中考试题汇编勾股定理

（2009 年中考数学试题汇编之 17.2-等腰三角形与勾股定理12．（山东省临沂市）如图，A ，B 是公路 l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路 l 的距离 AC ＝1km ，B 村到公路 l 的 距离 BD ＝2km ，B 村在 A 村的南偏东 45 方向上．求出 A ，B 两村之间的距离的平方；北A 东DClB．15． 2009 年重庆）已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，DE ⊥AC 于点 F ，交 BC 于点 G ，交 AB 的延长线于点 E ，且 AE = AC ． （1）求证： BG = FG ；（2）若 AD = DC = 2 ，求 AB 的长．ABEDFGC17．(2009 年甘肃定西)如图 13，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为 AB 边上一点，求证：（1） △ACE ≌△BCD ；（2） AD 2 + DB 2 = DE 2 ．） 解：（1）由抛物线 C 1： y = a x + 2 2 - 5 得解得，a ＝( 5．C 1yMABO xPC 2 C 3图（1图 1【关键词】二次函数,勾股定理的运用C 1yMAH BOPG xC 2 C 3图(1)()顶点 P 的为（-2，-5）∵点 B （1，0）在抛物线 C 1 上∴ 0 = a 1+ 2)2 - 5 59（2）连接 PM ，作 PH ⊥x 轴于 H ，作 MG ⊥x 轴于 G∵点 P 、M 关于点 B 成中心对称 ∴PM 过点 B ，且 PB ＝MB △∴ PBH △≌ MBG∴MG ＝PH ＝5，BG ＝BH ＝3 ∴顶点 M 的坐标为（4，5）抛物线 C 2 由 C 1 关于 x 轴对称得到，抛物线 C 3 由 C 2 平移得到∴抛物线 C 3 的表达式为 y =-9(x - 4)2 + 5（3）∵抛物线 C 4 由 C 1 绕点 x 轴上的点 Q 旋转 180°得到∴顶点 N 、P 关于点 Q 成中心对称 由（2）得点 N 的纵坐标为 5 设点 N 坐标为（m ，5）①当∠PNF ＝90º时，PN 2+ NF 2＝PF 2，解得 m ＝ ，∴Q 点坐标为（ ，0）②当∠PFN ＝90º时，PF 2+ NF 2＝PN 2，解得 m ＝ ，∴Q 点坐标为（ ，0）综上所得，当 Q 点坐标为（ ，0）或（ ，0）时，以点 P 、N 、F 为顶点C 1yNAH B Q G O EF x PKC 4图(2)作 PH ⊥x 轴于 H ，作 NG ⊥x 轴于 G 作 PK ⊥NG 于 K∵旋转中心 Q 在 x 轴上 ∴EF ＝AB ＝2BH ＝6∴FG ＝3，点 F 坐标为（m +3，0） H 坐标为（2，0），K 坐标为（m ，-5）， 根据勾股定理得PN 2＝NK 2+PK 2＝m 2+4m +104 PF 2＝PH 2+HF 2＝m 2+10m +50 NF 2＝52+32＝3444 193 3 10 23 3③∵PN ＞NK ＝10＞NF ，∴∠NPF ≠90º19 23 3的三角形是直角三角形．25．(2009 年河北)图 10 是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为 O ，直径 AB 是河底线，弦 CD是水位线， CD ∥AB ，且 CD ＝ 24 m ，OE ⊥CD 于点 E ．已测得 sin ∠DOE ＝12 13．（1）求半径 OD ；（2）根据需要，水面要以每小时 0．5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？CAEODB图 10【关键词】解直角三角形,勾股定理, 解：（1）∵OE ⊥CD 于点 E ，CD ＝24，∴ED ＝ 1CD ＝12．2在 △Rt DOE 中，∵sin ∠DOE ＝ED 12＝ ， OD 13∴OD ＝13（m ）．，且 a ≤+b ．取 AD 的中点 P ，连形==∴ ，（2）OE ＝ OD 2 - ED 2＝ 132 - 122 =5 ． ∴将水排干需： 5÷0．5＝10（小时）．26． (2009 年 潍 坊 ) 在 四边A B中 ，A ⊥B ， B ⊥C ，D ，C ，B C =A 结 PB 、PC ．（1）试判断三角形 PBC 的形状；（2）在线段 BC 上，是否存在点 M ，使 AM ⊥ M D ．若存在，请求出 BM 的长；若不存在，请说 明理由．PDABC解：（1）在四边形 ABCD 中， AB ⊥ BC ， DC ⊥ BC ， AB ∥ DC ，∴ 四边形 ABCD 为直角梯形（或矩形）．过点 P 作 PQ ⊥ BC ，垂足为 Q ，∴ PQ ∥ AB ， 又点 P 是 AD 的中点，∴ 点 Q 是 BC 的中点，1 1 1又 PQ = ( AB + CD) = (a + b ) = BC ，2 2 2∴ PQ = BQ = QC ，≥? PQB 与 △PQC 是全等的等腰直角三角形， ∴∠ B PC = ∠BPQ + ∠QPC = 90° PB = PC ，≥? PBC 是等腰直角三角形． （2）存在点 M 使 AM ⊥ MD ． 以 AD 为直径， P 为圆心作圆 P ．当 a = b 时，四边形 ABCD 为矩形， P A = PD = PQ ，圆 P 与 BC 相切于点 Q ，此时， M 点与 Q 点重合，存在点 M ，使得 AM ⊥ MD ， 1此时 BM =(a + b ) ．2当 a < b 时，四边形 ABCD 为直角梯形，AD > BC ，P A = PD > PQ ，圆心 P 到 BC 的距离 PQ 小于圆 P 的半径，圆 P 与 BC 相交，BC上存在两点 M ，M ，使 AM ⊥ MD ，1 2过点 A 作 AE ⊥ DC ，在 Rt △ A ED 中， AE = a + b ，DE = b - a ， AD 2 = AE 2 + DE 2，AD 2 = 2a 2 + 2b 2，AD = 2a 2 + 2b 2连结 PM ，PM 12，则 PM = PM =1 22a 2 + 2b 22，在直角三角形 PQM1中， QM = PM 2 - PQ 2 =1 12a 2 + 2b 2 (a + b )2 b - a- =4 4 2，当 a = b 时，有一点 M ， BM = ；当 a < b 时，有两点 M ，M ， BM = a ，BM = b ．2∴ BM = BQ - M Q = a ．11同理可得： BM = BQ + M Q = b ．22综上所述，在线段 BC 上存在点 M ，使 AM ⊥ MD ．a + b1 2 1 2ABPM 1 Q M 2DEC27．（09 湖北宜昌）已知：如图， AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ， 垂足为 E ，点 D 与点 A 关于点 E 对称，PB 分别与线段 CF ， AF 相交于 P ，M ． (1)求证：AB ＝CD ；(2)若∠BAC ＝2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．CPAE DM FB【关键词】全等三角形的性质与判定、等腰三角性的性质 【答案】解：(1)证明：∵AF 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠DAB ＝1 2∠BAC ．∵D 与 A 关于 E 对称，∴E 为 AD 中点．∵BC ⊥AD ，∴BC 为 AD 的中垂线，∴AC ＝CD ． 在 Rt △ ACE 和 △Rt ABE 中，注：证全等也可得到 AC ＝CD ∠CAD +∠ACE ＝∠DAB +∠ABE ＝90°， ∠CAD ＝∠DAB ．∴∠ACE ＝∠ABE ，∴AC ＝AB ． 注：证全等也可得到 AC ＝AB ∴AB ＝CD ．(2)∵∠BAC ＝2∠MPC ， 又∵∠BAC ＝2∠CAD ，∴∠MPC ＝∠CAD ．∵AC ＝CD ，∴∠CAD ＝∠CDA ， ∴∠MPC ＝∠CDA ． ∴∠MPF ＝∠CDM ．∵AC ＝AB ，AE ⊥BC ，∴CE ＝BE ． 注：证全等也可得到 CE ＝BE ∴A M 为 BC 的中垂线，∴CM ＝BM ． 注：证全等也可得到 CM ＝BM ∵EM ⊥BC ，∴EM 平分∠CMB ，(等腰三角形三线合一) ∴∠CME ＝∠BME ． 注：证全等也可得到∠CME ＝∠BME ∵∠BME ＝∠PMF ， ∴∠PMF ＝∠C M E ，∴∠MCD ＝∠F(三角形内角和)． 注：证三角形相似也可得到∠MCD ＝∠F+2 + ∴t = 或 t = 5 （此时 P ABQ 是平行四边形，不合题意，舍去）CB ∥ DE ∥ O F ，∴ = = = = .∴ = （10 + 19）⨯12 = 174.28．（09 湖南怀化）如图 12，在直角梯形 OABC 中， OA ∥CB ，A 、B 两点的坐标分别为 A （15，0），B （10，12），动点 P 、Q 分别从 O 、B 两点出发，点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 O A 向终点 A 运动，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 BC 向 C 运动，当点 P 停止运动时，点 Q 也同时停止运动．线段 OB 、PQ 相交 于点 D ，过点 D 作 DE ∥OA ，交 AB 于点 E ，射线 QE 交 x 轴于点 F ．设动点 P 、Q 运动时间为 t （单位： 秒）．（1）当 t 为何值时，四边形 P ABQ 是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当 t ＝2 秒时，求梯形 OFBC 的面积；（3）当 t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程．【关键词】一元二次方程解法及应用、勾股定理及逆定理、等腰三角形、等腰梯形的判定 【答案】解：（1）如图 4，过 B 作 BG ⊥ OA 于G ，则 AB = BG 2 + GA 2 = 122 （15 -10） = 169 = 13 过 Q 作 QH ⊥ OA 于H ，则 QP = QH 2 + PH 2 = 122 （10 - t - 2t )2 = 144 + (10 - 3t )2要使四边形 P ABQ 是等腰梯形，则 AB = QP ，即144 + (10 - 3t ) 2 = 13,5 3（2）当 t = 2 时， OP = 4，CQ = 10 - 2 = 8，QB = 2 。

QB QE QD QB 1AF EF DP OP 2∴ AF = 2QB = 2 ⨯ 2 = 4， OF = 15 + 4 = 19. ∴ S梯形OFBC 12（3）①当 QP = PF 时，则 122 + (10 - t - 2t )2 = 15 + 2t - 2t ，∴ t = 或t = .∴ ③当 QF = PF 时， 则 122+ (5 + 3t )2= 15， t = 或t = - (舍去）. 综上，当 t = ，t = ，t = ，t = 时，△ PQF 是等腰三角形．（ ∴∠ D CA = ∠ACB = ∠DCB ， DC = AB ， ∠ D CB = ∠ABC ， ∠ A CB = ∠ABC ．∴∠ A CB + ∠ABC = 90°∴ ∠ABC + ∠ABC = 90°∴ ABC = 60°；1∴ ∴ ∴ ，1 193 3②当 QP = QF 时， 则122 + (10- t - 2t)2 = 122 + FH 2 = 122 +[15+ 2t - (10- t )]2即122+ (10 - 3t )2= 122+ (5 + 3t )2， t =564 14∴3 31 19 5 43 3 6 329． 09 湖南邵阳）如图，在梯形 ABCD 中， A D ∥ BC ， A B = AD = DC ，AC ⊥ AB ，将 CB延长至点 F ，使 BF = CD ．（1）求 ∠ABC 的度数；（2）求证： △CAF 为等腰三角形．DACBF【关键词】等腰三角性的性质与判定、等腰梯形的性质【答案】（1）AD ∥ BC ， ∠ D AC = ∠ACB ， AD = DC ， ∠ D CA = ∠DAC ， 1 1∴ ∴ 2 2在 △ A CB 中， AC ⊥ AB ， ∠ C AB = 90°， ， 2（2）连接 DB ． 在梯形 ABCD 中， AB = DC ，∴ AC = DB ， 在四边形 DBFA 中， DA ∥ BF ，DA = DC = BF ， ∴ 四边形 DBFA 是平行四边形，∴ DB = AF ， ∴ AC = AF ，即 △ACF 为等腰三角形．【关键词】直角三角形的有关计算、勾股定理【答案】C 30．（2009 年湖北十堰市）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点 P 处测得教学楼 A 位于北偏东 60°方向，办公楼 B 位于南偏东 45°方向．小明沿正东方向前进 60 米到达 C 处，此时测得教学楼 A 恰好 位于正北方向，办公楼 B 正好位于正南方向．求教学楼 A 与办公楼 B 之间的距离（结果精确到 0．1 米）． （供选用的数据： 2 ≈1．414， 3 ≈1．732）【关键词】直角三角形的有关计算、测量问题、勾股定理 【答案】解：由题意可知∠ACP ＝ ∠BCP ＝ 90°，∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°…2分在 Rt △ BPC 中，∵∠BCP ＝90°，∠BPC ＝45°，∴ BC = PC = 60 在 Rt △ ACP 中，∵∠ACP ＝90°，∠APC ＝30°，∴ AC = 20 3∴AB=AC+BC=60+203≈60+20×1．732＝94．64≈94．6(米)答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为94．6米．说明：（1）其它解法请参照上述评分说明给分；（2）不作答不扣分．31．(2009年达州)如图10，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．(1)求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC＝CE；（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径．【关键词】圆,平行四边形,勾股定理【答案】（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O∴DF⊥DE又∵AC∥DE∴DF⊥AC∴DF垂直平分AC（2）由（1）知：AG＝GC又∵AD∥BC∴∠DAG＝∠FCG又∵∠AGD＝∠CGF∴△AGD≌△CGF（ASA）∴AD＝FC∵AD∥BC且AC∥DE∴四边形ACED是平行四边形∴AD＝CE∴FC＝CE5分BE， （3）连结 AO ； ∵AG ＝GC ，AC ＝8cm ，∴AG ＝4cm在 Rt △AGD 中，由勾股定理得 GD ＝AD2-AG2＝52-42＝3cm 设圆的半径为 r ，则 AO ＝r ，OG ＝r -3在 Rt △AOG 中，由勾股定理得 AO2＝OG2+AG2 有：r2＝(r -3)2+42 解得 r ＝256 ∴⊙O 的半径为 256cm ．32．（2009 年广东省）如图所示，△ABC 是等边三角形， D 点是 AC 的中点，延长 BC 到 E ，使 CE = CD ．（1）用尺规作图的方法，过 D 点作 DM ⊥ BE ，垂足是 M （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证： BM = EM ．ADBEC【关键词】等边三角形；线段和角的概念、性质、画法及有关计算 【答案】解：（1）作图如下图，ADMC（2） △ A BC 是等边三角形， D 是 AC 的中点∴ BD 平分 ∠ABC （三线合一） ∴∠ABC = 2∠DBE ，CE = CD ，∠CED = ∠CDE ，又 ∠ACB = ∠CED +∠ CDE ∴∠ACB = 2∠E ，又 ∠ABC = ∠ACB ， ∴ 2∠DBC = 2∠E ， ∴∠ D BC = ∠E ， ∴ BD = DE ，又 DM ⊥ BE ， ∴ B M = EM33．（2009 黑龙江大兴安岭）在边长为 4 和 6 的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是矩 形的长或宽，第三个顶点在矩形的边上，求所作三角形的面积．（注：形状相同的三角形按一种计算．）【关键词】等腰三角形【答案】．面积是12,面积是8和12。