抽象函数专题

专题8 抽象函数一、单选题1．函数()f x 是R 上的增函数，点()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，则()11f x +<的解集为（ ） A ．()[),14,−∞−+∞ B ．()[) ,12,−∞−+∞ C ．1,2D ．()1,42．已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则(2)f −的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．1−3．单调增函数()f x 对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+，若()()33920x x xf k f ⋅+−−<恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．()1− B ．()1−∞C ．(1⎤⎦D ．)1,⎡+∞⎣4．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当(]0,1x ∈，()2log f x x x =−，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．32B ．12C ．12−D ．32−5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y −=−，且当0x <时，()0f x >，则关于x 的不等式()()()()2222f mx f m f m x f x +>+（其中0m << ）A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m > C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22xf x =−，则()()()()0122020f f f f ++++的值为（ ）A ．2−B ．1−C ．0D ．17．已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f −=−，则()()20172016f f += A ．2−B ．1−C ．0D ．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =+，则不等式()()ln 1f x f <−的解集为（ ） A ．()0,e B ．1,e ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭C ．(10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =−，且(2)(2)f x f x +=−，当[1,1]x ∈−时，)()lnf x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈−时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30 10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()()11f x f x −=−+，且当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+−，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是以4为周期的周期函数B ．()()201820212f f +=−C ．函数()2log 1y x =+的图象与函数()f x 的图象有且仅有3个交点D ．当[]3,4x ∈时，()2918f x x x =−+11．已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为()f x '.下列命题正确的有（ ） A ．若函数()f x 是奇函数，则()f x '是偶函数 B ．若函数()'f x 是偶函数，则()f x 是奇函数 C ．若函数()f x 是周期函数，则()f x '也是周期函数 D ．若函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数12．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=−x f x ，给出下列结论，其中正确的是（ ）A ．(2)0f =B ．点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C ．函数()y f x =在[6,2]−−上单调递增D ．函数()y f x =在[6,6]−上有3个零点 三、填空题13．写出一个满足()()2f x f x =−的奇函数()f x =______.14．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于1x =对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =−，计算(0)(1)(2)(3)(2021)f f f f f +++++＝________．15．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =−，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f +++=__________．16．设()f x 是定义在R 上的函数，且()()2f x f x =+，在区间[)1,1−上，(),102,015x a x f x x x +−≤<⎧⎪=⎨−≤<⎪⎩，其中a ∈R .若5922f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是________.四、解答题17．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足： ①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y −=−.（1）求()()22f xg x −的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.18．已知函数()f x 满足对,x y R ∀∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且(1)2f =． （1）求(0)f 与(2)f −的值；（2）写出一个符合题设条件的函数()f x 的解析式（不需说明理由），并利用该解析式解关于x 的不等式(21)1()1f x f x +≥−．19．如果存在一个非零常数T ，使得对定义域中的任意的x ，总有f x Tf x 成立，则称()f x 为周期函数且周期为T .已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线x a =（0a ≠，为常数）对称，证明：()f x 是周期函数.20．已知函数()()y f x x =∈R ．（1）若()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数且(1)=−y f x 为R 上偶函数，求(3)(5)f f −+的值；（2）若函数()()y g x x =∈R 满足1(3)2g x +=x ∈R 恒成立，函数()()()h x f x g x =+，求证：函数()h x 是周期函数，并写出()h x 的一个正周期；（3）对于函数()y f x =，()()y k x x =∈R ，若(())()f k x f x =对x ∈R 恒成立，则称函数()y f x =是“广义周期函数”， ()k x 是其一个广义周期，若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x （()k x x =不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，()()12f x f x =成立的充要条件是12b x x a+=−．参考答案1．C【解析】解法一：因为()f x 是R 上的增函数，()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，所以函数()f x 的草图如图所示.由图象得，()()11111013f x f x x +<⇔−<+<⇔<+<，即12x −<<.解法二：因为()f x 是R 上的增函数，()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，所以当03x ≤≤时，()11f x −≤≤.又已知()11f x +<，即()111f x −<+<， 所以013x <+<，解得12x −<<. 故选：C2．A【解析】根据题意，函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=， 则()2f x x +为常数，设()2f x x t +=，则()2f x x t =−+，则有()21f t t t =−+=，解可得1t =−，则()21f x x =−−，故(2)413f −=−=； 故选：A. 3．B【解析】因为()()()f x y f x f y +=+，所以()()3392(3392)0x x x x x xf k f f k ⋅+−−=⋅+−−<又对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+， 所以(0)(0)(0)f f f =+， 解得(0)0f =，由()f x 为R 上单调增函数可得33920x x x k ⋅+−−<，令30x t =>，即2(1)20k t t +−−<恒成立， 即21k t t+<+，而2t t +≥，当且仅当2t t=，即t =所以1k +<1k <， 故选：B 4．D【解析】因为()f x 满足()()2f x f x −=，所以()f x 的图像关于x=1对称. 又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()()22f x f x f x =−=−−， 所以()()()42f x f x f x +=−+=， 所以()f x 为周期函数，且周期T =4. 所以2021552524222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而25511132log 222222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭32−.故选：D 5．A【解析】任取12x x <，由已知得()120f x x −>，即()()120f x f x −>，所以函数()f x 单调递减．由()()()()2222f mx f m f m x f x +>+可得()()()()2222f mx f x f m x f m −>−，即()22f mx x f −>()22m x m −，所以2222mx x m x m −<−，即()22220mx m x m −++<，即()()20mx x m −−<，又因为0m << 所以2m m>，此时原不等式解集为2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．故选：A 6．D【解析】因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()f x f x −=， 又()f x 的图象关于点()1,0对称，则()(2)f x f x =−−，所以()(2)f x f x −=−−，则()(2)f x f x =−+，得(4)(2)()f x f x f x +=−+=， 即(4)()f x f x +=−，所以()f x 是周期函数，且周期4T =，由[]0,1x ∈时，()22xf x =−，则(0)1,(1)0f f ==，(2)(0)1f f =−=−，(3)(3)(1)0f f f =−==，则(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=， 则()()()()0122020f f f f ++++(0)5050(0)1f f =+⨯==故选：D 7．D【解析】奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数， (0)0f ∴=，且(2)(2)(2)f x f x f x −+=+=−−，则(4)()f x f x +=−，则(8)(4)()f x f x f x +=−+=， 则函数()f x 的周期是8，且函数关于2x =对称， 则(2017)(25281)f f f =⨯+=（1）(1)(1)1f =−−=−−=，(2016)(2528)(0)0f f f =⨯==，则(2017)(2016)011f f +=+=， 故选D ． 8．C【解析】因为当0x >时，()2f x x x =+，且函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以0x <时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=−−=−−+−=−+⎣⎦， 所以()22,0,0x x x f x x x x ⎧−+<=⎨+>⎩，作出函数图象：所以函数()f x 是()+−∞∞，上的单调递增， 又因为不等式()()ln 1f x f <−，所以ln 10x x <−⎧⎨>⎩，即10x e <<，故选：C. 9．CD【解析】由题设知：2221()ln(1)lnln(1)()1f x x x x x f x x x−=++==−+−=−+−，故()f x 在[1,1]x ∈−上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=−=−，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4， A ：(2021)(50541)(1)ln(21)0f f f =⨯+==−≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈−的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=， ∴所有根的和为30，正确. 故选：CD 10．ACD【解析】对于A 选项，由已知条件可得()()()()1113f x f x f x f x +=−−=−−=−， 所以，函数()f x 是以4为周期的周期函数，A 选项正确；对于B 选项，()()()2018202f f f ==−=，()()202110f f ==，则()()201820212f f +=，B 选项错误；对于C 选项，作出函数()2log 1y x =+与函数()f x 的图象如下图所示：当[]0,1x ∈时，()[]221922,024f x x x x ⎛−=+⎫−=−∈− ⎪⎝⎭，结合图象可知，()22f x −≤≤.当3x >时，()2log 12x +>，即函数()2log 1y x =+与函数()f x 在()3,+∞上的图象无交点， 由图可知，函数()2log 1y x =+与函数()f x 的图象有3个交点，C 选项正确； 对于D 选项，当[]3,4x ∈时，[]41,0x −∈−，则[]40,1x −∈，所以，()()()()()2244442918f x f x f x x x x x =−=−=−+−−=−+，D 选项正确. 故选：ACD. 11．AC【解析】解：由导数的定义：()()()=lim x f x x f x f x x ∆→+∆−∆'选项A ：()()()()()()00=lim=lim=x x f x x f x f x f x x f x f x xx∆→∆→−+∆−−−−∆∆∆''−，即()f x '是偶函数，故A 正确；选项B ：如()sin 1f x x =+不是奇函数，而()cos f x x '=为偶函数；故B 错误， 选项C ：()()()()()()00=lim=limx x f x T x f x T f x x f x f x T f x xx∆→∆→++∆−++∆−=∆∆''+即()f x '也是周期函数，故C 正确；选项D ：如()sin f x x x =+不是周期函数，但()1cos f x x '=+是周期函数；故D 错误， 故选：AC. 12．AB【解析】在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =−，得(2)0f −=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =−=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]−−上不具单调性，故C 不正确；函数()y f x =在[6,6]−上有7个零点，故D 不正确. 故选：AB 13．πsin2x （答案不唯一） 【解析】取()sin2f x x π=，下面为证明过程：显然，其定义域为R ； 由()sin sin ()22f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫−=−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()sin 2f x x π=为奇函数；又()(2)sin 2sin sin ()222f x x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫−=−=−== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故答案为：sin 2x π（答案不唯一）.14．1【解析】由题意，()()f x f x −=−且(2)()f x f x −=，∴()(2)()(2)(2)f x f x f x f x f x −=+=−=−−=−，即()(4)f x f x =+， ∴()f x 是周期为4的函数.令10x −≤<，则01x <−≤，而[0,1]x ∈时()21x f x =−，∴1()()(21)12xxf x f x −=−−=−−=−， ∴(0)(2)0,(1)1,(3)(1)1f f f f f ====−=−，即(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=， 而(0)(1)(2)(3)(2021)505[(0)(1)(2)(3)]f f f f f f f f f +++++=⨯+++(5054)f +⨯(50541)f +⨯+(0)(1)1f f =+=.故答案为：115．3【解析】()(2)f x f x =−，(2)()f x f x ∴+=−，又()f x 为奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x ∴+=−=−+=−+=()f x ∴是周期为4的周期函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f ∴=∴==，(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===−=−=−(1)(2)(3)(4)0f f f f ∴+++=，()()()()()12...50012123f f f f f ∴+++=⨯++=.故答案为：3．16．25− 【解析】因为()()2f x f x =+， 所以511222f f a ⎛⎫⎛⎫−=−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9112210f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11210a −+=，解得35a =， 所以()()()25315f a f f ==−=−. 故答案为：25− 17．（1）1；（2）偶函数，证明见解析.【解析】（1）依题意，()()()()()()22f x g x f x f x g x g x −=−()()01f x x f =−==.（2）由（1）知()()22001f g −=，∴()()220010g f =−=，即()00g =，∴()()()()()()()000f x f x f f x g g x f x −=−=−=，又因为()f x 的定义域为R ，所以函数()f x 为偶函数.18．（1）(0)0f =，(2)4f −=−；（2）31(,](,)22−∞−+∞（答案不唯一）. 【解析】（1）由()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)2(0)f f =，所以(0)0f =，令1,1x y ==−，得(0)(1)(1)f f f =+−，因为(1)2f =，所以(1)2f −=−，令1x y ==−，得(2)(1)(1)4f f f −=−+−=−，（2）答案不唯一，例如：()2f x x =满足条件.由(21)1()1f x f x +≥−，得2(21)2(21)23110212121x x x x x x +++≥⇔−=≥−−−， 解得：32x ≤−或12x >， 故解集为31(,](,)22−∞−+∞ 19．证明见解析【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x −=−，∵()y f x =的图象关于直线x a =（0a ≠，为常数）对称，所以()()f a x f a x +=−，∴(2)[()][()]()()f a x f a a x f a a x f x f x +=++=−+=−=−.从而(4)(2)()f a x f a x f x +=−+=.∴()f x 是周期函数，且周期为4a .20．（1）0；（2）证明见解析，正周期为24；（3）证明见解析．【解析】（1）因为()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数，所以(1)(1)f x f x −=−+，所以()(2)0f x f x −++=，又因为()f x 满足(1)=−y f x 为R 上偶函数，所以(1)(1)f x f x −−=−，所以()(2)f x f x −=−，所以有(2)(2)0f x f x −++=，所以(2)(2)f x f x +=−−，所以(4)()f x f x +=−，所以(8)(4)()f x f x f x +=−+=，所以()f x 的一个周期为8，所以(3)(5)2(5)f f f −+=，在()(2)0f x f x −++=中令1x =−，得(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，在(4)()f x f x +=−中令1x =，得(5)(1)f f −=，所以(5)(1)0f f =−=，所以(3)(5)0f f −+=；（2）因为11(3)22g x +=≥，所以1(6)2g x +=12=因为[]11(3)1(3)122g x g x ⎡⎡+−+=+−⎢⎢⎣⎣ 21()()4g x g x =−+ 21()2g x ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦，所以111(6)()222g x g x +==+−()g x =，所以函数()g x 的一个周期为6，因为()()()h x f x g x =+，所以(24)(83)(64)()()()h x f x g x f x g x h x +=+⨯++⨯=+=，所以()h x 是周期函数，一个正周期为24；（3）充分性：当12b x x a +=−时，12b x x a=−−， 此时()()221222222b b b f x f x a x b x c ax bx c f x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−=−−+−−+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以充分性满足；必要性：因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x ，所以(())()f k x f x =，所以22(())()a k x bk x c ax bx c ++=++，所以22()[()]0a k x x b k x x ⎡⎤−+−=⎣⎦，又因为()k x x =不恒成立，所以[()]0a k x x b ++=，所以()b k x x a =−−，又因为()()12f x f x =，且()()()11f k x f x =，所以()()()21f k x f x =，因为12x x ≠，所以1212()b b k x x x x a a +=−−+≠−， 所以()12k x x =，即12b x x a −−=，也即12b x x a +=−， 所以必要性满足．所以：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，()()12f x f x =成立的充要条件是12b x x a +=−．。

抽象函数1.定义：没有给出具体解析式的函数叫做抽象函数，抽象函数问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解。

2.抽象函数的单调性：例1.已知定义在R 上的函数)(x f 对任意x 、R y ∈有()()()f x y f x f y +=+，且当0>x 时0)(<x f（1）试判断函数)(x f 在R 上的单调性；（2）若(1)1f =，()(2)2f x f x --<，求x 的取值范围。

例2.已知定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0>x 时1)(<x f ，且对任意x 、R y ∈有()()()f x y f x f y +=⋅（1）证明1)0(=f ；（2）证明对任意R x ∈，恒有0)(>x f ；（3）判断)(x f 在R 上的单调性；（4）若2(1)(2)1f x f x x +⋅-+>，求x 的取值范围。

例3.若定义域为),0(+∞的函数)(x f 有()()()f xy f x f y =+，且当1>x 时0)(<x f（1）求)1(f ；（2）判断)(x f 在定义域上的单调性；（3）若(2)1f =，求满足不等式()(3)2f x f x +-≥的x 的取值范围。

例4.已知定义在),0(+∞上的函数)(x f y =，(1)0f ≠，当1x >时1)(<x f ，且对任意x 、R y ∈有()()()f xy f x f y =⋅（1）求)1(f ；（2）证明对任意(0,)x ∈+∞，恒有0)(>x f ；（3）判断)(x f 在R 上的单调性；（4）若(1)(1)1f x f x +⋅->，求x 的取值范围。

例5.已知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，当),0(+∞∈x 时，恒有x x f f 2)]([=，且过)(x f 图像上任意两点的直线斜率都大于1，求证：（1）)(x f 为增函数； （2）x x f >)(； （3）23)(34<<x x f 证明：（1）对任意1x 、2x 满足210x x <<，恒有1)()(1212>--x x x f x f ，则 0)()(1212>->-x x x f x f ，故)(x f 为增函数。

抽象函数专题（1）抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数 抽象函数知识点：1、抽象函数的定义域：①已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域②已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域2、抽象函数表达式与函数值3、抽象函数的模型构造①线性函数型抽象函数f （x ）＝kx （k ≠0）----f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ）②指数函数型的抽象函数f （x ）＝a x ---- f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝)()(y f x f ③对数函数型的抽象函数f （x ）＝lo g a x （a >0且a ≠1）-f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （yx ）＝ f （x ）－f （y ） ④幂函数型的抽象函数2()f x x = ---------()()()f xy f x f y =，()()()xf x f y f y =； 练习题：1、已知函数)(x f 对任意实数x ，y ，均有)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ，2)1(-=-f ，求)(x f 在区间[－2，1]上的值域。

2、定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意实数,m n ，总有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0x >时，1)(0<<x f ．（1）试求)0(f 的值；（2）判断)(x f 的单调性并证明你的结论；（3）试举出一个满足条件的函数)(x f ．3、已知函数)(x f 满足定义域在),0(+∞上的函数，对于任意的),0(,+∞∈y x ，都有)()()(y f x f xy f +=，当且仅当1>x 时，0)(<x f 成立，（1）设),0(,+∞∈y x ，求证)()()(x f y f xy f -=； （2）设),0(,21+∞∈x x ，若)()(21x f x f <，试比较1x 与2x 的大小；（3）解关于x 的不等式[]01)1(2>+++-a x a x f4.已知定义在()()-,00,+∞⋃∞上的函数f(x)对任何x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)>0,当x>1时,有f(x)<1.（1）判断f(x)的奇偶性（2）判断并证明f(x)在(0,+∞)上的单调性.（3）求解不等式f (23-4x x )≥1抽象函数问题（2）1、下列结论：①函数y =2y =是同一函数；②函数(1)f x -的定义域为[1,2]，则函数2(3)f x 的定义域为；③函数22log (23)y x x =+-的递增区间为(1,)-+∞；④若函数(21)f x -的最大值为3，那么(12)f x -的最小值就是3-其中正确的个数为 ( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2、定义在R 上的函数()f x 满足1(0)0,()(1)1,()()52xf f x f x f f x =+-==，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()2007f 等于（ ） A. 12 B. 116 C. 132 D. 1643、已知()f x 是定义在R 上的函数，且3()[1()]1()2f x f x f x +-=+，(2)2f =，则()2009f 值为（ ）A. 2+B. 22 D. 2-4、已知(1)(1),()(2)f x f x f x f x +=-=-+，方程()0f x =在[0,1]内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[]0,2013内根的个数为（ ） A. 2011 B. 1006 C. 2013 D. 1007 5、已知函数()f x 对任意实数x ，y 满足()()()f x y f x f y +=+，且(1)2f ≥.若存在整数m ，使得2(2)40f m m ---+= ，则m 取值的集合为______.6、定义在R 上的函数()f x 满足：(2)()0f x f x ++=，且函数(1)f x +为奇函数，对于下列命题：①函数()f x 满足(4)()f x f x +=；②函数()f x 图象关于点(1,0)对称；③函数()f x 的图象关于直线2x =对称；④函数()f x 的最大值为(2)f ；⑤(2009)0f =. 其中正确的序号为_________.7、定义在R 上的函数()f x ，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意实数,a b ，有()()()f a b f a f b +=⋅，求证：(1)(0)1f = (2)证明：()f x 是R 上的增函数；(3)若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围.8、已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且满足 ()()()f xy f x f y =+， 1()12f =- (1)求证：(2)1f = (2)求不等式()(3)1f x f x -->的解集.9、已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，f (3)＝ 5，求不等式3)22(2<--a a f 的解.。

抽象函数浅谈对于抽象函数，一直是高中学生遇到的一个难点，现我们对抽象函数进行简单的分析。

题型一：一次函数模型①正比例函数：kx x f y f x f y x f y f x f y x f =⇔⎭⎬⎫-=-+=+)()()()()()()(。

（2019地二，高一月考，T12）例题：已知函数)(x f 对任意的y x ,，都满足函数)()()(y f x f y x f +=+，且满足0>x ，0)(<x f ，试求函数)(x f 的单调性和奇偶性。

②一次函数b kx x f b y f x f y x f +=⇔-+=+)()()()(。

变式题：已知函数)(x f 对任意的y x ,，都满足2)()()(-+=+y f x f y x f ，且满足0>x ，2)(>x f ，求函数的单调性。

题型二：指数函数模型①指数函数模型：x a x f y f x f y x f y f x f y x f =⇔⎪⎭⎪⎬⎫=⋅=+)()()(()()()(。

②指数类函数模型：[]t a x f t t y f x f t y f x f y x f x +=⇔+++-⋅=+)()()()()()(2。

题型三：对数函数模型①对数函数模型：x x f y f x f y x f y f x f y x f a log )()()()()()()(=⇔⎪⎭⎪⎬⎫-=+=⋅。

②对数类函数模型：t x x f t y f x f y x f a +=⇔-+=⋅log )()()()(。

题型四：幂函数模型①幂函数模型：a x x f y f x f y x f y f x f y x f =⇔⎪⎭⎪⎬⎫=⋅=⋅)()()()()()()(。

②幂函数类函数模型：[]t x x f t t y f x f t y f x f y x f a +=⇔+++-⋅=⋅)()()()()()(2。

（2018杭高，高三月考，T22）例题：已知函数)(x f 的定义域是{}0>x x ，并且满足：当1>x 时，2)(>x f ；),0(,21+∞∈∀x x ，都有2)()()()()(212121+--=x f x f x f x f x x f 。

专题 抽象函数一、求抽象函数定义域1.已知函数f （21x -）定义域为[]1,3-, 求f （x ）的定义域2．函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x ＋1)的定义域是________．3.已知函数f [ 0，3 ]，求f （x ）的定义域二.求抽象函数解析式求函数解析式的常用方法：待定系数法、配凑法、换元法、方程组、特殊值法（1）若f [ f （x ）] = 4x+3，求一次函数f （x ）的解析式（2）已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式(3) 已知f （x ）-2 f （-x ）= x ，求函数f （x ）的解析式（4）设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f （x ）的解析式.练习：1.已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ）2.已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式3．已知2 f （x ）-f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭ = 3x ，求函数f （x ）的解析式4.已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1，求f （x ）的解析式.5.若x x f x f 4)1()(3=-，则)(x f =_____________________三、解抽象不等式1.已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)<f(x 2-1),求x 的取值范围.2.已知f(x)是定义在(0,)+∞上的函数，满足条件f(x y)=f(x)+f(y)；f(2)=1。

求：(1)证(8)3f = ；（2）求不等式()(2)3f x f x -->的解集。

3.函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时()1f x >.（1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<专题 函数的奇偶性【知识梳理】1. 偶函数定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，如果对于任意的A x ∈，都有，那么称函数)(x f y =是偶函数。

专题13 导数运算法则在抽象函数中的应用导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质求解.(一) 抽象函数的奇偶性及应用若()()f x f x -=两边求导得()()f x f x ¢¢--=，即()()f x f x ¢¢-=-，即若可导函数()f x 是偶函数，则()f x ¢是奇函数，同理可得：若可导函数()f x 是奇函数，则()f x ¢是偶函数.【例1】（2024届上海市奉贤区高三二模）已知定义域为R 的函数()y f x =，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为R 的导函数()y f x =¢.(1)求函数()e e x xf x -=+在点()()0,0f 的切线方程；(2)已知()cos sin f x a x b x =+，当a 与b 满足什么条件时，存在非零实数k ，对任意的实数x 使得()()f x kf x -=-¢恒成立？(3)若函数()y f x =是奇函数，且满足()()23f x f x +-=.试判断()()22f x f x +=¢-¢对任意的实数x 是否恒成立，请说明理由.【解析】（1）由题可知，()e e x x f x -¢=-，所以切线的斜率为(0)0f ¢=，且(0)2f =，所以函数在点()()0,0f 的切线方程为()200y x -=-，即2y =；（2）由题可知()sin cos f x a x b x ¢=-+，又因为定义域上对任意的实数x 满足()()f x kf x ¢-=-，所以cos sin sin cos a x b x ak x bk x -=-，即b aka bk -=ìí=-î，当R k Î且0k ¹时，0a b ==，当1k =时，0a b +=，当1k =-时，0a b -=；（3）因为函数()y f x =在定义域R 上是奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()()f x x f x ¢¢¢-×-=-，所以()()f x f x ¢¢-=，所以()y f x ¢=是偶函数，因为()()23f x f x +-=，所以()()()()223f x f x x ¢¢¢¢+-×-=，即()()20f x f x ¢¢--=，即()()2f x f x ¢¢=-，因为()()f x f x ¢¢-=，所以()()2f x f x ¢¢-=-，即()()2f x f x ¢¢=+，所以()y f x ¢=是周期为2的函数，所以()()()22f x f x f x ¢¢¢=+=-，所以()()()()22f x f x f x f x ¢¢¢¢-=-==+. (二)和差型抽象函数的应用解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所构造的函数的单调性求解．如给出式子()f x k ¢-,可构造函数()()y f x kx b =-+，给出式子()f x kx ¢-,可构造函数()212y f x x b =-+ ，一般地，若给出()()f x g x ¢¢±通常构造函数()()y f x g x c =±+.【例2】已知()()y f x x =ÎR 的导函数()f x ¢满足()3f x ¢>且(1)3f =，求不等式()3f x x >的解集．【解析】令()()3F x f x x =-，则()()30F x f x ¢¢=->，∴()F x 在R 上为单调递增．又∵(1)3f =，∴(1)(1)30F f =-=，则()3f x x >可转化为()0(1)F x F >=，根据()F x 单调性可知不等式()3f x x >的解集为(1,)+∞．(三)积型抽象函数的应用若给出形如()()()()f x g x f x g x ¢¢+的式子通常构造函数()()y f x g x c =+ ，如给出()()xf x nf x ¢+可构造函数()ny x f x =，如给出()()f x nf x ¢+，可构造函数()e nx y f x =，如给出()()tan f x f x x ¢+，可构造函数()sin y f x x =.【例3】（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷）若函数()f x 在[],a b 上满足()()()0g x f x f x ¢=³且不恒为0，则称函数()f x 为区间[],a b 上的绝对增函数，()g x 称为函数()f x 的特征函数，称任意的实数(),c a b Î为绝对增点（()f x ¢为函数()f x 的导函数）．(1)若1为函数()()e xf x a x =-的绝对增点，求a 的取值范围；(2)绝对增函数()f x 的特征函数()g x 的唯一零点为0x ．（ⅰ）证明：0x 是()f x ¢的极值点；（ⅱ）证明：()g x 不是绝对增函数．【解析】（1）因为函数()()e x f x a x =-，所以()()1e xf x a x =--¢，则()()()()21e xf x f x x a x a =--+¢．由()()0f x f x ¢³得()()10x a x a --+³，解得1x a £-或x a ³，所以()f x 为区间(],1a -∞-及区间[),a +∞上的绝对增函数．又1为函数()f x 的绝对增点，所以11a <-或1a >，解得2a >或1a <，所以a 的取值范围为()(),12,-∞+∞U ．（2）（ⅰ）设()f x 为区间[],a b 上的绝对增函数，由题意知()00g x =，当0x x ¹时，()()00,,g x x a b >Î．①若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上单调递增，则在区间()00Δ,x x x -上，()()0,0f x f x >¢<，则()0g x <，与()0g x >矛盾．若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上单调递减，则在区间()00Δ,x x x -上，()()0,0f x f x ¢<>，则()0g x <，与()0g x >矛盾．若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上不单调，则存在()'000Δ,x x x x Î-，且()00f x ¢¢=，此时()00g x ¢=与()g x 有唯一零点0x 矛盾．所以()00f x ¹．②若()00f x ¹，不妨设()00f x >，则()00f x ¢=，且存在1Δ0x >，使得当()0101Δ,Δx x x x x Î-+时，()0f x >，且当()()010001Δ,,Δx x x x x x x Î-+U 时，()0f x ¢>，即1Δ0x $>，使()f x ¢在()010Δ,x x x -上单调递减，在()001,Δx x x +上单调递增．所以0x 为()f x ¢的极值点．同理，当()00f x <时也成立．（ⅱ）若()g x 为绝对增函数，则()()0g x g x ×¢³在[],a b 上恒成立，又()0g x ³恒成立，所以()0g x ¢³恒成立．令()()e x x g x j =×，所以()0x j ³，且()()()()e 0xx g x g x j ¢¢=×+³，所以()x j 在(),a b 上单调递增．又()00x j =，所以当()0,x a x Î时，()0x j <，则()0g x <，与()0g x ³矛盾，所以假设不成立，所以()g x 不是绝对增函数．【例4】定义在π(0,2上的函数()f x ，其导函数是()f x ¢，且恒有()()tan f x f x x <¢×成立，比较π6æöç÷èø与π3f æöç÷èø的大小.【解析】因为π(0,)2x Î，所以sin 0x >，cos 0x >．由()()tan f x f x x <¢，得()cos ()sin f x x f x x <¢．即()sin ()cos 0f x x f x x ¢->．令()()sin f x g x x =，π(0,2x Î，则2()sin ()cos ()0f x x f x xg x sin x ¢-¢=>．所以函数()()sin f x g x x =在π(0,2xÎ上为增函数，则π()(6g g <π3，即ππ()()63ππsin sin63f f <，所以π()612f <ππ(()63f <．(四)商型抽象函数的应用若给出形如()()()()f x g x f x g x ¢¢-的式子通常构造函数()()f x y cg x =+ ，如给出()()xf x nf x ¢-可构造函数()n f x y x =，给出()()f x nf x ¢-，可构造函数()nx f x y e =，给出()()tan f x f x x ¢-，可构造函数()sin f xy x=.【例5】（2024届湖北省襄阳市第五中学高三第二次适应性测试）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f (x )，g (x )满足:①图象在[],a b 上是一条连续不断的曲线；②在(),a b 内可导;③对(),x a b "Î，()0g x ¢¹，则(),a b x $Î，使得()()()()()()f b f a fg b g a g x x --¢¢=.特别的，取()g x x =，则有：(),a b x $Î，使得()()()f b f a f b ax -¢=-，此情形称之为拉格朗日中值定理.(1)设函数()f x 满足()00f =，其导函数()f x ¢在()0,+∞上单调递增，证明：函数()f x y x=在()0,∞+上为增函数.(2)若(),0,e a b "Î且a b >，不等式ln ln 0a b b a m b a a b æö-+-£ç÷èø恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由题()()()00f x f x f xx -=-，由柯西中值定理知：对0x ">，()0,x x $Î，使得()()()()001f x f f f x x x -==¢¢-，()()f x f xx =¢，又()f x ¢在()0,∞+上单调递增，则()()f x f x ¢>¢，则()()f x f x x¢>，即()()0xf x f x ->¢，故()f x y x=在()0,∞+上为增函数；（2）22ln ln ln ln 0a b b a a a b b m m b a a b a b -æö-+-£Û£ç÷-èø，取()ln f x x x =，()2g x x =，因为a b >，所以由柯西中值定理，(),b a x $Î，使得()()()()()()22ln ln 1ln 2f a f b f a a b b g a g b a b g x xx x--+===-¢-¢，由题则有：1ln 2m xx+£，设()()1ln 0e 2x G x x x+=<<，()2ln 2xG x x -¢=，当01x <<时，()0G x ¢>，当1e x <<时，()0G x ¢<，所以()G x 在()0,1上单调递增，在()1,e 上单调递减，所以()()max 112G x G ==，故12m ³，所以实数m 的取值范围是1,2éö+∞÷êëø.【例6】已知函数()f x 在()0,1恒有()()2xf x f x ¢>，其中()f x ¢为函数()f x 的导数，若a ，b 为锐角三角形两个内角，比较22cos (sin ),sin (cos )f f b a a b 的大小.【解析】设()()2()01f x g x x x =<<，则()()()()()243220x f x x f x x f x f x g x x x ¢¢×-××-×¢==>所以函数()g x 在()0,1上单调递增.a ，b 为锐角三角形两个内角,则π2a b +>所以ππ022b a <-<<，由正弦函数sin y x =在π0,2æöç÷èø上单调递增.则π0cos sin sin 12b b a æö<=-<<ç÷èø所以()()cos sin g g b a <，即()()22cos sin cos sin f f b a b a<所以()()22sin cos cos sin f f a b b a ×<×.(五)根据()()()f x f x g x ±-=构造函数若给出形如()()()f x f x g x ¢±=的式子通常构造偶函数或奇函数.【例7】设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ,x R "Î,有3()()f x f x x --=,在(0,)+∞上有22'()30f x x ->,若2(2)()364f m f m m m --³-+-,求实数m 的取值范围.【解析】因为()()3f x f x x --=,所以33()()()22x x f x f x --=-- 令3()()()()2x g x f x g x g x =-\=- 即函数()g x 为偶函数,因为()0,∞+上有()22'30f x x ->,所以23()()02x g x f x ¢¢=-> 即函数()g x 在(0,)+∞单调递增；又因为()()22364f m f m m m --³-+-所以33(2)(2)()(2)()22m m g m g m f m f m ---=---+2(2)()3640f m f m m m =--+-+³即(2)()g m g m -³,所以2m m -³,解得1m £ ,故选B.(六)信息迁移题中的抽象函数求解此类问题关键是如何利用题中的信息.【例8】已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，若()1f x ¢£对任意x ÎR 恒成立，则称函数()f x 为“线性控制函数”.(1)判断函数()sin f x x =和()e xg x =是否为“线性控制函数”，并说明理由；(2)若函数()f x 为“线性控制函数”，且()f x 在R 上严格增，设A B ､为函数()f x 图像上互异的两点，设直线AB 的斜率为k ，判断命题“01k <£”的真假，并说明理由；(3)若函数()f x 为“线性控制函数”，且()f x 是以(0)T T >为周期的周期函数，证明：对任意12,x x 都有()()12f x f x T -£.【解析】（1）()cos 1f x x =£¢，故()sin f x x =是“线性控制函数”；()1e 1g ¢=>，故()e x g x =不是“线性控制函数”.（2）命题为真，理由如下：设()()()()1122,,,A x f x B x f x ，其中12x x <由于()f x 在R 上严格增，故()()12f x f x <，因此()()1212f x f x k x x -=>-由于()f x 为“线性控制函数”，故()1f x ¢£，即()10f x ¢-£令()()F x f x x =-，故()()10F x f x ¢¢=-£，因此()F x 在R 上为减函数()()()()()()()()112212121212121101f x x f x x f x f x F x F x k k x x x x x x ------=-==£Þ£---，综上所述，01k <£，即命题“01k <£”为真命题.（3）根据（2）中证明知，对任意a b <都有()()1f a f b k a b-=£-由于()f x 为“线性控制函数”，故()1f x ¢³-，即()10f x ¢+³令()()G x f x x =+，故()()10G x f x ¢=+³¢，因此()F x 在R 上为增函数()()()()()()()()()()101f a a f b b f a f b G a G b f a f b a b a b a b a b+-+---+==³Þ³-----因此对任意a b <都有()()[]1,1f a f b a b-Î--，即()()1f a f b a b -£-当12x x =时，则()()120f x f x T -=£恒成立当12x x ¹时，若21x x T -£，则()()()()1212121f x f x f x f x x x T--³³-，故()()12f x f x T-£若21x x T ->时，则存在[)311,x x x T Î+使得()()32f x f x =故1()()()()131313f x f x f x f x x x T--³>-，因此()()()()1213f x f x f x f x T-=-<综上所述，对任意12,x x 都有()()12f x f x T -£.（事实上，对任意12,x x 都有()()122Tf x f x -£，此处不再赘述）【例9】定义：若曲线C 1和曲线C 2有公共点P ，且在P 处的切线相同，则称C 1与C 2在点P 处相切．(1)设()()221,8f x x g x x x m =-=-+．若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点P 处相切，求m 的值；(2)设()3h x x =，若圆M ：()()2220x y b r r +-=>与曲线()y h x =在点Q （Q 在第一象限）处相切，求b 的最小值；(3)若函数()y f x =是定义在R 上的连续可导函数，导函数为()y f x ¢=，且满足()()f x f x ¢³和()f x <都恒成立.是否存在点P ，使得曲线()sin y f x x =和曲线y =1在点P 处相切？证明你的结论．【解析】（1）设点11(,)P x y ，由22()1,()8f x xg x x x m =-=-+，求导得()2,()28f x x g x x ¢¢=-=-，于是11228x x -=-，解得12x =，由11()()f x g x =，得2212282m -=-´+，解得9m =，所以m 的值为9.（2）设切点3222(,),0Q x x x >，由()3h x x =求导得2()3h x x ¢=，则切线的斜率为222()3h x x ¢=，又圆M ：222()x y b r +-=的圆心(0,)M b ，直线MQ 的斜率为322x bx -，则由3222213x x x b -×=-，得32213b x x =+，令31(),03x x x x j =+>，求导得221()33x x xj ¢=-，当0x <<()0x j ¢<，当x >()0x j ¢>，即函数()j x 在上递减，在)+∞上递增，因此当x =()x j ，所以当2x min b =（3）假设存在0(,1)P x 满足题意，则有00()sin 1f x x =，对函数()sin y f x x =求导得：()sin ()cos y f x x f x x ¢¢=+，于是0000()sin ()cos 0f x x f x x ¢+=，即0000()sin ()cos f x x f x x ¢=-，平方得222222000000[()]sin [()]cos [()](1sin )f x x f x x f x x ¢==-，即有2222200000[()]sin [()]sin [()]f x x f x x f x ¢+=，因此2200201[()]1[()][()]fx f x f x ¢×+=，整理得224000[()][()][()]f x f x f x ¢+=，而恒有()()f x f x ¢³成立，则有2200[()][()]f x f x ¢³，从而4200[()]2[()]f x f x ³，显然0()0f x ¹，于是20[()]2f x ³，即0|()|f x ³与()f x <所以假设不成立，即不存在点P 满足条件.【例1】（2024年全国统一考试数学押题卷）函数与函数之间存在位置关系.已知函数()f x 与()g x 的图象在它们的公共定义域D 内有且仅有一个交点()()00,x f x ，对于1x D "Î且()10,x x Î-∞，2x D Î且()20,x x Î+∞，若都有()()()()11220f x g x f x g x éùéù-×-<ëûëû，则称()f x 与()g x 关于点()()00,x f x 互穿；若都有()()()()11220f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû，则称()f x 与()g x 关于点()()00,x f x 互回.已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，导函数分别为()f x ¢与()g x ¢，()f x 与()g x 的图象在R 上有且仅有一个交点()(),m f m ，()f x ¢与()g x ¢的图象在R 上有且仅有一个交点()(),m f m ¢.(1)若()e xf x =，()1g x x =+，试判断函数()f x 与()g x 的位置关系.(2)若()f x ¢与()g x ¢关于点()(),m f m ¢互回，证明：()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.(3)研究表明：若()f x ¢与()g x ¢关于点()(),m f m ¢互穿，则()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互回且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.根据以上信息，证明：23e 126!ixx x x x i ³++++×××+（i为奇数）.【解析】（1）设()()()()e 1e 1x xH x f x g x x x =-=-+=--，则()e 1xH x ¢=-，当0x <时，()0H x ¢<，当0x >时，()0H x ¢>，()H x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()00e 10H x H ³=-=，即()()f x g x ³，当且仅当0x =时取等号.又()f x 与()g x 的图象在R 上有且仅有一个交点()0,1，\函数()f x 与()g x 关于点()0,1互回.（2）设1x m <，2x m >，则()()()()11220f x g x f x g x ¢¢¢¢éùéù-×->ëûëû，（互回的定义的应用）设()()()h x f x g x =-，则()()()h x f x g x ¢¢¢=-，故()()120h x h x ¢¢>.①若()()12,h x h x ¢¢均大于零，因为()()()0h m f m g m ¢¢¢=-=，（提示：()f x ¢与()g x ¢的图象交于点()(),m f m ¢.所以()0h x ¢³，所以()h x 单调递增，又()()()0h m f m g m =-=，（提示：()f x 与()g x 的图象交于点()(),m f m ）所以()10h x <，()20h x >，所以()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x ×=-×-<éùéùëûëû，()()120h x h x ¢×>，所以()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.②若()()12,h x h x ¢¢均小于零，因为()()()0h m f m g m ¢¢¢=-=，所以()0h x ¢£，所以()h x 单调递减，又()()()0h m f m g m =-=，所以()10h x >，()20h x <，所以()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x ×=-×-<éùéùëûëû，()()120h x h x ¢×>，所以()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.综上，()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.（3）设()e xi f x =，()23126!ii x x x g x x i =+++++L （N *i Î）则()()'1e xi i f x f x -==（2i ³），()()()231'11261!i i i x x x g x x g x i --=+++++=-L （2i ³）（关键：寻找()'i f x 与()1i f x -，()'i g x 与()1i g x -，2i ³之间的关系）易知()1e xf x =，()11g x x =+，由（1）可知()1f x 与()1g x 关于点()0,1互回.因为()()00e 10i i f g ===，所以*N i "Î，()i f x 与()i g x 的图象交于点()0,1.由（2）得()2f x 与()2g x 关于点()0,1互穿，（提示：()()21f x f x ¢=，()()21g x g x ¢=）由（3）得()3f x 与()3g x 关于点()0,1互回，易得当i 为奇数时，()i f x 与()i g x 关于点()0,1互回，所以()1,0x "Î-∞，()20,x Î+∞，有()()()()11220i i i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû（i 为奇数）.（提示：互回的定义的应用）由题意得()()()()2212120i i i i f x g x f x g x --éùéù-×->ëûëû对任意正整数i 恒成立，（提示：由本问信息可得）所以()()()()121222220i i i i f x g x f x g x ----éùéù-×->ëûëû()()()()222232320i i i i f x g x f x g x ----éùéù-×->ëûëû，L ，()()()()222212120f xg x f x g x éùéù-×->ëûëû累乘得()()()()()()222121212120i i i i f x g x f x g x f x g x --éùéùéù-×-->ëûëûëûL 所以()()()()2212120i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû易知()()12120f x g x ->，（点拨：()()11f x g x ³，当且仅当0x =时等号成立，又()20,x Î+∞，所以()()1212f x g x >.所以()()220i i f x g x ->.因为()()()()11220i i i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû，（i 为奇数），所以()()110i i f x g x ->（i 为奇数），因为()()00i i f g =，所以()()i i f x g x ³（i 为奇数），即23e 126!ixx x x x i ³++++¼+（i 为奇数），得证.【例2】（2024届上海市普陀区桃浦中学高三上学期期末）对于一个在区间I 上连续的可导函数()y f x =，在I 上任取两点()11(,)x f x ，()22(,)x f x ，如果对于任意的1x 与2x 的算术平均值的函数值大于等于对于任意的1x 与2x 的函数值的算术平均值，则称该函数在I 上具有“M 性质”.如果对于任意的1x 与2x 的几何平均值的函数值大于等于对于任意的1x 与2x 的函数值的几何平均值，则称()y f x =在I 上具有“L 性质”.(1)如果函数log a y x =在定义域内具有“M 性质”，求a 的取值范围.(2)对于函数ln y ax x =-，若该函数的一个驻点是1=x e ，求a ，并且证明该函数在2,x e éùÎ+∞ëû上具有“L 性质”.(3)设存在,m n I Î，使得()()f m f n =.①证明:取(,)m n x Î，则有()()()()f m f n f m n x ¢-=-②若[,]I a b =，设命题p :函数()y f x =具有“M 性质”，命題:()q f x ¢为严格减函数，试证明p 是q 的必要条件.(可用结论:若函数()f x 在区间I 上可导，且在区间I 上连续，若有(,)a b I Í，且()()f a f b =，则()f x 在区间I 上存在驻点)【解析】（1）由函数()log a f x x =在(0,)+∞上具有“M 性质”，可得对任意()1212121,(0,),log log log log 22aa a a x x x x x x +Î+∞³+=又12x x +³1a >；（2）令1()ln ,()g x ax x g x a x ¢=-=-由10e g æö¢=ç÷èø，得ea =则()e ln g x x x =-，在10,e æöç÷èø上严格减:在1,e æö+∞ç÷èø上严格增.要证()g x 在)2e ,é+∞ë上具有“L 性质”.需证g³即证()()212gg x g x éù³×ëû，而(222212 e ln gx x éù==-ëû()()()()()2121122121221e ln e ln e e ln l n ln ln g x g x x x x x x x x x x x x x ×=--=-++×则()()2212121lnln 4x x x x =-()121221ln ln n e l ln x x x x x x +-³，需证()()()212121221121ln ln e ln ln ln ln 4x x x x x x x x x x +-++³，由()212121ln ln ln ln 4x x x x+³，()()122112e ln ln x x x xx x +-12ln ln x x éù=××ëû2e==故只需证0³，下面给出证明：设ln ()x h x x =，则21ln ()x h x x -¢=，即在(e,)+∞上()0,()h x h x<¢递减，所以0hh éù-£ëû，即0³.综上，()()()212121221121ln ln e ln ln ln ln 4x x x x x x x x p x x +-++成立，故g³，得证.（3）①令()(()())()()g x f m f n x f x m n =---，()()()()()g x f m f n f x m n ¢¢=---，由可用结论，令x x =为该函数的驻点，则0()()()()()g f m f n f m n x x ¢¢==---，即取(,)m n x Î，则有()()()()f m f n f m n x ¢-=-，得证.②取12,(,)x x a b Î，设12,(0,1),{1,2}k x x u k <ÎÎ，记01220012,x x x h x x x x =+=-=-，则1020,x x h x x h =-=+，由①中的结论，则有:()()()0001f x h f x hf x u h ¢+-=+（1）()()()0002f x h f x hf x u h ¢--=-（2）由(1)-(2)，得()()()()()00001022f x h f x h f x h f x u h f x u h ¢¢éù-++-=+--ëû对()f x ¢在区间[]0201,x u h x u h -+使用①中的结论，则：()()()2120102()f u u h h f x u h f x u h x ¢¢¢¢éù+=+--ëû，其中，()0201,x u h x u h x Î-+.由于()f x ¢是严格减函数，则()0f x ¢¢£，即()()()0002f x h f x h f x ++-³，即()()121222f x f x x x f ++æö³ç÷èø.所以p 是q 的必要条件.【例3】已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，导函数为()f x ¢，若()()1f x f x x <¢+恒成立，求证：()()3210f f -<.【解析】设函数()()()01f xg x x x =³+，因为()()1f x f x x <¢+，0x ³，所以()()()10x f x f x ¢+-<，则()'g x ()()()()2101x f x f x x -=+¢+<，所以()g x 在[)0,∞+上单调递减，从而()()13g g >,即()()1324f f >，所以()()3210f f -<.【例4】已知函数()f x 满足()()1'xf x f x e +=，且()01f =，判断函数()()()2132g x f x f x =-éùëû零点的个数.【解析】()()()()1''1x x x f x f x e f x e f x e +=Û+=()'1x e f x éùÛ=ëû，∴()xe f x x c =+，()xx c f x e +=，∵()01f =代入，得1c =，∴()1xx f x e +=.()()()()213002g x f x f x f x =-=Þ=éùëû或()16f x =，()1001xx f x x e +=Þ=Þ=-；()()1116166x x x f x e x e +=Þ=Þ=+，如图所示，函数x y e =与函数()61y x =+的图像交点个数为2个，所以()16f x =的解得个数为2个；综上，零点个数为3个.【例5】已知定义在R 上的函数()f x 的导数为()f x ¢,且满足()()2sin f x f x x +-=,当0x ³时()sin cos f x x x x ¢>-- ,求不等式()π22f x f x æö--ç÷èøsin 2cos x x <+的解集.【解析】设()()sin g x f x x =-,则()()sin g x f x x -=-+,所以()()g x g x --=()()f x f x --2sin 0x -=,所以()g x 是偶函数,设()()sin 0h x x x x =-³,则()1cos 0h x x ¢=-³,所以()()0h x h ¢³,即sin 0x x -³,所以0x ³时()sin cos cos f x x x x x ¢>--³- , 所以0x ³时()()cos 0g x f x x ¢¢=+>,()g x 在[)0,+∞上是增函数,所以()π22f x f x æö--ç÷èøsin 2cos x x<+()2sin 2f x xÛ-ππsin 22f x x æöæö<---ç÷ç÷èøèø()π22g x g x æöÛ<-ç÷èø()π22g x g x æöÛ<-ç÷èøπ22x x Û<-Û()22π22x x æö<-ç÷èøππ3022x x æöæöÛ+-<ç÷ç÷èøèøππ26x Û-<<,故选C.【例6】已知定义域为R 的函数()y f x =，其导函数为()y f x ¢¢=，满足对任意的x ÎR 都有()1f x ¢<.(1)若()sin 4xf x ax =+，求实数a 的取值范围；(2)若存在0M >，对任意x ÎR ，成立()f x M £，试判断函数()y f x x =-的零点个数，并说明理由；(3)若存在a 、()b a b <，使得()()f a f b =，证明：对任意的实数1x 、[]2,x a b Î，都有()()122b af x f x --<.【解析】（1）若()sin 4x f x ax =+，则cos ()4xf x a ¢=+，由题意，对任意的x ÎR 都有()1f x ¢<，则1cos 4x a +<，即1cos 14xa <+<-，所以cos cos 1441x xa <---<，由于1cos 4x -的最小值为34，cos 14x --的最大值为34-，所以3344a -<<，即实数a 的取值范围为33,44æö-ç÷èø；（2）依题意，()10y f x ¢¢=-<，所以，()y f x x =-在R 上为减函数，所以至多一个零点；()f x M £Þ()M f x M -<<，，当1x M =--时，()()110y f x x f M M =-=--++>，当1x M =+时，()()110y f x x f M M =-=+--<，所以()y f x x =-存在零点，综上存在1个零点；（3）因为()1f x ¢<，由导数的定义得()()12121f x f x x x -<-，即()()1212f x f x x x -<-，不妨设12a x x b £££若122b ax x --£，则()()12122b a f x f x x x --<-£若122b a x x -->，则()()()()()()1212f x f x f x f b f a f x -=-+-()()()()12f x f b f a f x <-+-12b x x a<-+-()22b a b ab a --<--=.1.若定义域为D 的函数()y f x =使得()y f x ¢=是定义域为D 的严格增函数，则称()f x 是一个“T 函数”．(1)分别判断()13=x f x ，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由；(2)已知常数0a >，若定义在()0,∞+上的函数()y g x =是T 函数，证明：()()()()132g a g a g a g a +-<+-+；(3)已知T 函数()y F x =的定义域为R ，不等式()0F x <的解集为(),0∞-．证明：()F x 在R 上严格增．2．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”；(2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x ¢，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ÎR ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．3．（2024届江苏省盐城市滨海县高三下学期高考适应性考试）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)g x y 的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数(,,)(,)(,)L x y f x y g x y l l =+，其中l 为拉格朗日系数．分别对(,,)L x y l 中的,,x y λ部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：(,,)(,)(,)0(,,)(,)(,)0(,,)(,)0x x x y y y L x y f x y g x y L x y f x y g x y L x y g x y ll l l l l =+=ìï=+=íï==î，解此方程组，得出解(,)x y ，就是二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)g x y 的可能极值点．,x y 的值代入到(,)f x y 中即为极值．补充说明：【例】求函数22(,)f x y x xy y =++关于变量x 的导数．即：将变量y 当做常数，即：(,)2x f x y x y =+，下标加上x ，代表对自变量x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的,,x y L L L l 表示分别对,,x y λ进行求导．(1)求函数222(,)2f x y x y xy xy =++关于变量y 的导数并求当1x =处的导数值．(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数,x y 满足22(,)410g x y x y xy =++-=，求(,)2f x y x y =+的最大值．(3)①若,,x y z 为实数，且1x y z ++=，证明：22213x y z ++³．②设0a b c >>>，求221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值．4．（2024届浙江省宁波市宁波九校高三上学期期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为()()()()()01v x y u x u x u x =>¹，，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数x y x =，()()()()ln ln ln e e e ln 1x x x x x x x y x x ¢¢¢¢éù====+êúëû.(1)已知()10x xf x xx -=>，，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若0m >且1m ¹，0x >.研究()112xxm g x æö+=ç÷èø的单调性；(3)已知a b s t ，，，均大于0，且a b ¹，讨论2t s s a b æö+ç÷èø和2st t a b æö+ç÷èø大小关系.5．（湖北省八市高三下学期3月联考）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()f x 在0x =处的()*n n ÎN 阶导数都存在时，()()()()()()()()323000002!3!!n n f f f f x f f x x x x n =++++¢¢×××+¢+×××．注：()f x ¢¢表示()f x 的2阶导数，即为()f x ¢的导数，()()()3n f x n ³表示()f x 的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.(1)根据该公式估算1sin 2的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：246cos 12!4!6!x x x x =-+-+×××．当0x ³时，试比较cos x 与212x-的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；(3)设*n ÎN ，证明：()111142tannk n n n k n k=>-+++å.6. 函数()f x 满足22()(e )(2)ex f x f x -+=（e 为自然数的底数），且当1x £时，都有()()0f x f x ¢+>（()f x ¢为()f x 的导数），比较20202022(2022)(2020),e ef f 的大小 .7.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x ¢，且2()()0f x xf x ¢+>．求证： ()0f x ³.8.已知函数()f x 及其导函数()f x ¢的定义域均为R ，()23f x +是偶函数，记()()g x f x ¢=，()2g x +也是偶函数，求()2023f ¢的值.9. 定义在()0,∞+上的函数()y f x =有不等式()()()23f x xf x f x ¢<<恒成立，其中()y f x ¢=为函数()y f x =的导函数，求证：()()2481f f <<.10．已知()f x ¢为定义域R 上函数()f x 的导函数，且()()20f x f x ¢¢+-=，1x ³， ()()()120x f x f x -+>¢且()31f =，求不等式()()241f x x >-的解集11.定义在区间(0,)+∞上函数()f x 使不等式2()'()3()f x xf x f x <<恒成立，（'()f x 为()f x 的导数），求(2)(1)f f 的取值范围.12.设()y f x =是定义在R 上的奇函数.若()(0)f x y x x=>是严格减函数，则称()y f x =为“D 函数”.(1)分别判断y x x =-和sin y x =是否为D 函数，并说明理由；(2)若1112xy a =-+是D 函数，求正数a 的取值范围；(3)已知奇函数()y F x =及其导函数()y F x ¢=定义域均为R .判断“()y F x ¢=在()0,∞+上严格减”是“()y F x =为D 函数”的什么条件，并说明理由.13.设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合：①方程()0f x x -=有实数解；②函数()f x 的导数()f x ¢满足0()1f x ¢<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由；（2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n Î，使得等式()0()()()f n f m n m f x ¢-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R Î，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．14.设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，若()()2f x f x ¢+>，()02024f =，求不等式2022()2e xf x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集。

抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。

抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。

本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(x f x f =- 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)(1)(>-=x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)()()()()(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0<x<3 2.已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠（1）求证：()f x 为奇函数（2）若(1)(2)f f =， 求(1)(1)g g +-的值解（1）对x R ∈，令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则012>-x x0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax.0)1)(2(>--∴x ax∴当0=a 时，)1,(-∞∈x当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且当0<a 时，}12|{<<∈x ax x当20<<a 时, }12|{<>∈x a x x x 或 当a>2时，}12|{><∈x ax x x 或4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xyy x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝212nn x x +，求f (x n ); ⑶求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x )∴f (x )为奇函数 (Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212n n x x +)＝f (nn n n x x x x ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n ) ∴)()(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f (x n )＝－2n －1 (Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221-++++=+++n nx f x f x f 2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n5.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ，由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数. （2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥ ∙∙∙ ∴ f(2)-f(1)1≥∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f 得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121<-=--=+∙∙∙++=-∑=n n n ni if6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值； (II)求()f x 的最大值；(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈.求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3f x f ∴==(III)*12(3)()n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 111112113333333()()()()()23()4n n n n n n nn f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。