三角形全等的相关史料

学生1对1个性化教案第 6 次课学生姓名年级授课日期教师科目数学时间段授课内容全等三角形证明——SSS出题依据初二预习知识点一：SSS定理（一）知识点精讲①AB=DE ②BC=EF ③CA=FD ④∠A= ∠D ⑤∠B=∠E ⑥∠C= ∠F思考：1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△DEF吗？2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC ≌△DEF吗?探究一：1.只给一个条件：只给一条边时；只给一个角时.结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？①两边；②一边一角；③两角。

①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。

3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。

⑴三个角已知两个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°它们一定全等吗？结论：这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等⑵三条边已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm 。

它们一定全等吗？探究二：先任意画出一个△ABC，再画出一个△A’B’C’,使A’B’= AB ,B’C’=BC, A’C’=AC.把画好△A’B’C’的剪下，放到△ABC上，他们全等吗？画法:1.画线段B’C’=BC;2.分别以B’，C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两弧交于点A’;3. 连接线段A’B’，A’C’ .上述结论反映了什么规律？边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等。

三角形的全等知识点总结在几何学中，全等是一个重要的概念，它意味着两个或多个图形在形状和大小上完全相同。

在三角形中，全等三角形是非常常见的，它们具有相等的边和角。

本文将对三角形的全等知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、全等三角形的定义全等三角形的定义是：如果两个三角形的对应边相等，对应角相等，那么这两个三角形是全等的。

二、全等三角形的判定条件1. SSS判定法（边边边）：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。

2. SAS判定法（边角边）：如果两个三角形的一条边和这个边上的两个角分别与另一个三角形的一条边和这个边上的两个角相等，则这两个三角形是全等的。

3. ASA判定法（角边角）：如果两个三角形的一条角和这个角对应的两边分别与另一个三角形的一条角和这个角对应的两边相等，则这两个三角形是全等的。

4. RHS判定法（直角边斜边）：如果两个直角三角形的一条直角边和斜边分别与另一个直角三角形的一条直角边和斜边相等，则这两个直角三角形是全等的。

三、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应角相等，即对应顶点的角是相等的。

2. 全等三角形的对应边相等，即对应边的长度是相等的。

3. 全等三角形的对应高线相等。

4. 全等三角形的周长和面积完全相同。

四、全等三角形的性质运用利用全等三角形的性质可以进行各种几何推理和证明。

1. 利用全等三角形可以证明两条线段相等。

2. 利用全等三角形可以证明两个角相等。

3. 利用全等三角形可以证明两个三角形全等。

4. 利用全等三角形可以证明两个四边形全等。

五、全等三角形的应用全等三角形的知识在实际生活和工程中具有广泛的应用。

1. 在建筑工程中，利用全等三角形可以计算高楼房屋的高度，简化测量过程。

2. 在地图测量中，利用全等三角形可以计算两地的距离和高度。

3. 在设计中，利用全等三角形可以保证建筑物的比例和对称性。

4. 在计算机图形学中，利用全等三角形可以进行图形变换和模型重建。

全等三角形复习[知识要点] 一、全等三角形② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS 找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

因此我们可以来采取逆思维的方式。

来想要证全等，则需要什么条件另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。

然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL ）证明三角形全等。

八年级三角形全等的知识点三角形是初中数学中非常重要的一个知识点，其中涉及到的全等三角形更是初中数学中的难点之一。

全等三角形是指某两个三角形的三边分别相等，三个角度分别相等。

在初中数学中，全等三角形不仅是基本的几何概念，还是解决各种三角形问题的重要方法之一。

在这篇文章中，我们将会介绍全等三角形的知识点，帮助大家更好地掌握这一部分内容。

一、全等三角形的基本概念全等三角形是指两个三角形的对应的三边和三个角分别相等。

记作∆ABC ≌ ∆DEF，其中A、B、C、D、E、F分别为两个三角形的顶点。

在全等三角形中，不仅对应的边相等，对应的角也相等。

这也是三角形做全等变形的基础。

二、全等三角形的判定条件1. SSS判定法在两个三角形ABC和DEF中，如果三边分别相等，即AB = DE，AC = DF，BC = EF，则可以判定这两个三角形全等。

2. SAS判定法若两个三角形的两边及夹角分别相等，则可以证明这两个三角形是全等的。

即如果∆ABC 和∆DEF 的AB = DE，BC = EF，∠BAC = ∠EDF，则可以判定这两个三角形全等。

3. ASA判定法如果两个三角形的两个角和一边分别相等，则可以证明这两个三角形全等。

即如果∆ABC和∆DEF的∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，AC = DF，则可以判定这两个三角形全等。

4. RHS判定法在两个直角三角形ABC和DEF中，如果两条直角边分别相等，且斜边相等，则可以判定这两个三角形全等。

三、基于全等三角形的一些性质1. 对于全等三角形，它们的对应线段和对应角度是相等的。

即对于全等三角形∆ABC ≌ ∆DEF，有AB = DE，BC = EF，AC = DF，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 任意两个全等三角形之间的相似比是1:13. 如果两个角分别为某两个全等三角形的对应角，则这两个角也全等。

四、全等三角形的应用全等三角形在初中数学中的应用非常广泛。

三角形全等性质研究三角形全等性质是初中数学中相当重要的一部分内容，它是几何学的基础知识。

通过研究三角形全等性质，我们可以更深入地理解几何学中的相关概念，为解决各种几何问题提供重要的参考。

本文将从三角形全等的定义开始，逐步介绍三角形全等的性质和应用，帮助读者更好地掌握这一知识点。

1. 三角形全等的定义在几何学中，两个三角形如果对应的三条边相等，或者对应的三个角相等，那么我们称这两个三角形是全等的。

具体而言，三角形ABC 与三角形DEF全等的条件可以表示为：- 两边一角对应相等（SSA全等）- 三边对应相等（SSS全等）- 两角一边对应相等（SAS全等）- 公共边对应相等且夹角相等（ASA全等）通过以上条件，我们可以判断两个三角形是否全等，从而在解决几何问题时有针对性地运用全等性质。

2. 三角形全等的性质全等的三角形除了边和角相等外，它们还具有许多相似的性质，这些性质在几何学中有着重要的应用。

首先，全等的三角形的对应高度、中线和角平分线相等。

这意味着在处理三角形全等问题时，我们可以利用这些性质来简化计算，加快解题速度。

其次，全等的三角形的内角和相等。

这意味着当两个三角形全等时，它们的内角和也是相等的，这对于求解角度问题非常有帮助。

再次，全等的三角形可以相互转化。

也就是说，如果两个三角形全等，那么它们的任意一边可以对应另一个三角形的任意一边。

这为我们解决几何问题提供了更多的可能性。

3. 三角形全等的应用三角形全等性质在现实生活中有着广泛的应用，比如建筑、地理测量等领域。

在建筑中，工程师需要根据建筑设计绘制平面图，利用三角形全等性质来确保建筑物各部分的尺寸比例正确，以避免出现结构失衡的问题。

在地理测量中，地理学家需要利用全等三角形的性质来测量地表的高度、距离等参数，从而为地质勘探和地形分析提供可靠的数据支持。

此外，在日常生活中，我们也可以通过运用三角形全等性质来解决实际问题，比如利用房子和观察点之间的距离和角度关系来确定不同位置的景观视野等。

《全等三角形》讲义一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个全等的三角形，经过平移、翻转、旋转后，依然能够完全重合。

比如说，我们有两个三角形△ABC 和△DEF，如果将△ABC 放到△DEF 上，它们的三条边和三个角都能够一一对应且完全重合，那么我们就说△ABC 和△DEF 是全等三角形。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。

2、全等三角形的对应角相等例如，在上述两个全等三角形中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。

3、全等三角形的周长相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长也必然相等。

4、全等三角形的面积相等由于两个三角形完全重合，所以它们所覆盖的面积也是相同的。

三、全等三角形的判定方法1、“边边边”（SSS）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如有△ABC 和△DEF，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。

2、“边角边”（SAS）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

假设在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，AC ＝ DF，∠A ＝∠D，那么△ABC ≌△DEF。

3、“角边角”（ASA）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就可以得出△ABC ≌△DEF。

4、“角角边”（AAS）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

例如，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。

5、“斜边、直角边”（HL）这是专门用于判定直角三角形全等的方法。

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

全等三角形知识点摘要：全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下，它们的对应边和对应角完全相等。

本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。

关键词：全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形（Congruent Triangles）指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同，即它们的所有对应边和对应角都相等。

在数学符号中，我们通常用“≌”来表示全等。

2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：- 对应边相等：两个全等三角形的对应边长度完全相同。

- 对应角相等：两个全等三角形的对应角度数完全相同。

- 对应边上的高相等：两个全等三角形对应边上的高（垂直于边的线段）长度也相等。

- 对应角的平分线相等：两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。

- 对应边上的中线相等：两个全等三角形对应边上的中线（连接顶点和对边中点的线段）长度相等。

3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等，可以通过以下几种条件：- SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。

- SAS（边角边）：如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。

- ASA（角边角）：如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等，那么这两个三角形全等。

- AAS（角角边）：如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。

- HL（直角边-直角边）：对于直角三角形，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。

4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用，尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。

通过识别和证明三角形全等，我们可以得出隐藏的边长和角度关系，从而解决复杂的几何构造问题。

5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念，它在解决几何问题中扮演着关键角色。

第十一章 全等三角形知识点及常见题型一、全等三角形1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形； ③三角形全等不因位置发生变化而改变。

2、全等三角形性质．． （1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角； ②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

（2）全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定．．边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS ”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS ”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA ”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS ”) 斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL ”) 4、证明两个三角形全等的基本思路： 方法指引证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边----找第三边(SSS )找夹角（SAS )(2):已知一边一角---已知一边和它的邻角找是否有直角(HL )已知一边和它的对角找这边的另一个邻角(ASA )找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角(AAS )找一角(AAS )已知角是直角，找一边(HL )(3):已知两角---找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边(AAS )练习二、角的平分线：从一个角的顶点得出一条射线把这个角分成两个相等的角，称这条射线为这个角的平分线。

性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题：1、要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；2、表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；3、时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”检测题1、下列命题中正确的是（ ）A ．全等三角形的高相等B ．全等三角形的中线相等C ．全等三角形的角平分线相等D ．全等三角形对应角的平分线相等2、将五边形纸片ABCDE 按如图所示方式折叠，折痕为AF ，点E 、D 分别落在E ′，D ′，已知∠AFC=76°，则∠CFD ′等于（ ）A ．31°B ．28°C ．24°D ．22°第2题 第3题 第4题3、如图所示，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD 的周长是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．164、如图所示，在锐角△ABC 中，点D 、E 分别是边AC 、BC 的中点，且DA=DE ，那么下列结论错误的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠1=∠3C ．∠B=∠CD ．∠3=∠B 5、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC BD ，为折痕， 则CBD ∠的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95°6、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A ．带①去B ．带②去 C.带③去 D ．带①②③去第6题 第7题7、如图，在Rt ABC △中， ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC于点E ．已知 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）90 = ∠ B AE CB A ′ E ′ DADBA ． 30B ． 40C ． 50D ．60 8、如果△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为13，DE=3，EF=4，则AC 的长（ ） A ．13 B ．3 C ．4 D ．6 9、下列各条件中，不能作出惟一三角形的是（ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边 C.已知两边和其中一边的对角 D ．已知三边二、填空题10、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，BC=12cm ，BD=8cm 则点D 到 AB 的距离为 。

【初中数学】初中数学全等三角形有关知识总结基础知识梳理（一）基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的人物；（2）大小相等的图形；也就是说，两个完全重合的数字被称为全等数。

同样，我们把两个完全重合的三角形称为全等三角形。

2、全等三角形的性质（1）全等三角形的相应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两个相等的三角形对应于两个角，它们的夹紧边是全等的。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边角度相等的两个三角形对应同余。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4.角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判断：与角度两侧距离相等的点位于该角度的平分线上（二）灵活运用定理为了证明两个三角形的一致性，我们必须根据已知的条件和结论仔细分析图形，并准确地确定相应的边和角；分析现有条件和缺失条件，并将其他一些条件转化为所需条件，从而解决问题。

运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。

1.在判断两个三角形同余的定理中，必须满足三个条件，并且至少有一组边必须相等。

因此，在寻找同余条件时，我们总是首先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3.善于灵活选择合适的方法判断两个三角形的一致性。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：① 等夹紧边缘（ASA）②任一组等角的对边相等(aas)（2）在已知条件下，有两个相应的等边，可以找到①夹角相等(sas)② 第三组边也是相等的（SSS）（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找① 任何角度组都相等（AAS或ASA）② 另一组角度相等的边是相等的（SAS）三、疑点、易错点1.写全等三角形的错误在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

切记不要弄错。

2.对全等三角形判断法的错误理解；3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。

三角形在数学史中的重要定理与发展历程回顾在数学史上，三角形是一个非常重要的几何形状。

三角形不仅是几何学的基本单位，也是许多定理和解析几何的基础。

在本文中，我们将回顾一些三角形在数学史中的重要定理和发展历程。

众所周知，三角形是由三条线段构成的，这些线段相互连接形成了三个角，总和为180度。

三角形有许多重要特性和性质，我们将从几个定理开始探讨。

首先，让我们来看看三角形的最基本定理之一——三角形内角和定理。

这个定理指出，三角形的三个内角的和总是等于180度。

这个定理是数学中最早的几何定理之一，它不仅在几何学中有重要应用，在其他学科中也有广泛的应用，如物理学和工程学等。

除了内角和定理外，三角形还有很多其他重要的定理和性质。

其中之一是三边定理，也被称为余弦定理。

这个定理用于计算一个三角形的边长，给定一个边长和两个角度的情况下。

它是三角函数中的一个基本公式，广泛应用于导航、测量等领域。

另一个重要的定理是正弦定理。

它是用来计算一个三角形的角度和边长之间的关系。

正弦定理可以帮助我们解决一些实际问题，如三角形的高度、距离等。

在发展过程中，三角形的定理也得到了更深入的研究和推广。

例如，欧拉公式是一个关于多面体的定理，它被用来描述三棱柱、四棱柱等多面体的关系。

这个定理不仅涉及到三角形的各个角和边长的关系，还涉及到其他几何形状的特性。

在实际应用中，三角形的定理和性质有着广泛的应用。

在建筑和工程领域，三角形的定理被用来计算和设计建筑物和结构。

在航海和导航中，人们使用三角形的定理来确定船只和目标之间的距离和方向。

在计算机图形学中，三角形的定理被用来创建和处理图像和动画。

除了定理和应用之外，三角形在数学史上也扮演了重要的角色。

对于古希腊数学家来说，三角形是几何学的基础，他们在三角形的研究中做出了许多重要的贡献。

例如，毕达哥拉斯定理是古希腊数学家提出的一个关于直角三角形的定理，它揭示了直角三角形的边长之间的关系。

总结起来，三角形在数学史中起着重要的地位。