3.3幂函数

(１)(－1.5)3，(－1.4)3
(２)
1
，
−1.5
1
−1)3<(－1.4)3;
1
(２)
−1.5
>
1
−1.4
3.3 幂函数
思维篇
知识篇
素养篇
1.已知y=(m2+2m-2)

2−2
+3n-6(m,n∈N)是幂函数，
求m，n的值.
逻
辑
推
理
解：由m2+2m-2=1 得 m=-3(舍), 或m=1 ；
这里V是b的函数；
y=x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形
的边长c＝ ，这里c是S的函数；
y=
1
2
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平
1
均速度v＝

km/s，即v＝t-1，这里v是t的函数．
观察(1)～(5)中的函数解析式，它们有什么共同特征？
y=x-1
1 幂函数
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
高中数学/人教A版/必修一
3.3 幂函数
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先看几个实例．
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，
那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
y=x
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，
这里S是a的函数；
y=x2
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，
逻
辑
推
理
所以 f(x)= ,且定义域[0,+∞)上为增函数.
由f(2-a)>f(a) 得：2-a > a≥0，

D ． p 为 偶 数 ， q为奇 数且 < 0
）
典型例题
题型四：幂函数的图象、定点问题
【对点训练8】（2023·全国·高一假期作业）已知 ( ) = (2 − 1) + 1，则函数 = ( )的图象恒过的定点
的坐标为
．
【答案】 (1,2)
【解析】令 2 − 1 = 1 ，得 = 1, = 2 ，
故选：C.
2 ；⑤
= ，其中幂函
典型例题
题型二：求函数解析式
【例2】若 = 2 − 4 + 5 − + + 1 是幂函数，则 2 ＝
【答案】
1
4
2

− 4 + 5 = 1 ，解得 ቊ = 2 ，
【解析】由题意得 ቊ
= −1
+1=0
故 = −2 ，所以 2 = 2 −2 =
典型例题
题型二：求函数解析式
1
2
【对点训练3】已知 ∈ −2, −1, − , 2 ，若幂函数 = 为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，则
=
．
【答案】 -2
【解析】因为函数在 0, +∞ 上单调递减，所以 < 0 ，
当 = −2 时， = −2 是偶函数，成立
当 = −1 时， = −1 是奇函数，不成立，
1
1
当 = − 时， = − 2 的定义域是 0, +∞ ，不是偶
2
函数，故不成立，
综上， = −2.
故答案为：−2
典型例题
题型三：定义域、值域问题
4
【例3】（1）函数 = 5 的定义域是

4
时，
y
4
x3
是偶函数.综上，实数
m
的值是
4，
故选 A.
C 7.在同一坐标系内，函数 y xa (a 0) 和 y ax 1 的图象可能为( ) a
A.
B.
C.
D.
解析：若 a 0 ，则 y xa 在 (0, ) 上是增函数， y ax 1 在 R 上是增函数且其图象 a
与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，选项 C 可能，选项 B 不可能；若 a 0 ，则 y xa 在
所以 m 5 ，则 f (x) x5 .
（2）
f
(x)
x5
1 x5
， 要使函数有意义，则 x 0 ，
即定义域为 (,0) (0, ) ，其关于原点对称.
f
(x)
1 (x)5
1 x5
f
(x) ，
该幂函数为奇函数.
当 x 0 时，根据幂函数的性质可知 f (x) x5 在 (0, ) 上为减函数，
1 3
D.2
解析：因为函数 f (x) (m2 5m 7)xm1(m R) 是幂函数，所以 m2 5m 7 1 ，
解得 m 2 或 m 3 .当 m 2 时， f (x) x3 是奇函数，不符合题意，舍去；当 m 3 时，
f (x) x4 是偶函数，符合题意.故由 f (2a 1) f (a) 得， f ( 2a 1) f ( a ) ，又因为
A 5.如图，下列 3 个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是( )
A.①
y
x1
，②
y
1
x2
，③
y
1
x3
C.①
y
1
x3

•
(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函
数，否则就不是幂函数．
•
(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α为常
数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②
底数为自变量，③底数系数为1.
知识点2 幂函数的图象与性质
1．五个幂函数的图象
5
6
5
∴ 0.31 < 0.35 ，即 −0.31
6
5
6
5
< 0.35 .
6
5
例12 (2024·湖南省长沙市期末)已知幂函数y =
m2
+m−5
2 −2m−3
m
x
,当
2
x ∈ 0, +∞ 时，y随x的增大而减小，则实数m的值为___.
【解析】∵ y
=（m2
+m
2 −2m−3
m
− 5）x
是幂函数，
(x α 的系数为1，注意该隐含条件)
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第三章 函数的概念与性质
3.3-幂函数
知识点1 幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数，其中
x是自变量，α是常数．
y＝xα
基础过关
例1-1 在函数y = x −4 ,y = 3x 2 ,y = x 2 + 2x,y = 1中,幂函数的个数为(
A.0
B.1
C.2
对于C，由幂函数的性质可知，幂函数的图象一定不经过第四象限，故C正确；
对于D，幂函数y = x与y = x 3 的图象的交点为(−1, −1)， 0,0 ， 1,1 ，共3个，故D
错误.