向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册

第五章向量代数与空间解析几何5。

1。

1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。

因为＝－，所以（a＋b）。

图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。

（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。

从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P= A v·n.例3 设的三条边分别是a、b、c(图5－15)，试用向量运算证明正弦定理证明注意到CB=CA+AB，故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA=ABCA=AB(CB+BA） =ABCB图5－15于是得到CBCA=ABCA =ABCB从而 |CBCA|=|ABCA| =｜ABCB|即ab sin C＝cb sin A＝ca sin B所以5。

2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。

解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。

5.2。

2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。

解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。

第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3(　则：　且　b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面 平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是 平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是 （ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。

8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则 （ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则 （ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是 （ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴 ； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线 垂直的平面方程为 （ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示 （ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、 一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。

《高等数学》(下册期末总复习一、向量代数与空间解析几何（一）向量代数JJJJ G G G G1、点M (x , y , z ⇔向量OM =(x , y , z =xi +yj +zk ；JJJ G 2、点A (x 1, y 1, z 1, B (x 2, y 2, z 2 ⇒向量AB =(x 2−x 1, y 2−y 1, z 2−z 1 ；G G 3、设a =(a x , a y , a z , b =(b x , b y , b z ，则G G Ga ±b =(a x ±b x , a y ±b y , a z ±b z ；λa =(λa x , λa y , λa z （λ为数）； G G G G G G na ⋅b =|a |⋅|b |cos(a , b =a x b x +a y b y +a z b z ；G G G i j k G G G G G G G G G G G G G G na ×b =a x a y a z ，(|a ×b |=|a ||b |sin(a , b , a ×b ⊥b , a ×b ⊥a ；b x b y b zb x b y b z G Ga &b ⇔==（对应坐标成比例）；a x a y a zG G G Ga ⊥b ⇔a ⋅b =0；G G G a ⋅b G ncos(a , b =；|a ||b |G G G G n Prj b =|b |cos(a , bG a（二）曲面、空间曲线及其方程1、曲面及其方程Σ:F (x , y , z =0，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面及其方程并会作图 2、空间曲线及其方程：一般方程（面交式）、参数方程；3、曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投谁便消去谁4、会作简单立体图形（三）平面方程与直线方程：1、平面方程：1）一般方程：Ax +By +Cz +D =0，其中n =(A , B , C 为其一法向量．G第 1 页共 14 页 12）点法式方程：法向量n =(A , B , C ，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Π，则A (x −x 0 +B (y −y 0 +C (z −z 0 =0 ． 3）截距式方程：Gx y z++=1 a b c⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0的平面束方程为⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=04）平面束方程：过直线⎨(A 1x +B 1y +C 1z +D 1 +λ(A 2x +B 2y +C 2z +D 2 =02、直线方程：点M 0(x 0, y 0, z 0 ∈L ，则1）对称式方程（点向式方程）：方向向量s =(m , n , p ，Gx −x 0y −y 0z −z 0==m n p⎧x =x 0+mt⎪2）参数式方程：⎨y =y 0+nt⎪z =z +pt0⎩3）一般式方程：⎨⎧A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=03、面面、线线、线面关系：G G |n G G 1⋅n 2|n n =1 面面：cos θ=|cos(n , |=12|n 1||n 2|G GΠ1⊥Π2⇔n 1⋅n 2=0⇔A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2=0； A 1B 1C 1G G Π1&Π（或重合）⇔n &n ⇔== 212A 2B 2C 2G G |s G G 1⋅s 2|n s == 2 线线：cos θ=|cos(s , |12|s 1||s 2|G GL 1⊥L 2⇔s 1⋅s 2=0⇔m 1m 2+n 1n 2+p 1p 2=0； m 1n 1p 1G G L 1&L （或重合）⇔s &s ⇔== 212m 2n 2p 2G G |s ⋅n |G G m 3 线面：sin ϕ=|cos(s , n |==|s ||n |A B C G GL ⊥Π⇔s &n ⇔==；m n pG GL &Π(或L 在Π上⇔s ⊥n ⇔Am +Bn +Cp =0第 2 页共 14 页24、距离点面：d =JJJJJ J G 点线：d =|M G 0M ×s ||s |，其中Gs 为直线的方向向量，M 为直线上任意一点．第 3 页共 14 页 3二、多元函数的微分学及其应用（一）极限（求法与一元函数的类似，洛必达法则除外）：(x , y →(x 0, y 0limf (x , y =A ⇔∀ε>0, ∃δ>0, δ时,有|f (x , y -A |<ε(x , y →(x 0, y 0∆（二）连续性：∆limf (x , y =f (x 0, y 0⇔∀ε>0, ∃δ>0, δ时,有|f (x , y -f (x 0, y 0 |<ε（三）偏导数：1、显函数：z =f (x , y1）定义：f x (x 0, y 0 =lim∆x →0f (x 0+∆x , y 0 −f (x 0, y 0，∆xf y (x 0, y 0 =lim∆y →0f (x 0, y 0+∆y −f (x 0, y 0∆y2）求导法则：对x 求偏导，暂时视y 为常量；对y 求偏导，暂时视x 为常量3）复合函数的求导法则（链式法则）：若z =f (u , v 具有连续偏导数，而u =g (x , y 与v =h (x , y 都具有偏导数，则复合函数z =f [g (x , y , h (x , y ]的偏导数为：∂z ∂z ∂u ∂z ∂v=⋅+⋅=f u ⋅u x +f v ⋅v x =f 1′⋅g x +f 2′⋅h x ；∂x ∂u ∂x ∂v ∂x∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =⋅+⋅=f u ⋅u y +f v ⋅v y =f 1′⋅g y +f 2′⋅h y ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y特别的，设z =f [h (x , g (x ]，则dz=f 1′⋅h ′(x +f 2′⋅g ′(x dx例如，设z =f (xy , 2x +3y ，其中f 具有二阶连续偏导数：令u =xy , v =2x +3y ，则∂z ∂z=f 1′⋅y +f 2′⋅2=yf 1′+2f 2′，=xf 1′+3f 2′. ∂x ∂y∂2z ∂∂′′⋅x +f 12′′⋅3]+2(f 21′′⋅x +f 22′′⋅3 =(yf 1′ +2(f 2′ =[f 1′+y (f 11∂x ∂y ∂y ∂y′′+(3y +2x f 12′′+6f 22′′ =f 1′+xyf 11注意：1）解题时，要注意偏导数以及导数的写法． 2）其中f 1′=∂f (u , v∂u u =xyf 1′(xy , 2x +3y 】与原函数具有相同的复合结构. =f u (xy , 2x +3y 【即4v =2x +3y第 4 页共 14 页2、隐函数：1）一个方程的情形：F x dy ⎧=−⎪dx F y ⎪⎪y =y (x→⎨隐函数求导法：方程两边对x 求导，注意y =二元方程可确定一个一元隐函数：F (x , y =0⎯⎯⎯⎪微分法：方程两边取微分，F dx +F dy =0x y⎪⎪⎩y (x 为x 的函数F y ⎧F x ∂z ∂z=−, =−z =z (x , y ⎪dx F z dy F z ⎪三元方程可确定一个二元隐函数：F (x , y ，z =0⇒⎨隐函数求导法：方程两边对x (或y 求偏导,注意z =z (x , y 为x 、y 的函数⎪⎪⎩微分法：方程两边取微分，F x dx +F y dy +F z dz =0⇒dz ="2）方程组的情形：（隐函数求导法）⎧y =y (x⎨⎩z =z (x⎧F (x , y , z =0dy dz三元方程组确定两个一元隐函数：⎨⇒,对x 求导dx dx G x y z (, , =0⎩四元方程组可确定两个二元隐函数：{F (x , y , u , v =0G (x , y , u , v =0⎧u =u (x , y ⎨⎩v =v (x , y⇒对x (或y 求偏导，视y (或x 为常量,得∂u ∂v , ∂x ∂x（或∂u ∂v ）∂y ∂y（四）全微分：可微函数z =f (x , y 的全微分为：dz =z x dx +z y dy . 定义为：∆z [=f (x 0+∆x , y 0+∆y −f (x 0, y 0]=A ∆x +B ∆y +o (ρ ，其中ρ=（五）应用：1、几何应用：1）曲线的切线与法平面：∆⎧x =x (t ⎪a 、若曲线Γ的方程为参数方程：⎨y =y (t ，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Γ↔t =t 0，则⎪z =z (t ⎩G切向量为T =(x ′(t 0, y ′(t 0, z ′(t 0 ，切线方程为x −x 0y −y 0z −z 0； ==x ′(t 0 y ′(t 0 z ′(t 0法平面方程为x ′(t 0 ⋅(x −x 0 +y ′(t 0 ⋅(y −y 0 +z ′(t 0 ⋅(z −z 0 =0G ⎧y =f (x，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Γ，则切向量为T =(1,y ′(x 0, z ′(x 0 ，从而可b 、若曲线Γ的方程为：⎨⎩z =g (x得切线方程与法平面方程．⎧F (x , y , z =0，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Γ，则切向量为c 、若曲线Γ的方程为一般方程：⎨G (x , y , z 0=⎩第 5 页共 14 页5G dy dz T =(1,y ′(x 0, z ′(x 0 （利用隐函数求导法，方程两边对x 求导，可得, ），从而可得切线方程与法dx dxG G G G G平面方程．【另解：n 1=(F x , F y , F z |M ，n 2=(G x , G y , G z |M ，可取切向量为T =n 1×n 2】2）曲面的切平面与法线：a 、若曲面Σ的方程为F (x , y , z =0，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Σ，则法向量为：n =(F x (x 0, y 0, z 0, F y (x 0, y 0, z 0, F z (x 0, y 0, z 0 ，切平面方程为：F x (x 0, y 0, z 0(x −x 0 +F y (x 0, y 0, z 0(y −y 0 +F z (x 0, y 0, z 0(z −z 0 =0；法线方程为：Gx −x 0y −y 0z −z 0==F x (x 0, y 0, z 0 F y (x 0, y 0, z 0 F z (x 0, y 0, z 0b 、若曲面Σ的方程为z =f (x , y ，点M (x 0, y 0, z 0 ∈Σ，则法向量为：n =(f x (x 0, y 0, f y (x 0, y 0, −1 ，切平面方程为：f x (x 0, y 0(x −x 0 +f y (x 0, y 0(y −y 0 −(z −z 0 =0；法线方程为：Gx −x 0y −y 0z −z 0==f x (x 0, y 0 f y (x 0, y 0 −1⎧f x (x , y =02、极值：1 无条件：设z =f (x , y ，由⎨解得驻点(x 0, y 0 ，f (x , y 0=⎩y令A =f xx (x 0, y 0, B =f xy (x 0, y 0, C =f yy (x 0, y 0 ，然后利用A , B , C 判定极值与否：AC −B 2>0有极值，A >0极小，A <0极大；AC −B 2<0无极值；AC −B 2=0用此法无法判定．注意：最后必须求出极值． 2）条件极值：z =f (x , y 在条件ϕ(x , y =0下的极值：构造Lagrange 函数，令⎧L x (x , y =0⎪L (x , y =f (x , y +λϕ(x , y ，联立方程⎨L y (x , y =0，其解(x 0, y 0 为⎪ϕ(x , y =0⎩是否为极值点，一般可由问题的本身性质来判定．3、方向导数与梯度：（以二元函数为例）1）、方向导数：设z =f (x , y 可微分，∂f Ge l =(cosα,cos β ，则∂l=f x (x 0, y 0 c os α+f y (x 0, y 0 cos β(x 0, y 02）梯度：grad f (x , y =(f x (x , y , f y (x , y ，方向导数的最大值为梯度的模，取得方向导数的最大值的方向为梯度的方向．三、积分 (一求法1、重积分I 、二重积分I =∫∫f (x , y d σD⎧b dx y 2(x f (x 若D :⎧⎪⎨a ≤x ≤b ⎪[X :上下]a 、直角坐标：I =∫∫f (x , y dxdy =⎪⎨∫a ∫y , y dy , 1(x⎩y 1(x ≤y ≤y 2(xD⎪⎩∫dcdy ∫x 2(yx f (x , y dx ,若D :⎧⎪⎨c ≤y ≤d 1(y ⎪x x ≤x [Y ：左右] ⎩1(y ≤2(y若D 既不是X －型也不是Y －型，则适当分割之．注意：通过二重积分，可交换二次积分的积分次序，这是一类常考的题型．⎧⎨x =ρcos θb 、极坐标： I ZZZZZZ YZZZZZ ⎩y =ρsin θd σ=ρd ρd θX Z ∫∫f (ρcos θ, ρsin θ ⋅ρd ρd θDZZZZZZZZZ D :⎧⎨α≤θ≤βYZZZZZZZZ ⎩ρ1(θ ≤ρ≤ρ2(θX Z ∫βρ2(θαd θ∫ρ(θ f (ρcos θ, ρsin θ ρd ρ1II 、三重积分I =∫∫∫f (x , y , z dvΩa 、直角坐标I =∫∫∫f (x , y , z dxdydz ：Ω1）投影法：i ）先一后二公式： I ZZZZZZZZZZZZZZZZX YZZZZZZZZZZZZZZZZ Ω={(x , y , z |z 1(x , y ≤z ≤z 2(x , y ,(x , y ∈D xy}z 2(x , yD ∫∫dxdy ∫z f (x , y , z dz1(x , yxy⎧a ≤x ≤b Ω:⎪⎨y 1(x ≤y ≤y 2(x ii 三次积分公式：I ZZZZZZZZZZ YZZZZZZZZZ ⎪⎩z 1 (x , y ≤z ≤z 2(x , yX Z ∫b dx ∫y 2(xz 2(x , ya y (x dy ∫z 1(x , y f (x , y , z dz12）截面法：（先二后一公式）I ZZ ZZZZZZZZZZ YZZZZZZZZZZZ Ω={(x , y , z |c ≤z ≤d ,(x , y ∈D z }X Z∫dcdz ∫∫f (x , y , z dxdyD z⎧⎪x =ρcos θ⎨y =ρsin θ⎪b 、柱面坐标：I ZZZZZZ YZZZZZZ ⎩z =z dv =ρd ρd θdzX ∫∫∫f (ρcos θ, ρsin θ, z ⋅ρd ρd θdzΩ⎧α≤θ≤βΩ:⎪⎨ρ1(θ ≤ρ≤ρ2(θ ZZZZZZZZZZ YZZZZZZZZZ ⎪⎩z 1(ρ, θ ≤z ≤z 2(ρ, θX Z∫β, θαd θ∫ρ2(θρ1(θρd ρ∫z 2(ρz (ρcos θ, ρsin θ, z dz1(ρ, θf⎧⎪x =r sin ϕcos θ⎨y =r sin ϕsin θ⎪c 、球面坐标：I ZZZZZZZZ YZZZZZZZ ⎩z =r cos ϕdv =r 2sin ϕdrd ϕd θX Z ∫∫∫f (r sin ϕcos θ, r sin ϕsin θ, r cos ϕ⋅r 2sin ϕdrd ϕd θΩ⎧α≤θ≤Ω:⎪β⎨ϕ1(θ ≤ϕ≤ϕ2(θ ZZZZZZZZZX YZZZZZZZZ ⎪⎩r 1 (ϕ, θ ≤r ≤r 2(ϕ, θZ Z Z∫βϕ2(θαd θ∫ϕϕd ϕ(ϕ, θ1(θsin ∫r 2r 1(ϕ, θf (r sin ϕcos θ, r sin ϕsin θ, r cos ϕ r 2dr2、曲线积分I 、第一类（对弧长）：L :⎧⎨x =x (t a 、平面曲线：∫⎩y =y (tLf (x , y ds ZZZZZ YZ ZZZZ α≤t ≤βX∫βαf [x (t , y (t ](α<β⎧x =x (tΓ:⎪⎨y =y (t b 、空间曲线：∫⎪⎩z =z (t Γf (x , y , z ds ZZZZZ YZZZZZ Xβα≤t ≤β∫αf [x (t , y (t , z (t ](α<βII 、第二类（对坐标） a 、平面曲线：I =∫L P (x , y dx +Q (x , y dyi 参数法：I ZZZZZZ L :⎧⎨x =x (tYZZZZZ ⎩y =y (tβt 由α变到βX Z ∫α{P [x (t , y (t ]x ′(t +Q [x (t , y (t ]y ′(t }dtii 与路径无关：选取特殊的路径求之，注意条件：单连通，偏导数处处连续．定理设函数P (x , y , Q (x , y 在单连通区域D 内处处具有连续的偏导数，则下列命题相互等价：（1）∫LP (x , y dx +Q (x , y dy 在D 内与路径无关；（2）沿D 内任意一条闭曲线C ，v ∫CP (x , y dx +Q (x , y dy =0；（3）在D 内恒有：∂P ∂Q∂y =∂x；（4）P (x , y dx +Q (x , y dy 在D 内为某函数u (x , y 的全微分，即存在函数u (x , y ，使得P (x , y dx +Q (x , y dy =du (x , y ．这里u (x , y 可由下列三种方法求得：①曲线积分法：u (x , y =∫(x , y(x x , y dx +Q (x , y dy +C ；0, y 0P (②凑全微分法：利用微分的运算法则，将P (x , y dx +Q (x , y dy 凑成d (" ，则u (x , y ＝(" +C ；③偏积分法：由du =Pdx +Qdy ，得u x =P (x , y ；两边对x 求偏积分可得u (x , y =P (x , y dx =f (x , y +C (y 两边对y 求偏导可得u y =f y (x , y +C ′(y ，再由u y =Q (x , y ，可解得C (y ，从而得u (x , y ． iii ）Green 公式：∫v ∫P (x , y dx +Q (x , y dy =∫∫(∂Q ∂P− dxdy ；不闭则补之．注意条件：LD∂x ∂y偏导数处处连续，L 为D 的正向边界．iv ）化为第一类：∫LP (x , y dx +Q (x , y dy =∫L[P (x , y cos α+Q (x , y cos β]ds b 、空间曲线：I = ∫ΓP (x , y , z dx +Q (x , y , z dy +R (x , y , z dz⎧Γ:⎪x =x (t⎨y =y (t i 参数法：I ZZZZZZ YZZZZZ ⎪⎩z =z (t t 由α变到βX Z ∫βα{P [x (t , y (t , z (t ]x ′(t +Q [x (t , y (t , z (t ]y ′(t +R [x (t , y (t , z (t ]z ′(t }dtii *与路径无关：选取特殊的路径求之，注意条件：单连通，偏导数处处连续． iii Stokes公式：cos αcos βcos γdydz dzdx dxdy v ∫ΓPdx +Qdy +Rdz =∫∫∂∂∂∂∂∂Σ∂x ∂y ∂z dS =∂x ∂y ∂z ；或∫∫ΣP Q R P Q R不闭则补之．注意方向：L 的方向与Σ的侧符合右手规则． iv 化为第一类：∫ΓPdx +Qdy +Rdz =∫Γ(P cos α+Q cos β+R cos γ ds3、曲面积分I 、第一类（对面积）：⎧⎪∫∫D f [x , y , z (x , y ]Σ:z =z (x , y I =∫∫Σf (x , y , z dS =⎪xy⎪⎨⎪∫∫D f [x , y (z , x , z ]Σ:y =y (z , xzx ⎪⎪⎩∫∫D f[x (y , z , y , z ]Σ:x =x (y , z yzII 、第二类（对坐标）：I =∫∫P (x , y , z dydz +Q (x , y , z dzdx +R (x , y , z dxdy Σ1） Gauss公式：w ∫∫Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =∫∫∫(∂P ∂x +∂Q ∂RΣΩ∂y +∂zdxdydz 若不闭则补之．注意条件：偏导数处处连续及方向性：Σ为Ω的整个边界曲面的外侧． 2）投影法：注意垂直性．若不垂直，则∫∫P (x , y, z dydz Σ:x =x (y , z ±∫∫P [x (y , z , y , z ]dydz 【前正后负】ΣD yz∫∫Q (x , y , z dzdx Σ:y =y (z , x ±∫∫Q [x , y (z , x , z ]dzdx 【右正左负】ΣD zx∫∫R (x , y , z dxdy Σ:z =z (x , y ±∫∫R [x , y , z (x , y ]dxdy 【上正下负】ΣD xy3）化为第一类：∫∫Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =∫∫(P cos α+Q cos β+R cos γ dSΣΣ4）化为单一型：∫∫Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =∫∫(Pcos αΣΣcos γ+Q cos βcos γ+R dxdy (二应用1、面积：平面A =∫∫dxd y ；D曲面A =∫∫d S ，A =Σ∫∫dy（D ∫∫∫∫或）xy D yz D zx2、体积： V =∫∫∫dv ；V =∫∫f (x , y d σ【曲顶柱体】ΩD3、物理应用：质量、功、转动惯量、质心、引力、流量（通量）、环流量等等【自学之】设A G=(P (x , y , z , Q (x , y , z , R (x , y , z ，则散度div A G =∂P ∂x +∂Q ∂y +∂R∂z， G i Gj k G 旋度rot A G =∂∂∂∂x ∂y ∂z P Q R四、级数（一）常数项级数及其收敛性 1、定义：∑u n =1 ∞ n 收敛（发散）⇔ lim sn 存在（不存在）【部分和sn = u1 + u2 + n →∞ ∞ ∞ un 】 2、基本性质：1）∞ ∞ ∑ kun (k ≠ 0 与∑ un 具有相同的收敛性；n =1 n =1 ∞ n =1 2）∑ un 与∑ vn 都收敛⇒ ∑ (un ± vn 收敛【口诀：收加收为收，收加发为发，发加发未必发】 n =1 n =1 3）改变有限项的值不影响级数的收敛性 4）收敛的级数可以任意加括号5）若∑u n =1 n →∞ ∞ n 收敛，则 lim un = 0 ；反之未必．n →∞ ∞ 6）若lim un ≠ 0 ，则∑u n =1 n 发散 3、特殊级数的收敛性【必须牢记之】：①调和级数∑ n 发散；n =1 ∞ ∞ 1 ② p －级数∑n n =1 1 p （常数 p > 0 ）：当 p > 1 时收敛，当p ≤ 1 时发散；∞ ③等比级数（几何级数）∑ aq n=0 n ，当| q |≥ 1 时发散，当 | q |< 1 时收敛，且∞ ∑ aq n=0 n = a (| q |< 1 ．1− q 4、正项级数∞ ∑u n =1 ∞ n ，其中un ≥ 0(n = 1, 2, ： I、∑u n =1 n 收敛⇔ {sn } 有界； II、比较：1）un ≤ vn ( n > N 【大的收，小的也收；小的发，大的也发】 2）lim un = l (0 < l < +∞ 【同敛散】n →∞ v n 11 第 11 页共 14 页III、比值（根值） lim ：n →∞ un +1 = ρ (lim n un = ρ ，当ρ < 1 时收敛；当ρ > 1( ρ = +∞ 时发散；而当ρ = 1 时n →∞ un 用此法不能判定其收敛性． IV、极限：lim n un = l (0 < l < +∞ ，当 p > 1 时收敛；当p ≤ 1 时发散．p n →∞ ∞ 5、交错级数∑ (−1 u (u n n =1 n n > 0, n = 1, 2, ： {un } 单调减少趋于零． 6、一般项级数∑u n =1 ∞ n=0 ∞ n （ un 为任意常数）：发散或收敛（绝对收敛，条件收敛）∞ （二）幂级数∑a x n n 或∑ a (x − x n=0 n 0 n ：∞ 1、Abel 定理：若幂级数∞ ∑ an x n 在当x = x0 ( x0 ≠ 0 时收敛，则∑ an x n 当 | x |<| x0 | 时必绝对收敛；反之，n=0 n=0 ∞ n=0 ∞ 若∑ an x n 当 x = x0 时发散，则∑ an x n 当 | x |>| x0 | 时必发散. n=0 ρ = 0, ⎧ +∞, an +1 ⎪： 2、收敛半径：1）若an ≠ 0 【不缺项】ρ = lim (lim n | an | ， R = ⎨1/ ρ , 0 < ρ < +∞, n →∞ a n →∞ n ⎪ 0, ρ = +∞; ⎩ 2）若缺项：lim n →∞ un +1 ( x = un ( x < 1 ，解得收敛区间． 3、收敛域：先求收敛半径 R ，可得收敛区间( − R, R ，再讨论端点 x = ± R 处的收敛性可得所求的收敛域 4、幂级数和函数的求法：先求收敛域，再利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的和函数． 5、函数展开成幂级数f ( x = ∑ a (x − x n=0 n 0 ∞ n (x ∈ I ： 1）直接展开法：【利用 Taylor 展开定理】求导数得系数，写出泰勒级数，求其收敛域，最后记得判定余项趋于零，便可得到所求的展开式． 2）间接展开法：利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的展开式．注：以下 7 个常用的展开式必须牢记：①e = x xn ∑ n ! (| x |< +∞ ; n =0 ∞ ② sin x = ∑ (−1n n=0 ∞ x 2 n +1 (| x |< +∞ (2n + 1! 第 12 页共 14 页 12③ cos x = ∑ (−1n n=0 ∞ x2n (| x |< +∞ ; (2n! ④ ∞ 1 = ∑ x n (| x |< 1 1 − x n=0 ∞ ∞1 ⑤ = ∑ (−1 n x n (| x |< 1 ; 1 + x n=0 x n +1 ⑥ ln(1 + x = ∑ (−1 (−1 < x ≤ 1 n +1 n =0 n⑦ (1 + x = 1 + α x + α α (α −1 2 2! x + + α (α −1 (α − n +1 n n! x + α >0 ⎧[−1,1] ⎪ (| x |< 1 【α 为常数， I = ⎨ ( −1,1] −1 < α < 0 】⎪α ≤ −1 ⎩(−1,1 （三）傅里叶级数：只复习T = 2π 情形，一般周期 T = 2l 类似． an = 1、系数：1 π 1 ∫ π f ( x cosnxdx(n = 0,1, 2, − π bn = f ( x sin nxdx(n = 1, 2, π ∫π − π 2、收敛性：条件为在一个周期上 1）处处连续或只有有限个第一类间断点；2）只有有限个极值点． f ( x ⎧ a0 ∞ ⎪ 3、和：+ ∑ (an cos nx + bn sin nx = ⎨ f ( x + + f ( x − 2 n =1 ⎪⎩ 2 4、傅里叶级数展开式： f ( x = x为f ( x的连续点 x为f ( x的间断点a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sinnx ， ( x ∈ C 2 n =1 f ( x+ + f ( x− } 2 其中 C = {x | f ( x = 5、函数展开成傅里叶级数： 1）若 f ( x 为T = 2π 的周期函数，则对 f ( x 验证收敛定理的条件，求出 f ( x 的间断点，利用收敛定理，写出 f ( x 的傅氏级数的收敛性，再求出傅氏系数，最后写出所求的傅氏级数展开式．注意：必须写出展开式成立的范围，在展开式不成立的点（必为间断点）必须指明傅氏级数的收敛性． 2）若 f ( x 只在[ −π , π ] 上有定义，则必须对 f ( x 进行周期延拓，然后对周期延拓后所得的函数 F ( x 的傅氏级数展开式限制在[ −π , π ] 上讨论． 3）若 f ( x 只在[0, π ] 上有定义，对 f ( x 进行奇（偶）延拓再周期延拓，可得正弦（余弦）级数．注意：间断点或连续点的判定，必须为周期函数的！第 13 页共 14 页 13五、微分方程——续（一）全微分方程：P ( x, y dx + Q ( x, y dy = 0( ∂Q∂P ，= ∂x ∂y 1）曲线积分法：通解为 u ( x, y = C ，其中u ( x, y = ∫ ( x, y ( x0 , y0 P ( x, y dx + Q( x, y dy ； 2）凑微分法：利用微分的运算法则，设法将原方程凑成 d [∆ ] = 0 ，则可得通解为∆ = C ，．（二）常系数线性微分方程： 1、齐次：y′′ + py′ + qy = 0 ，其中 p, q 都为常数 1）特征方程 r + pr + q = 0 ⇒ r1 , r2 = ? 2 ⎧C1e r1x + C2 e r2 x r1 ≠ r2 ∈⎪ r1 x r1 = r2 ∈ 2）通解： y = ⎨(C1 + C2 xe ⎪eα x (C cos β x + C sin β x r = α ± iβ ∈ 1 2 1,2 ⎩ 2、非齐次：y′′ + py′ + qy = f ( x ，其中 p, q 都为常数 1）先求出对应的齐次方程y′′ + py′ + qy = 0 的通解： Y = Y ( x ； 2）后求原非齐次方程的特解． A、 f ( x = e Pm ( x 型：令 y = x e Qm ( x ，其中 k 是特征方程含根λ 的重数λx * k λx B、f ( x = e [ P ( x cos ω x + Pn ( x sin ω x] 型： l 令 y = x e [Qm ( x cos ω x + Rm ( x sin ω x] ，其中 m = max{l , n} ， k 是特征方程含根λ + iω 的* λx k λx 重数（三）线性微分方程的解的结构： 1）齐次：y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = 0 ，通解： y = C1 y1 ( x + C2 y2 ( x ，其中 y1 ( x, y2 ( x 为该方程线性无关的两个解． 2）非齐次：y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f ( x 通解： y = Y ( x + y *( x ，其中 Y ( x 为对应的齐次方程的通解， y *( x 为原方程的一个特解． 3）设 y1 *( x, y2 *( x 分别为y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f1 ( x 与y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f 2 ( x 的特解，则 y* = y1 *( x + y2 *( x 为y′′ + P ( x y′ + Q ( x y = f1 ( x＋f 2 ( x 的特解．第 14 页共 14 页 14。

高等数学期末复习第八章 向量代数与空间解析几何 一、内容要求1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系3、会运用定义和运算性质求向量数量积4、会运用定义和运算性质求向量的向量积5、掌握向量数积和向量积的定义形式6、掌握向量模的定义与向量数量积关系7、掌握向量的方向余弦概念8、掌握向量的平行概念9、掌握向量的垂直概念10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲面 11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量 13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量 二、例题习题1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )； （内容要求1）A. )2,4,1(-QB. )2,0,1(-QC. )0,4,1(-QD. )2,4,0(Q 解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。

（内容要求2）3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ ;解：222123coscos cos 2θθθ++=，所以填2。

（内容要求2）4、向量)3,1,1(-=a，)2,1,3(-=b ，则=⋅b a ( )；A.0 B. 1 C. 2 D. )2,11,5(---解：311(1)232a b ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以选C 。

向量代数与空间解析几何第一部分 向量代数___线性运算［内容要点］:1. 向量的概念.2. 向量的线性运算.3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.［本部分习题］1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限。

(2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C ---2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标。

3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离。

4. 一向量的起点为(1,4,2)A -，终点为(1,5,0)B -，求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。

5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M −−→的模、方向余弦和方向角。

6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量.7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.第二部分 向量代数___向量的“积"［内容要点］:1。

向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。

2。

向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。

3.向量垂直、平行、共面的条件.［本部分习题]1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求： （1);(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→⋅⨯2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→⨯⋅⨯⨯⨯⨯3． 利用向量证明不等式112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件.4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值，使得：（1)a b λ→→+与z 轴垂直；(2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。

第五章 向量代数与空间解析几何5.1向量既有大小又有方向的量表示：→-AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=222z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→οa 模为1的向量。

3． 模→→→⋅=++=a a z y x a 222||4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→→5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++=a ⊥b ⇔a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积|a ⨯b | =| a || b |sin θ= zyxz y xb b b a a a k j ia //b ⇔a ⨯b ＝0.( a ⨯b= - b ⨯a ) ⇔212121z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→→例1 1||,2||==→→b a ，→a 与→b 夹角为3π，求||→→+b a 。

解 22||cos ||||2||2)()(||→→→→→→→→→→→→→→→→++=⋅+⋅+⋅=+⋅+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ713cos12222=+⋅⋅⋅+=π例2 设2)(=⋅⨯c b a ，求)()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+。

解 根据向量的运算法则)()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+=)(])()[(a c c b a b b a +⋅⨯++⨯+)(])[()(])[(a c c b a a c b b a +⋅⨯+++⋅⨯+= a c b a a c b a ⋅⨯+++⋅⨯=])[()()( a c b a c a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()(c b a c b a ⋅⨯+⋅⨯=)()( 4)(2=⋅⨯=c b a例3 设向量k j i a +-=，k j i b 543+-=，b a x λ+=，λ为实数，试证：当模x最小时，向量x 必须垂直于向量b 。

间解析几何与 向量代数1. 2. 3. 4. 5. 、选择题 已知 A(1,0,2), 设 a = (1,-1,3 (-1,1,5 ). 设 a = (1,-1,3 -i -2 j +5k B B(1,2,1)求两平面x 2y已知空间三点 是空间两点，向量AB 的模是 (A ),b= (2,-1,2 ),求 c=3a-2b 是(B )(-1,-1,5 ) . C (1,-1,5 ).D (-1,-1,6 ),b= (2, 1,-2 -i -j +3k C z 3 0和2x）,求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A-i -j +5k D -2i - j +5ky z 5 0的夹角是（C ）M(1,1,1) 、A(2,2,1) 和 B (2, 1, 2),求/ AMB 1( C )6.求点M （2, 1,10）到直线L ：1 z 21的距离是：（A ）A 138B ,118 158 Dr r r r r2i 3j k,求 a b 是：(D )A -i -2j +5kB - i -j +3kC - i -j +5kC x+y+1=011、设a,b 为非零向量,a b ,则必有（C ）A a b | |a | |baba8.设/ ABC 的顶点为 A(3,0,2), B(5,3,1), C(0, 1,3), 求三角形的面积是：（A ） 9.求平行于z 轴, 且过点 M 1(1,0,1)和 M 2(2, 1,1）的平面方程是：（D ） A 2x+3y=5=0x-y+1=010、若非零向量a,b 满足关系式,则必有 （C ）；12、已知 a= 2, 1,2 ,b = 1, 3,2，则 Prj b a =）；A5；5■■ 14 •7.设 a i k,D 3i -3j+3ka b| |a | |b13、直线y 1 Z 1与平面2x y z 4 0的夹角为（B ）1 0 1A-；B7C D634214点(1,1,1)在平面x 2y z 10的投影为(A )、(A) 丄,0,3；(B) 丄,0,3；(C) 1, 1,0 ； (D) 1 1 12 222 2 215向量a与b的数量积a b= ( C).、A a rj b a ；B a rj a b ；C a rj a b；D b rj a b .16、非零向量a,b满足a b0，则有（C ）.A a // b;B a b （为实数）；C a b;D a b 0.17、设a与b为非零向量，则a b 0是（A ）.A a // b的充要条件；B a丄b的充要条件；C a b的充要条件；D a // b的必要但不充分的条件.18、设a 2i 3j 4k,b 5i j k，则向量c 2a b在y轴上的分向量是（B）.A 7B 7 jC - 1;D -9 k2 2 .219、方程组2x y 4z 9表示（B ）.x 1A 椭球面；B x 1平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在x 1平面上的投影.20、方程x 2 y 2 0在空间直角坐标系下表示 （C ）A 坐标原点（0,0,0） ；B xoy 坐标面的原点（0,0） ；C z 轴；D xoy 坐标面.22、设空间三直线的方程分别为A L 1 // L 2 ；B L 1 // L 3 ；C L 2 L 3 ；D L 1 L 2 .23、 直线 J $ 4 Z 与平面4x 2y 2z 3的关系为（A ）.273A 平行但直线不在平面上；B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直.24、 已知 a 1,b.2,且（a,b ）-,贝 U a b = （ D ）.4A 1 ；B 1 2 ；C 2 ；D 5 .25、下列等式中正确的是（C ）21、设空间直线的对称式方程为0 I 2则该直线必A 过原点且垂直于x 轴;B 过原点且垂直于y 轴;C 过原点且垂直于z 轴;D 过原点且平行于x 轴.3tL i；x 2y z 100,则必有（Dy2 7t、计算题解：由题设知的投影及在y 轴上的分向量。

第八章 空间解析几何与向量代数答案一、选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 92. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ）A （-1,1,5）.B （-1,-1,5）.C （1,-1,5）.D （-1,-1,6）.3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ）A -i -2j +5kB -i -j +3kC -i -j +5kD -2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ）A 2πB 4πC 3π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ）A 2πB 4πC 3π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ A ）A 138B 118C 158D 17. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ⨯是：（ D ）A -i -2j +5kB -i -j +3kC -i -j +5kD 3i -3j +3k8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ）A B 364 C 32D 39. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ）A 2x+3y=5=0B x-y+1=0C x+y+1=0D 01=-+y x ．10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）；A -+a b =a b ；B =a b ；C 0⋅a b =；D ⨯a b =0．11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b12、已知()()2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a =（ D ）；A 53； B 5； C 3； D ． 13、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 （B ） A 6π； B 3π； C 4π； D 2π． 14、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 （A ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21； （B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 15、向量a 与b 的数量积⋅a b =（ C ）.A a rj P b a ；B ⋅a rj P a b ；C a rj P a b ；D b rj P a b ．16、非零向量,a b 满足0⋅=a b ，则有（ C ）．A a ∥b ;B =λa b (λ为实数)；C ⊥a b ；D 0+=a b ．17、设a 与b 为非零向量，则0⨯=a b 是（A ）．A a ∥b 的充要条件；B a ⊥b 的充要条件;C =a b 的充要条件；D a ∥b 的必要但不充分的条件．18、设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（B ）．A 7B 7jC –1；D -9k19、方程组2222491x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩表示 （ B ）. A 椭球面； B 1=x 平面上的椭圆；C 椭圆柱面； D 空间曲线在1=x 平面上的投影.20、方程 220x y +=在空间直角坐标系下表示 （C ）.A 坐标原点(0,0,0)；B xoy 坐标面的原点)0,0(；C z 轴；D xoy 坐标面.21、设空间直线的对称式方程为012x y z ==则该直线必（ A ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴；C 过原点且垂直于z 轴；D 过原点且平行于x 轴.22、设空间三直线的方程分别为123321034:;:13;:2025327x t x y z x y z L L y t L x y z z t =⎧+-+=⎧++⎪===-+⎨⎨+-=--⎩⎪=+⎩,则必有（ D ）. A 1L ∥2L ； B 1L ∥3L ； C 32L L ⊥； D 21L L ⊥.23、直线 34273x y z ++==--与平面4223x y z --=的关系为 ( A )． A 平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直．24、已知1,==a b 且(,)4∧π=a b , 则 +a b = ( D )．A 1； B1 C 2； D .25、下列等式中正确的是( C )．A +=i j k ；B ⋅=i j k ；C ⋅=⋅i i j j ；D ⨯=⋅i i i i ．26、曲面22x y z -=在xoz 平面上的截线方程为 (D)．A 2x z =；B 20y z x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩；C 2200x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩；D 20x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 二、计算题1．已知()2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。

填空题1. 过点(3,-2,2)垂直于平面5x-2y+6z-7=0和3x-y+2z+1=0的平面方程为____________.2．轴的正向的夹与轴的正向的夹角为与的模为已知向量y x OM ,45.100OM则向量角为,600_________________.3. 过3,1,2点且平行于向量3,2,2a 和5,3,1b的平面方程为__________.4.则互相垂直和若两向量,,2,12,3,b a ______________.5.向量决定的平面垂直的单位与三点)3,1,3(),1,3,3(,2,1,1321M M M 0a _______6.上的投影等于在向量向量1,2,24,1,1a b ___________________.7.的模等于则向量已知n m anm nm3260,,2,50____________.8.垂直的平面方程是且与平面过点012530742)3,0,2(z yx z y x _____________.9. 设a b c ,,两两互相垂直,且abc121,,,则向量s a b c 的模等于_____________.10.过点(0,2,4)且与平面x+2z=1,y-3z=2都平行的直线是________________.D x zyxD z y x 则轴有交点与若直线,06222032___________________.选择题1．表示方程13694222yzy x ;1)(;)(平面上的椭圆椭球面y B A :.0)(;)(答上的投影曲线椭圆柱面在椭圆柱面yD C 2．:,轴的单位向量是且垂直于则垂直于已知向量oy a k jiakj i B k j i A 33)(33)(:22)(22)答k i D k i C 3.ba ba b a则且已知,4,,2,1:.5)(;2)(;21)(;1)(答D C B A 4. 平面3x-3y-6=0的位置是(A)平行xoy 平面 (B)平行z 轴,但不通过z 轴; (C)垂直于z 轴; (D)通过z 轴. 答:( )5．则有且但方向相反互相平行设向量,0,,,bab a ba b a B b a b a A )(;)(:)()(答b a b a A ba b a C 6．是旋转曲面1222zy x 轴旋转所得平面上的双曲线绕x xoy A)(轴旋转所得平面上的双曲线绕z xoz B)(轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoy C )(:)(答轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoz D 7.:,0,0结论指出以下结论中的正确设向量ba;0)(垂直的充要条件与是b a b a A ;0)(平行的充要条件与是b a ba B ;)(平行的充要条件与的对应分量成比例是与b a b a C :.0),()(答则是数若ba b aD 8.cba cb a 则为三个任意向量设,,,bcacBbccaA)()(:)()(答cbacDcbcaC9.方程x yy224912在空间解析几何中表示(A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;(C)两个平行平面, (D)两条平行直线. 答:( )10. 对于向量cba,,，有若0ba，则ba,中至少有一个零向量)(cacbcbacbacbababa1 1. 方程y z x22480表示(A)单叶双曲面; (B)双叶双曲面;(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( )12.双曲抛物面(马鞍面)xpyqz p q22200,与xoy平面交线是(A) 双曲线; (B) 抛物线,(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答( ) 计算题1．ABCBACBA求及的坐标分别为设点),3,4,0()1,1,1(),1,3,2(,,.23,,ACABACABAC2.轴上截距轴和中在求平面束yxzyxyx04253.相等的平面3．的平面且垂直于平面试求过点0,,,,,32123211zyxbbbMaaaM.n的法向量4．,2,1,4)3,5,2(ABA及两边的向量已知三角形的一个顶点5,2,3BC和.ACA以及求其余的顶点和向量5．设点为从原点到一平面的垂足求该平面的方程P(,,),.362证明题1.但行中任意两个向量都不平已知三个非零向量,,,cba与ba0,,cbaacbc试证平行与平行答案一、 1. 2x+8y+z+8=0. 2..{,}.5255 3.01747z y x 4.65.117322()i j k 6.43. 7.219. 8. -16(x-2)+14y+11(z+3)=0.9. .2. 10.xy z 22341.6.11二、 1.B2C3D4B5A6A7C8C9D10B11D12D 三、1．},.0,1,3{},2,1,2{},2,2,1{AC AB AC AB2．平面的截距式为xy z 5415435421据题意有541543解得12154,但2不合理舌去(截距式中分母为0).故平面方程为x+3y-5+(x-y-2z+4)=0,即2x+2y-2z-1=0.3.n 垂直于过点M M 12,的直线,故n a b a b a b {,,}112233n 垂直于已知平面的法向量,故n {,,}111所以nij k a b a b b 11221111()()().a b a b ia b a b j a b a b k 223311331122 4.B x y z C x y z (,),(,).111222},3,5,2{111z y x AB },,121212z z y y x x BC由x y z 111245132,,.得x y z 111645,,x x y y z z 212121325,,.得x y z 2229610,,故B(6,-4,5),C(9,-6,10),CA,{,,}717AC {,,}717AC A AB AC AB AC ABAC{,,}(,)arccosarccos .717413231}10,8,1{23ACAB5.},2,6,3{op 且(3,-6,2)在平面上,于是平面方程为3(x-3)-6(y+6)+2(z-2)=0即3x-6y+2z-49=0.四、1.,,)(c b a c b a平行与,,)(a c b a c b 平行与a cc a ac ,()().11由a c ,不平行,故1101,.即a bc b ca abc ,,.。

1.在三维空间中，向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的点积是多少？o A. 32o B. 24o C. 35o D. 30参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积计算为1∗4+2∗5+3∗6=32。

2.向量v⃗=(3,4)的模长是多少？o A. 5o B. 7o C. 12o D. 25参考答案: A解析: 向量v⃗的模长计算为√32+42=5。

3.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的叉积结果是什么？o A. (3,−6,3)o B. (−3,6,−3)o C. (3,−6,−3)o D. (−3,6,3)参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积计算为(2∗6−3∗5,3∗4−1∗6,1∗5−2∗4)=(−3,6,−3)。

4.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积的模长是多少？o A. 7o B. 14o C. 21o D. 42参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积模长计算为√(−3)2+62+(−3)2=7。

5.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的夹角余弦值是多少？o A. 0.9746o B. 0.9971o C. 0.9899o D. 0.9659参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角余弦值计算为a⃗⃗⋅b⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗|=√14√77≈0.9746。

6.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否共线？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的分量不成比例，因此它们不共线。

7.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否正交？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积不为0，因此它们不正交。

8.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积是否垂直于这两个向量？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: A解析: 向量积的结果向量总是垂直于构成叉积的两个向量。

《高等数学》复习考试（下册）第8章 空间解析几何与向量代数一、向量及其运算 1、空间直角坐标系空间直角坐标系：三条两两垂直相交于原点的坐标轴，x 轴、y 轴和z 轴构成右手关系。

（1） 学会：a ）找出空间中给定点的坐标。

b ）找出空间中以给定),,(z y x 为坐标的点。

c ）空间各部分点坐标的特点。

（2） 两点),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 的距离公式2122122122121)()()(),(z z y y x x M M M M d -+-+-==2、向量（1）向量的概念 数量：只有大小；向量：既有大小又有方向。

向量只有大小和方向。

在空间中用有向线段表示向量。

其长度表示向量的大小也称为模或范数；其方向表示向量的方向。

一个向量可以放在空间中任意位置。

（2）特殊向量零向量0 ：大小为0。

任意方向都是0的方向。

只有一个零向量。

单位向量：大小为1。

有无穷多个单位向量。

如果0≠a ，则a ae a1=是与a 方向一致的单位向量，称为a的单位化。

（3）两向量的关系向量a和b有夹角πθθ≤≤=∧0),,(b a。

当2),(π=∧b a 时说b a ⊥；当π或0),(=∧b a 时说b a //。

（4）向量的坐标把向量a 的始点放在原点，得a 的终点))(,,(→=OM a a a a M z y x，则有a的分解式k a j a i a a z y x++=其中k j i ,,是标准单位向量。

{}z y x a a a ,,是向量a 的坐标。

z y x a a a ,,分别是a在x 、y 、z 轴上的投影；k a j a i a z y x ,,分别是a在x 、y 、z 轴上的投影向量。

向量与坐标一一对应。

向量的理论分为两部分：用几何描述的向量理论和用坐标描述的向量理论。

两部分理论对应地出现，互相翻译。

设),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M ，则{}12121212121221,,)()()(z z y y x x k z z j y y i x x M M ---=-+-+-=→（终点坐标减始点坐标。

第4章 向量代数与空间解析几何练习题习题4.1一、选择题1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点， 则这些向量的终点构成的图形是( ）（A ）直线； (B ） 线段； (C ） 圆； (D) 球．2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ）（A)a 与b 的内积等于零; (B)a 与b 的外积等于零;（C)对任意向量c 有混合积0)(=abc ； (D ）a 与b 的坐标对应成比例．3．设向量a 的坐标为313， 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ； （B ）若O 为原点，且a OA =， 则点A 的坐标为),,(z y x ；（C ）向量a 的模长为222z y x ++;（D ） 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行．4．行列式213132321的值为（ )（A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 18 ； (D ） 18-．5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是（ )(A ）||||a a -=； （B ）||||||b a b a +>+； （C ） ||||||b a b a ⋅≥⋅； (D ） ||||||b a b a ⨯≥⋅．二、填空题1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p AM =，q AN =，则BC =_______________,CD =__________________．2．已知ABC ∆三顶点的坐标分别为A （0，0，2），B(8，0，0），C(0，8，6），则边BC 上的中线长为______________________．3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等， 则该点的轨迹方程是_______________________________________．4．设力k j i F 532++=， 则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________．5．已知)2,5,3(A ， )4,7,1(B , )0,8,2(C ， 则=⋅AC AB _____________________;=⨯BA BC ____________________；ABC ∆的面积为_________________．三、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c ， 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a ， 求||||b a ⋅．3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A ， 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线， 且满足3=⋅x a ， 求向量x 的坐标．5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．7．向量a ， b , c , 具有相同的模， 且两两所成的角相等， 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和，求向量c 的坐标．8．已知点)1,6,3(A ， )1,4,2(-B , )3,2,0(-C ， )3,0,2(--D ，(1) 求以AB ， AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积．(2) 求三棱锥BCD A -的体积．(3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．习题4。

第七章 空间解析几何一、选择题1.在空间直角坐标系中，点(1,— 2, 3 )在[D ]A. 第一卦限B. 第二卦限C.第三卦限D.第四卦限2 22.方程2x y2在空间解析几何中表示的图形为[C ]A.椭圆 B.圆C.椭圆柱面D.圆柱面X —1 y + 1 z +1” _x + y _1 = 03.直线11j与 >2 :— —> 的夹角是[C ]423x+y+z-2=0AJinnA.—B.— C.—D. 04324.在空间直角坐标系中，点(1, 2,3 )关于xoy 平面的对称点是[D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)A. 2 2 2 a b (a ・b)B. a 2 b 2=(a b)2C. 2 2(a 叱)=(a b) 2 2 2 2D.(a *b) (a b) =a b 已知a,b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D 5.将xoz 坐标面上的抛物线 z =4x 绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ]A. z 2 二 4(x y)B. z 2 _ _4.. x 2 y 2C. y 2 z 2 =4xD.2 2 y z = 4x6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是2 C.3关于 [B ]A 1 1A.B.—337.在空间直角坐标系中，点(B. (1,-2,3) D. (1,2,-3) A. (-1,2,3)C. (-1,-2,3)1，2,3) 2 D.—3yoz 平面的对称点是[A ]2 28.方程—2 弓二z ，a 2b 2表示的是[B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面C. 椭球面D.球面9.已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则 proj a b =[ C ]A. 1 3B.3C. -1D. 110.(A)平行于■:[x 2 (B)在二上 (C)垂直于2z(D)与二斜交二 121.双曲线 45 绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为( A ).[y =0x+y+z = O+心 「x + y + z = O 小 11 •直线h 的方程为，直线12的方程为，则l i 与31x-30^29^030x-31y -30z = 012的位置关系是 DA.异面B.相交C.平行D.重合12 .已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是CA.关于XOZ 平面对称B.关于YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x = y z 对称 13. 已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点CA.关于XOZ 平面对称B.关于XOY 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x=y Z 对称14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 C A. x 2 y 2z 2 =1 B. X 2 y 2 z = 1 C. x 2 y z = 1 D. x y 2 z 2 = 115. 已知a,b 为不共线向量，则下列等式正确的是 CA. aa=a 2B. a*(a*b)=a 2bC. a ・(b ・b)=ab 2D. a 2b 2 = (a*b)2-(1,2,1), b =(-3,4, -3)，那么以a,b 为两边的平行四边形的面积是 B16.已知向量A.20B.10 .2C.10D. 5-217.已知直线 l 方程x 2y 3^0与平面二方程-x z ^0,那么l 与二的位置关系 3x + 4y +5z = 0是CA. l 在二内B. l 垂直于 Ji18.两向量a,b 所在直线夹角一，45B. a,b 夹角——4 Jiab ：： 0 , C. l 平行于•:那么下列说法正确的是 D.不能确定JIA. a 'b 夹角4C. a,3兀亠兀b 夹角可能或一4D.以上都不对19.已知|a 尸1, |b ，且(a ,b )■，则 | a b (D4(A) 1(B) 1、2(C) 220.设有直线L: x 3y 2z ^0及平面二I2x —y —10z+3 = 0:4x -2y • z - 2 =0，则直线 L ( C )。