线性代数与几何试题集合一、填空题(每小题4分,共16分)(1). 若矩阵021032500⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则det(2)*AA =.(2). 已知(1,2,2)T =-α,则迹tr()T αα=.(3). 若向量组123(0,1,),(,1,0),(0,,1)TTTλλλ===ααα线性相关,则λ=.(4). 设矩阵1000131aa ⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎝⎭A =为正定矩阵，则a 的取值范围 是.二、单项选择题(每小题4分,共16分) (1). 设B C =A ，则必有(A) ()()()r A B r A r B +≥+. (B) ()()()r A r B r C +=.(C) ()()r C r A ≤. (D) ()()r B r C ≤. 【】 (2). 直线1112:011x y z L -+-==和直线21:3x y L z +=⎧⎨=⎩(A) 重合. (B) 相交. (C) 平行. (D) 异面. 【】(3). 0Ax =只有零解的充分必要条件是(A) A 的列向量线性相关; (B)A 的行向量线性相关;(C)A 是行满秩的; (D)A 是列满秩的; 【】(4).设矩阵*111023002A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -＝(A) *12A . (B)12A . (C) 14A . (D) *14A . 【】三、(12分) 写出以(0,0,0)为顶点，222211x y z x y z ⎧++=⎨+=+⎩为准线的锥面方程。
并指出其在平面2z =上的投影曲线的名称。
四、(12分),a b 取何值时,线性方程组123412201101110011121x a x x a b x a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.五、(12分). 设二次型()f =T x x Bx ，其中202220022B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1) 写出二次型()f =T x x Ax 的矩阵A ;(2) 求一个正交矩阵P ，使AP P 1-成对角矩阵;(3) 求一个合同矩阵C ，写出f 在线性变换=x Cy 下的规范形.六、 (12分) 向量组1(3,4,2,3)β=，2(4,2,6,3)β=,能否由向量组1(2,2,2,1)α=，2(1,0,2,1)α=，3(1,2,0,1)α=线性表示。
弟1页/（共4页） 弟2页/（共4页）吉林大学2014学年期末《线性代数与解析几何》考试（考试时间90分钟，满分100分）一、单项选择题(每小题5分,共15分)(1).设A 为三阶方阵,将A 的第2行加到第1行得矩阵B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得矩阵C ，记矩阵110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则(A) 1C P AP -=. (B) 1C PAP -=. (C) T C P AP =. (D) T C PAP =. 【 】 (2). 设有线性方程组(I) :AX O =， (II):T A AX O =,则 (A) (II)的解是(I)的解，(I)的解也是(II)的解; (B) (II)的解是(I)的解，但(I)的解不是(II)的解; (C) (I)的解不是(II)的解，(II)的解也不是(I)的解;(D) (I)的解是(II)的解，但(II)的解不是(I)的解;. 【 】 (3) 若n 阶方阵A 相似于对角阵，则(A) A 有n 个不同的特征值; (B) A 为实对称阵;(C) A 有n 个线性无关的特征向量; (D) n r =)(A . 【 】 二、填空题(每小题5分,共15分)(1). 设2λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .(2). 矩阵2010B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则二次型()Tf x x Bx =的矩阵为 .(3).已知123,,ηηη是四元方程组AX b =的三个解，其中()3r A =且1223(1,2,3,4),(4,4,4,4)T T ηηηη+=+=，则方程组AX b =的通解为三、(12分) 证明两直线1:4l x y z ==-,2:l x y z -==异面；求两直线间的距离；并求与12,l l 都垂直且相交的直线方程。
四、(12分)线性方程组123113112112x x x λλλλ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦讨论λ取何值时，该方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.五、(12分). 已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可经过正交变换'''x x y P y z z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦化为柱面方程22'4'4y z +=，求,a b 的值及正交矩阵P.六、(12分) 设101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,矩阵X 满足2AX I A X +=+，其中I 为三阶单位矩阵，求矩阵X .七、(12分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1) 矩阵1123130101111432A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥---⎣⎦，线性空间{}4|V b b F Ax =∈，方程组=b 有解求V 的基与维数. (2) 设()3T L R ∈,T在3R 的基123(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα=-=-=下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求T 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T T βββ===下的矩阵.八、(10分)设12,,,n ααα是n 维列向量组，矩阵111212122212T T T n T T T n T T T n n n n A αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦试证明12,,,n ααα线性无关的充要条件是对任意n 维列向量b ，方程组AX b =均有解。
线性代数与几何答案华南理工大【篇一：华南理工大学线性代数与解析几何试卷(14)】s=txt>华南理工大学期末考试《线性代数－2007》试卷a注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：开（闭）卷；一、单项选择题（每小题2分，共30分）。
1．设矩阵a1 2??3 4??, b1 23??456??, c??14?25，则下列矩阵运算无意义的是【】36??a. bacb. abcc. bcad. cab2.设n阶方阵a满足a2–e =0，其中e是n阶单位矩阵，则必有【】a. a=a-1b. a=-ec. a=ed. det(a)=13.设a为3阶方阵，且行列式det(a)=?12,则a*【】 a. ?14b. 14c. ?1d. 1 4.设a为n阶方阵，且行列式det(a)=0，则在a的行向量组中【】a.必存在一个行向量为零向量b.必存在两个行向量，其对应分量成比例c. 存在一个行向量，它是其它n-1个行向量的线性组合d. 任意一个行向量都是其它n-1个行向量的线性组合5．设向量组a1,a2,a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】 a．a1?a2,a2?a3,a3?a1 b. a1,a2,2a1?3a2 c. a2,2a3,2a2?a3 d.a1,a2,a1?a36.向量组(i): a1,?,am(m?3)线性无关的充分必要条件是【】a.(i)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出b.(i)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 c.(i)中任意两个向量线性无关d.存在不全为零的常数k1,?,km,使k1a1kmam?0【】a．a的行向量组线性相关 b. a的列向量组线性相关 c. a的行向量组线性无关 d. a的列向量组线性无关a1x1a2x2a3x308.设ai、bi均为非零常数（i=1，2，3），且齐次线性方程组?bx?bx?bx?02233?11的基础解系含2个解向量，则必有【】a.a1a2b2b30 b.a1a2b1b20 c.a1a3a1a2a30 d.b1b2b1b2b3【】9.方程组?x?2x?x?1 有解的充分必要的条件是1233 x3x2xa123?2x1x2x31a. a=-3b. a=-2c. a=3d. a=2【】a. 方程组有无穷多解b. 方程组可能无解，也可能有无穷多解c. 方程组有唯一解或无穷多解d. 方程组无解12. n阶方阵a相似于对角矩阵的充分必要条件是a有n个【】a.互不相同的特征值b.互不相同的特征向量c.线性无关的特征向量d.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间rn的子空间的是【】a. {(a1,a2,?,an)|a1a2?0}b. {(a1,a2,?,an)|c. {(a1,a2,?,an)|a1?1}d. {(a1,a2,?,ana)|?an1i?nii0} 1}14.【】1001?1 2a. 011b. ?5?2-10 1 -1c. ?1 -11 0d.0 -10 -11 0 015.若矩阵a?0 2 a正定,则实数a的取值范围是【】 0 a 8?? a．a 8b. a＞4c．a＜-4 d．-4 ＜a＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
综合练习100题一、填空题1．设A 是n 阶矩阵，满足,||0'=<AA E A ，则||+=A E 0. 2．若4阶行列式D 的某一行的所有元素及其余子式都相等，则D =0.3．在一个n 阶行列式中，如果等于零的元素多于2n n -个，那么这个行列式D =0. 4．设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，若m n >，则||=AB 0. 5．若n 阶方阵,A B 满足,||0=-≠AB B A E ，则=B 0. 6．若n 阶方阵,A B 满足+=A AB E ，则+=A BA E . 7．若n 阶方阵,,A B C 满足=ABC E ，则'''=B A C E . 8．若、A B 都是n 阶方阵，||1,||3==-A B ，则*1|3|-=A B13n --.9．若n 阶方阵A 满足*||0.=≠0A A ，则秩()=A 1n -. 10．设,A B 是两个n 阶方阵，||1,||2+=-=A B A B ，则=A B BA2 .11．设矩阵111022003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*1()-=A 111666110331002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 12．A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，||,||a b ==A B ，则C=0AB (1)mn ab -.13．设矩阵A 满足24+-=0A A E ，其中E 为单位矩阵，则1()--=A E 1(2)2+A E .14．设A 为3阶方阵，其特征值为3,1,2-，则2||+=A E 100.15．已知11000101100100110100*********a -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则4,4,()5,4.a R a =-⎧=⎨≠-⎩当时当时A16．已知n 阶方阵A 的各行元素之和都等于0，且()1n =-R A ，则=0AX 的通解为(1,1,,1),k k '为任意常数.17．矩阵m n ⨯A 满足,m n <||0'≠AA ，则=0AX 的基础解系一定由n m -个线性无关的解向量构成.18．若矩阵A 满足3=A A ，则A 的特征值只能是0或1或1-.19．如果(1,1,1)'=-ξ是方阵2125312a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量，则a =3-；b =0.20．已知A 与B 相似，且3021⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，则2||λ-=A A 3(1)(31)λλ--.21．已知33⨯A 的特征值为1,2,3，则1*||-+=A A 376.22．已知2是A 的一个特征值，则2|6|+-=A A E 0.23．设,αβ是n 维列向量，0'=βα，则'αβ的特征值为0()n 重. 24．若n 阶方阵A 的行向量组线性相关，则0一定是A 的一个特征值. 25．直线1022270x y x x y z +-=⎧⎨+-=⎩的单位方向向量为. 26．已知2768444424798188D =，41424344,,,A A A A 为D 中第4行元素的代数余子式，则41424344+++=A A A A 0.27．设A 是3阶方阵，X 是3维列向量，使得2,,X AX A X 线性无关，且3232=-A X AX A X ，记2(,,)=P X AX A X ，则1-=P AP 000103012⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭.28．若两个非零几何向量,a b 满足||||a b a b +=-，则a 与b 是夹角θ=2π.29．直线260:210x y z L x y z +--=⎧⎨-+-=⎩的参数方程为8,5113,55.x t y t z t ⎧=-⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩30．圆22212462402210x y z x y z x y z ⎧++-+-+=⎨+++=⎩的半径R =3.二、选择题1．设n 元齐次线性方程组=0AX 的系数矩阵A 的秩为r ，则=0AX 有非零解的充要条件是（C ）.（A ）r n =； （B ）A 的行向量组线性无关； （C ）A 的列向量组线性相关； （D ）A 的列向量组线性无关.2．设A 是m n ⨯矩阵，=0AX 是非齐次线性方程组=AX β所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（C ）.（A ）若=0AX 只有零解，则=AX β有唯一解； （B ）若=0AX 有非零解，则=AX β有无穷多解； （C ）若=AX β有无穷多解，则=0AX 有非零解； （D ）=AX β的任两解之和还是=AX β的解.3．设非齐次线性方程组=AX β的系数行列式为零，则（C ）. （A ）方程组有无穷多解； （B ）方程组无解； （C ）若方程组有解，则有无穷多解； （D ）方程组有唯一解.4．设A 是m n ⨯矩阵，对于线性方程组=AX β，下列结论正确的是（A ）. （A ）若A 的秩等于m ，则方程组有解； （B ）若A 的秩小于n ，则方程组有无穷多解； （C ）若A 的秩等于n ，则方程组有唯一解； （D ）若m n >，则方程组无解.5．设5阶方阵A 的秩是3，则其伴随矩阵*A 的秩为（C ）. （A ）3； （B ）4； （C ）0； （D ）2.6．设A 是n 阶方阵，*2,n >A 是A 的伴随矩阵，则下列结论正确的是（B ）.（A ）*||=AA A ； （B ）若||0≠A ，则*||0≠A ； （C ）**1||=A A A ； （D ）秩()=A 秩*()A . 7．设,AB 是n 阶方阵，A 非零，且=AB 0，则必有（D ）.（A ）=0B ； （B ）=0BA ； （C ）222()+=+A B A B ； （D ）||0=B . 8．设有两个平面方程 11111:0a x b y c z d π+++=，22222:0a x b y c y d π+++=，如果 秩1112222a b c a b c ⎛⎫=⎪⎝⎭，则一定有（D ） （A ）1π与2π平行； （B ）1π与2π垂直； （C ）1π与2π重合； （D ）1π与2π相交.9．设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随阵*A 的特征根之一是（D ）. （A ）1n λ-； （B ）||λA ； （C ）λ； （D ）1||λ-A .10．n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（B ）. （A ）充分必要条件； （B ）充分而非必要条件； （C ）必要而非充分条件； （D ）既非充分条件也非必要条件. 11．已知n 阶方阵A 与某对角阵相似，则（C ）.（A ）A 有n 个不同的特征值； （B ）A 一定是n 阶实对称阵；（C ）A 有n 个线性无关的特征向量； （D ）A 的属于不同特征值的特征向量正交. 12．下列说法正确的是（D ）. （A ）若有全不为0的数12,,,m k k k 使11m m k k ++=0αα，则向量组12,,,mααα线性无关；（B ）若有一组不全为0的数12,,,m k k k 使得1122m m k k k +++≠0ααα，则向量组12,,,m ααα线性无关；（C ）若存在一组数12,,,m k k k 使1122m m k k k +++=0ααα，则向量组12,,,m ααα线性相关；（D ）任意4个3维几何向量一定线性相关.13．设,A B 是n 阶方阵，满足：对任意12(,,,)n x x x '=X 都有''X AX =X BX ，下列结论中正确的是（D ）.（A ）若秩()=A 秩()B ，则=A B ； （B ）若'=A A ，则'=B B ；（C ）若'=B B ，则=A B ； （D ）若,''==A A B B ，则=A B . 14．设,A B 均为n 阶正定矩阵，则必有（B ）.（A ）AB 正定； （B ）2+A B 正定； （C ）-A B 正定； （D ）k A 正定. 15．设A 是n 阶方阵，2=A E ，则（C ）.（A ）A 为正定矩阵；（B ）A 为正交矩阵；（C ）*2()=A E ；（D ）2tr()n =A . 16．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（D ）. （A ）若,A B 都可逆，则'A B 也可逆；（B ）若,A B 都是实对称正定矩阵，则1-+A B 也是实对称正定矩阵； （C ）若,A B 都是正交矩阵，则AB 也是正交矩阵； （D ）若,A B 都是实对称矩阵，则AB 是实对称矩阵. 17．设,A B 是n 阶方阵，下列结论中错误的是（B ）. （A ）若A 经列的初等变换化成B ，则秩()=A 秩()B ； （B ）若A 经行的初等变换化成B ，则11--=A B ；（C ）若A 经行的初等变换化成B ，则=0AX 与=0BX 同解；（D ）若A 经列的初等变换化成B ，则A 的列向量组与B 的列向量组等价.18．设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭A B 12010100100010001101⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P ，则必有（C ）.（A ）12=AP P B ；（B ）21=AP P B ；（C ）12=P P A B ；（D ）21=P P A B .19．若A 与B 相似，则（B ）.（A ）λλ-=-E A E B ；（B ）||||λλ+=+E A E B ；（C ）**=A B ；（D ）11--=A B .20．若2=A E ，则（D ）.（A ）+A E 可逆； （B ）-A E 可逆；（C ）+=0A E 或-=A E 0； （D ）≠A E 时，+A E 不可逆.21．设1111111111111111⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，4000000000000000⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭B ，则A 与B （A ）.（A ）合同且相似； （B ）合同但不相似； （C ）不合同但相似； （D ）不合同且不相似.22．实二次型f '=X AX 为正定二次型的充要条件是（C ）. （A ）f 的负惯性指数是0； （B ）存在正交阵P 使'=A P P ； （C ）存在可逆阵T 使'=A T T ； （D ）存在矩阵B 使'=A B B . 23．设B 是m n ⨯实矩阵，'=A B B ，则下列结论中错误的是（D ）. （A ）线性方程组=0BX 只有零解⇔A 正定；（B ）()()R R =A B ； （C ）A 的特征值大于等于0； （D ）()R m =⇔B A 正定. 24．设A 是n 阶方阵，||0a =≠A ，则*1||-A A 等于（C ）. （A ）a ； （B ）1a； （C ）2n a -； （D ）na . 25．设,A B 是n 阶方阵，则必有（D ）. （A ）11||||||--+=+A BA B ； （B ）111||---+=+A B B A ;（C ）222()=AB A B ； （D ）||||'=A B BA .26．已知12,ηη是非齐次线性方程组=AX β的两个不同的解，12,ξξ是对应的齐次线性方程组=0AX 的基础解系，12,k k 为任意常数，则方程组=AX β的通解为（B ）. （A ）1211222k k -++ηηξξ； （B ）1211212()2k k ++++ηηξξξ；（C ）112121()k k +-+ξηηη； （D ）1121212()()k k +-++ξηηηη.27．设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为（C ）. （A ）6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π.28．若12312,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式1231||,m =αααβ 1223||n =ααβα，则4阶行列式12312||+αααββ等于（D ）.（A ）m n +； （B ）()m n -+； （C ）m n -； （D ）n m -. 29．设n 阶矩阵A 非奇异(2)n >，则（C ）. （A ）**1()||n -=A A A ； （B ）**1()||n +=A A A ； （C ）**2()||n -=A A A ； （D ）**2()||n +=A A A .30．设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩是3，则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---（A ）.（A ）相交于一点； （B ）重合； （C ）平行但不重合； （D ）异面.三、计算题1．设1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，求5A 及10||A . 解：由311111111||(4)11111111λλλλλλλ+---+--==+-+---+E A故A 的特征值为12340,4λλλλ====-.对0λ=，由1()λ-=0E A x ，可解得三个线性无关的特征向量，1(1,1,0,0)'=ξ，2(1,0,1,0)'=ξ，3(1,0,0,1)'=-ξ.对4λ=-，由(4)--=0E A x ，可解得特征向量4(1,1,1,1)'=--ξ，令 12341111010010(),0101000114D⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭T T T T T ，由=AT TD 得 11*13111131111113||41111---⎛⎫ ⎪- ⎪=== ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭A TDTT T T 故 1111013111001011311()0101011134001141111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪-- ⎪⎪⎪=⋅ ⎪⎪⎪---- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 1111111111111111--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭551511110131110010113110101011134001141111--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪==⋅ ⎪⎪ ⎪---- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A TD T 88111111112211111111--⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A . 又10161016642,|||2|2||0====A A A A A .2．设0100102a c b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，（1）,,a b c 满足什么条件时，A 的秩是3;（2）,,a b c 取何值时，A 是对称矩阵; （3）取一组,,a b c ，使A 为正交阵.解：（1）01002002000010010010120120100102a c a bc a bc a c b b b ⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭A当2a bc ≠时，A 的秩是3.（2）0100102a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，要想A 成为对称矩阵，应满足'=A A ，即1,0a b c ===.（3）要想A 为正交阵，应满足'=A A E ，即00101001000010110010022a b a c c b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.2221,10,211,2a b ac b c ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 解得1,2a b c ===. 3．设有三维列向量123211101,1,1,111λλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ 问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一； （2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一； （3）β不能由123,,ααα线性表示.解法1： 设111111111λλλ+⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭A , 21110111111λλλλλ+⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭B由22211100(2)(1)1110(1)111111λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+--+-+⎛⎫⎪ ⎪=+−−→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭行B 22222003(12)1110(1)0(1)11100(3)(12)λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭行行（1）当0λ≠且3λ≠-时，()()3R R ==A B ，此时β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一.（2）当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一.（3）当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示. 解法2：2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A① 当0λ≠且3λ≠-时，||0≠A ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一, ② 当0λ=时，()()13R R ==<A B ，β可由123,,ααα线性表示，且表达式不唯一， ③ 当3λ=-时，()()R R ≠A B ，β不能由123,,ααα线性表示.4．设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3λλλ===，对应的特征向量依次为，1231111,2,3149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ，又12322=-+βξξξ，求nA β(n 为正整数).解：由于 123123222(,,)21⎛⎫⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭βξξξξξξ又由于 1111n n λ==A ξξξ，22222n n nλ==A ξξξ，33333n n n λ==A ξξξ. 所以 12312322(,,)2(,,)211n n n n n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A A βξξξξξξ111232221232(,2,3)2123211231nn n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ 12132223223223n n n n n n +++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭.5．设122212221-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，（1）求A 的特征值；（2）求1-+E A 的特征值.解：（1）2122||212(1)(5)0221λλλλλλ+---=-+=-+=-+E A得A 的特征值为1231,5λλλ===-.·129·（2）由A 是对称阵，A 的特征值是1,1,5-，存在可逆阵T 使1115-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT 于是 111115--⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭T A T , 112()245--⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭T E A T ，故1-+E A 的特征值为42,2,5.6．已知(1,,1)k '=α是211121112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的逆阵1-A 的特征向量，试求常数k 的值.解：设α为A 的特征值为λ的特征向量，则λ=A αα.即 2111112111211k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即 322k k kλλ+=⎧⎨+=⎩解得 220k k +-=，即1k =或2-.7．设11 111, 1112a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A β，已知线性方程组=AX β有无穷多解，试求：（1）a 的值；（2）正交阵P ，使'P AP 为对角阵.解：（1）211111111101101120112a a a a aa a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭B 111011000(1)(2)2a a a a a a ⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭要使=AX β有无穷多解，必须()()3R R =<A B ，因此2a =-.·130· （2）此时112121211-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，112||121(3)(3)0211λλλλλλλ---=-+-=-+=--E A ，得A 的特征值1230,3,3λλλ===-.对于10λ=，由1112121211ξ--⎛⎫⎪--=⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量1111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得13⎛⎫ ⎪=⎝⎭η； 对于23λ=，由2212151212ξ-⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪-⎝⎭0，得特征向量2101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得2202⎛⎫⎪⎪= ⎪ - ⎝⎭η；对于34λ=-，由3412111214ξ--⎛⎫ ⎪---= ⎪ ⎪--⎝⎭0，得特征向量3121⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得363η⎛⎫ ⎪ =- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭;·131·令3260⎛⎫ ⎪=⎪⎪⎪⎪⎝⎭P ，此时P 为正交阵，并且'P AP 为对角阵033⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭. 8．已知线性方程组（I ）1111221331442112222332440a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎨+++=⎩的一个基础解系为112112221213231424, b b b bb b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，试求线性方程组.（II ）11112213314421122223324400b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎨+++=⎩的通解.解：设11121314111213142122232421222324a a a a b b b b a a a a b b b b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B由12,ξξ为（I ）的一个基础解系得0'=AB .由12,ξξ线性无关，所以()2R =B ，又0'=BA ，所以1111213142(,,,),a a a a '==ηη21222324(,,,)a a a a '是B 的基础解系，通解为112212,,k k k k +ηη为任意常数.9．已知方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有三个线性无关的解向量，求,a b 的值及方程组的通解.解：1111111111(|)43511011531310131a b a a b a a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭行A β10242011530042452a b a a -⎛⎫⎪−−→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭行由于该非齐次线性方程组有三个线性无关的解向量，故()(|),()1 3.R R A n R =-+=A A β·132· 其中4n =. 于是()(|)2R R ==A A β.从而2,3a b ==-. 该方程组与方程组13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩ 同解. 令3142,x k x k ==得该方程组的通解112212314224253x k k x k k x k x k -++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X 12242153100010k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,k k 为任意常数.10．设3221423kk -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，问当k 为何值时，存在可逆阵P ，使得1-P AP 为对角阵，并求出一个P 及相应的对角阵A . 解：A 的特征方程为：322122||11423123k k k λλλλλλλλ-----=+-=+---+--+E A2122(1)01(1)(1)0123k λλλλλ-=-+-=-+=-+.解得特征根为1231,1λλλ===-.当1λ=时，()2,R -=E A A 有1个线性无关的特征向量.当1λ=-时，211422211100022422000000E A -⎛⎫---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭k k k k k k·133·因存在可逆阵P ，使1-P AP 为对角阵，所以(1)1R --=E A ，从而0k =.因此 322010423-⎛⎫⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭A ， 对应于11λ=的特征向量为1ξ，由222020424--⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎝⎭1=0ξ得1(1,0,1)'=ξ 对应于231λλ==-的特征向量为23,ξξ，由422000422--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭0ξ，得 23(1,2,0),(0,1,1)''=-=ξξ令110021101⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P 且P 为可逆阵，相应的对角阵111⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A .11．设101020101⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭A ，方阵B 满足2+=+AB E A B ，求B . 解：由2+=+AB E A B 得 2()()()-=-=-+A E B A E A E A E由于001010100⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E ，所以-A E 可逆，得 201030102⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭B A E ，12．已知将3阶可逆阵A 的第2行的2倍加到第3行得矩阵B ，求1-AB .解：令100010021⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C ，则=CA B ，由于,A C 均可逆，故B 可逆，所以 11100010021--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭AB C .13．设有线性方程组·134· 123123123000ax bx bx bx ax bx bx bx ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （,a b 不全为0） （1）,a b 为何值时方程组有非零解； （2）写出相应的基础解系及通解； （3）求解空间的维数.解：（1）齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式0a b bba b b b a=即 2()(2)0a b a b -+= 故0a b =≠，或20a b =-≠时，方程组有非零解. （2）当0a b =≠时，方程组为1230x x x ++=，即123x x x =--.其基础解系为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，通解为12121110,,10k k k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数.当20a b =-≠时，方程组为123123123202020x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，解得基础解系为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，通解为11,1k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.（3）当0a b =≠时，解空间维数为2；当20a b =-≠时，解空间维数为1.14．设二次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++经正交变换=X PY 化成22232f y y =+，其中123123(,,),(,,),x x x y y y ''==X Y P 是3阶正交矩阵，求,a b 及满足上述条件的一个P .解：正交变换前后，二次型的矩阵分别为11111a a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 000010002⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B故二次型可以写成f '=X AX 和f '=Y BY ，且1-'==B P AP P AP .·135·由,A B 相似知||||λλ-=-E A E B ，即322223(2)()a b a b λλλ-+--+-3232λλλ=-+，比较系数得：0,0a b ==.由1000010002-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P AP B ，知A 的特征值是0,1,2.解方程组(0)-=0E A x ，得1101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得11120||2ξξ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ - ⎝⎭P 解方程组()-=0E A x ，得22201,0⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P ξξ，解方程组(2)-=0E A x ，得3101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得33320||2⎛ ⎪== ⎪ ⎝⎭P ξξ故123022()010022⎛ ⎪== ⎪ - ⎝⎭P P P P . 15．求直线110:220x y z L x y z +--=⎧⎨+--=⎩与2220:2240x y z L x y z +--=⎧⎨+++=⎩的公垂线方程.解：1L 与2L 的标准式及参数形式分别为：11:011x y z L -==与1,,;x y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩22:210x y z L +==-与2,,2.x y z λλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩·136· 1L 的方向向量为12(0,1,1),L =s 的方向向量为2(2,1,0)=-s .设1L 与2L 公垂线垂足为(1,,),(2,,2)t t λλ--A B ，则应有(21,,2)AB t t λλ=-----，且1220s λ⋅=---=AB t ，2520s λ⋅=+-=AB t .解得4,32.3t λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1{1,2,2}3AB =-，故公垂线方程为 44133122y z z ++-==-. 16．求直线210:10x y z L x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩在平面:20x y z π+-=上投影的方程.解：A 点坐标为44(1,,)33--.设通过直线L 垂直于平面π的平面0π的方程为21(1)0x y z x y z λ-+-++-+=.0π的法向量为1(2,1,1)λλλ=+-+-n . 平面π的法向量为(1,2,1)=-n . 由0ππ⊥，知10⋅=n n ，得 22(1)(1)0λλλ++-+--= 解得14λ=. 从而得0π方程为310.x y z -+-=所以所求直线0L 方程为310,20.x y z x y z -+-=⎧⎨+-=⎩17．设矩阵A 与B 相似，且111200242,0203300a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ， （1）求,a b 的值；（2）求一个可逆阵P ，使1-=P AP B .解：（1）因为A 与B 相似，所以有||||λλ-=-E A E B ，32111||242(5)(53)6633a a a aλλλλλλλ---=--=-++++--E A232||(2)()(4)(44)4b b b b λλλλλλ-=--=-+++-E BππL 0L·137·比较两式系数可得：5344664a b a b +=+⎧⎨-=-⎩解得56a b =⎧⎨=⎩.（2）因A 与226⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 相似，所以A 的特征值为2,2,6. 1112222333-⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭E A . 解(2)-=0E A X 得A 的对应于特征值2的特征向量12111,001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，5116222331-⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭E A . 解()E A X -=60得A 的对应于特征值6的特征向量3123⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ.令123111()102013P -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭ξξξ，则有1-=P AP B .18．已知3阶实对称阵A 的特征值为03,2,2,10⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭及01 ⎪ ⎪⎝⎭分别是A 的对应于特征值3,2的特征向量，（1）求A 的属于特征值2-的一个特征向量；（2）求正交变换=X PY 将二次型f '=X AX 化为标准形.解：（1）设2-对应的特征向量为X ，则有12(,)0,(,)0==X X ξξ，可取310⎛⎫⎪= ⎪ ⎝ξ.（2）把特征向量规范正交化后得：·138·12310221,0,00122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ - ⎪⎝⎭⎝⎭P P P .令10221001022⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ - ⎝⎭P ， 则在正交变换=X PY 下f 化为 222123322f y y y =+-.19．已知二次型22212312232355266f x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，求c 及此二次型对应矩阵的特征值，指出123(,,)1f x x x =代表三维几何空间中何种几何曲面.解：二次型f 所对应的矩阵为51315333c -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ,因f 的秩为2，即A 的秩为2，故有||0=A ，所以3c =.513||153(4)(9)0333λλλλλλλ---=-=--=--E A ，得特征值为0,4,9. 与特征值相对应的单位特征向量分别为123(,,'''===P P P ， 取正交变换阵0⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则在正交线性变换=X PY 下，方程123(,,)1f x x x =化为椭圆柱面2223491y y +=.20．设有数列01201321120,1,,,,,n n n a a a a a a a a a a a --===+=+=+，求1000a .解法1：·139·由1121110n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 得9991000109991110a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.记 1110⎛⎫=⎪⎝⎭A 得A，并且1211,2211⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ分别是A的对应于特征值1122+的特征向量.记1211(,)2211⎛⎫+ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭T ξξ，于是111-⎛ ⎪=⎪-⎪⎝⎭T则100-⎫⎪ = ⎝A T T99999911020-⎛⎫+ ⎪= ⎝A T T1000100010001000999999999999]]-+⎪= ⎪-+⎪⎝⎭所以10001000100011(()())522a +-=-. 解法2：设 1111n D +++=++αβαβαβαβαβαβαβαβ·140· 将n D 按第一行展开可得1n n n D D αβ--= （1）由, αβ的对称性可得1nn n D D βα--= （2）若αβ≠，（1）、（2）联立解之11n n n D αβαβ++-=- （3）若αβ=，由（1）1(1)n nn n D D n ααα-=+=+ （4）考察令 11111111111n D --=-补充定义100,1D D -==，则12,1,2,n n n D D D n --=+= 于是1n n a D -= 解：11αβαβ+=⎧⎨=-⎩, 得001122αβ+==，由（3）知 00000000001000999000000111a D αβαβαβαβαβαβαβαβ+++==++100010000000αβαβ-=-10001000⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦.·141·四、证明题1．证明69169169(1)316916n n D n ==+，（n 为正整数）. 证：1 1n =时，16(11)3D ==+⋅2 假设当n k ≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，由226936927(21)316D ==-==+⋅知命题成立.若13k +≥，将1k D +按第一行展开得11169169696(1)39316916k k k k k D D D k k -+-==-=+-⋅⋅1(2)3k k +=+⋅由数学归纳法，对一切自然数n 结论都成立.2．设A 为2阶方阵，证明：若存在大于等于2的自然数m 使m=0A ，则=20A .证：因m=0A ，所以||||0mm==A A ，又A 为2阶方阵，故()1R ≤A .所以A 经初等变换可以化为100000000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是存在可逆阵,P Q ，使 1000100000(100)00000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A P Q P Q ，·142· 取10,(100)0⎛⎫ ⎪ ⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭U P V Q ，则'=A UV .令k '=V U ，则2.k k '''===A UV UV UV A 由m m k -==10A A 知0k =，或者=0A ，故2k ==0A A . 3．设A 是幂等阵2()=A A ，试证 （1）A 的特征值只能是1或0， （2）()()n R R n +-=A A E ， （3）A 可相似对角化； （4）()tr()R =A A .证：（1）设λ是A 的任一特征值，则存在≠0X 使λ=AX X . 于是22λ=A X X .由2=A A 知，2λλ=X X . 由≠0X 得2λλ=，故1λ=或0. （2）由2=A A 知，()-=0A A E ，于是()()R R n +-≤A A E （1）由()n n +-=A E A E 知()()()()()n n n R R R R R =≤+-=+-E A E A A A E （2）综合（1），（2）可得()().n R R n +-=A A E（3）记12(),()n R r R r =-=A A E .当10r =或20r =时，=0A 或n =A E ，命题显然成立. 以下设120,0r r ≠≠，由12r r n +=知10r n <<，20r n <<. 取112,,,n r -ξξξ为=0AX 的基础解系212,,,n r -ηηη是()n -=0A E X 的基础解系，则112,,,n r -ξξξ是A 的属于特征值0的线性无关的特征向量，212,,,n r -ηηη是A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，故由12()()n r n r n -+-=知A 有n 个线性无关的特征向量1211,,,,,n r n r --ξξηη. 从而A可相似对角化.（4）由（1）、（3）可知存在可逆阵T 使10r-⎛⎫=⎪⎝⎭E T AT 于是1()tr()tr()R r -===A TAT A .4．设,A B 是n 阶正定矩阵，证明：AB 的特征值全大于0.·143·证：因,A B 正定，则存在可逆阵12,P P ，使11221122''''===A P P B P P AB P P P P12221121212()()()-'''''==P AB P P P P P P P P P因12,P P 可逆，则12'P P 可逆，从而1212()()''P P PP 正定，它的特征值全大于0， 因AB 与1212()()''''P P P P 相似，从而AB 的特征值全大于0. 5．设A 为n 阶方阵，试证：（1）若1k +=0A α且k≠0A α，则1,,,,kk -A A A αααα线性无关；（2）1n +=0A X 的解一定是n =0A X 的解； （3）1()()n nR R +=A A .证：（1）反证法若1,,,,kk +A A A αααα线性相关，则存在不全为零的数01,,,k l l l ，使01k k l l l +++=0αααA A ，设i l 是第一个不等于零的系数，即0110,0i i l l l l -====≠， 则 11i i k i i k l l l +++++=0A A A ααα，两边乘以矩阵k i -A ，得121k k k i i i k l l l +-++++=0A A A ααα，由于1k +=0Aα，故对任意1m k ≥+都有m =0A α，从而由上式得k i l α=0A ，但k ≠0A α，故0i l =与假设矛盾. （2）证明：假设α是1n +=0A X 的解，但不是n =0A X 的解，即有 1n +=0A α 但n≠0A α.由（1）知1,,,,nn -A A A αααα线性无关，与1n +个n 维向量1,,,,n n -A A A αααα线性相关矛盾，故α是n =0A X 的解. （3）由（2）知1n +=0AX 的解一定是n =0A X 的解，且易知n =0A X 的解一定是1n +=0A X 的解，所以方程1n +=0A X 与n =0A X 同解，所以1()()n n +=R A R A .6．已知向量组12,,,(2)m m ≥ααα线性无关，试证：向量组1112,m k =+=βααβ22111,,,m m m m m m m k k ---+=+=ααβααβα线性无关.证：假设有一组数121,,,,m m l l l l -使得112211m m m m l l l l --++++=0ββββ.则有11222111()()()m m m m m m m m l k l k l k l ---+++++++=0ααααααα，即有·144· 112211112211()m m m m m m l l l l k l k l k l ----++++++++=0αααα由于12,,,m ααα线性无关，所以 1211122110m m m m l l l l k l k l k l ---====++++=，所以1210m m l l l l -=====.故12,,,m βββ线性无关.7．设12,,,m ααα线性无关，m 为奇数，试证：1122231,,,m -=+=+=βααβααβ11,m m m m -+=+ααβαα线性无关.证：假设存在一组数12,,,m k k k 使112211m m m m k k k k --++++=0ββββ，则有112223111()()()()m m m m m k k k k --++++++++=0αααααααα，即111221()()()m m m m k k k k k k -++++++=0ααα 又由于12,,,m ααα线性无关，所以11210m m m k k k k k k -+=+==+=，因为m 是奇数，所以线性方程组（1）的系数行列式1101111(1)20010001m D +==+-=≠， 1121000m m m k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ （1） 故（1）只有零解，所以120m k k k ====，故12,,,m βββ线性无关.8．设n 阶矩阵A 的n 个列向量为12,,,n ααα，n 阶矩阵B 的n 个列向量为122311,,,,,()n n n R n -++++=ααααααααA ，问齐次线性方程组=0BX 是否有非零解，证明你的结论.证：当n 为奇数时，齐次线性方程组=0BX ，没有非零解. 当n 为偶数时，=0BX 有非零解.·145·由于()R n =A ，所以n 阶矩阵A 的n 个列向量12,,,n ααα线性无关，由上题知，当n 为奇数时，122311,,,,n n n -++++αααααααα也线性无关，所以()R n =B ，因此齐次线性方程组=0BX 没有非零解，但当n 为偶数时，因122311()()()()n n n -+-++++-+=0αααααααα，122311,,,,n n n -++++αααααααα线性相关，所以()R n <B .因此，齐次线性方程组=0BX 有非零解.9．设12,,,n ξξξ是n 阶方阵A 的分别属于不同特征值的特征向量，12n =+++αξξξ. 试证：1,,,n -A A ααα线性无关.证：设A 的n 个互不相同的特征值为12,,,n λλλ，对应的特征向量依次为12,,,n ξξξ，则1111(),,n n n n λλ=++=++=++A A A A αξξξξξξ11111n n n n n λλ---=++A αξξ.设有一组数011,,,n k k k -，使得1011n n k k k --+++=0αααA A 即1101111111()()()n n n n n n n k k k λλλλ---+++++++++=0ξξξξξξ.可得1101111101212201(λλ)(λλ)(λn n n n n k k k k k k k k ξξ----+++++++++++11)n n n n k λ--+=0ξ.由于12,,,n ξξξ线性无关，所以1011111012121011000n n n n n nn n k k k k k k k k k λλλλλλ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 即 1011212211111n n n n n n k k k ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0λλλλλλ又由于1111221111()01n n i j j i nn nn --≤<≤-=-≠∏λλλλλλλλ.所以0110n k k k -====， 即21,,,,n -A A A αααα线性无关.·146· 10．已知,A B 是两个n 阶实对称矩阵，试证A 与B 相似的充要条件是,A B 的特征多项式相等.证：（1）若A 与B 相似，记1-=T AT B ，则11||||||||||||λλλλ---=-=-=-E B E T AT T E A T E A .（2）若,A B 的特征多项式相等，则,A B 有相同的特征值12,,,n λλλ. 因,A B 都是实对称矩阵，存在正交阵,P Q 使112211,n n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP Q BQ 于是11--=P AP Q BQ .即111()()---=PQ A PQ B故A 与B 相似.11．设A 是n 阶实矩阵，证明当0k >时，k '+E A A 正定.证：()()()k k k ''''''+=+=+E A A E A A E A A ，即k '+E A A 是实对称阵. 对任意n 维非零实列向量X ，有()()()()k k k '''''''+=+=+X E A A X X E X X A AX X X AX AX由于0k >，所以()0k '>X X ，又()0'≥AX AX ，所以()0k ''+>X E A A X .即k '+E A A 正定.12．设A 是m n ⨯实矩阵，证明：()()()R R R ''==A A AA A ，并举例说明A 是复矩阵时，结论未必成立. 证：考察方程组'=0A AX ， （1）=0AX （2）显然（2）的解均为（1）的解，因而()()n R n R '-≤-A A A ，即有()()R R '≤A A A （3）·147·另一方面，对任意1nn x x ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭R X 如果'=0A AX ，则()0''=X A AX ， 即()()0'=AX AX （4）设12(,,,)n a a a '=AX ，由（4）知210ni i a ==∑，因为A 为实矩阵，X 为实向量，故i a 均为实数，所以120n a a a ====，即=0AX ，由于（2）的解也是（1）的解，故有()()n R n R '-≤-A A A ，即()()R R '≤A A A （5）综合（3），（5）式知()()R R '=A A A由()()R R '=A A 知()(())()()R R R R '''''===AA A A A A故有()()()R R R ''==A A AA A .令1i ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则(1,)i '=A ，于是(0)'=A A ，即A 是复矩阵，结论不成立. 13．若任意n 维列向量都是n 阶方阵A 的特征向量，试证：A 一定是标量矩阵. 证：先证A 的任两个特征值都相等，否则设1212,()λλλλ≠是A 的两个特征值，≠0X ，≠0Y ，使12,λλ==AX X AY Y . 因12λλ≠，所以,X Y 线性无关，+≠0X Y . 依题意存在k ，使()()k +=+A X Y X Y ，于是1212()(),k k k λλλλ-+-===0X Y ，矛盾，故A 的所有特征值都相等，记为λ.令j e 为n 阶单位阵E 的第j 个列向量，1,,j n =，于是 1()E e e e =jn由已知,1,2,,j j j n λ==Ae e得11()(),,A e e e e e e AE E A E λλλ===j n j n即A 是数量矩阵.14．设A 是n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B 使2=A B . 证：A 是正定阵，则存在正交矩阵P ，使得·148· 121n λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP D ，其中0,(1,2,,)ii n λ>=令(1,2,,)i i n δ==，则21111222222n n n n λδδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D 而 11221n n δδδδδδ-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪'== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A PDP P P 1122n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪''= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 12n δδδ⎛⎫ ⎪⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B P P ，易验证B 为正定阵，故2=A B . 15．设α是n 维非零实列向量，证明：2'-'E αααα为正交矩阵.证：因为22()'''-=-''E E αααααααα，故2222()()()()'''''--=--''''E E E E αααααααααααααααα 224444()()()()()''''''=-+=-+''''E E αααααααααααααααααααα 44''=-+=''E E αααααααα. 因而2'-'E αααα为正交矩阵.16．设方程组=0AX 的解都是=0BX 的解，且()()R R =A B ，试证：=0AX 与·149·=0BX 同解.证：设()()R R r ==A B ，则=0AX 的基础解系含有n r -个线性无关的向量，不妨设为12,,,n r -ξξξ. 有,(,,)A ==-01i i n r ξ.又=0AX 的解必为=0BX 的解，从而,(,,)i i n r ξ==-01B从而12,,,n r -ξξξ也是=0BX 的基础解系.于是=0BX 的通解为11.n r n r k k --+ξξ则=0AX 与=0BX 同解.17．设A 是n 阶方阵，12(,,,)n b b b '=β是n 维列向量，0⎛⎫= ⎪'⎝⎭A B ββ，若()()R R =A B ，则=AX β有解.证：由于()()()R R R ≤=A B A β，又由于()()R R ≤A A β，所以()()R R =A A β即=AX β有解.18．设12(,,,)(1,2,,,)i i i in a a a i r r n '==<α是r 个线性无关的n 维实向量，12(,,,)n b b b '=β 是线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的实非零解向量，试证：12,,,,r αααβ线性无关.证：假设12,,,,r αααβ线性相关，由已知12,,,r ααα线性无关，必有1122r r k k k =+++βααα， （1）又由β为方程组的解，从而(,)0,(1,,)i i r ==βα于是11(,)(,)0r r k k =++=βββαα， 从而=0β，矛盾.所以12,,,,r αααβ线性无关. 19．设,A B 是两个n 阶正定矩阵，若A 的特征向量都是B 的特征向量，则AB 正定. 证：因为,A B 是两个n 阶正定矩阵，因此,A B 也必为实对称矩阵，设12,,,n P P P 为A 的n 个标准正交的特征向量，记12()n =P P P P ，则·150· 112211,,n n k k k λλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP P BP 并且,0,(1,,)i i k i n λ>=，所以 1122111n n k k k λλλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=⋅= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭P ABP P AP P BP 1122n n k k k λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 且0,(1,,)i i k i n λ>=. 再由1-'=P P 得()'=AB AB ，因此AB 正定.20．设12,,,t ααα是齐次线性方程组=0AX 的基础解系，向量β不是=0AX 的解，试证向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关. 证：设有一组数01,,,t k k k 使得011()()t t k k k +++++=0ββαβα即0121122()t t t k k k k k k k ++++++++=0βααα （1）由于12,,,t ααα是齐次线性方程组=0AX 的基础解系，向量β不是=0AX 的解，所以β不能表为1,,t αα的线性组合，所以0120t k k k k ++++=，因此（1）式变为1122t t k k k +++=0ααα，由于1,,t αα线性无关，所以120t k k k ====，进而00k =，故向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关.。
