中考数学与相似有关的压轴题附答案解析

中考数学与相似有关的压轴题附答案解析

一、相似

1．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．

（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；

（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；

（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．

【答案】 （1）解：如图1，

∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，

∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，

∴OA=OB，

∵∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB=2，AB⊥OC，

∴AC=BC=1，∠BOC=30°，

∴OC= ，

∴A（-1， ），

把A（-1， ）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a= ；

（2）解：如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，

∵CF∥BG，

∴ ，

∵AC=4BC，

∴ =4，

∴AF=4FG，

∵A的横坐标为-4，

∴B的横坐标为1，

∴A（-4，16a），B（1，a），

∵∠AOB=90°，

∴∠AOD+∠BOE=90°，

∵∠AOD+∠DAO=90°，

∴∠BOE=∠DAO，

∵∠ADO=∠OEB=90°，

∴△ADO∽△OEB，

∴ ，

∴ ，

∴16a2=4，

a=± ，

∵a＞0，

∴a= ；

∴B（1， ）；

（3）解：如图3，

设AC=nBC，

由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，

则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2），

∴AD=am2n2 ，

过B作BF⊥x轴于F，

∴DE∥BF，

∴△BOF∽△EOD，

∴ ，

∴ ，

∴ ，DE=am2n，

∴ ，

∵OC∥AE，

∴△BCO∽△BAE，

∴ ，

∴ ，

∴CO= =am2n，

∴DE=CO．

【解析】【分析】（1）抛物线y=ax2关于y轴对称，根据AB∥x轴，得出A与B是对称点，可知AC=BC=1，由∠AOB=60°，可证得△AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。

（2）过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，根据平行线分线段成比例证出AF=4FG，根据点A的横坐标为﹣4，求出点B的横坐标为1，则A（-4，16a），B（1，a），再根据已知证明∠BOE=∠DAO，∠ADO=∠OEB，就可证明△ADO∽△OEB，得出对应边成比例，建立关于a的方程求解，再根据点B在第一象限，确定点B的坐标即可。

（3）根据（2）可知A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2），得出AD的长，再证明△BOF∽△EOD，△BCO∽△BAE，得对应边成比例，证得CO=am2n，就可证得DE=CO。

2．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过B(－1，0)，D(－2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q、P.

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使∠APB＝90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；

（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒 个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？

【答案】（1）解：把B（﹣1，0），D（﹣2，5）代入 ，得：

，解得： ，∴抛物线的解析式为：

（2）解：存在点P，使∠APB=90°．

当y=0时，即x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴OB=1，OA=3．

设P（m，m2﹣2m﹣3），则﹣1≤m≤3，PH=﹣（m2﹣2m﹣3），BH=1+m，AH=3﹣m，∵∠APB=90°，PH⊥AB，∴∠PAH=∠BPH=90°﹣∠APH，∠AHP=∠PHB，∴△AHP∽△PHB，∴ ，∴PH2=BH•AH，∴[﹣（m2﹣2m﹣3）]2=（1+m）（3﹣m），解得m1=

，m2= ，∴点P的横坐标为： 或

（3）解：如图，过点D作DN⊥x轴于点N，

则DN=5，ON=2，AN=3+2=5，∴tan∠DAB= =1，∴∠DAB=45°．过点D作DK∥x轴，则∠KDQ=∠DAB=45°，DQ= QG．

由题意，动点M运动的路径为折线BQ+QD，运动时间：t=BQ+ DQ，∴t=BQ+QG，即运动的时间值等于折线BQ+QG的长度值．

由垂线段最短可知，折线BQ+QG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．

过点B作BH⊥DK于点H，则t最小=BH，BH与直线AD的交点，即为所求之Q点．

∵A（3，0），D（﹣2，5），∴直线AD的解析式为：y=﹣x+3，∵B点横坐标为﹣1，∴y=1+3=4，∴Q（﹣1，4）．

【解析】【分析】（1）把点B，D的坐标代入二次函数中组成二元一次方程组，解方程组即可得到抛物线的解析式；（2）先按照存在点P使∠APB＝90°，先根据抛物线的解析式求得点A，B的坐标，设出点P的坐标，根据点P的位置确定m的取值范围，再证△AHP∽△PHB，从而得到PH2=BH•AH，即可列出关于m的方程，解方程即可得到m即点P的横坐标，且横坐标在所求范围内，从而说明满足条件的点P存在；（3）先证明∠DAB=45°，从而证得DQ= 2 QG，那么运动时间t值等于折线BQ+QG的长度值，再结合垂线段最短确定点Q的位置，再求得点Q的坐标即可.

3．如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆与AC相切于点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G．

（1）求证：D是弧EC的中点；

（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点K，连接CF，求证：CF＝OK＋DO；

（3）如图3，在(2)的条件下，延长DB交⊙O于点Q，连接QH，若DO＝ ，KG＝2，求QH的长

【答案】（1）证明：如图1中，连接OC．

∵AC是⊙O的切线，

∴OC⊥AC，

∴∠ACO=90°，

∴∠A+∠AOC=90°，

∵CA=CB，

∴∠A=∠B，

∵EF⊥BC，

∴∠OGB=90°，

∴∠B+∠BOG=90°，

∴∠BOG=∠AOC，

∵∠BOG=∠DOE，

∴∠DOC=∠DOE，

∴点D是 的中点

（2）证明：如图2中，连接OC．

∵EF⊥HC，

∴CG=GH，

∴EF垂直平分HC，

∴FC=FH，

∵∠CFK= ∠COE，

∵∠COD=∠DOE，

∴∠CFK=∠COD，

∵∠CHK= ∠COD，

∴∠CHK= ∠CFK，

∴点K在以F为圆心FC为半径的圆上，

∴FC=FK=FH，

∵DO=OF，

∴DO+OK=OF+OK=FK=CF，

即CF=OK+DO；

（3）解：如图3中，连接OC、作HM⊥AQ于M．设OK=x，则CF= +x，OG=2﹣x，GF=

﹣（2﹣x），

∵CG2=CF2﹣FG2=CO2﹣OG2 ，

∴（ +x）2﹣[ -（2﹣x）]2=（ ）2﹣（2﹣x）2 ，

解得x= ，

∴CF=5，FG=4，CG=3，OG= ，

∵∠CFE=∠BOG，

∴CF∥OB，

∴ = = ，

可得OB= ，BG= ，BH= ，

由△BHM∽△BOG，可得 = = ，

∴BM= ，HM= ，MQ=OQ﹣OB﹣BM=

在Rt△HMQ中，

QH= = =

【解析】【分析】（1）如图1中，连接OC．根据切线的性质得出OC⊥AC，根据垂直的定义得出∠ACO=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AOC=90°，根据等边对等角得出∠A=∠B，根据垂直的定义得出∠OGB=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠B+∠BOG=90°，根据等角的余角相等得出∠BOG=∠AOC，根据对顶角相等及等量代换得出∠DOC=∠DOE，根据相等的圆心角所对的弧相等得出结论；

（2）如图2中，连接OC．根据垂径定理得出CG=GH，进而得出EF垂直平分HC，根据线段垂直平分线上上的点到线段两个端点的距离相等得出FC=FH，根据圆周角定理及等量代换得出∠CFK=∠COD，∠CHK= ∠CFK，从而得出点K在以F为圆心FC为半径的圆上，根据同圆的半径相等得出FC=FK=FH，DO=OF，根据线段的和差及等量代换得出CF=OK+DO；

（3）如图3中，连接OC、作HM⊥AQ于M．设OK=x，则CF= +x，OG=2﹣x，GF= ﹣（2﹣x），根据勾股定理由CG2=CF2﹣FG2=CO2﹣OG2 ， 列出关于x的方程，求解得出x的值，从而得出CF=5，FG=4，CG=3，OG= 根据平行线的判定定理得出，内错角相等，两直线平行得出CF∥OB，根据平行线分线段成比例定理得出C F ∶O B = C G∶ G B = F G ∶G

O ，进而可得OB,BG,BH的长，由△BHM∽△BOG，可得 B H ∶O B = B M ∶B G = H M ∶O

G，再得出BM,HM,MQ的长，在Rt△HMQ中，根据勾股定理得出QH的长。

4．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（2,0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD，作，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.

（1）填空：点B的坐标为________；

（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；

（3）①求证： ；

②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值

【答案】（1）

（2）解：存在，理由如下：

∵OA=2,OC=2，

∵tan∠ACO==,

∴∠ACO=30°,∠ACB=60°

①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，

∴∠DCE=∠EDC=30°,

∴∠DBC=∠BCD=60°,

∴△DBC是等边三角形，

∴DC=BC=2，

在Rt△AOC中，