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第十章 矩量法解析方法仅适用于结构简单的散射体。
如果散射目标结构复杂，必须选用数值方法。
数值方法是对所求解的微分方程或积分方程实施离散，采用一组基函数表示电场、磁场或感应电流等未知量，然后将电磁场微分方程或积分方程转换为一组线性代数方程，即可按照标准的数值程序求解这些线性方程组。
数值方法的优点在于容易处理结构复杂的散射体，而且通常可以获得高精度解。
随着高性能计算机的飞速发展，数值方法已经成为解决实际问题的日益重要的工具。
现今已有多种数值方法，各具特色，分别适用于求解不同的电磁问题。
典型的数值方法是矩量法（MoM ）、时域有限差分法（FDTD ）和有限元法（FEM ）等。
本章讨论矩量法，后两章将分别介绍时域有限差分法和有限元法。
矩量法是求解算子方程的有效方法，这些算子通常是微分算子、积分算子或者是两者的组合。
20世纪60年代， R. F. Harrington 首先将矩量法用于电磁问题的求解[1]。
目前已经广泛地用于天线分析、微波器件的设计以及复杂目标的雷达散射截面（RCS ）的计算。
通常认为矩量法是精度最高的数值方法，因此引起更多的关注。
如今很多商用软件的开发都基于矩量法。
但是，矩量法需要求解稠密的矩阵方程。
对于电大尺寸的散射体，它将十分消耗大量机时及内存。
为了解决这个问题，人们作了很多努力，研发快速计算和有效的存储方法。
因此发展了很多有关积分方程的快速求解算法，大力推动了矩量法的应用。
10-1一般步骤典型的算子方程可以表示为下列形式h Lf = （10-1-1）式中L 为线性算子，可以是微分、积分或两者组合，h 为一个已知函数，f 为待求的未知函数。
这些函数可以是矢量或标量，且定义域可为一维、二维或三维空间。
因此，在电磁学中它们可以是空间及时间函数。
矩量法的一般步骤是，首先将未知函数表示为一组基函数的线性组合，然后匹配算子方程，最后由离散的线性方程组求出展开系数。
下面详述矩量法的具体步骤。
首先令N f f f ,,,21 为一组基函数，那么，未知函数)(x f 可以近似表示为∑==+++≈Nn n n N N x f a x f a x f a x f a x f 12211)()()()()(（10-1-2）式中),,3,2,1(N n a n =为展开系数，它们是未知的。
积分号下含有未知函数的方程。
其中未知函数以线性形式出现的，称为线性积分方程；否则称为非线性积分方程。
积分方程起源于物理问题。
牛顿第二运动定律的出现，促进了微分方程理论的迅速发展，然而对积分方程理论发展的影响却非如此。
1823年，N.H.阿贝尔在研究地球引力场中的一个质点下落轨迹问题时提出的一个方程，后人称之为阿贝尔方程，是历史上出现最早的积分方程，但是在较长的时期未引起人们的注意。
“积分方程”一词是 P.du B.雷蒙德于1888年首先提出的。
19世纪的最后两年，瑞典数学家（E.）I.弗雷德霍姆和意大利数学家V.沃尔泰拉开创了研究线性积分方程理论的先河。
从此，积分方程理论逐渐发展成为数学的一个分支。
1899年，弗雷德霍姆在给他的老师（M.）G.米塔－列夫勒的信中，提出如下的方程, (1)式中φ（x）是未知函数；λ是参数，K（x，y）是在区域0 ≤x，y≤1上连续的已知函数；ψ(x)是在区间0≤x≤1上连续的已知函数。
并认为方程（1）的解可表为关于λ的两个整函数之商。
1900年，弗雷德霍姆在其论文中把（1）称为“积分方程”, 并初次建立了K（x,y）的行列式D(λ)和D（x,y,λ）,证明了它们都是λ的整函数, 以及当λ是D(λ)的一个零点时, 则(1)的齐次方程φ有不恒等于零的解。
1903年，他又指出，若行列式D(1)≠0,则有一个且只有一个函数φ(x)满足方程(1)(λ=1)，此时φ(x)可表为从此，积分方程理论的发展进入了一个新的时期。
以下形式的积分方程, (2), (3), (4)分别称为第一种、第二种、第三种弗雷德霍姆积分方程，其中K(x,y)是在区域α≤x、y≤b 上连续的已知函数,称为方程的核;A(x)、ψ(x)都是在区间α≤x≤b上连续的已知函数，φ(x)是未知函数，λ是参数。
第一、二种弗雷德霍姆积分方程是第三种弗雷德霍姆积分方程的特殊情形。
但是，第一种方程与第二种方程却有本质上的区别。
积分算子的线性性和有界性耿立刚;曾静【摘要】积分算子在数学中是作用在函数上的作用子,根据其核函数的不同,可以得到不同的积分算子;研究了积分算子的线性性及有界性等算子的代数性质,得出了积分算子是线性算子,并且在某些特定情况下还是有界算子,从而是连续的线性算子的结论.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(032)007【总页数】3页(P33-35)【关键词】积分算子;线性;有界性【作者】耿立刚;曾静【作者单位】重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067;重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067【正文语种】中文【中图分类】O172在泛函分析中，积分算子T又称积分变换是具有(Tf)(u)=(t，u)f(t)d t形式的变换.此变换把函数映为函数，是把函数空间映到函数空间上的变换.其中的K(t，u)是个确定的二元函数，称为此积分算子的核函数或核，f(t)称为象原函数，Tf(u)称为象函数.当选取不同的积分域或核函数时，就得到不同的积分变换.积分变换常用来处理微分方程的问题，常见的积分变换有Fourier变换、Laplace变换、Mellin变换、Abel变换及Hilbert变换等.此处将对积分算子的一些代数性质如线性性、有界性等进行研究.1 积分算子的线性性定理1 设算子T是从函数空间X到函数空间Y上的算子，如果对于任意的f，g∈X以及常数α都有式(1)(2)成立:则称算子T是从X到Y的线性算子.定理2 积分算子T:X→Y是线性算子.证明设f，g∈X，α是任一常数，则对于积分算子T，根据积分的性质有即T(f+g)=Tf+Tg.即T(αf)=α(Tf)，即证积分算子T是线性算子.2 积分算子的有界性算子T的范数指的是算子范数，定义为对于算子T，如果 T＜∞，则称算子T是有界算子.根据积分的性质，易知积分算子是否有界与核函数K(t，u)及积分域有关.定理3 如果一个积分算子的积分域是有界集，并且核函数是有界函数，那么这个积分算子是有界算子.证明由假设，核函数K(t，u)是有界的，不妨设，由定积分的保不等式性，有由此可得Tf Y≤M1 f X，则T≤M1＜∞，即积分算子T是有界线性算子.定理4 如果一个积分算子T的积分域是有界集，并且核函数是有界函数，那么这个积分算子T是连续的.证明因线性算子的有界性和连续性是等价的，由定理3，积分算子在所假设条件下是有界的，故积分算子T在定理假设条件下是连续的.3 单位圆盘上的积分型算子记为复平面上的单位圆盘，即上所有满足的复数z的全体，用H()表示上所有解析函数的全体，其上的范数定义为上确界范数.设g∈H()，z∈，对于任意的f∈H()，定义 H()上的积分型算子Jg为根据积分的性质，易知Jg的有界性.定理5 积分算子Jg是有界的线性算子当且仅当g(z)是上的有界函数.证明充分性:由Jg的定义，积分域是有界的，根据定理3可得积分算子Jg是有界算子.必要性:由算子范数定义积分算子在泛函分析领域的研究中具有广泛的应用，并且在一些具体的理论研究中起着关键性的作用.根据Schwarz核定理，如果核函数是个广义的函数，所有的线性算子都是积分算子.Frodholm理论就是对一般积分方程理论的研究，在Frodholm理论中，核一般是Banach函数空间上的紧算子.在此情形下，核有时也称为Frodholm算子、核算子及Frodholm核等.参考文献:【相关文献】［1］欧阳光中，朱学炎，金福临，等.数学分析［M］.3版.北京:高等教育出版社，2007［2］POLYANIN A D，MANZHIROV A V.Handbook of Integral Equations［M］.CRCPress，Boca Raton，1998［3］MANZHIROV R K，THAMBYNAYAGAM.The Diffusion Handbook:Applied Solutionsfor Engineers［M］.McGraw-Hill，New York，2011。
波动方程的解析求解波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学和地球科学等领域。
它描述了波的传播和变化规律，并可以通过解析方法得到具体的解。
波动方程可以写作:∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u表示波动的物理量，t表示时间，c为波的传播速度，∇²表示Laplace算子。
解析求解波动方程是指通过代数运算、微积分工具等数学方法，直接得到方程的解析解。
相对于数值方法，解析求解具有精确性和通用性的优势。
下面将从几个方面介绍波动方程的解析求解方法。
一、分离变量法：对于边界条件和初值条件满足特定形式的波动方程，可以通过分离变量法求解。
具体步骤为将未知函数拆分成时间和空间两个变量的乘积形式，代入方程后将时间和空间两部分分别等于一个常数，得到一组关于常数和变量的常微分方程。
通过求解这组方程并考虑边界条件，可以得到波动方程的解析解。
二、傅里叶变换法：傅里叶变换是一种将函数分解成频域分量的方法，对于满足一定条件的波动方程，可以通过傅里叶变换得到解析解。
具体步骤为将波动方程进行傅里叶变换，得到频域的代数方程，再将其反变换回时域，即可得到原方程的解析解。
三、格林函数法：格林函数是波动方程的特殊解，可以用来表示波在某一点的传播规律。
通过构造波源函数和格林函数的卷积，可以得到波动方程的解析解。
这种方法常用于求解具有一定边界条件的波动方程，可以得到空间中任意一点的解析解。
四、变量替换方法：对于一些特殊形式的波动方程，如球坐标系或柱坐标系下的波动方程，可以通过将自变量进行适当的变换，得到新的形式，进而求解原方程。
这种方法可以简化方程的形式，使求解变得更加方便。
综上所述，波动方程的解析求解方法主要包括分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法和变量替换方法等。
这些方法对于特定形式的波动方程都有适用性，能够得到精确的解析解。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，将有助于深入理解波动现象的特性和规律。
wk_ad_begin({pid : 21});wk_ad_after(21, function(){$('.ad-hidden').hide();}, function(){$('.ad-hidden').show();});（1.3） SL2(Ｚ)一模形式，Eisenstein级数丁一函数（1.4）模形式空间的维数（1.5）模形式在"∞"的Fourier展式（1.6） Theta 函数（二）章：Hecke 理论（2.1）点格上的Hecke 对应（2.2）模形式空间上的Hecke算子（2.3） Peterson 内积与Hecke算子的自反性（2.4） Hecke算子的特征形式（2.5）模形式的L-级数（2.6） Hecke算子的迹公式教学方式：讲授教材或教学参考书：(1) N. Koblitz: Introduction to elliptic curves and modular forms (2) J.P.Serre,数论基础，冯克勤译 (3) ng. Elliptic Function. 学生成绩评定方法：考试课程编号：00132610 课程名称：密码学课程类型：研究生和本科生选修课学时学分：54学时，3学分先修要求：高等代数(I)、(II) 基本目的：1．使学生了解传统的密码体制：分组密码和序列密码。
2．使学生了解几种公钥密码体制。
3．使学生了解数字签名，识别和认证的基本方法。
内容提要：1．一些古典密码：移位密码，单表代替密码，多代表替密码，转轮密码。
2．信息论：完全保密，熵，唯一解距离，互信息。
3．序列密码：线性反馈移位寄存器，线性复杂度，非线性组合发生器，组合函数及其相关免疫性。
4．分组密码和数据加密标准：分组密码的工作方式，乘积密码和Feistel密码，DES的算法，DES的特性和强度，对DES的差分攻击。
5．公钥密码体制：计算复杂度，单向函数和陷门函数，RSA密码体制，素性的概率测试，对RSA的攻击，ELGamal密码体制和离散对数，Merkle-Hellman背包体制，椭圆曲线密码体制。
已知调和函数求解析函数例题
已知一个调和函数，我们想找到它的解析函数。
首先，让我们回顾一下调和函数的定义。
一个实数或复数域上的函数称为调和函数，如果它满足拉普拉斯方程的性质，即对于二维情况下的函数
u(x, y)，满足以下条件，∇^2u=0，其中∇^2是拉普拉斯算子。
现在我们来看一个例题。
假设我们已知一个调和函数u(x, y)，我们希望找到一个解析函数f(z)，使得f(z)的实部是给定的调和函数u(x, y)。
这里
z=x+iy是复平面上的变量。
首先，我们知道如果一个函数是解析的，那么它满足柯西-黎曼方程。
对于一个解析函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别是f(z)的实部和虚部，柯西-黎曼方程可以写成以下形式，∂u/∂x=∂v/∂y 以及∂u/∂y=-∂v/∂x。
现在我们可以利用柯西-黎曼方程来找到我们所需的解析函数。
假设我们已知调和函数u(x, y)，我们可以通过对u(x, y)进行积分来找到v(x, y)。
具体地，我们可以选择一个合适的路径，沿着路径对u(x, y)进行积分，然后利用柯西-黎曼方程来找到v(x, y)。
一旦我们找到了v(x, y)，我们就可以得到解析函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)。
另一种方法是利用调和函数的性质和柯西积分公式来找到解析函数。
我们可以利用调和函数在圆盘区域上的平均值性质，结合柯西积分公式来构造出解析函数。
综上所述，已知一个调和函数，我们可以通过柯西-黎曼方程或者调和函数的性质和柯西积分公式来找到它的解析函数。
这些方法可以帮助我们从不同的角度来解决这个问题。
高数上知识点总结高等数学作为一门重要的学科，在大学阶段是必修课程之一。
作为一门复杂的高级数学课程，它包含了多个重要的知识点，这些知识点是学习数学的基础，对于学术和实践都非常重要。
在本篇文章中，我们将重点关注高等数学中的重要知识点。
1.极限与连续极限与连续是高等数学的基础知识点。
极限是函数在一个点的取值趋近于某个值时的性质。
连续则是函数在一个点上沿着整个取值域的变化都是连续的。
在高等数学中，极限与连续是一个很基本的概念，被广泛应用于微积分、实变函数等多个数学学科中。
熟练掌握这两个概念的定义和性质是高等数学的重要基础。
2.导数与微分导数是函数图像上任何一点切线斜率的极限，导数被广泛地应用于微积分和分析几何等数学领域。
微分则是导数的一种形式化运算，它表示函数图像在某一点上的微小变化量。
导数和微分在计算机科学、经济学、物理学、统计学以及金融学等学科中都是关键的数学工具。
3.积分积分也是高等数学的重要知识点，主要用于计算曲线、曲面的面积、体积以及求解区域的质心和惯量等问题。
积分在实际应用中非常广泛，例如在物理学中用于计算力学和电磁场问题；在经济学中用于计算成本和收益；在信号处理中用于分析音频和图像等。
4.偏微分方程偏微分方程是包含多个变量和微分算子的方程，它们是高等数学最复杂的概念之一。
在科学研究中，偏微分方程被广泛应用于计算物理学、工程学、金融学等领域。
偏微分方程求解通常采用数值计算和解析法，并由此衍生出了很多研究方向，例如泛函分析、非线性控制论等。
5.复变函数复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，与实数变量的普通函数不同。
复变函数包含了数学中重要的概念，如全纯函数、解析性、特殊函数、调和函数等，这些概念在科学研究和技术创新中都非常重要。
综上所述，高等数学作为一门复杂而重要的学科，包含了多个重要的知识点。
熟练掌握这些知识点对于深入理解现代数学、应用数学和学术研究至关重要。
Research Institute of Antennas & RF TechniquesSchool of Electronic and Information EngineeringSouth China University of Technology计算电磁场第3讲算子理论与逼近理论褚庆昕华南理工大学电子与信息学院天线与射频技术研究所Research Institute of Antennas & RF Techniques 算子理论 逼近理论 误差分析第3讲内容3-1-1 映射和算子Research Institute of Antennas & RF TechniquesResearch Institute of Antennas & RF Techniques 按照映射前后两个集合的不同类型有三种基本的映射关系：函数：数与数的对应关系。
泛函：函数与数之间的对应关系。
算子：函数与函数之间的对应关系。
算子有多种形式：微分，不定积分，Fourier 变换，Laplace 变换，矩阵，梯度，旋度，散度等。
Research Institute of Antennas & RF TechniquesResearch Institute of Antennas & RF Techniques3-1-2常用算子线性算子符合以下条件的算子L 称为线性算子(a) (b) 单位算子I 零算子θ逆算子L -1，若，则称为的逆算子1212()L u u Lu Lu +=+()L u Luαα=Iu u=0u θ=1LL I -=1L -LResearch Institute of Antennas & RF TechniquesResearch Institute of Antennas & RF TechniquesResearch Institute of Antennas & RF TechniquesResearch Institute of Antennas & RF Techniques则Research Institute of Antennas & RF Techniques3-1-3【定义】Research Institute of Antennas & RF TechniquesResearch Institute of Antennas & RF TechniquesResearch Institute of Antennas & RF Techniques3-1-4 算子与矩阵【定理】N 维空间中，在基给定时，每一个线性算子都有一个确定的矩阵与之对应。
哈密尔顿算子·场记{}z y x r ,,=，||r r ==，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=∇z y x ,,，则r r r 1=∇，3=⋅∇r ，0 =⨯∇r ，（数量函数的梯度，矢量函数的散度、旋度）rdr r d r =⋅ 222211d d()22r x y z ==++.运算规则：I （链规则）()()f u f u u '∇=∇，II （积规则）()uv v u u v ∇=∇+∇，()uF u F u F ∇⋅=∇⋅+∇⋅ ，()uF u F u F ∇⨯=∇⨯+∇⨯ .结论(以下所涉及的函数都有连续的二阶偏导数)（1）梯度场无旋.0 =∂∂∂∂∂∂=∇⨯∇zy xu u u z y x k j i u .（2）旋度场无源.RQ P z y x z y x F ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⨯∇⋅∇ =0.定理Ω为单连通空间区域，{}R Q P F ,,= ，R Q P ,,具有一阶连续偏导数.则以下四个命题等价：ⅰΩ内空间曲线积分⎰⋅Lr d F 与路径无关.ii F 为梯度场(有势场),即d d d d F r P x Q y R z ⋅=++ d u =，或u F ∇= .ⅲF 为无旋场，0 =⨯∇F .iv Ω内任意简单闭曲线C 上，0=⋅⎰Cr d F .例1验证位于原点的质点产生的引力场r Kmr F 3--=为梯度场，也是无源场.证333(){}F Km r r Km r r r r ---∇⨯=-∇⨯=-∇⨯+∇⨯ （算子∇的积规则）441{30}30Km r r r Km r r r r --⎛⎫=--∇⨯+=⨯= ⎪⎝⎭.F 为无旋场（原点除外），所以在去掉了原点的单连通域内F 为梯度场.()333{}F Km r r Km r r r r ---∇⋅=-∇⋅=-∇⋅+∇⋅ （算子∇的积规则）43431{33}330Km r r r r Km r r r r ----⎛⎫=--∇⋅+=--⋅+= ⎪⎝⎭,所以F 为无源场（原点除外）.注33d d (d )F r Kmr r r Kmr r r --⋅=-⋅=- 21d d()Kmr r Kmr --=-=,即有势场r Kmr F 3--=的势函数为1-Kmr .例2因为除原点外，r r 3-为有势场，故有①3d r r r -Γ⋅⎰在（去除原点）单连通域Ω内与路径无关.②曲线⎩⎨⎧=++=++az y x a z y x C 2222:（从z 轴正向看为逆时针方向），3d 0C r r r -⋅=⎰ .③Γ是球面2222a z y x =++在第一卦限部分的边界曲线（从z 轴正向看为逆时针方向），3d 0Cr r r -⋅=⎰ .例3因为除原点外，r r 3-为无源场，故有①若∑为不包围原点的闭曲面，则3d 0I r r n S -∑=⋅=⎰⎰ .②若∑为任何包围原点的闭曲面外侧，则3d I r r n S -∑=⋅⎰⎰ 为固定值，且11d 3d 4πr r I r n S v =≤=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰ .注这里积分的坐标形式为()3/2222d d d x x y y z z x y z Γ++++⎰，()3/2222d d d d d d S x y z y z x z x y x y z ++++⎰⎰.。
