2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二(上)期末数学试卷(文科)

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={x |x 2-3x ＜0}，则A ∩B 为（ ）A. 2，B.C.D. {1,3}{2,3}{1,2}(0,3))2.已知角α在第三象限，且sinα=-，则tanα=（ ）23A. B. C. D. 52‒52255‒2553.的值为（ ）sin10°⋅sin80°cos 235∘‒sin 235∘A.B.C. 1D. ‒1212‒14.已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2+ab ，则△ABC 的内角C 为（ ）A. B. C. D. 150∘120∘60∘30∘5.设函数，则f （2）+f （-log 23）的值为（ ）f (x )={log 2x,x >02‒x ,x ≤0A. 4B. C. 5 D. 6436.若sin （）=，sin （2）的值为（ ）π6‒α23α+π6A.B. C. D. 59‒5979‒797.已知f （x ）=sin 2x +2cos x ，则f （x ）的最大值为（ ）A. B. 0 C. 1D. 2‒18.已知函数f （x ）=cos 2x -，则下列说法正确的是（ ）12A. 是周期为的奇函数B. 是周期为的偶函数f(x)π2f(x)π2C. 是周期为的奇函数D. 是周期为的偶函数f(x)πf(x)π9.已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且满足f （x +6）=f （x ），当x ∈（0，3）时，f （x ）=x 2，则f （64）=（ ）A. B. 4 C. D. 98‒4‒9810.函数的图象如图所示，为了得到f(x)=Asin(ωx +ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2)g （x ）=sin （3x +）的图象，只需将f （x ）的图象（ ）5π4A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度ππC. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度π3π311.奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式x [f （x ）-f （-x ）]＞0的解集为（ ）A. B. (‒1,0)∪(0,1)(‒∞,‒1)∪(0,1)C. D. (‒∞,‒1)∪(1,+∞)(‒1,0)∪(1,+∞)12.将函数f （x ）=2sin （x +2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x =对称，π2π2π4且f （0）＞0，则φ=（ ）A. B. C. D. π83π8‒π8‒3π8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f （x ）=x +log a x 的图象过点（2，3），则实数a =______．14.已知sin ，且α∈（0，），则tan 的值为______．α+cosα=2π2α+1tanα15.已知f （x ）=x 2-ax +2a ，且在（1，+∞）内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．16.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =2，cos C =-，sin B =sin C ，则边1823c =______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f （x ）=2x -sin2x -．3cos 23（I ）求函数f （x ）的最小正周期及对称轴方程；（II ）求函数f （x ）的单调区间．18.若0，0，sin （）=，cos （）=．＜α＜π2＜β＜π2π3‒α35β2‒π3255（I ）求sinα的值；（II ）求cos （）的值．β2‒α19.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（2a -c ）cos B =b cos C ．（I ）求角B 的大小；（II ）若b =2，求△ABC 周长的最大值．20.已知函数f （x ）=A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，函数的图象关于点π2（）中心对称，且过点（）．π12，0π2，1（I ）求函数f （x ）的解析式；（II ）若方程2f （x ）-a +1=0在x ∈[0，]上有解，求实数a 的取值范围．π221.在△ABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a ＞c ，若△ABC 的面积为2，sin （A -B ）2+sin C =sin A ，b =3．23（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求边a ，c 的值．22.设函数f （x ）=a 2x +ma -2x （a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的奇函数．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若f （1）=，且g （x ）=f （x ）-2kf （）+2a -2x 在[0，1]上的最小值为2，求实数k 的取值范154x 2围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2-3x＜0}={x|0＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵角α在第三象限，且sinα=-，∴cosα=-．∴．故选：C．由已知利用平方关系求得cosα，再由商的关系求得tanα．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】B【解析】解：==．故选：B．把分子利用诱导公式化sin80°为cos10°，然后利用二倍角公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题．4.【答案】C【解析】解：△ABC中，a2+b2=c2+ab，∴a2+b2-c2=ab，∴cosC===，C∈（0°，180°），∴C=60°．故选：C．根据余弦定理，求出cosC的值，即可得出角C的大小．本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查分段函数求值及指对数运算，难度中等.推导出f（2）=log22=1，f（-log23）==3，由此能求出f（2）+f（-log23）的值．【解答】解：∵函数，∴f（2）=log22=1，f（-log23）==3，∴f（2）+f（-log23）=1+3=4．故选A．6.【答案】A【解析】解：∵sin（）=，∴sin（2）=cos[-（2）]=cos（）=cos2（）=．故选：A．由已知利用诱导公式及二倍角的余弦求得sin（2）的值．本题主要考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．7.【答案】D【解析】解：f（x）=sin2x+2cosx，=1-cos2x+2cosx，=-（cosx-1）2+2，当cosx=1时，f（x）max=2，故选：D直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成二次函数的顶点式，进一步求出函数的最大值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，二次函数的性质的应用．8.【答案】D【解析】解：函数f（x）=cos2x-=（2cos2x-1）=cos2x，∴f（x）是最小正周期为T==π的偶函数．故选：D．化函数f（x）为余弦型函数，求出f（x）的最小正周期，判断它的奇偶性．本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题．9.【答案】B【解析】解：由（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，又∵当x∈（0，3）时，f（x）=x2，∴f（64）=f（6×11-2）=f（-2）=f（2）=22=4．故选：B．由f（x+6）=f（x），可得f（x）是以6为周期的周期函数，则f（64）=f（6×11-2）=f（-2），再由函数的奇偶性，x∈（0，3）时，f（x）=x2求解．本题主要考查函数的周期性，来转化自变量所在的区间进而来求函数值．10.【答案】D【解析】解：根据函数的图象，可得A=1，=-，∴ω=3，再根据五点法作图可得3×+φ=π，∴φ=，f（x）=sin（3x+）．为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位长度，故选：D．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（-∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0，∴f（-1）=0，则当x∈（-∞，-1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）-f（-x）＜0；当x∈（-1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）-f（-x）＞0，则不等式x[（f（x）-f（-x）]＞0的解集为（1，+∞）∪（-∞，-1），故选：C．由函数奇偶性的性质，我们根据已知中奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，易判断函数f（x）在（-∞，-1），（0，1），（-1，0），（1，+∞）上的符号，进而得到不等式x[（f（x）-f（-x）]＞0的解集．本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用，其中奇函数在对称区间上单调性相同，是解答本题的关键．12.【答案】B【解析】解：将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，可得y=2sin（x++2φ）的图象，根据所得图象关于直线x=对称，可得++2φ=kπ+，即φ=-，k∈Z．根据且f（0）=2sin2φ＞0，则φ=，故选：B．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：∵已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），故有2+log a2=3，求得a=2，故答案为：2．由题意利用对数函数的图象的特殊点，求得实数a的值．本题主要考查对数函数的图象的特殊点，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：由sin，得，∴sin（）=1，∵α∈（0，），∴∈（），则=，即，∴tanα=tan．∴tan=1+1=2．故答案为：2．由已知利用辅助角公式变形，可得sin（）=1，结合α的范围求得α值，则答案可求．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正弦，是基础题．15.【答案】（8，+∞）【解析】解：∵二次函数f（x）=x2-ax+2a在（1，+∞）内有两个零点，∴，即，解得8＜a．故答案为：（8，+∞）．根据二次函数的性质列出不等式组求解即可．本题考查了二次函数的性质，零点的个数判断，属于中档题．16.【答案】3【解析】解：△ABC中，a=2，cosC=-，sinB=sinC，∴b=c，∴c2=a2+b2-2abcosC=22+c2-2×2×c×（-），化简得5c 2-3c-36=0，解得c=3或c=-（不合题意，舍去），∴c=3．故选：3．根据正弦、余弦定理，列方程求出c 的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）=cos 2x -sin2x -233=（1+cos2x ）-sin2x -33=-sin2x +cos2x3=2cos （2x +）；π6∴f （x ）的最小正周期为π，令，得，2x +π6=kπ,k ∈Z x =‒π12+kπ2,k ∈Z 对称轴方程为x =+，k ∈Z ；‒π12kπ2（Ⅱ）令π+2k π≤2x +≤2π+2k π，k ∈Z ，π6解得+k π≤x ≤+k π，k ∈Z ，5π1211π12∴f （x ）的单调递增区间为[+k π，+k π]（k ∈Z ）；5π1211π12令2k π≤2x +≤π+2k π，k ∈Z ，π6解得-+k π≤x ≤+k π，k ∈Z ，π125π12∴f （x ）的单调递减区间为[-+k π，+k π]（k ∈Z ）．π125π12【解析】（Ⅰ）化函数f （x ）为余弦型函数，再求它的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）根据余弦函数的单调性，求出f （x ）的单调递增、递减区间．本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵0，＜α＜π2∴，‒π6＜π3‒α＜π3又sin （）=，π3‒α35∴cos （）=，π3‒α45∴sinα=sin[-（）]=sin cos （）-cos sin （）π3π3‒απ3π3‒απ3π3‒α=；32×45‒12×35=43‒310（Ⅱ）∵0，∴，＜β＜π2‒π3＜β2‒π3＜‒π12又 cos （）=，β2‒π3255∴sin （）=，β2‒π3‒55∴cos （）=cos[（）+（）]β2‒αβ2‒π3π3‒α=cos （）cos （）-sin （）sin （）β2‒π3π3‒αβ2‒π3π3‒α=．255×45‒(‒55)×35=11525【解析】本题考查两角和与差的正弦，关键是“拆角、配角”思想的应用，是中档题．（I ）由已知求得cos （）=，利用sinα=sin[-（）]，展开两角差的正弦求解；（II ）由已知求得sin （）=，利用 cos （）=cos[（）+（）]，展开两角和的余弦求解．19.【答案】解：（Ⅰ）∵由（2a -c ）cos B =b cos C ，可得：（2sin A -sin C ）cos B =sin B cos C ，∴2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C ，可得：2sin A cos B =sin （B +C ）=sin A ，∵A ∈（0，π），sin A ＞0，∴可得：cos B =，12∴由B =，B ∈（0，π），B =.12π3（Ⅱ）∵2R ==，a =sin A ，c =sin C ，bsinB 433433433∴可得三角形周长：a +b +c =sin A +sin C +2433433=sin A +sin （-A ）+2=4sin （A +）+2，4334332π3π6∵0＜A ＜，＜A +＜，可得：sin （A +）∈（，1]．2π3π6π65π6π612∴周长的最大值为6．【解析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sinAcosB=sinA ，结合sinA ＞0，可求cosB=，结合范围B ∈（0，π）即可解得B 的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可得a=sinA ，c=sinC ，由三角函数恒等变换的应用化简可求三角形周长：a+b+c=4sin （A+）+2，由A 的范围可求＜A+＜，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解周长的最大值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）=A sin （ωx +φ）的最小正周期为T ==π，2π|ω|由ω＞0，得ω=2；由函数f （x ）的图象关于点（）中心对称，π12，0∴2×+φ=k π，φ=-+k π，k ∈Z ；π12π6又|φ|＜，∴φ=-；π2π6又f （x ）过点（），π2，1∴A sin （2×-）=1，解得A =2，π2π6∴函数f （x ）=2sin （2x -）；π6（II ）方程2f （x ）-a +1=0，∴a =4sin （2x -）+1；π6又x ∈[0，]，∴2x -∈[-，]，π2π6π65π6∴sin （2x -）∈[-，1]，π612∴4sin （2x -）+1∈[-1，5]，π6∴实数a 的取值范围是[-1，5]．【解析】（Ⅰ）由题意求出T 、ω、φ和A 的值，即可写出f （x ）的解析式；（II ）分离变量a ，利用三角函数的图象与性质求出a 的取值范围．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由sin （A -B ）+sin C =sin A ，得sin A cos B -cos A sin B +sin （A +B ）=sin A 2323即2sin A cos B =sin A ，∵sin A ≠0，∴cos B =．sin B =2313223（Ⅱ）由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2ac •cos B =a 2+c 2-ac23⇒a 2+c 2-ac =9…①23又∵s △ABC =ac •sin B =2，∴ac =6…②122由①②解得，{a =3c =2{a =2c =3∵a ＞c ，∴a =3，c =2．【解析】（1）由sin （A-B ）+sinC=sinA ，得sinAcosB-cosAsinB+sin （A+B ）=sinA ，即．sinB=，然后求解cosB 的值．（Ⅱ）由余弦定理得：a 2+c 2-ac=9…①，又s △ABC =ac•sinB=2，ac=6…②，由①②解得a ，c ．本题考查了正余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得f （0）=0，1+m =0，解得m =-1，则f （x ）=a 2x -a -2x ，f （-x ）=a -2x -a 2x =-f （x ），可得f （x ）为奇函数，则m =-1成立；（Ⅱ）由f （x ）=a 2x -a -2x ，f （1）=，154可得a 2-a -2=，解得a =2，154则f （x ）=22x -2-2x ，设y =g （x ）=22x +2-2x -2k （2x -2-x ）=（2x -2-x ）2-2k （2x -2-x ）+2，设t =2x -2-x ，y =t 2-2kt +2x ∈[0，1]，可得t ∈[0，]，32当k ＜0时，y min =2成立；当0≤k ≤时，y min =2-k 2=2，解得k =0成立；32当k ≥时，y min=-3k +=2，解得k =不成立，舍去．3217434综上所述，实数k 的取值范围是（-∞，0]．【解析】（Ⅰ）由题意可得f （0）=0，1+m=0，求得m ，由定义检验可得成立；（Ⅱ）由题意可得a=2，y=g （x ）=（2x -2-x ）2-2k （2x -2-x ）+2，设t=2x -2-x ，y=t 2-2kt+2，求得对称轴，讨论与区间[0，]的关系，可得最小值，解方程即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．。

2018年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(★)已知集合A={x|-2≤x≤3，x∈Z}，B={y|y=x 2-3，x∈A}，C=A∩B，则集合C的子集共有（）A．1个B．3个C．4个D．8个2．(★)若复数z满足z（2-i）=1+7i，则|z|=（）A．B．C．2D．23．(★)已知cos（）= ，则sinθ=（）A．B．C．-D．-4．(★)如图，在△ABC中，AD⊥AB，=3 ，||=1，则•的值为（）A．1B．2C．3D．45．(★)我国南宋数学家秦九韶（约公元1202-1261年）给出了求n（n∈N *）次多项式a n x n+a n-1x n-1+…+a 1x+a 0，当x=x 0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0=（（a 3x+a 2）x+a 1）x+a 0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3D．x3+2x2+3x+46．(★★)一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（）A．12B．24C．36D．487．(★★)已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．B．g（x）=2sin2xC．D．8．(★★)圆O：x 2+y 2=4上到直线l：x-y+a=0的距离等于1的点恰好有4个，则a的取值范围为（）A．[-，]B．（-，）C．[-1，1]D．（-1，1）9．(★)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l10．(★)若新高考方案正式实施，甲，乙两名同学要从政治，历史，物理，化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（）A．B．C．D．11．(★)F是抛物线y 2=2x的焦点，点P在抛物线上，点Q在抛物线的准线上，若=2 ，则|PQ|=（）A．B．4C．D．312．(★★)已知函数f（x）=-2x 5-x 3-7x+2，若f（a 2）+f（a-2）＞4，则实数a的取值范围（）A．（-∞，1）B．（-∞，3）C．（-1，2）D．（-2，1）二、填空题（本大题共4小题，每题5分.）13．(★★★)已知实数x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为．14．(★★★)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是．15．(★★★)已知平面四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=CD，∠BCD=90°，则四边形ABCD面积的最大值为．16．(★★★)已知函数f（x）=（x-1）|x-a|+4有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(★★★)已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2+a 3+a 4=-18．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n•S n，求b 1+b 2+b 3+…+b n．18．(★★)某冷饮连锁店计划按天订购一种冷饮，每天的进货量相同，进货成本每杯5元，售价每杯8元，未售出的冷饮降价处理，以每杯3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温有关．如果最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；如果最高气温位于区间[20，25），那么需求量为400杯；如果最高气温低于20℃，那么需求量为300杯．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据数据，得到下面的频数分布表：（1）估计九月份这种冷饮一天的需求量不超过400杯的概率；（2）设九月份一天销售这种冷饮的利润为Y（单位：元）．当九月份这种冷饮一天的进货量为500杯时，写出Y的所有可能值并估计Y大于500的概率．19．(★★★★)如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别为BC，DE中点（1）证明：CN∥平面AEM；（2）若△ABE是等边三角形，平面ABE⊥平面BCE，CE⊥BE，BE=EC=2，求三棱锥N-AEM的体积．20．(★★★)如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F 1（-1，0）及F 2（1，0），过点F 1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF 1|、|F 1F 2|、|AF 2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF 1D的面积为S 1，△OED（O为原点）的面积为S 2，试问：是否存在直线AB，使得S 1=12S 2？说明理由．21．(★★★★★)已知函数f（x）=xlnx-a（x-1）2-x+1（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．(★★★★)在极坐标系中．曲线C 1的极坐标方程是ρ2（1+3sin 2θ）=16，点P是曲线C 1上的动点，点M满足=2 （O为极点），设点M的轨迹为曲线C 2，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，已知直线l的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C 2的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设直线l交两坐标轴于A，B两点，求△ABM面积的最大值． 23．(★★★★)已知a＞0，b＞0且a 2+b 2=2．（I）若是+ ≥|2x-1|-|x-1|恒成立，求x的取值范围；（Ⅱ）证明：（+ ）（a 5+b 5）≥4．。

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B为（）A．{1，2，3}B．{2，3}C．{1，2}D．（0，3））2．（5分）已知角α在第三象限，且sinα=﹣，则tanα=（）A．B．C．D．3．（5分）的值为（）A．B．C．1 D．﹣14．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2+ab，则△ABC的内角C为（）A．150°B．120°C．60°D．30°5．（5分）设函数f（x）=，则f（2）+f（﹣log23）的值为（）A．4 B．C．5 D．66．（5分）若sin（）=，sin（2）的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知f（x）=sin2x+2cosx，则f（x）的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣，则下列说法正确的是（）A．f（x）是周期为的奇函数B．f（x）是周期为的偶函数C．f（x）是周期为π的奇函数D．f（x）是周期为π的偶函数9．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），当x∈（0，3）时，f（x）=x2，则f（64）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣98 D．9810．（5分）函数的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移π个单位长度B．向左平移π个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度11．（5分）奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[f （x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）12．（5分）将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x=对称，且f（0）＞0，则φ=（）A．B． C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分）13．（5分）已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），则实数a=．14．（5分）已知sin，且α∈（0，），则tan的值为．15．（5分）已知f（x）=x2﹣ax+2a，且在（1，+∞）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，则边c=．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=2x﹣sin2x﹣．（I）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（II）求函数f（x）的单调区间．18．（12分）若0，0，sin（）=，cos（）=．（I）求sinα的值；（II）求cos（）的值．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（I）求角B的大小；（II）若b=2，求△ABC周长的最大值．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，函数的图象关于点（）中心对称，且过点（）．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若方程2f（x）﹣a+1=0在x∈[0，]上有解，求实数a的取值范围．21．（12分）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c，若△ABC的面积为2，sin（A﹣B）+sinC=sinA，b=3．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求边a，c的值．22．（12分）设函数f（x）=a2x+ma﹣2x（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=f（x）﹣2kf（）+2a﹣2x在[0，1]上的最小值为2，求实数k的取值范围．2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B为（）A．{1，2，3}B．{2，3}C．{1，2}D．（0，3））【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5分）已知角α在第三象限，且sinα=﹣，则tanα=（）A．B．C．D．【分析】由已知利用平方关系求得cosα，再由商的关系求得tanα．【解答】解：∵角α在第三象限，且sinα=﹣，∴cosα=﹣．∴．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3．（5分）的值为（）A．B．C．1 D．﹣1【分析】把分子利用诱导公式化sin80°为cos10°，然后利用二倍角公式化简求值．【解答】解：==．故选：B．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题．4．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2+ab，则△ABC的内角C为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【分析】根据余弦定理，求出cosC的值，即可得出角C的大小．【解答】解：△ABC中，a2+b2=c2+ab，∴a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，C∈（0°，180°），∴C=60°．故选：C．【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（2）+f（﹣log23）的值为（）A．4 B．C．5 D．6【分析】推导出f（2）=log22=1，f（﹣log23）==3，由此能求出f（2）+f （﹣log23）的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2）=log22=1，f（﹣log23）==3，∴f（2）+f（﹣log23）=1+3=4．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．（5分）若sin（）=，sin（2）的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知利用诱导公式及二倍角的余弦求得sin（2）的值．【解答】解：∵sin（）=，∴sin（2）=cos[﹣（2）]=cos（）=cos2（）=．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．7．（5分）已知f（x）=sin2x+2cosx，则f（x）的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成二次函数的顶点式，进一步求出函数的最大值．【解答】解：f（x）=sin2x+2cosx，=1﹣cos2x+2cosx，=﹣（cosx﹣1）2+2，当cosx=1时，f（x）max=2，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，二次函数的性质的应用．8．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣，则下列说法正确的是（）A．f（x）是周期为的奇函数B．f（x）是周期为的偶函数C．f（x）是周期为π的奇函数D．f（x）是周期为π的偶函数【分析】化函数f（x）为余弦型函数，求出f（x）的最小正周期，判断它的奇偶性．【解答】解：函数f（x）=cos2x﹣=（2cos2x﹣1）=cos2x，∴f（x）是最小正周期为T==π的偶函数．故选：D．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），当x∈（0，3）时，f（x）=x2，则f（64）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣98 D．98【分析】由f（x+6）=f（x），可得f（x）是以6为周期的周期函数，则f（64）=f（6×11﹣2）=f（﹣2），再由函数的奇偶性，x∈（0，3）时，f（x）=x2求解．【解答】解：由（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，又∵又当x∈（0，3）时，f（x）=x2，∴f（64）=f（6×11﹣2）=f（﹣2）=f（2）=22=4．故选：B．【点评】本题主要考查函数的周期性，来转化自变量所在的区间进而来求函数值．10．（5分）函数的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移π个单位长度B．向左平移π个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：根据函数的图象，可得A=1，=﹣，∴ω=3，再根据五点法作图可得3×+φ=π，∴φ=，f（x）=sin（3x+）．为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位长度，故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．11．（5分）奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[f （x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【分析】由函数奇偶性的性质，我们根据已知中奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，易判断函数f（x）在（﹣∞，0），（0，1），（﹣1，0），（0，+∞）上的符号，进而得到不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＞0的解集．【解答】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0，∴f（﹣1）=0，则当x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）﹣f（﹣x）＜0；当x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）﹣f（﹣x）＞0，则不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），故选：C．【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用，其中奇函数在对称区间上单调性相同，是解答本题的关键．12．（5分）将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x=对称，且f（0）＞0，则φ=（）A．B． C．D．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，可得y=2sin（x++2φ）的图象，根据所得图象关于直线x=对称，可得++2φ=kπ+，即φ=﹣，k ∈Z．根据且f（0）=2sin2φ＞0，则φ=，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分）13．（5分）已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），则实数a=2．【分析】由题意利用对数函数的图象的特殊点，求得实数a的值．【解答】解：∵已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），故有2+log a2=3，求得a=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查对数函数的图象的特殊点，属于基础题．14．（5分）已知sin，且α∈（0，），则tan的值为2．【分析】由已知利用辅助角公式变形，可得sin（）=1，结合α的范围求得α值，则答案可求．【解答】解：由sin，得，∴sin（）=1，∵α∈（0，），∴∈（），则=，即，∴tanα=tan．∴tan=1+1=2．故答案为：2．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正弦，是基础题．15．（5分）已知f（x）=x2﹣ax+2a，且在（1，+∞）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（8，+∞）．【分析】根据二次函数的性质列出不等式组求解即可．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2﹣ax+2a在（1，+∞）内有两个零点，∴，即，解得8＜a．故答案为：（8，+∞）．【点评】本题考查了二次函数的性质，零点的个数判断，属于中档题．16．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，则边c=3．【分析】根据正弦、余弦定理，列方程求出c的值．【解答】解：△ABC中，a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，∴b=c，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=22+c2﹣2×2×c×（﹣），化简得5c2﹣3c﹣36=0，解得c=3或c=﹣（不合题意，舍去），∴c=3．故选：3．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=2x﹣sin2x﹣．（I）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（II）求函数f（x）的单调区间．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，再求它的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，求出f（x）的单调递增、递减区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2x﹣sin2x﹣=（1+cos2x）﹣sin2x﹣=﹣sin2x+cos2x=﹣2sin（2x﹣）；﹣﹣﹣﹣（3分）∴f（x）的最小正周期为π，﹣﹣﹣﹣（4分）对称轴方程为x=+，k∈Z；﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）；﹣﹣﹣﹣（8分）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．18．（12分）若0，0，sin（）=，cos（）=．（I）求sinα的值；（II）求cos（）的值．【分析】（I）由已知求得cos（）=，利用sinα=sin[﹣（）]，展开两角差的正弦求解；（II）由已知求得sin（）=，利用cos（）=cos[（）+（）]，展开两角和的余弦求解．【解答】解：（Ⅰ）∵0，∴，又sin（）=，∴cos（）=，∴sinα=sin[﹣（）]=sin cos（）﹣cos sin（）=；（Ⅱ）∵0，∴，又cos（）=，∴sin（）=．∴cos（）=cos[（）+（）]=cos（）cos（）﹣sin（）sin（）=．【点评】本题考查两角和与差的正弦，关键是“拆角、配角”思想的应用，是中档题．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（I）求角B的大小；（II）若b=2，求△ABC周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sinAcosB=sinA，结合sinA＞0，可求cosB=，结合范围B∈（0，π）即可解得B的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可得a=sinA，c=sinC，由三角函数恒等变换的应用化简可求三角形周长：a+b+c=4sin（A+）+2，由A的范围可求＜A+＜，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解周长的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵由（2a﹣c）cosB=bcosC，可得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，可得：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵A∈（0，π），sinA＞0，∴可得：cosB=，∴由B=，B∈（0，π），B=．﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）∵2R==，a=sinA，c=sinC，﹣﹣﹣﹣（6分）∴可得三角形周长：a+b+c=sinA+sinC+2=sinA+sin（﹣A）+2=4sin（A+）+2，﹣﹣﹣﹣（9分）∵0＜A＜，＜A+＜，可得：sin（A+）∈（，1]．﹣﹣﹣﹣（11分）∴周长的最大值为6．﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，函数的图象关于点（）中心对称，且过点（）．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若方程2f（x）﹣a+1=0在x∈[0，]上有解，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意求出T、ω、φ和A的值，即可写出f（x）的解析式；（II）分离变量a，利用三角函数的图象与性质求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为T==π，由ω＞0，得ω=2；由函数f（x）的图象关于点（）中心对称，∴2×+φ=kπ，φ=﹣+kπ，k∈Z；又|φ|＜，∴φ=﹣；又f（x）过点（），∴Asin（2×﹣）=1，解得A=2，∴函数f（x）=2sin（2x﹣）；（II）方程2f（x）﹣a+1=0，∴a=4sin（2x﹣）+1；又x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴4sin（2x﹣）+1∈[﹣1，5]，∴实数a的取值范围是[﹣1，5]．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．21．（12分）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c，若△ABC的面积为2，sin（A﹣B）+sinC=sinA，b=3．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求边a，c的值．【分析】（1）由sin（A﹣B）+sinC=sinA，得sinAcosB﹣cosAsinB+sin（A+B）= sinA，即．sinB=，然后求解cosB的值．（Ⅱ）由余弦定理得：a2+c2﹣ac=9…①，又s=ac•sinB=2，ac=6…②，由△ABC①②解得a，c．【解答】解：（Ⅰ）由sin（A﹣B）+sinC=sinA，得sinAcosB﹣cosAsinB+sin（A+B）=sinA即2sinAcosB=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=．sinB=（Ⅱ）由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣ac⇒a2+c2﹣ac=9…①又∵s=ac•sinB=2，∴ac=6…②△ABC由①②解得，∵a＞c，∴a=3，c=2．【点评】本题考查了正余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．22．（12分）设函数f（x）=a2x+ma﹣2x（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=f（x）﹣2kf（）+2a﹣2x在[0，1]上的最小值为2，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得f（0）=0，1+m=0，求得m，由定义检验可得成立；（Ⅱ）由题意可得a=2，y=g（x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2k（2x﹣2﹣x）+2，设t=2x﹣2﹣x，y=t2﹣2kt+2，求得对称轴，讨论与区间[0，]的关系，可得最小值，解方程即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得f（0）=0，1+m=0，解得m=﹣1，则f（x）=a2x﹣a﹣2x，f（﹣x）=a﹣2x﹣a2x=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，则m=﹣1成立；（Ⅱ）由f（x）=a2x﹣a﹣2x，f（1）=，可得a2﹣a﹣2=，解得a=2，则f（x）=22x﹣2﹣2x，设y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2k（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2k（2x﹣2﹣x）+2，设t=2x﹣2﹣x，y=t2﹣2kt+2x∈[0，1]，可得t∈[0，]，当k＜0时，y min=2成立；当0≤k≤时，y min=2﹣k2=2，解得k=0成立；当k≥时，ymin=﹣3k+=2，解得k=不成立，舍去．综上所述，实数k的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．。

5．（5 分）设函数 f（x）=
A．4 B． C．5 D．6
【解答】 解：∵函数 f （x）=
∴ f（2）=log22=1，
f（﹣ log23）=
=3，
∴ f（2）+f（﹣ log23）=1+3=4． 故选： A．
，则 f（ 2）+f（﹣ log23）的值为（ ） ，
6．（5 分）若 sin（
）= ，sin（2
，且 α∈（0， ），则 tan
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的值为 2 ．
【解答】 解：由 sin
，得
∴ sin（
） =1，
∵ α∈（ 0， ），∴ຫໍສະໝຸດ ∈（），则
= ，即
，
∴ tan α=tan ．
∴ tan
=1+1=2．
故答案为： 2．
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，
15．（ 5 分）已知 f（ x） =x2﹣ ax+2a，且在（ 1，+∞）内有两个不同的零点，则实 数 a 的取值范围是 （8，+∞） ． 【解答】 解：∵二次函数 f（ x） =x2﹣ ax+2a 在（ 1， +∞）内有两个零点，
∴ c=3．
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故选： 3．
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三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分）
又∵ f（ 1） =0，
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∴ f（﹣ 1） =0， 则当 x∈（﹣∞，﹣ 1）∪（ 0，1）上时， f （x）＜ 0，f（ x）﹣ f（﹣ x）＜ 0； 当 x∈（﹣ 1，0）∪（ 1，+∞）上时， f （x）＞ 0，f（ x）﹣ f（﹣ x）＞ 0， 则不等式 x[ （f（x）﹣ f （﹣ x）] ＞0 的解集为（ 1， +∞）∪（﹣∞，﹣ 1）， 故选： C．