人教版高中数学选修1-1第二章2.2圆锥曲线知识点总结

2 G 圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。

通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。

(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。

(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。

高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+y2= 1.如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）.（1）求m2+k2的最小值；（2）若∣OG∣=∣OD∣·∣OE∣,①求证：直线l过定点；②试问点B、能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理22）已知动直线l与椭圆C：+=1相交于P（x，y），Q（x，112y△2）两个不同点，且OPQ的面积△SOPQ=，其中O为坐标原点．（1）证明：+ 和 + 均为定值；（2）设线段 PQ 的中点为 M ，求∣OM ∣·∣PQ∣的最大值；（3）椭圆 C 上是否存在三点 D,E,G ，使得 △S OD E= △S OD G= S △OEG= ？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．(2009 年山东卷)设 m ∈R,在平面直角坐标系中,已知向量 a =(mx,y+1),向量 b =(x,y-1),a⊥b ,动点 M(x,y)的轨迹为 E.（1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知 m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨 迹 E 恒有两个交点 A,B,且 OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知 m=1/4,设直线 l 与圆 C:x 2+y 2=R 2(1<R<2)相切于 A ,且 l 与轨迹 E 只有1一个公共点 B ,当 R 为何值时,|A B |取得最大值?并求最大值.11 1一.圆锥曲线的定义：椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点数学语言：叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距。

常数 2a=常数 2a<，轨迹是线段，轨迹不存在；；双曲线：平面内与两个F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于||F 1F 2）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离 叫做双曲线的焦距。

数学语言： MF - MF = 2a1 2常数 2a=，轨迹是两条射线；常数 2a>，轨迹不存在；（2a < F F 1 2 ）常数 2a=0,轨迹是 F F 的中垂线。

1 2抛物线平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．（注：F不在l上）当F在l上时是过F点且垂直于l的一条直线。

定义中要重视“括号”内的限制条件(1)定点F(-3,0),F(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是(12)A．PF+PF12=4B．PF+PF12=6C．PF+PF=10D．PF 1212+PF22=12（2）方程(x-6)2+y2-(x+6)2+y2=8表示的曲线是____二、圆锥曲线的标准方程椭圆：焦点在x轴上时：x2y2y2x2a2+b2=1焦点在y轴上时：a2+b2=1注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。

双曲线：焦点在x轴上时：x2y2y2x2 -=1焦点在y轴上时：-a2b2a2b2=1注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置。

抛物线的标准方程：图形标准方程焦点坐标准线方程（1）已知方程x2y2+=13+k2-k表示椭圆，则k的取值范围为____（2）已知方程x2y2-=1m+2m+1表示双曲线，求m取值范围。

x2y2（3）已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()m-12-m（4）抛物线y2＝mx(m≠0)的焦准距p为------------，焦点坐标是-------------，准线方程是---------．三、椭圆与双曲线的性质分析+y2离心率e=e=c分类椭圆双曲线定义图形平面内与两个F1，F2的距离之和等于常数（大于||F1F2）的点的轨迹yx平面内与两个F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于||F1F2）的点的轨迹标准方程x2=1(a>b>0)a2b2x2y2-=1(a>0，b>0)a2b2a、b、c关系c2=a2-b2c2=a2+b2a、b、c的意义a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距a是实长半轴长，b是虚短半轴长，c是半焦距范围-a≤x≤a，-b≤y≤b x≤-a，x≥a y∈R 分类椭圆对称性关于x轴和y轴对称，也关于原点对称双曲线关于x轴和y轴对称，也关于原点对称顶点A1(-a,0)B(0,-b)1A(a,0)2B(0,b)2A(-a,0)，A(a,0)12ca a焦点坐标F(-c,0)，F(c,0)F(-c,0)，F(c,0) 1212渐近线无y=±b a x抛物线几何性质：标准方程y y yyF图象O F x F O xOO x xF焦坐顶坐准方p何+ = 1 的离心率 e = 2 （6）双曲线的离心率等于 ，且与椭圆 + =1有公共焦点，则该双曲线的方程_____2 2（1）椭圆若椭圆 x 2 y 2 105 m 5，则 m 的值是__（2）双曲线的渐近线方程是3x ± 2y = 0，则该双曲线的离心率等于______（3）若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4，则点 M 的坐标为__（4）设双曲线 x 2 y 2 -a b 2= 1 （a>0,b>0）中，离心率 e ∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角 θ的取值范围是________(5)设 a ≠ 0, a ∈ R ，则抛物线 y = 4ax 2 的焦点坐标为________5x 2 y 2 2 9 4（7）设中心在坐标原点 O ，焦点 F 、 F 在坐标轴上，离心率 e =2 的双曲线 C 过点12P (4,- 10) ，则 C 的方程为_______（8）已知抛物线方程为 y 2 = 8x ，若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（9）抛物线 y 2 = 2x 上的两点 A 、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为______四、点 P ( x , y ) 和椭圆 0 0 x 2 y 2 +a b 2= 1（ a > b > 0 ）的关系：x 2 0 + a 2 y 20 = 1 ⇒ p 点在椭圆上。

b 2x 2 y 20 + 0 < 1 ⇒ p 点在椭圆内。

a b 2x 2 y 20 + 0 > 1 ⇒ p 点在椭圆外。

a 2 b 2对于双曲线和抛物线与点的位置关系可以此类推。

五、直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实(2).a.求弦长。

公式：弦长 l = 1 + k 2 x - x = (1+ k 2 ) ⎡(x + x )2 - 4x x ⎤2 （7）过点(0,2)与双曲线 - = 1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为______（8）过双曲线 x 2 - = 1的右焦点作直线 l 交双曲线于 A 、B 两点，若 AB = 4，则满足根的个数来判断(解析法).b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性1 2 ⎣ 1 2 1 2 ⎦其中 k 为直线的斜率， ( x , y ),( x , y ) 是两交点坐标．1122b.求弦所在的直线方程c.根据其它条件求圆锥曲线方程(3).已知一点 A 坐标，一直线与圆锥曲线交于两点 P 、Q ，且中点为 A ，求 P 、Q 所在的直线方程（点差法）(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x 2-y 2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是_______（2）直线 y―kx―1=0 与椭圆 x 2 y 2+ = 1 恒有公共点，则 m 的取值范围是______5 m（3）过双曲线x 2 y 2- = 1 的右焦点直线交双曲线于 A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这 1 2样的直线有_____条.（4）过双曲线 x 2 y 2 - a b 2＝1 外一点 P ( x , y ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如0 0下：（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

（6）过点 (2,4) 作直线与抛物线 y 2 = 8x 只有一个公共点，这样的直线有__x 2 y 29 16y 22条件的直线 l 有__条（9）对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02<4x的点M(x,y)在抛物线的内部，000若点M(x,y)在抛物线的内部，则直线l：y y=2(x+x)与抛物线C的位置关系是0000_______（10）过抛物线y2=4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则11+=_______ p q（11）求椭圆7x2+4y2=28上的点到直线3x-2y-16=0的最短距离（12）直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点。

①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？1、求弦长问题：：（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（2）过抛物线y2=2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______2、圆锥曲线的中点弦问题：（1）如果椭圆x2y2+=1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是369（2）已知直线y=－x+1与椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______x2y2（3）试确定m的取值范围，使得椭圆+=1上有不同的两点关于直线43y=4x+m对称特别提醒：因为∆>0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关yA弦长、对称问题时，务必别忘了检验∆>0！3、直线恒过定点问题：OPMBx若抛物线的方程为 y 2＝2px （p ＞0），过抛物线的焦点 F （ ，0）的直线交抛物线与 2；x x ＝；(3) ＋ ＝ ；（1）A 、B 是抛物线 y 2＝2px （p ＞0）上的两点，且 OA ⊥OB （O 为坐标原点） 求证：直线 AB 经过一个定点；（2）抛物线 y 2＝2px （p ＞0）上有两个动点 A 、B 及一定点 M （p ， 2p ），F 为焦点；若|AF|、 |MF|、|BF|成等差数列，求证：线段 AB 的垂直平分线过定点。