导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第○2步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a
f x →= 及()lim 0x a
g x →=；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()
()
lim
x a
f x l
g x →'='， 那么 ()
()lim x a f x g x →=()
()
lim
x a f x l g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞
= 及()lim 0x g x →∞
=；
(2)0A
∃，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0；
(3)()
()
lim
x f x l g x →∞'='， 那么 ()()
lim
x f x g x →∞
=()
()
lim
x f x l g x →∞
'='。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a
f x →=∞及()lim x a
g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()
()
lim
x a
f x l
g x →'='， 那么 ()
()lim x a f x g x →=()
()
lim
x a f x l g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○
1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a
+
→，x a
-
→
洛必达法则也成立。
○
2洛必达法则可处理00，∞∞
，0⋅∞，1∞，0
∞，00，∞-∞型。 ○
3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞
，0⋅∞，1∞，0
∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
○
4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 二．高考题处理
1.(2010年全国新课标理)设函数2
()1x
f x e x ax =---。
（1） 若0a =，求()f x 的单调区间； （2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 原解：（1）0a =时，()1x
f x e x =--，'()1x
f x e =-.
当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在
(0,)+∞单调增加
（II ）'()12x
f x e ax =--
由（I ）知1x
e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故
'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，
从而当120a -≥，即1
2
a ≤
时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =， 于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)x
e x x >+≠可得1(0)x
e x x ->-≠.从而当1
2
a >
时，
'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，
故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.
综合得a 的取值范围为1,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
原解在处理第（II ）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解:（II ）当0x =时，()0f x =，对任意实数a,均在()0f x ≥；
当0x >时，()0f x ≥等价于2
1
x
x a e
x
--≤
令
()2
1
x
x g x e
x
--=
(x>0),
则
3
22
()x x
x x g x e e x
-++'=
，令
()()220x
x
h x x x x e e =-++>，则()1x
x
h x x e e '=-+，()0x
h x x e ''=>，
知()h x '在()0,+∞上为增函数，()()00h x h ''>=；知()h x 在()0,+∞上为增函数，
()()00h x h >=；()0g x '∴>，g(x)在()0,+∞上为增函数。
由洛必达法则知，
2
0001
1
22
2lim
lim lim x
x x
x x x x x e
e e x
+
++→→→--===，
故1
2
a ≤
综上，知a 的取值范围为1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
。 2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k
f x x x
>
+-，求k 的取值范围。 原解：（Ⅰ）22
1
(
ln )
'()(1)x x b x f x x x α+-=
-
+
由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,
1'(1),2
f f =⎧⎪
⎨=-⎪⎩即
1,1,22
b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩
解得1a =，1b =。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1
f ()1x x x x
=
++，所以
22ln 1(1)(1)
()()(2ln )11x k k x f x x x x x x
---+=+--。
考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22
(1)(1)2'()k x x
h x x -++=。
（i ）设0k ≤，由22
2
(1)(1)'()k x x h x x
+--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h （x ）递减。而(1)0h =故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得
2
1
()01h x x
>-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得
2
11
x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x
k
.
（ii ）设0(1)(1)2k x x -++=2
(1)21k x x k -++-的图像开口向下，且
244(1)0k ∆=-->，对称轴x=
111k >-.
当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'
h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，
k -11）时，h （x ）>0，可得2
11
x -h （x ）<0,与题设矛盾。
（iii ）设k ≥1.此时2
12x x +≥，2
(1)(1)20k x x -++>⇒'
h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈
（1，+∞）时，h （x ）>0，可得
2
11
x
- h （x ）<0,与题设矛盾。 综合得，k 的取值范围为（-∞，0]
原解在处理第（II ）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解：（II ）由题设可得，当0,1x x >≠时，k<
2
2ln 11x x
x
+-恒成立。
