2019-2020年数学必修2同步课件讲义应用案巩固提升：第1章3 1直观图画法(苏教版)

1.2 空间几何体的三视图和直观图 第一课时 中心投影与平行投影及空间几何体的三视图
（本节内容，2017 版《课程标准》不做要求）
一、预习教材·问题导入
根据以下提纲，预习教材 P11～P14，回答下列问题． (1)电影的播放实质是利用了小孔成像原理，而太阳光下地面上
人的影子是阳光照射到人后留下的影像．
[答案] B
第十一页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[类题通法] 判断几何体投影形状的方法及画投影的方法
(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投 影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影 或中心投影的性质来判断．
(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形 的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点 的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面 上的投影．
[解析] 由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间 图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点， 如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交 线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于 一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或 一条直线，③不正确．
视图依次是
()
A．①②⑥ C．④⑤⑥
B．①②③ D.③④⑤
第十九页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
解析：四面体 A-BCD 的正视图是边长分别为 3,4 的矩形，对 角线左上至右下为虚线，左下至右上为实线，为①；侧视图是 边长分别为 4,5 的矩形，对角线左上至右下为实线，左下至右 上为虚线，为②；俯视图是边长分别为 3,5 的矩形，对角线左 上至右下为实线，左下至右上为虚线，为③，故选 B. 答案：B
第八页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。

总结词
掌握斜率的计算方法
详细描述
斜率是描述直线倾斜程度的量，可以通过直线上两点的坐 标来计算，公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和 (x2,y2)是直线上的两个点。
总结词
理解斜率与倾斜角的关系
详细描述
斜率与倾斜角之间存在一一对应关系，即一个确定的斜率 对应一个确定的倾斜角，反之亦然。斜率等于0时，倾斜 角为0或π/2；斜率不存在时，倾斜角为π/2或3π/2。
直线的点斜式方程
总结词
详细描述
总结词
掌握直线的点斜式方程及其应 用
直线的点斜式方程是描述直线 在某一点上的斜率的方程形式 ，其公式为y-y1=k(x-x1)，其 中(x1,y1)为直线上的一点，k 为直线的斜率。该公式可用于 确定直线上任意一点的坐标。
理解点斜式方程的局限性
详细描述
点斜式方程只适用于确定一条 直线，如果已知两点在同一直 线上，则只能使用两点式方程 或截距式方程来表示该直线。
空间几何体的三视图
总结词
三视图是表达空间几何体的重要 方式。
详细描述
学生需要掌握如何通过正视图、 侧视图和俯视图来表达空间几何 体的形状和尺寸，理解三视图之 间的关系，提高空间想象能力。
空间几何体的直观图
总结词
直观图是帮助学生理解空间几何体的有效工具。
详细描述
通过直观图，学生可以更直观地理解空间几何体的形状和结构，掌握绘制直观 图的方法和技巧，提高对空间几何的理解和表达能力。
相交关系
总结词
描述点、直线或平面在空间中的相交 状态。
详细描述
相交关系是指两个或多个点、直线或 平面在空间中相交于一点或一条直线 。相交关系可以通过几何定理和性质 进行证明和推导，是几何学中常见的 位置关系之一。

最大值为(
)
A.12 3
B. 18 3
C.24 3
D. 54 3
解析:由△ABC 为等边三角形且面积为 9 3, 设△ABC 的边长为 a,
1
3
则 S= 2 · 2 = 9 3.
3
2
解得 a=6,则△ABC 的外接圆半径 r= 2 × 3 = 2 3 < 4.
设球的半径为 R,如图,OO1=
本章整合
第一页，编辑于星期日：点 分。
第二页，编辑于星期日：点 分。
专题一
专题一
专题二
专题三
专题四
三视图和直观图
三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式.这两种不
同的表现形式能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征,
进而研究几何体的有关性质.三视图和直观图联系密切,由空间几何
体的直观图可以画出它的三视图,同样由空间几何体的三视图可以想象并
D1A的投影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.
答案:B
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专题一
专题二
专题三
专题四
应用2如图,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图
形的直观图,则原图形的周长是
cm.
解析:根据直观图的画法,可得原几何图形如图所示,四边形OABC为平
行四边形,且
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4(2017·
全国Ⅱ高考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的
是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则

7．2柱、锥、台的体积柱、锥、台的体积公式几何体公式说明柱体V柱体＝ShS为柱体的底面积，h为柱体的高锥体V锥体＝13ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)×hS上、S下分别为台体的上、下底面积，h为台体的高1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个柱体的体积相等，则表面积相等．()(2)如果一个柱体和一个锥体的体积相等，则两几何体的底面积相同．()(3)锥体的体积是柱体体积的13.()(4)柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知有一个圆柱形水缸，其中底面半径为0.5 m，里面水高度为0.8 m，现在有一个不规则几何体放进水缸，并且完全浸入水中，水面上升到1.2 m，则此不规则几何体体积约为(精确到0.1，π取3.14)()A．0.4 m3B．0.2 m3C．0.3 m3D．0.8 m3解析：选C.由水面上升0.4 m得体积V＝π·0.52×0.4＝0.1π≈0.3(m3)．3．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是() A.23π3B．23πC.73π6D．73π3解析：选D.设上、下底面半径为r′，r，母线长为l，则⎩⎪⎨⎪⎧πr′2＝π，πr2＝4π，π（r′＋r）·l＝6π，所以⎩⎪⎨⎪⎧r′＝1，r＝2，l＝2.圆台的高h ＝l 2－（r －r ′）2＝3，所以V 圆台＝13(π＋π·4π＋4π)·3＝73π3.4．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________.解析：由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a ， 则V ＝3×⎝⎛⎭⎫12×2×a ＝33， 所以a ＝ 3. 答案： 3求不规则几何体的体积可通过对几何体分割，使每部分能够易求得其体积，也可将其“补”成规则几何体，使所求体积等于整体几何体的体积减去部分几何体的体积，这就是我们常说的割补法，是解决此类问题的常用方法，还要注意不同的割补方式会得到不同的几何体，做题时要仔细观察．柱体、锥体的体积如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，求该几何体的体积．[解] 由三视图知，该几何体为平行六面体，由图知高h ＝ 22－12＝ 3.底面积：S ＝3×3＝9， 所以其体积V ＝9 3.在本例中，几何体的体积还可以怎样解？解：以▱A 1ABB 1所在平面为底面，变成一个直棱柱，由主视图及俯视图可得A 1E ＝3，S ▱A 1ABB 1＝33，V 柱＝33×3＝9 3.求柱体、锥体体积常用的方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．1.(1)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．(2)如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过顶点B ，D ，A 1截下一个三棱锥． ①求剩余部分的体积；②求三棱锥A -A 1BD 的体积及高．解：(1)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，所以h ＝1， 所以斜高h ′＝12＋（3）2＝2，所以S 侧＝6×12×2×2＝12.故填12.(2)①V 三棱锥A 1­ABD ＝13S △ABD ·A 1A＝13×12·AB ·AD ·A 1A ＝16a 3. 故剩余部分的体积V ＝V 正方体－V 三棱锥A 1-ABD ＝a 3－16a 3＝56a 3. ②V 三棱锥A 1-ABD ＝V 三棱锥A 1-ABD＝16a 3. 设三棱锥A -A 1BD 的高为h ， 则V 三棱锥A 1-ABD ＝13·S △A 1BD·h ＝13×12×32(2a )2h ＝36a 2h ， 故36a 2h ＝16a 3，解得h ＝33a . 台体的体积设圆台的高为3，其轴截面(过圆台轴的截面)如图所示，母线A 1A 与底面圆的直径AB 的夹角为60°，在轴截面中A 1B ⊥A 1A ，求圆台的体积V .[解] 设AB的中点为O ，连接A 1O ，作A 1D ⊥AB ，易知A 1D ＝3， 因A 1B ⊥A 1A ，则在Rt △A 1AB 中，A 1O ＝12AB ＝AO .又因∠A 1AB ＝60°，所以△A 1AO 为等边三角形． 所以在△A 1AO 中A 1D ＝32AO ＝3，得AO ＝2 3.设圆台的上、下底面半径分别为r ，R . 所以R ＝AO ＝23，r ＝12A 1B 1＝12OB ＝12AO ＝DO ＝ 3. 由V ＝13π×3×(12＋23×3＋3)＝π×(12＋6＋3)＝21π.故圆台体积为21π.(1)求台体的体积，其关键在于求高，一般地，把高放在直角梯形中求解．(2)“还台为锥”是一种求解台体的重要思想．借助相似等手段以及相关知识求解．2.(1)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________．(2)正四棱台的侧棱长为3 cm ，两底面边长分别为1 cm 和5 cm ，求体积．解：(1)由题意可得六棱台上、下底面的面积分别为S 上＝63，S 下＝243，高h ＝2，所以V 六棱台＝13h (S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝13×2×(63＋243＋123)＝28 3.故填28 3.(2)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 1、O 分别是两底面的中心．因为A 1C 1＝2，AC ＝52，所以A 1O 1＝22，AO ＝522， 所以O 1O ＝32－⎝⎛⎭⎫522－222＝1，V ＝13×1×(12＋52＋12×52)＝13(1＋25＋5)＝313(cm 3)． 组合体的体积如图所示，已知等腰梯形ABCD 的上底AD ＝2 cm ，下底BC ＝10 cm ，底角∠ABC ＝60°，现绕腰AB 旋转一周，求所得的旋转体的体积．[解] 过D 作DE ⊥AB 于E ，过C 作CF ⊥AB 于F ，Rt △BCF 绕AB 旋转一周形成以CF 为底面半径，BC 为母线长的圆锥；直角梯形CFED 绕AB 旋转一周形成圆台；直角三角形ADE 绕AB 旋转一周形成圆锥，那么梯形ABCD 绕AB 旋转一周所得的几何体是以CF 为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A 为顶点、以DE 为底面半径的圆锥的组合体．因为AD ＝2，BC ＝10，∠ABC ＝60°， 所以在Rt △BCF 中，BF ＝5，FC ＝5 3. 因为AD ∥BC ，所以∠DAE ＝∠ABC ＝60°， 所以在Rt △ADE 中，DE ＝3，AE ＝1. 又在等腰梯形ABCD 中可求AB ＝8，所以AF ＝AB －BF ＝8－5＝3，EF ＝AE ＋AF ＝4， 所以旋转后所得几何体的体积为V ＝13π·BF ·FC 2＋13π·EF ·(DE 2＋FC 2＋DE ·FC )－13π·AE ·DE 2＝13π·5·(53)2＋13π·4·[(3)2＋(53)2＋3·5 3 ]－13π·1·(3)2＝248π(cm 3)， 故所得的旋转体的体积为248π cm 3.解组合体的体积的步骤第一步：弄清组合体的构成；第二步：求出各部分简单几何体的体积；第三步：把第二步解出的体积相加或者相减，得组合体的体积．3.(1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析：(1)此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆锥＝3×2×1＋1π×12×3＝(6＋π)m3.3(2)圆柱的底面半径为2，母线长为4，其体积V1＝Sh＝π×22×4＝16π；被挖去一个底面是边长为2的正方形，侧棱长为4的长方体，其体积V2＝22×4＝16.故该几何体的体积是V＝V1－V2＝16π－16.答案：(1)6＋π(2)16π－16规范解答几何体体积求解(本题满分12分)如图，一个高为H的三棱柱形容器中盛有水，若侧面AA1B1B 水平放置时，液面恰好分别过AC，BC，A1C1，B1C1的中点E，F，E1，F1.当底面ABC水平放置时，液面高为多少？[解]当侧面AA1B1B水平放置时，水的体积V等于四棱柱ABFE-A1B1F1E1的体积，V＝V四棱柱＝S梯形ABFE·H. (4分)当底面ABC水平放置时，设水面高为h，则水的体积V＝S△ABC·h. (6分)因为E，F分别为AC，BC的中点，所以S△CEF＝14S△ABC，所以S梯形ABFE＝34S△ABC. (9分)由S梯形ABFE·H＝S△ABC·h，即34S△ABC ·H＝S△ABC·h，得h＝34H，(11分)故当底面ABC水平放置时，液面高为34H.(12分)失分点，此处易误认为是棱台导致解错．明确相似三角形的面积与对应边的关系，易错点．解题步骤要完整，此结论易漏掉．在求几何体的条件时，确定几何体的特征至关重要，尤其是不熟悉的放置位置时，更要准确把握几何体的类型．在研究两个几何体的体积、表面积的关系时，充分利用平面几何中面积或线段的比例，可以大大简化运算，降低出错率．1．圆锥底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的体积为()A．36πB．18πC．45πD．12π解析：选D.设圆锥的高为h，则h＝52－32＝4，故圆锥体积V＝13πr2h＝13π×32×4＝12π.2．已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4，则该圆柱的体积为()A．2πB．4πC．8πD．16π解析：选D.由已知得圆柱的底面半径为2，高为4，故其体积为π×22×4＝16π.3．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，设三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为V ，那么三棱台AEF -A 1B 1C 1的体积为________(用V 表示)．解析：设△ABC 的面积为S ，则S △AEF ＝14S ，所以V 台＝13⎝⎛⎭⎫S ＋S ·14S ＋14S ·h ＝13×74Sh ＝712V . 答案：712V4．如图，一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π≈3.14)解：设水面下降的高度为x cm ，因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝⎛⎭⎫622×20＝60π(cm 3)，小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x ＝100πx (cm 3)．所以60π＝100πx ，解得x ＝0.6(cm)．则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm., [学生用书P107(单独成册)])[A 基础达标]1．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的体积为( )A ．3πB ．33π C.3πD ．32π 解析：选B.设圆锥的底面半径为R ，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h ＝32·2R ＝3R ，所以12·2R ·3R ＝3，解得R ＝1.所以V ＝13×π×12×3＝33π.2．将两个棱长为10 cm 的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm 的正四棱柱，则该四棱柱的高为( )A ．8 cmB ．80 cmC ．40 cmD ．165cm解析：选B.设正四棱柱的高为h cm ，依题意得5×5×h ＝2×103，解得h ＝80(cm)． 3．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为( )A.12 B ．32C ．1D ．13解析：选A.由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22×1×1＝12. 4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是( ) A.839B ．439C.239D ．439或839解析：选D.当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ＝23，底面面积S ＝34a 2＝39，正三棱柱的高h ＝4，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝439；当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ′＝43，底面面积S ′＝34a ′2＝439，正三棱柱的高h ′＝2，所以正三棱柱的体积V ′＝S ′h ′＝839.所以正三棱柱的体积为439或839.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4解析：选B.这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V＝23－14×π×12×2×2＝8－π.故选B.6．一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________． 解析：设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘可知(abc )2＝6，所以长方体的体积V ＝abc ＝ 6.答案： 67．如图是一个几何体的三视图，其中主视图和左视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为2的等腰梯形，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知此几何体为一圆台，上底半径为2，下底半径为1，不难求出此圆台的高，如图，h ＝（2）2－12＝1，故体积V ＝13π·(22＋2×1＋12)×1＝7π3.答案：7π38．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的__________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．解析：圆柱的体积公式为V圆柱＝πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍时，其体积也变为原来的4倍；高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍．答案：4 169．四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，将四边形绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解：因为C (2，1)，D (0，3)，所以圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. 所以V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π.因为B (1，0)，C (2，1)，所以圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1， 高h ′＝1.所以V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， 所以V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π. 10．一几何体的三视图如图： (1)画出它的直观图；(2)求该几何体的体积．解：(1)其直观图如下．(2)这个几何体是一个三棱锥．由三视图知：AC＝5 cm，作BD⊥AC于D，则BD＝125cm，得S底＝5×125×12＝6(cm2)，高h＝6 cm，得V＝13×6×6＝12(cm3)．[B能力提升]11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2πB．3πC ．5πD ．7π解析：选B.由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V ＝34×π×12×4＝3π. 12．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________．解析：设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为13πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为π⎝⎛⎭⎫a 22h . 根据题意，有13πR 2h ＝π⎝⎛⎭⎫a 22h ，解得R ＝32a .再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a ＝ha ，所以h ＝32a . 答案：32a 13.如图所示，已知三棱柱ABC -A ′B ′C ′，侧面B ′BCC ′的面积是S ，点A ′到侧面B ′BCC ′的距离是a ，求证：三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .证明：法一：如图所示，连接A ′B ，A ′C ，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．显然三棱锥A ′­ABC 的体积是13V ，而四棱锥A ′­BCC ′B ′的体积为13Sa ，故有13V ＋13Sa ＝V ，所以三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .法二：如图所示，将三棱柱ABC -A ′B ′C ′补成一个四棱柱ACBD -A ′C ′B ′D ′，其中AC ∥BD ，AD ∥BC ，即ACBD 为一个平行四边形，显然三棱柱ABD ­A ′B ′D ′的体积与原三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积相等．因为四棱柱ACBD -A ′C ′B ′D ′以BCC ′B ′为底面，高为点A ′到面BCC ′B ′的距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa ，于是三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .14．(选做题)如图，有个水平放置的圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米、4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间．(精确到0.01秒)解：如图，设水面的半径为r 分米，则EH ＝(r －2)分米，BG ＝2分米，在△ABG 中，因为EH ∥BG ， 所以AH AG ＝EH BG .因为AH ＝2分米，所以25＝r －22.所以r ＝145(分米)．所以当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为 V 水＝13π·3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1452＋145×4＋42＝876π25(立方分米)． 所以所用的时间为876π253＝292π25≈36.69(秒)．所以所用的时间约为36.69秒．。