球的内切与外接问题_数学_高二

专题08外接球与内切球技巧导图

技巧详讲

一．外接球8大模型秒杀公式推导

r

说明：为底面外接圆的半径，R为球的半径，l为两面公共边的长度

为两个面的二面角，h是空间几何体的高，H为某一面的高1.墙角模型

(1)使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合

（2）推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径

(2)秒杀公式：222222abc3aR(abcR(a

44、、为长方体的长宽高）正方体的边长）

（4）图示过程

(3)

秒杀公式：2.汉堡模型

（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体

（2）推导过程

第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置第二步：根据勾股定理可得222hRr

4（3）秒杀公式：222hRr

4（4）图示过程3.斗笠模型

（1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上

（2）推导过程

第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h

第二步：在h上取一点作为球心O第三步：根据勾股定理22222rhR(hR)rR

2h（3）秒杀公式：22rhR

2h（4）图示过程4.折叠模型

（1）使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠

（2）推导过程

第一步：过两个平面取其外心H1、H2，分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O第二步：计算2222222

111OHHEtan=(CE-HE)tan(Hr)tan(

222g为两个平面的二面角）第三步：222222

11OCOHCH(Hr)tanr

2（3）秒杀技巧：2222R(Hr)tanr

2（4）图示过程5.切瓜模型

（1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥

（2）推导过程：

第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，

取BC的中点为M，连接FM、MN、OF、ON第二步：222222222

1

球的接切问题

1.正方体的外接球、内切球和棱切球

【例3】

有三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面内切,第二个球与正方体各条棱相切,第三个球过正方体各顶点,则三个球面积之比为

．

【解析】设正方体棱长为a,则有内切球半径12aR;

棱切球其直径为正方体各面上的对角线长,则有222Ra;

外接球直径为正方体的对角线长,∴有332Ra,

所以面积之比为2221:2:31:2:3.

【评注】 正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a，则内切球半径|OJ|＝r＝a2；正方体的棱切球：|GO|＝R＝22a；正方体的外接球：则|A1O|＝R′＝32a.用构造法易知：棱长为a的正四面体的外接球半径为64a.

【变式1】构建正方体求解三棱锥有关问题

若正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为 .

1.3:13.【解析】设正三棱锥侧棱长为a，纳入正方体中易知外接球半径为,23a体积63aV，内切球球心将正三棱锥分成四个高为内切球半径的三棱锥，则3221332,6324aaVra33,6ra31:3Rr.

【变式2】构建正方体利用等积法求点到面的距离

已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上．若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．

2.33【解析】由已知条件可知，以PA，PB，PC为棱可以补充成球的内接正方体，故而PA2＋PB2＋PC2＝()2R2，由已知PA＝PB＝PC, 得到PA＝PB＝PC＝2, VP－ABC＝VA－PBC⇒13h·S△ABC＝13PA·S△PBC, 得到h＝233，故而球心到截面ABC的距离为R－h＝33.

【变式3】构建正方体求解正四面体的外接球的体积

已知三棱锥BCDA的所有棱长都为2，则该三棱锥外接球的体积是________. 2 3.32

外接球、内切球专题

外接球几何体的外接球

一、定义1. 球的定义: 空间中到定点的距离等于定长的点的集合 (轨迹) 叫球面, 简称球.2. 外接球的定义: 若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球.3. 内切球的定义: 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关性质1.性质:性质1:过球心的平面截球面所得圆是大圆,大圆的半径与球的半径相等;性质2:经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心,该平面截球所得圆是大圆;性质3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面 (类比:圆的垂径定理);性质4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心;性质5:在同一球中,过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交, 交点是球心 (类比:在同圆 中,两相交弦的中垂线交点是圆心 ).

2.结论:由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.结论1:正方体或长方体的外接球的球心是其对角线的中点.结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心外心的连线的中点.结论4:正棱雉的外接球的球心在其高上, 具体位置可通过计算找到.结论5:若棱雉的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.非学无以广才，非志无以成学

第1页

正方体正方体的外接球、内切球和棱切球

1.正方体的外接球的球心是其对角线的中点,若正方体的棱长为a，则正方体外接

球的半径为R=22a2+a22=32a.

2.正方体的内切球的球心是其对角线的中点,若正方体的棱长为a，则正方体内切

球的半径为R=a2.

3.正方体的棱切球的球心是其对角线的中点,若正方体的棱长为a，则正方体棱切

球的半径为R=a22+a22=2a2.正方体的每个面与其棱切球的交线轨迹

高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型

本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。

第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。

除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。

需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）

首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。

设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：

a^2+b^2=x^2

b+c=y

c^2+a^2=z^2

根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。

例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。

2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。