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相似三角形的判定及应用

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相似三角形的判定及应用

相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。判定两个三角形是否相似可以通过以下几种方法，同时这些方法也可以应用于解决实际问题：

1. AAA判定法：若两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。即若两个三角形的三个角分别对应相等，则它们是相似三角形。这种判定法可以应用于解决实际问题如测量倾斜物体的高度等。

2. AA判定法：若两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似三角形。即若两个三角形的两个角分别对应相等，则它们是相似三角形。这种判定法可以应用于解决实际问题如计算山坡的斜率等。

3. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，且两个对应边的比例相等，则它们是相似三角形。即若两个三角形的一个角相等，且两条与该角相对应的边的比例相等，则它们是相似三角形。这种判定法可以应用于解决实际问题如计算高塔的阴影长度等。

4. SSS判定法：若两个三角形的三个对应边的比例相等，则它们是相似三角形。即若两个三角形的三条边的比例相等，则它们是相似三角形。这种判定法可以应用于解决实际问题如计算建筑物的缩放比例等。

相似三角形的应用在几何学和现实生活中都非常广泛。以下是一些应用示例：

1. 建筑和工程：通过相似三角形的概念，可以计算建筑物的缩放比例，包括建筑物的高度、宽度和深度等。这对于设计和规划新建筑物或改建现有建筑物非常有用。

2. 地形测量：利用相似三角形的原理，可以测量山坡的斜率、高塔的阴影长度等。这对于地理测量和地形分析非常重要，可以用于制作地形图和地图。

3. 倾斜物体测量：对于无法直接测量的高物体（如高塔、山峰等），可以利用相似三角形的原理，通过测量影子长度和角度，计算物体的高度。这在地理测量和旅行中很常见。

4. 统计学：在统计学中，相似三角形的概念可以被用于创建样本的代理数据集，从而更好地理解和解释真实数据集的特征和趋势。

5. 生物学：在生物学中，相似三角形的原理可以应用于研究和分析动物和植物的形态特征以及它们之间的关系。这对于进化研究和分类学非常重要。

总之，相似三角形的判定法和应用领域广泛，从解决实际问题到理解自然界中的各种形态，相似三角形都有着重要的作用。通过学习和应用相似三角形的原理，我们可以更好地理解和应用几何学的概念。

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相似三角形的判定()

相似三角形的判定()

年

级 九年级 课题 27.2.1相似三角形的判定（第一课时） 课型 新授

教学媒体 多媒体

教

学

目

标 知识

技能 1． 了解相似三角形及相似比的概念；

2． 掌握平行线分线段成比例定理和推论；

3． 掌握相似三角形两种判定方法：平行线法，三边法.

过程

方法 类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法.

情感

态度 发展学生的探究能力,渗透类比思想,体会特殊与一般的关系.

教学重点 掌握相似三角形的概念,能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似.

教学难点 能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似

教 学 过 程 设 计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图

一、复习引入

1.什么是相似多边形?

2.怎样判断两个多边形相似?

3.三角形也属于多边形吗？相似三角形属于相似多边形吗？

4.给相似三角形下定义.

5.怎么样判断两个三角形相似？

二、自主探究

（一）平行线分线段成比例定理及其推论

教材40页探究1

 平行线分线段成比例定理

分析:

1.线段AB,BC,DE,EF的长度随着直线5,43,lll的位置的变化而变化吗？

2.猜测BCAB与EFDE相等吗？

3.通过画图，测量，计算验证你的猜想.

4.用数学语言描述你的发现.

得到：平行线分线段成比例定理

教师点拨：其它成比例的线段还有哪些？实际上，线段左上、左下、左全，右上、右下、右全只要写在对应位置， 所得比就是相等的.

 平行线分线段成比例定理的推论

1.定理图形中的直线21,ll交点在直线43,ll上时，对应线段还成比例吗？

2.擦去四周的部分，只留下△ABC和△ADE，原来的对应线段还成比例吗？你可以得到什么结论？

得到：平行线分线段成比例定理构的推论

（二）相似三角形的判定方法

 平行线法

在上面的两幅图形中，△ABC和△ADE相似吗？你能用学过的知识说明吗？

相似三角形的判定与性质以及应用

相似三角形的判定与性质以及应用

1.如图，锐角_x0001_的高CD和BE相交于点O，图中

页脚内容1 相似三角形的判定与性质以及应用

考点一：相似三角形的判定与性质

1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．

（1）求证：△BDE∽△CEF；

（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．

2．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

（1）求证：△ADE∽△ABC； 1.如图，锐角_x0001_的高CD和BE相交于点O，图中

页脚内容2 （2）若AD=3，AB=5，求的值．

3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．

（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；

（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

1.如图，锐角_x0001_的高CD和BE相交于点O，图中

页脚内容3

4．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长．

5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．

（1）求证：△ABD∽△CBE；

（2）若BD=3，BE=2，求AC的值． 1.如图，锐角_x0001_的高CD和BE相交于点O，图中

页脚内容4

6．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E．

（1）求证：BE2=EG•EA；

（2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC．

动点问题：

1.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由． 1.如图，锐角_x0001_的高CD和BE相交于点O，图中

相似三角形的判定与性质以及应用 2

相似三角形的判定与性质以及应用 2

相似三角形的判定与性质以及应用

考点一：相似三角形的判定与性质

1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．

（1）求证：△BDE∽△CEF；

（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．

2．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）若AD=3，AB=5，求的值．

3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．

（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；

（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

4．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长．

5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．

（1）求证：△ABD∽△CBE；

（2）若BD=3，BE=2，求AC的值．

6．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E．

（1）求证：BE2=EG•EA；

（2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC．

动点问题：

1.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．

2.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？

相似三角形和菱形的判定与应用

相似三角形和菱形的判定与应用

- 1 - / 2 相似三角形和菱形的判定与应用

1.（2014•南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C， 求证：AB2=AD•AC．

2.（2014•铜仁）如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：BCACBEAD

3.（2012•日照）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．

求证： （1）CG=BH； （2）FC2=BF•GF； （3）GBGFABFC22

2014南平

2014铜仁

2012•日照

- 2 - / 2 4.（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．

（1）求证：△ABE∽△ADC；

（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．

5.（2014•新疆，第20题10分）

如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；

②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；

③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．

（1）求证：△AED≌△CFD； （2）求证：四边形AECF是菱形．

作业：

1、（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

2.已知：如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．

（1）求证：△DOE≌△BOF． （2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFED为菱形？请说明理由．

2014柳州

2014舟山 2014新疆