北京市平谷区高考数学一模试卷(理科)

北京市平谷区2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =【答案】D 【解析】 【分析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]1,1t ∈-则()322g t t t =-，()226g t t '=-，[1t ∈-，1]，则33t -<<时()0g t '>，13t -<<-或13t >>()0g t '<，即()g t 在,33⎛- ⎝⎭上单调递增，在1,⎛- ⎝⎭和⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减；且g =⎝⎭()10g -=，max y g ∴==<⎝⎭，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．2．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516-B ．18932-C ．2164-D ．28358【答案】D 【解析】 【分析】写出二项式的通项公式,再分析x 的系数求解即可.二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为777217731(3)22rr rr r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令721r -=-,得4r =,故1x 项的系数为7444712835(3)28C -⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.3．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e =A ．13BC ．12D 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】设2||BF t =，则12||BF a t =-，||AB a t =+，因为1||AF a =，所以1||||AB AF >．若11||||AF BF =，则2a a t =-，所以a t =， 所以11||||||2A A a BF B F =+=，不符合题意，所以1||||BF AB =，则2a t a t -=+， 所以2a t =，所以1||||3BF AB t ==，1||2AF t =，设12BAF θ∠=，则sin e θ=，在1ABF V 中，易得1cos23θ=，所以2112sin 3θ-=，解得sin 3θ=（负值舍去），所以椭圆Г的离心率e =B ． 4．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】化简得到34z i =--，得到答案.()117i z i +=-，故()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，对应点在第三象限.故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.5．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则221113x y +=，222213x y +=，相减得到22033k +=，解得答案. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线斜率为k ，则221113x y +=，222213x y +=， 相减得到：()()()()1212121203x x x x y y y y -+++-=，AB 的中点为11,3P ⎛⎫⎪⎝⎭， 即22033k +=，故1k =-，直线AB 的方程为：43y x =-+. 故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 6．如果0b a <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．22log log b a < B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33b a >D ．2ab b <【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.∵0b a <<，∴22log log b a >，1122b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33b a <，2ab b <. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.7．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．1【答案】D 【解析】 【分析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi +的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】由题可知()()()()202022131313123211111i i i i i i i z i i i i i i +-+++-=====++++--， 所以z 的虚部是1. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =±C ．2y x =± D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【详解】抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2，又e ＝p ，所以e ca==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b =，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝．【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用． 9．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】C 【解析】 【分析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.10．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元【答案】A 【解析】 【分析】根据 2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10% 得到就医费用8000010%8000⨯=，再根据2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，得到2019年的就医费用，然后由2019年的就医费用占总收人15%，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人25%求解.因为2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10% 所以就医费用8000010%8000⨯=因为2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元， 所以2019年的就医费用12750元， 而2019年的就医费用占总收人15%所以2019年的家庭总收人为127501585000÷%= 而储畜费用占总收人25%所以储畜费用：850002521250⨯%= 故选：A 【点睛】本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.11．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A 【解析】 【分析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =， 方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ，所以，阴影部分区域的面积为()1232100111233S x x dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A. 【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.12．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x≤2}【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集. 【详解】∵集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥=+{x ∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故选：A ． 【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年北京市平谷区高考数学零模试卷（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知集合M={x|x2﹣x≤0，x∈Z}，N={x|x=2n，n∈N}，则M∩N 为（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=x2+1 B．y=|lgx|C．y=cosx D．y=e x﹣13．已知实数x、y满足：，则z=2x﹣y的最大值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣34．已知a，b是两条不同的直线，α是平面，且b⊂α，那么“a∥α”是“a∥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A．9 B．16 C．25 D．276．若将函数的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A． B．C．D．7．已知点M（0，）及抛物线y2=4x上一动点N（x，y），则x+|MN|的最小值为（）A．B．C．3 D．48．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了5次涨停（每次上涨10%），又经历了5次跌停（每次下跌10%），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．设i是虚数单位，则复数等于．10．在极坐标系中，设曲线ρ=﹣2sinθ和直线ρsinθ=﹣1交于A、B两点，则|AB|=．11．已知数列{a n}是递增的等比数列，a2+a4=10，a1．a5=16，则数列{a n}的前6项和等于．12．在平面直角坐标系xOy中，若方程﹣=1表示双曲线，则实数m的范围；若此双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为．13．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，如果DF=2FC，那么的值是．14．已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x．（i）当a=2时，满足不等式f（x）＞0的x的取值范围为；（ii）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．16．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（Ⅰ）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；（Ⅱ）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X，求随机变量X的分布列；（Ⅲ）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小．（只需写出结论）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，PD ⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中点．（Ⅰ）求证：直线AM∥平面PNC；（Ⅱ）求证：直线CD⊥平面PDE；（III）在AB上是否存在一点G，使得二面角G﹣PD﹣A的大小为，若存在，确定G的位置，若不存在，说明理由．18．已知函数．（Ⅰ）如果f（x）在x=0处取得极值，求k的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（III）当k=0时，过点A（0，t）存在函数曲线f（x）的切线，求t 的取值范围．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆C上一动点，点A（3，0）与点P的垂直平分线交y轴于点B，求|OB|的最小值．20．对于数列A：a1，a2，…，a n，若满足a i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0﹣1数列”．若存在一个正整数k（2≤k≤n﹣1），若数列{a n}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{a n}是“k阶可重复数列”，例如数列A：0，1，1，0，1，1，0．因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{a n}是“4阶可重复数列”．（Ⅰ）分别判断下列数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；（III）假设数列A不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项a m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{a n}的最后一项a m的值．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知集合M={x|x2﹣x≤0，x∈Z}，N={x|x=2n，n∈N}，则M∩N 为（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中的元素，求出M、N的交集即可．【解答】解：M={x|x2﹣x≤0，x∈Z}={0，1}，N={x|x=2n，n∈N}，则M∩N={0}，故选：A．2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=x2+1 B．y=|lgx|C．y=cosx D．y=e x﹣1【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【分析】先判定函数的奇偶性、再确定函数是否存在零点．【解答】解：对于A，函数是偶函数，不存在零点，不正确；对于B，函数不是偶函数，不正确；对于C，既是偶函数又存在零点，正确；对于D，函数不是偶函数，不正确．故选C．3．已知实数x、y满足：，则z=2x﹣y的最大值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A（1，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故选：A．4．已知a，b是两条不同的直线，α是平面，且b⊂α，那么“a∥α”是“a∥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线面平行的判定定理以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由a∥α推不出a∥b，由a∥b也推不出a∥α，如a在α内，故a∥α”是“a∥b”既不充分也不必要条件，故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A．9 B．16 C．25 D．27【考点】程序框图．【分析】按照程序的流程，写出前几次循环的结果，并同时判断各个结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1执行循环体，S=1，i=3不满足条件i＞7，执行循环体，S=4，i=5不满足条件i＞7，执行循环体，S=9，i=7不满足条件i＞7，执行循环体，S=16，i=9满足条件i＞7，退出循环，输出S的值为16．故选：B．6．若将函数的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A． B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，求得φ的最小正值．【解答】解：把函数的图象向右平移φ个单位，可得y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x﹣2φ+）的图象，由于所得图象关于y轴对称，故有﹣2φ+=kπ+，k∈Z，即φ=﹣﹣，则φ的最小正值为，故选：A．7．已知点M（0，）及抛物线y2=4x上一动点N（x，y），则x+|MN|的最小值为（）A．B．C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，x+|MN|=丨NF丨+|MN|﹣1≥丨MF丨﹣1，当且M，N，F三点共线时，取最小值．【解答】解：由抛物线y2=4x焦点坐标F（1，0），准线方程x=﹣1，设N到准线的距离d，则x+|MN|=d﹣1+|MN|=丨NF丨+|MN|﹣1≥丨MF丨﹣1=﹣1=3，当且M，N，F三点共线时，取最小值，x+|MN|的最小值3，故选C．8．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了5次涨停（每次上涨10%），又经历了5次跌停（每次下跌10%），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况【考点】函数的值．【分析】由题意设股民购进某只股票价值为1个单位，根据题意列出解析式化简后比较即可．【解答】解：由题意设股民购进某只股票价值为1个单位，则最后为：y=（1+10%）5（1﹣10%）5=0.995＜1．所以该股民这只股票的盈亏情况是略有亏损．故选：B．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．设i是虚数单位，则复数等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．故答案为：．10．在极坐标系中，设曲线ρ=﹣2sinθ和直线ρsinθ=﹣1交于A、B两点，则|AB|=2．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】化为直角坐标方程，即可得出．【解答】解：曲线ρ=﹣2sinθ即ρ2=﹣2ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=﹣2y．直线ρsinθ=﹣1，化为直角坐标方程：y=﹣1，代入圆的方程可得：x2=1，解得x=±1．设A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1）．则|AB|=2．故答案为：2．11．已知数列{a n}是递增的等比数列，a2+a4=10，a1．a5=16，则数列{a n}的前6项和等于63．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意，对于数列{a n}，设其首项为a1，公比为q，结合题意可得，解可得等比数列的首项与公比，由等比数列前n项和公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于数列{a n}，设其首项为a1，公比为q，又由a2+a4=10，a1．a5=16，又{a n}是递增数列，则有，解可得a1=1，q=2，则其前6项和S6==63；故答案为：63．12．在平面直角坐标系xOy中，若方程﹣=1表示双曲线，则实数m的范围m＞0；若此双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义即可判断，再根据离心率和a，b的关系，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：方程﹣=1表示双曲线，∴m＞0，∵e==∴e2=1+，∴=2，∴=，∴y=±x，故答案为：m＞0，13．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，如果DF=2FC，那么的值是9．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建系，利用向量的坐标形式计算即可．利用向量的坐标形式计算即可．【解答】9；解：以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建系如图，∵AB=3，AD=3，∴A（0，0），B（3，0），C（3，3），D（0，3），∵点E为BC的中点，∴E（3，），∵点F在边CD上，且DF=2FC，∴F（2，3），∴=（2，3），=（0，），∴=2×0+3×=9，故答案为：9．14．已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x．（i）当a=2时，满足不等式f（x）＞0的x的取值范围为（﹣∞，）∪（1，+∞）；（ii）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1] ．【考点】分段函数的应用．【分析】（i）化为分段函数，再解不等式即可，（ii）①）当a≥1②当0＜a＜1③当a≤0三种情况，画出f（x）=|ax ﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象，利用图象确定有无交点．【解答】解：（i）当a=2时，f（x）=|2x﹣1|﹣x=，∵f（x）＞0，∴或，解得x＞1或x＜，故不等式f（x）＞0的x的取值范围为（﹣∞，）∪（1，+∞）（ii）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：.，三、解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知的式子，由条件求出c的值；（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程，化简后求出b的值，由平方关系求出sinC的值，代入三角形的面积公式求出答案．【解答】解：（Ⅰ）因为a=，，所以由正弦定理得c=a=4…（Ⅱ）因为c=4，，所以由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，则化简，b2﹣2b﹣8=0，解得b=4或b=﹣2（舍去），由得，，所以△ABC面积…16．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（Ⅰ）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；（Ⅱ）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X，求随机变量X的分布列；（Ⅲ）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小．（只需写出结论）【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（Ⅱ）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；（Ⅲ）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由折线图可得12名男生中有8名每天学习不足4小时，8名女生中有4名每天学习不足4小时，即20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，每天学习不足4小时的人数为：人．（Ⅱ）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．由题意可得；；；；．所以随机变量X的分布列为随机变量X的均值．（Ⅲ）根据题意，对于男生，学习时间1小时的有1人，学习时间2小时的有4人，学习时间3小时的有3人，学习时间4小时的有2人，学习时间5小时的有2人，其平均数=（1×1+2×4+3×3+4×2+5×2）=3，其方差= [（1﹣3）2+4×（2﹣3）2+3×（3﹣3）2+2×（4﹣3）2+2×（5﹣3）2]=1.5；对于女生，学习时间2小时的有1人，学习时间3小时的有3人，学习时间4小时的有3人，学习时间5小时的有1人，其平均数=（1×2+3×3+4×3+5×1）=3.5，其方差= [（2﹣3.5）2+3×（3﹣3.5）2+3×（4﹣3.5）2+（5﹣3.5）2]=0.75；比较可得．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，PD ⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中点．（Ⅰ）求证：直线AM∥平面PNC；（Ⅱ）求证：直线CD⊥平面PDE；（III）在AB上是否存在一点G，使得二面角G﹣PD﹣A的大小为，若存在，确定G的位置，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，结合已知可得MF∥DC，MF=，AN∥DC，AN=．从而可得MFNA 为平行四边形，即AM∥NA．再由线面平行的判定可得直线AM∥平面PNC；（Ⅱ）由E是AB中点，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，得∠AED=90°．进一步得到CD⊥DE．再由PD⊥平面ABCD得CD⊥PD．由线面垂直的判定可得直线CD⊥平面PDE；（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系．然后利用平面法向量所成角的余弦值求得G点位置．【解答】证明：（Ⅰ）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，∵PM=2MD，AN=2NB，∴MF∥DC，MF=，AN∥DC，AN=．∴MF∥AN，MF=AN，∴MFNA为平行四边形，即AM∥NA．又AM⊄平面PNC，∴直线AM∥平面PNC；（Ⅱ）∵E是AB中点，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠AED=90°．∵AB∥CD，∴∠EDC=90°，即CD⊥DE．又PD⊥平面ABCD，∴CD⊥PD．又DE∩PD=D，∴直线CD⊥平面PDE；解：（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D为原点，如图建立空间直角坐标系．则．设面PDA的法向量，由，得．设面PDG的法向量，由，得．∴cos60°=．解得，则．∴G与B重合．点B的位置为所求．18．已知函数．（Ⅰ）如果f（x）在x=0处取得极值，求k的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（III）当k=0时，过点A（0，t）存在函数曲线f（x）的切线，求t 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数和极值的关系即可求出k的值，（Ⅱ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间，（Ⅲ）切点坐标为（x0，y0），根据导数的几何意义，以及导数和最值得关系即可求出．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，∴∵函数f（x）在x=0处取得极值∴，解得：k=0当k=0时，，，∴函数f（x）在x=0处取得极小值，符合题意．（Ⅱ）因为．①当k≥1时，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（﹣∞，+∞）为减函数②当k＜1时，令f'（x）=0，则x=﹣ln（1﹣k），当x∈（﹣∞，﹣ln（1﹣k））时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣ln （1﹣k））上单调递减；当x∈（﹣ln（1﹣k），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣ln（1﹣k），+∞）上单调递增；（III）设切点坐标为（x0，y0），则切线方程为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0）即将A（0，t）代入得．令，所以．当时，x0=0．所以当x∈（﹣∞，0）时，M'（x）＞0，函数M（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）时，M'（x）＜0，M（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．所以当x0=0时，M（x）max=M（0）=1，无最小值．当t≤1时，存在切线．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆C上一动点，点A（3，0）与点P的垂直平分线交y轴于点B，求|OB|的最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）离心率为，可得，故，椭圆C为，把点代入椭圆方程，解出即可得出．（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设点P（x0，y0）（y0≠0），利用中点坐标公式可得：线段AP的中点D坐标，由点A（3，0）关于直线l的对称点为P，得直线l⊥AP，可得直线l的斜率为﹣=，利用直线l的方程可得B，又=1，得=6﹣3，可得|OB|，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）离心率为，∴，故，椭圆C为，把点代入得a2=6，b2=2，所以椭圆C的方程为=1．…（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设点P（x0，y0）（y0≠0），则线段AP的中点D的坐标为，且直线AP的斜率k AP=，…由点A（3，0）关于直线l的对称点为P，得直线l⊥AP，故直线l的斜率为﹣=，且过点D，所以直线l的方程为：=，…令x=0，得y=，则B，由=1，得=6﹣3，化简，得B．…|+≥2=．…所以|OB|==|y当且仅当|y0|=，即y0=∈时等号成立．所以|OB|的最小值为．…20．对于数列A：a1，a2，…，a n，若满足a i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0﹣1数列”．若存在一个正整数k（2≤k≤n﹣1），若数列{a n}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{a n}是“k阶可重复数列”，例如数列A：0，1，1，0，1，1，0．因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{a n}是“4阶可重复数列”．（Ⅰ）分别判断下列数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；（III）假设数列A不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项a m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{a n}的最后一项a m的值．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）是“5阶可重复数列”．（Ⅱ）因为数列{a n}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．分类讨论：若m=11，则数列{a n}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{a n}一定是“3阶可重复数列”；则3≤m＜10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{a n}．（III）由于数列{a n}在其最后一项a m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{a n}的末项a m后再添加一项0或1，则存在i≠j，使得a i，a i+1，a i+2，a i+3，a i+4与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m，0按次序对应相等，或a j，a j+1，a j+2，a j+3，a j+4与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m，1按次序对应相等，经过分析可得：a m=a4．【解答】解：（Ⅰ）是“5阶可重复数列”，10101．…．（Ⅱ）因为数列{a n}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．若m=11，则数列{a n}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{a n}一定是“3阶可重复数列”；若m=10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”；则3≤m＜10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{a n}．所以，要使数列{a n}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11．…．（III）由于数列{a n}在其最后一项a m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{a n}的末项a m后再添加一项0或1，则存在i≠j，使得a i，a i+1，a i+2，a i+3，a i+4与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m，0按次序对应相等，或a j，a j+1，a j+2，a j+3，a j+4与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m，1按次序对应相等，如果a1，a2，a3，a4与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m不能按次序对应相等，那么必有2≤i，j≤m﹣4，i≠j，使得a i，a i+1，a i+2，a i+3、a j，a j+1，a j+2，a j+3与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m按次序对应相等．此时考虑a i﹣1，a j﹣1和a m﹣4，其中必有两个相同，这就导致数列{a n}中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{a n}是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{a n}不是“5阶可重复数列”矛盾！所以a1，a2，a3，a4与a m﹣3，a m﹣2，a m﹣1，a m按次序对应相等，从而a m=a4=1．…．。

2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。

2B。

√2C。

1D。

2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。

(2.-7)B。

(3.1)C。

(1.5)D。

(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。

5anB。

6anC。

7anD。

14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。

则函数g(x)的一个增区间是（）A。

(π/4.3π/4)B。

(3π/4.5π/4)C。

(5π/4.7π/4)D。

(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。

a>b+1B。

a>b-1C。

a^2>b^2D。

a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。

①④B。

②③C。

②④D。

①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。

6B。

8C。

10D。

128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。

336B。

510C。

1326D。

3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。

答案：1010.已知向量a=(1.b)。

b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。

2020年北京市平谷区高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题共10题，每题4分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。

1.（4 分）已知集合A { 1, 0, 1} ,B {x|x 2 1}，则 A U B （）A . { 1 , 1}B . { 1 , 0, 1}C . {x| 1 剟x 1}D . {x|x, 1}2.（ 4分）若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）3. （4分）在下列函数中，值域为 R 的偶函数是（）A . sin(2） B . cos( ) 2 C . sin( )D . cos( )B . f (x) ln|x|C . f (x)2xD . f (x) xcosx4. （ 4分）若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且％0 , a s a 4 21，则S 7的值为（A . 21B . 6313D . 84(4分) 若抛物线2px （p 0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（(4分) 已知x ,R ，且 x y1-0 yC . (1)x (2)ycosx cosy（4分）某三棱锥的三视图如图所示,ln(x y)则该三棱锥的体积为 侧视團A . 312. (5 分)在 ABC 中， A - 4a 2b 22c ab , c 3，则13. （5分）如图，矩形 ABCD 中, AB 2 , BC 1 , O 为AB 的中点•当点P 在BC 边上&（4分）对于向量a , b ，“⑸ia bi ”是“ ibi 0”的（）D .既不充分也不必要条件9. （ 4分）溶液酸碱度是通过 pH 计算的，pH 的计算公式为pH lg ［H ］，其中［H ］表示/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5 10 2摩尔/升,11. （5分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为 的复数分别是 乙,z 2，则叟乙A .充分不必要条件B •必要不充分条件C •充要条件溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔则胃酸的pH 是（参考数据：lg20.3010)( )A . 1.398B . 1.204C . 1.602D . 2.60210. （4分）如图，点O 为坐标原点, 点A(1,1),若函数y a x (a0,a 1)及 log b x(b0,b 1)的图象与线段OA 分别交于点,N ，且M , N 恰好是线段OA 的两个三等分点,C . b a 1二、填空题共5题，每题5分, 25分。