高中数学教学课件：直线与方程

(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1 ＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[思路点拨] (1)(2)两问题均可利用斜率间关系 或利用直线方程中系数关系求待定系数．
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[精解详析] (1)法一：由 l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0.
l2：mx＋3y－2＝0.
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4．直线方程的其他形式都可以转化为一般式， 因此在解题时若没有特殊的说明，应把最后的结果化 为直线方程的一般式．
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[例1] 已知三角形的三个顶点A(－4,0)，B(0，－3)， C(－2,1)，求：
(1)BC边所在的直线方程； (2)BC边上中线所在的直线方程． [思路点拨] 已知直线上的两点，可利用两点式求 方程，也可利用两点先求斜率，再利用点斜式写直线方 程．中线方程就是利用A点及BC中点两点写直线方程．
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2．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________． 解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可 得：5y－－22＝x2－ －－ －11，整理 x－y＋3＝0. 答案：x－y＋3＝0
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3．已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点且线段 AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程．
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1．要注意方程yy2－－yy11＝xx2－－xx11和方程(y－y1)(x2－x1)＝ (x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形 式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后 者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．
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2．直线方程的截距式为xa＋by＝1，x 项对应的分母是直 线在 x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在 y 轴上的截距， 中间以“＋”相连，等式的另一端是 1，由方程可以直接读 出直线在两轴上的截距，如：x3－4y＝1，x3＋4y＝－1 就不是 直线的截距式方程．

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5.(多选)下列说法中正确的是
√A.平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝
0(A，B不同时为0)表示
√B.当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点 √C.当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 故要使 l 不经过第二象限，只需－ a－（2≤a＋0，1）≥0， 解得 a≤－1.
∴实数 a 的取值范围为(－∞，－1].
思维升华
由一般式求参数取值范围注意两点： (1)方程中x，y项的系数均不为零. (2)化为斜截式、截距式列出斜率、截距的不等式求解.
k＝－ab＝a，且
3x－y－
3＝0 的倾斜角为 60°，
∴k＝tan 120°＝－ 3，
∴a＝－ 3.故 a＋b＝－ 3－1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
4.已知直线l1的方程是ax－y＋b＝0，直线l2的方程是x＋by－a＝0(ab≠0)，则 下列各图中，正确的是
√
由可直得线l1：l1y的＝方ax程＋是b，axl2－：yy＋＝b－＝b10x，＋直ab.线 l2 的方程是 x＋by－a＝0(ab≠0)， 对于A，l1中的a＞0，b＞0，l2中的a＞0，b＞0，A正确； 对于B，l1中的a＞0，b＞0，l2中的a＞0，b＜0，矛盾，B错误； 对于C，l1中的a＜0，b＞0，l2中的a＞0，b＞0，矛盾，C错误； 对于D，l1中的a＜0，b＞0，l2中的a＜0，b＜0，矛盾，D错误；`

ab
又过点 A,所以 4 + 2 =1
ab
因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以|a|=|b|
由①②联立方程组,解得
a b

6, 6,
或
a b

2, 2.
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 x + y =1,
66
2 2
化简得直线 l 的方程为 x+y=6 或 x-y=2.
1.直线的两点式方程
(1)定义:如图所示,直线 l 经过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2),则方程
y y1 = x x1 叫做直线 l 的两点式方程,简称两点式. y2 y1 x2 x1
解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时,一般选择 直线方程的截距式,若设直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a,b,则直线与坐标
上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.
由直线方程的截距式得直线 l 的方程为 x + y =1,即 x+4y-8=0. 82
由①②可得 5a2-32a+48=0,
解得
a b

4, 3
或
a b

12 5 9. 2
,
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 5x + 2 y =1,即 3x+4y-12=0 或 15x+8y-36=0.
则 (2)说xy 明xy:11与22坐xy22标,. 轴垂直的直线没有两点式方程.
解:由题意可设 A(a,0),B(0,b),
由中点坐标公式可得
a 0
2 2

通性通法
直线方程的一般式的求解策略 (1)当 A≠0 时，方程可化为 x＋BA y＋CA ＝0，只需求BA ，CA 的值； 当 B≠0，方程可化为AB x＋y＋CB ＝0，只需求AB ，CB 的值．因此， 只要给出两个条件，就可以求出直线方程； (2)在求直线方程时，设一般式有时并不简单，常用的还是根据给定 条件选用五种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
2．直线方程的截距式在结构上的特点 (1)直线方程的截距式为ax ＋by ＝1，其中 x 项对应的分母是直线 在 x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在 y 轴上的截距，中间 以“＋”相连，等式的另一端是 1，如2x －3y ＝1 不是直线方程的 截距式；
(2)注意：当直线的斜率不存在或为 0 或直线经过原点时，直线 方程不能用截距式来表示．
跟踪训练
1．已知直线 l 的倾斜角为 60°，在 y 轴上的截距为－4，
则直线 l 方程的点斜式为
；
截距式为
；
斜截式为
；
一般式为
．
跟踪训练
解析：点斜式方程： y＋4＝ 3 (x－0)，
截距式方程： x 43
＋－y4
＝1，
3
斜截式方程： y＝ 3 x－4，一般式方程： 3 x－y－4＝0.
答案：y＋4＝ 3 (x－0) 3 x－y－4＝0
2．*直线方程的点法式 (1)直线的法向量：与直线的方向向量 垂直 的向量称为直线的 法向量； (2)设直线 l 经过点 P(x0，y0)，且它的一个法向量为 n＝(A，B)， 则直线 l 方程的点法式为 A(x－x0)＋B(y－y0)＝0 ．
想一想
1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用直线方程的点法式 表示吗？ 提示：都可以．

的斜
率
为
－
2 3
，即
－
2 3
＝
－22m－＋m1，解得 m＝74.
(2) 若直线分别与 x 轴，y 轴的负半轴交于 A，B 两点，直线 l 方程为 y ＋2＝k(x＋1)，k<0，则点 A2k－1，0，B(0，k－2)，
S△AOB＝12|2k－1|·|k－2|＝122k－1(k－2)＝2＋－2k＋－2k≥2＋2＝4，当且仅 当 k＝－2 时取等号，所以面积的最小值为 4，
(2) 因为kBC＝34，所以kEF＝－34. 又线段BC的中点为－52，2， 所以EF所在直线的方程为y－2＝－34x＋52. 整理，得所求的直线方程为6x＋8y－1＝0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
活动四 直线的综合应用 例5 求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的 方程． 【解析】 在直线 a：2x＋y－4＝0 上取一点 A(2,0)，设点 A 关于直线 l 的对称点 B(x0，y0)，
(1) 求对角线 BD 所在直线的方程； (2) 求 AD 所在直线的方程．
【解析】 (1) 由 A(－1,2)和 C(5,4)，得 kAC＝45－ ＋21＝13，AC 的中点 M(2,3)．因为四边形 ABCD 为菱形，所以 BD⊥AC，且 M(2,3)为 BD 的中点， 所以 kBD＝－3，所以对角线 BD 所在直线的方程为 y－3＝－3(x－2)，即 3x ＋y－9＝0.
(2) 设直线 l 夹在直线 l1，l2 之间的线段为 AB(点 A 在 l1 上，点 B 在 l2 上)，
A，B 的坐标分别设为(x1，y1)，(x2，y2)． 因为 AB 被点 P 平分， 所以 x1＋x2＝－4，y1＋y2＝6， 于是 x2＝－4－x1，y2＝6－y1. 由于点 A 在 l1 上，点 B 在 l2 上， 即2x2x＋1－y2y＋1－32＝＝00，， 则2－x14－－yx11－＋26＝－0y，1＋3＝0，

直线的方程
3．2.1 直线的点斜式方程
预习课本 P92～94，思考并完成以下问题
1．确定直线的几何要素是什么？ 2．直线的点斜式方程是怎样推导的？ 3．直线的点斜式方程与斜截式方程的结构形式分别是什么？ 4．直线的纵截距是怎样定义的？
[新知初探]
1．直线的点斜式方程
(1)定义：如图所示，直线 l 过定点 P(x0， y0)，斜率为 k，则把方程 y－y0＝k(x－x0) 叫做 直线 l 的点斜式方程，简称点斜式．
求直线 l 的点斜式方程． 解：直线 y＝x＋1 的斜率 k＝1，∴倾斜角为 45°. 由题意知，直线 l 的倾斜角为 135°，∴直线 l 的斜率 k′＝tan 135°＝－1. 又点 P(3,4)在直线 l 上，由点斜式方程知，直线 l 的方程为 y －4＝－(x－3)．
2．已知两点 A(－1,2)，B(m,3)，求直线 AB 的点斜式方程． 解：因为 A(－1,2)，B(m,3)， 当 m＝－1 时，直线 AB 的方程为 x＝－1，没有点斜式方程； 当 m≠－1 时，直线 AB 的斜率 k＝m＋1 1， 直线 AB 的点斜式方程为 y－2＝m＋1 1(x＋1).
(2)一条直线与 y 轴的交点(0，b)的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上 的 截距 ．倾斜角是 直角 的直线没有斜截式方程．
[点睛] (1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在． (2)纵截距不是距离，它是直线与 y 轴交点的纵坐标，所以可 取一切实数，即可为正数、负数或零．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
C．y＋2＝x－3
D．y－2＝x＋3
解析：选 A ∵直线 l 的斜率 k＝tan 45°＝1， ∴直线 l 的方程为 y＋3＝x－2.

∴k=±1
新知探究
(Ⅱ)斜截式方程
y
l
P0(0,b) x
设直线经过点P0( 0,b)，其斜率为k，求直线方程. 解：代入点斜式方程，得，
y b k(x 0) y kx b
斜率
截距
说明:(1)当知道斜率和截距时用斜截式. (2)斜率k要存在，纵截距b∈R.
斜截式
新知探究
思考 1.截距b是距离吗？ 不是，是数 2.截距与距离有什么区分？ 截距为实数，可正，可负，可为零，而距离是大于等于零的实数. 3.b的几何意义是什么？ 与y轴交点的纵坐标 4.斜截式方程和点斜式方程的联系： y=kx+b 是 y-y0=k(x-x0)的一种特殊情势
解： =450
k tan = tan 450 1
y 3 1 (x 2)
即：x y 5 0
课堂练习
变式：求经过点D（1,2），且与两坐标轴组成一个等腰直角三角形的直线方程
解：∵直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 直线过点（1，2）代入点斜式方程得
y- 2 = x - 1 或y－２＝－（ｘ－１） 即ｘ－ｙ＋１＝0或ｘ＋ｙ－3＝0
人教版高中数学必修二
第3章 直线与方程
3.2.1直线的点斜式方程
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讲授人： 时间：20XX.6.1
复习回顾
1.倾斜角 的定义及其取值范围; 0°≤α<1800
2.已知直线上两点 p1(x1, y1), p2 (x2 , y2 )(x1 x2 ) ,则直线的斜率为kk， y2 y1
（1）y 3x 2 (2)y 3x (3)x 3y 2
解：（1）k 3,b 2
(2)k 3,b 0

动
探 究
当－1≤k<0时，倾斜角的范围是3π 4 ，π.故选D.
第9页
第9章 第1节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
基
础
知 识
[拓展探究] (1)本例(1)改为：“若直线 l 的方程为 xsin
回 顾
α－ycos
α＋1＝0，其中α∈
－π，0 2
”，则直线
l
的倾斜角
课 时 跟 踪 训
高考总复习·课标版·数学（文）
解法二：由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，
基
础 知
设直线方程为y－2＝k(x－3)，
识
回 顾
令y＝0，得x＝3－2k，令x＝0，得y＝2－3k，
课 时 跟
踪
考
由已知3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，
训 练
点
互 动 探
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，
踪
训
练
考 点 互 动 探 究
第12页
解析
第9章 第1节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学（文）
解析：如图所示，直线l：x＋my＋m＝
基 0过定点A(0，－1)，
础 知 识 回
当m≠0时，kQA＝32，
顾 kPA＝－2，kl＝－m1 .
课 时 跟 踪
考 ∴－m1 ≤－2或－m1 ≥32.解得0<m≤12或－23≤m<0；
点斜 式
过点(x0，y0)，斜率为k
回顾斜ຫໍສະໝຸດ 式斜率为k，纵截距为b两点 过两点(x1，y1)，(x2，
考 式 y2)，(x1≠x2，y1≠y2)

(3)当k 取任意实数时，方程y-y₀=k( x-x₀)表示恒过定点 (x₀,y。)的无数条直线.
趣味数学
无论a 取什么实数，直线y=ax+1-a 恒过定点—
数学运用
例1.直线1过点 P(-2,3), 且倾斜 角α=45% 求直线1的点斜式方程，并画出直线l.
数学运用
变式1:根据下列条件，写出直线的点斜式方程： (1)经过点(3,-1),斜率是J2; y+1=√2(x- 3)
3.2.1直线的点斜式方程
-
新授
1 、 直校 的，式方税 的准得及运用 2、理时升掌混直线的点斜式，料粒式方程的适用范 数学目标 3、培都学生数学能象、直观想象、数学运算三大核心素养
教学重点
良线的点料式、斜疲式方程的推导及运用
教学难点
理解并章报直线的点斜式、斜截式方程的适用范围
教具准备
三角板、实物展台、多媒体
教学过程
教师活动
益及
nn的是a, 的率
2.已
.电容
教 几 何要素 是什么 ?
学生活动
)幅在线的新率是
避构数学一
具题
05
*-2 . 1) 设x, 认 是 直 线/ 上不 同 于 点
ma-A . P 。E 坐 s 示 直 d 1 的
上 间是物关 吗?
一
(
料
平
k
(
四度得 的
任意一点
，程直线/
所有点足
点解式方
1、一个概念 直线的方程
2、两个方程 (1)点斜式方程 (2)斜截式方程
3、三个思想
(1)化归思想 (2)数形结合思想 (3)分类讨论思想
掌握一二三、做题很简单
特殊————一般— —特殊

详细描述
斜截式方程的一般形式为y=kx+b，其中k为该直线的斜率，b为截 距。
求解步骤
根据已知的斜率k和截距b，代入斜截式方程中即可求得直线方程 。
两点式方程的求解
总结词
两点式方程是直线方程的一种形式，它表示了直线上任意一点与两 个已知点之间的位置关系。
详细描述
两点式方程的一般形式为(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上两个已知点。
求直线的截距
1 2
截距定义
直线的截距是指直线与x轴或y轴的交点坐标，反 映了直线在x轴或y轴上的位置。
截距计算
根据已知直线方程，可以分别计算出直线与x轴 和y轴交点的横坐标和纵坐标。
3
截距与直线斜率
截距为0表示直线与y轴平行，截距不为0表示直 线与x轴垂直。
解决相关问题
01
直线方程的应用范围广泛，包括但不限于解决几何问
05
直线方程的转化
点斜式方程与斜截式方程的转化
01
总结词：点斜式方程是直线方程的一种表示形式，它包含 了直线的斜率和通过的一个点。斜截式方程表示直线与y 轴的交点（截距）和直线的斜率。两者可以通过以下步骤 相互转化
02
给出点斜式方程 y - y1 = k(x - x1)
03
斜截式方程 y = kx + b
向量形式
向量方向
直线的方向向量可以表示为$\overrightarrow{v} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，其 中(x1, y1)和(x2, y2)为已知的直线上的两点。
向量法
直线可以表示为$\overrightarrow{P_1P_2} = \lambda\overrightarrow{v}$， 其中$\overrightarrow{P_1P_2}$是从点P1到点P2的向量，$\lambda$为比例系 数。