第3讲高斯求和

高斯求和德国著名数学家高斯上小学的时候，一天，数学老师在黑板上写下一个算式：1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =? “这么多数怎么算呀?”孩子们都傻了眼。

不一会儿，小高斯拿着写有答案的小石板走上讲台。

老师一看，顿时惊讶得说不出话来一小高斯的答案竟然完全正确!你知道上面这道题小高斯是采用什么巧妙的方法计算出来的吗?原来，除第一个数外，每一个数与它前面的那个数的差始终等于一个不变的值，因此，两两搭配（1和100，2和99，3和98，…），可以搭配100 ÷ 2 = 50对，并且它们的和都等于101。

也就是说1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100相当于50个101 ，即5050。

用一个算式表示就是：（1 + 100）×（100 ÷ 2）= 5050。

事实上，像1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100这样除第一个数外，每一个数与它前面的那个数的差始终相等的一列数叫等差数列，这个不变的差叫公差，等差数列中的每一个数都叫作这个等差数列的项，其中第一个数叫首项，最后一个数叫末项。

利用配对求和的方法，可以总结出等差数列的以下公式：等差数列的和 =（首项 + 末项）×项数÷ 2等差数列的项数 =（末项–首项）÷公差 + 1首项 = 末项–公差×（项数– 1）末项 = 首项 + 公差×（项数– 1）有了这些公式，很多数学问题解答起来就很方便了。

【例1】计算：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10分析在这个算式中，共有10个数，将和为11的两个数两两配对，可配成5对（如图）。

因此，求这10个数的和可以看成是求5个（1 + 10）的和。

〖即学即练1〗（1）计算：1 + 3 + 5 + … + 17 + 19（2）求50以内所有偶数（包括50）的和。

四年级数学高斯求和讲解德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

四年级数学高斯乞降解说德国出名数学家高斯幼年代明人，上学，有一天老出了一道同学算：1＋2＋3＋ 4＋⋯＋ 99＋100＝？老出完后，全班同学都在埋算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯什么算得又快又准呢？原来小高斯通心察：1＋100＝2＋99＝ 3＋ 98＝⋯＝ 49＋ 52＝50＋ 51。

1～100 正好可以分成的 50 数，每数的和都相等。

于是，小高斯把道巧算（1+100）× 100÷ 2＝ 5050。

小高斯使用的种乞降方法，真是明极了，快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的乞降。

若干个数排成一列称数列，数列中的每一个数称一，其中第一称首，最后一称末。

后与前之差都相等的数列称等差数列，后与前之差称公差。

比方：（1）1，2，3，4，5，⋯， 100；（2）1，3，5，7，9，⋯， 99；（3）8，15， 22，29，36，⋯， 71。

其中（ 1）是首 1，末 100，公差 1 的等差数列；（ 2）是首 1，末 99，公差 2 的等差数列；（ 3）是首 8，末71，公差 7 的等差数列。

由高斯的巧算方法，获取等差数列的乞降公式：和=（首 +末）× 数÷ 2。

例 1 1＋2＋3＋⋯＋ 1999＝？解析与解：串加数 1，2，3，⋯， 1999 是等差数列，首是1，末是1999，共有 1999 个数。

由等差数列乞降公式可得原式 =（1＋1999）× 1999÷ 2＝ 1999000。

注意：利用等差数列乞降公式从前，必然要判断目中的各个加数可否构成等差数列。

例 2 11＋ 12＋13＋⋯＋ 31＝？解析与解：串加数 11，12，13，⋯， 31 是等差数列，首是11，末是 31，共有 31-11 ＋1＝21（）。

原式 =（11+31）× 21÷2=441。

在利用等差数列乞降公式，有数其实不是如数家珍的，就需要先求出数。

依照首、末、公差的关系，可以获取数 =（末 - 首）÷公差 +1，末 =首 +公差×（数 -1 ）。

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高斯求和计算公式介绍【示例范文仅供参考】---------------------------------------------------------------------- 高斯求和公式为：末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差，和=（首项+末项）项数2，即高斯求和公式就是对一个等差数列公差为1时的求和，这个数列的和等于这个数列的首项加上这个数列的末项之和乘以这个数列的项数的积再除以2。

1、高斯求和公式：和=（数列首项+数列末项）项数2，末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差。

用数学表达式表示为假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差，n表示这个等差数列的项数，，则有以下公式：高斯求和公式（即d=1时）有：=（）n=+(n-1)n=（）+1=-n+1【例题】求1+2+3+...+200的值。

1+2+3+...+200=（1+200）200=201002、等差数列求和公式：假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差（d1），n表示这个等差数列的项数，，则有以通用下公式：=+（n-1)dn=+1-(n-1)d=n+n（n-1）d【例题】求10，20，30，40，50，...，1000的和。

解析：从题中可以知道这个数列的公差为10，首先项为10，末项为1000，项数n=（1000-10）10+1=100。

则有=100+100（100-1）10=505003、高斯公式历史来源：高斯全名为约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，是近代数学的奠基人之一，是历史上最重要的数学家之一，号称为“数学王子”。

高斯的数学天赋，早在童年时期就表现出来了，在7岁那年，高斯第一次上学，头两年都平淡而过。

在高斯10岁那年，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班次，当时数学老师布特纳给学生出了一道题即从1加到100的和，老师一出完题，高斯就把正确答案写出来了，不过这好像只是一个美丽的传说。

高斯求和一、知识要点被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。

小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。

数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。

计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】你有好办法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（）练习1：速算。

(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100(3) 21+22+23+24+……+100【例题2】计算。

(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324练习2：计算。

(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188【例题3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？练习3：(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？(2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？(3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。

练习4：计算。

(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19【例题5】计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81练习5：计算。

四年级数学上册高斯求和讲解德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

高斯求和公式原理高斯求和公式，这可是数学世界里的一个神奇小法宝！咱们今天就来好好聊聊它的原理。

话说我之前有一次监考数学考试，发现好多孩子在一道涉及求和的题目上抓耳挠腮。

那时候我就在想，要是他们能真正理解高斯求和公式的原理，或许就不会这么苦恼啦。

先来说说什么是高斯求和公式。

它的表达式是：（首项 + 末项）×项数 ÷ 2 。

这个公式看似简单，但其背后的原理可不简单哦！咱们来举个例子，假设要计算 1 到 100 的所有整数的和。

按照常规的方法，咱们得一个一个加起来，1 + 2 + 3 + 4 +……+ 99 + 100，这得多累啊！但高斯同学就很聪明，他发现了一个巧妙的方法。

他把这 100 个数首尾两两配对相加，1 + 100 = 101，2 + 99 = 101，3 + 98 = 101……以此类推，一直到 50 + 51 = 101 。

这样一共能配成 50 对，每对的和都是 101 。

所以，总和就是 101×50 = 5050 。

这其实就揭示了高斯求和公式的核心原理。

首项和末项相加，得到的和在整个数列中具有一定的代表性。

而项数除以 2 ，就是因为我们把数列两两配对了。

再比如说，计算 1 到 50 的和。

首项是 1 ，末项是 50 ，项数是 50 。

那么根据公式就是（1 + 50）× 50 ÷ 2 = 1275 。

在实际的学习和生活中，高斯求和公式的应用可广泛啦！比如说，咱们要计算一堆整齐摆放的书的总数，如果知道最上面一本书是第一本，最下面一本是最后一本，而且清楚一共有多少层，那就可以轻松用高斯求和公式算出总数。

又比如，统计一段时间内做某项任务的总次数。

假如从第一天开始，到第 n 天结束，每天的次数都有规律，也能借助这个公式迅速得出总数。

总之，高斯求和公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开很多求和问题的大门。

希望同学们在学习数学的过程中，都能像高斯同学那样，多观察、多思考，发现数学中的奇妙之处，让数学变得不再那么可怕，而是充满乐趣和惊喜！回想起那次监考，我真心希望孩子们能早点掌握这些巧妙的方法，不再被数学难题困扰，能够在数学的海洋里畅游，享受探索和发现的快乐！。

四年级数学上册高斯求和讲解德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050.高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51.1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等.于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050.小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题.若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项.后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差.例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列.由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2.例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数.由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000.注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列.例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）.原式=（11+31）×21÷2=441.在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数.根据首项.末项.公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）.例3 3＋7＋11＋…＋99＝？分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275.例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和.解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340.利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题.例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍.问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列.解：（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）.（2）火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）.答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成.例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋ (10)＝2×55＝110（只）.加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.。