，b ＝32时等号成立，所以1a ＋1＋1b 的最小值为43，故选C.3．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y＋3y x 的最小值为( )A.53 B ．103 C.32 D ．3解析：选 D.由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4x x ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品() A．60件B．80件C．100件D．120件【解析】若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时取等号，故选B.【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．(2021·安徽安庆大观模拟)如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的()A ．最小长度为8B ．最小长度为4 2C ．最大长度为8D ．最大长度为4 2解析：选B.设BC ＝a ，a ＞0，CD ＝b ，b ＞0，则ab ＝4，所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为2a ＋b ＝2a ＋4a ≥22a ·4a ＝42，当且仅当2a ＝4a ，即a ＝2时取等号，此时长度取得最小值4 2.故选B.基本不等式的综合应用(多维探究) 角度一 与其他知识的交汇问题(2021·吉林通钢一中等三校第五次联考)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，P 为线段AB 上的一点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则1x ＋1y 的最小值为( )A.76 B ．712C.712＋33D.76＋33【解析】 因为CA ＝3，CB ＝4，即|CA →|＝3，|CB →|＝4， 所以CP →＝x CA →|CA →|＋y CB →|CB →|＝x 3CA →＋y 4CB →，因为P 为线段AB 上的一点，即P ，A ，B 三点共线， 所以x 3＋y4＝1(x ＞0，y ＞0)，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 4＝712＋x 3y ＋y 4x ≥712＋2112＝712＋33， 当且仅当x 3y ＝y 4x 时等号成立，所以1x ＋1y 的最小值为712＋33，故选C. 【答案】 C角度二 求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，所以(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y 的最小值为4.故选C.2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1) ≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．所以S n ＋8a n 的最小值是92.答案：923．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞[学生用书P135]核心素养系列12 逻辑推理——利用基本不等式连续放缩求最值已知a >b >0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2且b ＝22时取等号，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.【答案】 4设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a 2－ab )＋1（a 2－ab ）＋1ab＋ab ≥2（a 2－ab ）·1（a 2－ab ）＋21ab ×ab ＝4(当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号)．【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d 的最小值是( )A ．10B ．9C ．42D.3 3解析：选B.因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．又因为c ＋d ＝1，c >0，d >0，所以1abc ＋1d ≥4·1c ＋1d ＝(c ＋d )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋c d ≥5＋24d c ·c d ＝9，当且仅当a ＝b ＝12，且c ＝23，d ＝13时取等号，即1abc ＋1d 的最小值为9，故选B.[学生用书P393(单独成册)][A 级 基础练]1．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，则1xy 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1.2．若a >0，b >0，a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.方法一：由于a ＋b ＝ab ≤（a ＋b ）24，因此a ＋b ≥4或a ＋b ≤0(舍去)，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法二：由题意，得1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法三：由题意知a ＝b b －1(b >1)，所以a ＋b ＝b b －1＋b ＝2＋b －1＋1b －1≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B ．43 C ．－1D ．0解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值是0.4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0， 由ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab ，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2. 5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.6．(2021·四省八校第二次质量检测)已知a ＝(1，x )，b ＝(y ，1)，x ＞0，y ＞0.若a ∥b ，则xyx ＋y的最大值为( ) A.12 B ．1 C. 2D ．2解析：选 A.方法一：a ∥b ⇒xy ＝1，所以y ＝1x ，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ＝1x ＋1x≤12x ×1x ＝12(当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.方法二：a ∥b ⇒xy ＝1，又x ＞0，y ＞0，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ≤12xy＝12(当且仅当x ＝y ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.7．(2020·高考天津卷)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________．解析：依题意得12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ＝1，a ＋b 2＝8a ＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝4时取等号．因此，12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案：48．(2020·高考江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是__________．解析：方法一：由5x 2y 2＋y 4＝1得x 2＝15y 2－y 25，则x 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.方法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5x 2＋y 2）＋4y 222＝254·(x 2＋y 2)2，则x 2＋y 2≥45，当且仅当5x 2＋y 2 ＝4y 2＝2，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.答案：459．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12(x ＝72舍去)时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52， 故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）取最大值，为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[B 级 综合练]11．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B.由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，当且仅当9b a ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立， 所以m ≤12，所以m 的最大值为12. 12．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．5C．7 D．9解析：选C.因为x>0，y>0.且1x＋1＋1y＝12，所以x＋1＋y＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＋1y(x＋1＋y)＝2(1＋1＋yx＋1＋x＋1y)≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2yx＋1·x＋1y＝8，当且仅当yx＋1＝x＋1y，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.13．若a＋b≠0，则a2＋b2＋1（a＋b）2的最小值为________．解析：a2＋b2＋1（a＋b）2≥（a＋b）22＋1（a＋b）2≥212＝2，当且仅当a＝b＝2－34时，a2＋b2＋1（a＋b）2取得最小值 2.答案： 214．某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－2m＋1(m≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，所以2021年的利润y＝1.5x×8＋16xx－8－16x－m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3时，y max ＝21.故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为21万元．[C 级 提升练]15．已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A (1，a )，B (2，b )，且α＝2β，则1a ＋b 的最小值为( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2解析：选C.由已知得，a >0，b >0，tan α＝a ，tan β＝b2，因为α＝2β，所以tan α＝tan 2β，所以a ＝2·b 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝4b 4－b 2，所以1a ＋b ＝4－b 24b ＋b ＝1b ＋3b 4≥21b ·3b4＝3，当且仅当1b ＝3b 4，即b ＝233时，取等号．故1a ＋b 的最小值为 3.16．(2021·江西吉安期末)已知函数f (x )＝sin 2xsin x ＋2，则f (x ) 的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，则sin 2x ＝(t －2)2，则g (t )＝（t －2）2t ＝t ＋4t －4(1≤t ≤3)，由“对勾函数”的性质可得g (t )在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g (1)＝1，g (3)＝13，所以g (t )max ＝g (1)＝1.即f (x )的最大值为1.答案：1。

第四节 基本不等式：ab ≤a ＋b2(a ，b ∈R ＋)知识梳理一、算术平均数与几何平均数的概念 若a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数是a ＋b2，几何平均数是ab .二、常用的重要不等式和基本不等式1．若a ∈R ，则a 2≥0，||a ≥0(当且仅当a ＝0时，取等号)．2．若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取等号)． 3．若a ，b ∈R ＋，则a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．若a ，b ∈R ＋，则a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)．三、均值不等式(基本不等式)两个正数的均值不等式：若a ，b ∈R ＋，则a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)．变式： ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ＋)．四、最值定理设x >0，y >0，由x ＋y ≥2xy ，有：(1)若积xy ＝P (定值)，则和x ＋y 最小值为2P ；(2)若和x ＋y ＝S (定值)，则积xy 最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 22.即积定和最小，和定积最大．运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”． 五、比较法的两种形式 一是作差，二是作商．基础自测1．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y的最小值是( )A ．4B ．8C ．2 2D ．4 2解析：因为2x ＋4y ≥22x ·22y ＝22x ＋2y ＝224＝8，当且仅当2x ＝22y，即x ＝2y ＝2时取等号，所以2x ＋4y的最小值为8.答案：B2．下列结论中正确的是( )1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大小值问题.A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值答案：B3．若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则1a＋1b的最小值是________．答案：44．当x >2时，不等式x ＋1x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为x ＋1x －2≥a 恒成立， 所以a 必须小于或等于x ＋1x －2的最小值．因为x >2，所以x －2>0.所以x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4.所以a ≤4.答案：(－∞，4]1．(2013·山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3解析：由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*) 则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1， 当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.故选B.答案：B2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x )，则f (x )＝800＋x8×x ×1x ＝800x ＋x8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x8(x ＞0)，即x ＝80时，取最小值．故选B.答案：B1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ，ab ＝1时，等号成立，即a＝b ＝1时，表达式取最小值为4.故选C. 答案：C2．(2013·东莞二模)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y＝1，则2x ＋3y 的最小值为________．解析：由题意可得，2x ＋3y ＝(2x ＋3y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝3y x＋18x y＋29≥23y x ·18x y＋29＝29＋66，当且仅当3y x ＝18x y ，结合1x ＋9y ＝1，解得x ＝2＋362，y ＝6＋9时取等号，故2x ＋3y的最小值为29＋6 6.答案：29＋6 6。