劳斯判据判定稳定性
劳斯判据
即Routh-Hurwitz判据
一、系统稳定的必要条件
判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：
1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件
系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。建立表的方法请参阅相关的例题或教材。运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：
1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。于是表的计算无法继续。为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。这样，表中的其余各元就可以计算下去。出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳
定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验
劳斯稳定判据的定义
劳斯稳定判据，是控制理论中常用的一种判据，用于判断系统的稳定性。在控制系统中，稳定性是一个非常重要的指标，它决定了系统在各种工况下的可靠性和可控性。劳斯稳定判据通过分析系统的特征方程，判断系统的稳定性。特征方程是系统的传递函数的分母多项式，通过求解特征方程的根来判断系统的稳定性。
劳斯稳定判据的定义如下：设特征方程为F(s)=0，将特征方程F(s)进行因式分解，得到特征方程的根s1，s2，...，sn。如果特征方程的所有根的实部都小于零，且特征方程的根的个数与特征方程的阶数相等，则系统是稳定的。
通过劳斯稳定判据，我们可以很方便地判断系统的稳定性。只需要将特征方程进行因式分解，并对特征方程的根进行判断即可。如果特征方程的根都满足实部小于零的条件，且根的个数与特征方程的阶数相等，那么系统就是稳定的。否则，系统就是不稳定的。
劳斯稳定判据的应用范围非常广泛。不仅在控制系统中常常用到，而且在其他领域中也有广泛的应用。例如，在电力系统中，劳斯稳定判据可以用于判断发电机的稳定性；在通信系统中，劳斯稳定判据可以用于判断信道的稳定性；在经济学中，劳斯稳定判据可以用于判断经济系统的稳定性等等。
劳斯稳定判据是一个非常重要的判据，它可以帮助我们判断系统的稳定性。通过分析特征方程的根，我们可以得到系统的稳定性信息。劳斯稳定判据的应用非常广泛，不仅在控制系统中常常用到，而且在其他领域中也有广泛的应用。通过劳斯稳定判据，我们可以更好地理解和分析系统的稳定性，从而提高系统的可靠性和可控性。
3-5 系统稳定性分析
一、稳定性的概念
•稳定是相对于平衡状态而言的，当在平衡状态受到
扰动，系统仍能自动回到原平衡状态，称为稳定
的。不稳定的是临界稳定的。
稳定的平衡状态二、稳定的定义及数学条件
•微分方程
()()()
()1
011
1nn
nn
nndctdctdct
aaaact
dtdtdt−
−
−++++L
()()()
()1
011
1mm
mm
mmdrtdrtdrt
bbbbrt
dtdtdt−
−
−=++++L
()
()
1
011nn
nnasasasaCs−
−++++L
()
()()
00m
mbsbRsMs=+++L拉氏变换
简写为()()()()()
sMsRsMsCsD
0+=
()()
()()()
()0
RsMs
DsCM
Dsss
=+输出C(s)可表示为
设特征方程D(s)=0具有n个互异特征根
()()
∏
=−=n
iissasD
10
展开
()
10
11n
i
i
inl
j
ji
irjiB
sssCsAC
sss
===−−=+
−+∑∑∑
反变换
()
0
111rj
iil
stn
st
ij
js
i
in
t
ictAeBCee
====++∑∑∑
第1、2项为零状态响应，第3项为零输入响应（与初状态有关）。
第1、3项取决于特征根，相当于微分方程的通解（瞬态量），第2项取决于输
入，相当于微分方程的特解（稳态量）。因此系统稳定的定义
()
0lim
0=+
∞→ts
ii
tieCA
0lim=
∞→ts
i
tieA
其中
iiiCAA+=
0对于线性系统，输出量c(t)是对原来平衡工作点的增量，
系统要稳定，只需要求瞬态分量随着时间的推移渐近为零。
稳定的充分必要条件是系统特征方程的根均具有负实
部，或者全部根都分布在左半复平面内。
⎪
⎩⎪
⎨⎧
>∞=<
=
∞→
0,0,0,0
lim
iiii
ts
i
tAeA
i
σσσ若为实根
0〉
iσ
0〈
iσ0=
iσ
iA
0t
iieAσ
t
当系统有零根而其他根是负值时，系统
处于随遇平衡状态，瞬态分量不能趋于
零，这种情况属于临界情况，也属于不稳
定情况。()
0, limsin0
it
iii
tAetσ
论述劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据的使用方法
劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据是控制系统理论中常用的两种判断系统稳定性的方法。
劳斯稳定判据适用于以传递函数形式表示的线性时不变（LTI）系统。对于一个系统的传递函数为G(s)，劳斯稳定判据要求先求出传递函数的特征方程，然后利用特征方程的劳斯阵列进行判断。具体步骤如下：
1. 将传递函数G(s)表达为特征方程的形式，即分子为0。
2. 将特征方程的所有系数按照从高次到低次的次序排列，构成劳斯阵列。
3. 从劳斯阵列的第一行开始，按照以下规则计算每一行的元素：
- 第一行的元素为特征方程的系数。
- 第一列的元素为0。
- 每一行的元素为前两行对应位置的元素积减去后一行对应位置的元素积，再除以前一行的对角元素。
4. 查看劳斯阵列的最后一行，如果最后一行的元素全部大于0，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
奈奎斯特稳定判据适用于连续时间和离散时间系统，可以通过绘制奈奎斯特曲线的方法来判断系统的稳定性。
对于一个连续时间系统的传递函数G(s)，可以通过以下步骤使用奈奎斯特稳定判据：
1. 将传递函数G(s)表达为标准形式，即将分子和分母分别写成多项式的形式。
2. 将标准形式的分子和分母的系数分别表示为多项式的系数向量aN 和aD。
3. 根据aN 和aD 的系数向量，计算系统的开环传输函数的频率响应G(jω)，其中j是虚数单位。根据频率响应，可以得到系统的频率响应曲线。
4. 根据频率响应曲线，绘制奈奎斯特曲线。奈奎斯特曲线可以通过将频率ω变化为复平面的轨迹来得到。
5. 根据奈奎斯特曲线的特征来判断系统的稳定性：
- 曲线的终点在左半平面内，则系统是稳定的。
- 曲线的终点与jω轴有交点，则系统是不稳定的。
- 曲线的终点在右半平面内，则系统的稳定性无法判断，需要进一步分析。
类似地，对于离散时间系统的传递函数G(z)，也可以按照类似的方法绘制奈奎斯特曲线来判断系统的稳定性。
