数论-余数问题-余数的性质-4星题课程目标知识提要余数的性质•余数的基本性质被除数=除数×商+余数除数=（被除数−余数）÷商商=（被除数−余数）÷除数余数小于除数。
•余数的三大性质（1）余数的加法性质：和的余数等于余数的和，或这个和除以除数的余数。
（2）余数的减法性质：差的余数等于余数的差，不够减加除数再减。
（3）余数的乘法性质：积的余数等于余数的积，或者余数的积除以除数的余数。
精选例题余数的性质1. 有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是人．【答案】1484【分析】三所学校的高中生分别是：A校742人，B校732人，C校722人．如果A校或C校初中人数是高中人数的1.5倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校总人数5480是偶数矛盾，因此只能是B校的初中人数是高中人数的1.5倍．三校初中的总人数是5480−2196=3284，被3除余2；732被3整除，722被3除余2，742被3除余1．从余数来看2×2+1=5，1×2+2=4，就断定初中人数是高中人数的2倍，只能是C校．所以，A校总人数是742+742=1484(人)．2. 在自然数1∼2011中，最多可以取出个数，使得这些数中任意四个数的和都不能被11整除．【答案】550【分析】2011÷11=182⋯9,可以全选余数是3、4、5的，因为3×4=12,5×4=20,在20和22之间还可以有一个21，所以还可以选一个余数是6的．所以是183×3+1=550,这种选法能选到550，选余数是6、7、8和一个余数是5的，还是可以选出550个．3. 如果两个自然数的积被13除余1，那么我们称这两个自然数互为“模13的倒数”，比如，2×7=14，被13除余1，则2和7互为“模13的倒数”；1×1=1，则1的“模的倒数”是它自身，显然，一个自然数如果存在“模13的倒数”，则它的倒数并不是唯一的，比如，14就是1的另一个“模13的倒数”，判断1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12是否有“模13的倒数”，并利用所得结论计算1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12（记为12!，读作12的阶乘）被13除所得的余数．【答案】12【分析】模13的倒数：(1,1)，(2,7)，(3,9)，(4,10)，(5,8)，(6,11)1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12=(2×7)×(3×9)×(4×10)×(5×8)×(6×11)×12,所以被13除所得的余数为12．4. （1）(123456789+23456879)÷3的余数是；（2）(12345687×24568×365878)÷9的余数是．【答案】（1）2；（2）0．【分析】根据余数定理可得．5. M、N为非零自然数，且2007M+2008N被7整除．M+N的最小值为．【答案】5【分析】2007除以7的余数是5，2008除以7的余数是6，所以5M+6N能被7整除试算，M+N最小值为3+2=5．6. 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有组．【答案】4．【分析】1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为2+5=2+5+0=7，2+5+3+6=0+2+5+3+6=7+9，所以这样的数组共有下面4个：(2000,2003)，(1998,2000,2003)，(2000,2003,2001,1995)，(1998,2000,2003,2001,1995)．7. 三位数abc除以它的各位数字和的余数是1，三位数cba除以它的各位数字和的余数也是1．如果不同的字母代表不同的数字，且a>c，那么abc = ．【答案】452【分析】abc−cba=99(a−c)，故(a+b+c)∣[99(a−c)]，但(a+b+c)必定不是3的倍数，否则abc是3的倍数，abc÷(a+b+c)的余数必为3的倍数．故(a+b+c)∣[11(a−c)]，11是质数，且a+b+c>a−c，故(a+b+c)必为11的倍数．若a+b+c=11,则a+c−b=1，b=5，又a、b、c互不相同，a>c，故a=4,c=2,abc=452；若a+b+c=22，则a+c−b=12，b=5，又a、b、c互不相同，a>c，故a=9,c=8，但此解并未满足(a+b+c)∣[11(a−c)]的要求，故知此种情况无解．综上，本题有唯一答案452．8. 如果自然数 a 、b 、c 除以 14 都余 5，则 a +b +c 除以 14，得到的余数是 ．【答案】 1【分析】 已知 a ÷14⋯5，b ÷14⋯5，c ÷14⋯5，由余数的可加性得知：(a +b +c)÷14⋯19. 商店里有六箱货物，分别重 15，16，18，19，20，31 千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是 千克．【答案】 20【分析】 两个顾客买的货物重量是 3 的倍数．(15+16+18+19+20+31)÷(1+2)=119÷3=39⋯⋯2,剩下的一箱货物重量除以 3 应当余 2，只能是 20 千克．10. 由 1、4、7、10、13 组成甲组数，由 2、5、8、11、14 组成乙组数，由 3、6、9、12、15 组成丙组数．现在从三组数中各取一个数相加，共可以得到 个不同的和．【答案】 13【分析】 所得的和数一定是 3 的倍数，最小是 6，最大是 42，中间的 3 的倍数也都能得到，所以一共有 (42−6)÷3+1=13(个) 不同的和．11. 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是 ．【答案】 29【分析】 (70+110+160)−50=290，50÷3=16......2，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是 29 和 58，110÷58=1......52，52>50，所以除数不是 58．70÷29=2......12，110÷29=3......23，160÷29=5......15，12+23+15=50，所以除数是 29．12. 四个最简真分数 12、a 3、b 5、c 67，满足：12−a 3+b 5+c 67=20092010．则 a +b +c = ．【答案】 32【分析】由题可得1005−670a+402b+30c=2009,整理得402b+30c−670a=1004,考虑除以5的余数，且b<5，推断出b=2，把b=2代入上式，可得3c−67a=20,所以c=29，a=1，a+b+c=32．13. 定义：1!=1，2!=1×2，3!=1×2×3，n!=1×2×3×⋯×n，则2011!+10除以2012的余数为．【答案】10【分析】2011!中包含2与1006，所以2011!是2012的倍数．那么余数为10．14. 将1至8填入方格中，使得数列□□,9,□□,□□,□□从第三个项开始，每一项都等于前面两项的和，那么这个数列的所有项之和是．【答案】198【分析】第三个数比第一个数多9，第四个数比第三个数多9；若第一个数除以9余a，则第三个数和第四个数也余a，第五个数则余2a，五个数总和除以9余4a；而由于1+2+3++9=45是9的倍数，易知a=0，即这五个数都是9的倍数；若设第一个数为18，则这五个数分别为18，9，27，36，63；6出现两次不符合要求；若设第一个数为27，则这五个数分别为27，9，36，45，81；符合要求．所有项之和为27+9+36+45+81=19815. 将1∼2015这2015个自然数依次写出，得到一个多位数123456789⋯20142015，这个多位数除以9，余数是．【答案】0【分析】乱切法，求多位数123456789⋯20142015除以9的余数，即要求1+2+3+4+5+⋯+2015=(1+2015)×20152=1008×2015除以9的余数，1008×2015≡0×8 (mod 9),则余数为0．16. 有8只盒子，每只盒内放有同一种笔．8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔．这盒水彩笔共有支．【答案】49【分析】铅笔数是钢笔数的3倍，圆珠笔数是钢笔数的2倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的3+2+1=6(倍)．17+23+33+36+38+42+49+51=289，除以6余1，所以水彩笔的支数除以6余1，在上述8盒的支数中，只有49除以6余1，因此水彩笔共有49支．17. 22003与20032的和除以7的余数是．【答案】5．【分析】找规律．用7除2，22，23，24，25，26，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为22003=23×667+2，所以22003除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以20032除以7余1．故22003与20032的和除以7的余数是4+1=5．18. 从1到999这999个自然数中有个数的各位数字之和能被4整除．【答案】248【分析】由于在一个数的前面写上几个0不影响这个数的各位数字之和，所以可以将1到999中的一位数和两位数的前面补上两个或一个0，使之成为一个三位数．现在相当于要求001到999中各位数字之和能被4整除的数的个数．一个数除以4的余数可能为0，1，2，3，0～9中除以4余0的数有3个，除以4余1的也有3个，除以4余2和3的各有2个．三个数的和要能被4整除，必须要求它们除以4的余数的和能被4整除，余数的情况有如下5种：0+0+0；0+1+3；0+2+2；1+1+2；2+3+3．（1）如果是0+0+0，即3个数除以4的余数都是0，则每位上都有3种选择，共有3×3×3=27种可能，但是注意到其中也包含了000这个数，应予排除，所以此时共有27−1=26(个);（2）如果是0+1+3，即3个数除以4的余数分别为0，1，3，而在3个位置上的排列有3!=6(种)，所以此时有3×3×2×6=108(个);（3）如果是0+2+2，即3个数除以4的余数分别为0，2，2，在3个位置上的排列有3种，所以此时有3×2×2×3=36(个);（4）如果是1+1+2，即3个数除以4的余数分别为1，1，2，在3个位置上的排列有3种，所以此时有3×3×2×3=54(个);（5）如果是2+3+3，即3个数除以4的余数分别为2，3，3，在3个位置上的排列有3种，此时有2×2×2×3=24(个).根据加法原理，共有26+108+36+54+24=248(个).19. 下列算式中，“迎”、“春”、“杯”、“数”、“学”、“花”、“园”、“探”、“秘”代表1~9 中的不同非零数字，那么，“迎春杯”所代表三位数的最大值是．1984−迎春杯=2015−数学−花园−探秘【答案】214【分析】（1）将等式整理得：迎春杯+31=数学+花园+探秘,等式两边除以9的余数相同，所以迎春杯除以9的余数只能为7，等式右侧除以9的余数为2；（2）要想迎春杯最大，则数学，花园，探秘应尽量的大，这3个数和最大为96+85+74=255,所以迎春杯最大不大于255−31=224，由于不同汉字代表不同非零数字，所以“迎”最大为2，“春”最大为1；（3）由于迎春杯除以9的余数为7，若“迎”取2，“春”取1，则“杯”为4，经尝试可得：214+31=97+85+67,所以迎春杯最大值为21420. 18＋28＋38＋…＋98除以3的余数是多少？【答案】0．【分析】根据等差数列求和列式：18＋28＋38＋…＋98=(18+98)×9÷2，整理可得58×9，因为58÷3⋯⋯1，9÷3⋯⋯0，根据余数定理，58×9除以3的余数等于1乘0除以3的余数，即1×0÷3⋯⋯0，所以18＋28＋38＋…＋98除以3的余数是0．21. 从1，2，3，4，⋯，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N最大为多少？【答案】134【分析】取出的N个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者10．在1∼2007中，除以15的余数为0的有15×1,15×2,⋯,15×133,共有133个；除以15的余数为5的有15×0+5,15×1+5,⋯,15×133+5,共有134个；除以15的余数为10的有15×0+10,15×1+10,⋯,15×133+10,共有134个．所以N最大为134．22. 验算46876×9573=447156412这个算式是否正确？【答案】不正确．【分析】根据余数乘积性质，以及弃九法可知这个算式左边(46876×9573)÷9的余数为6，而右边447156412除以9的余数为7，所以这个算式不成立．23. 有如下图所示的十二张扑克牌．2点、6点、10点各四张，你能从中选出七张牌，使上面点数之和恰等于52吗？说明理由．【答案】不能【分析】因为每张牌除以4的余数均为2，7张牌除以4的余数仍为2，而52是4的倍数，矛盾，所以不能选出这样的7张牌．24. 若a为自然数，证明10∣∣(a2005−a1949)．【答案】见解析．【分析】10=2×5，由于a2005与a1949的奇偶性相同，所以2∣∣(a2005−a1949)．a2005−a1949=a1949(a56−1)，如果a能被5整除，那么5∣a1949(a56−1)；如果a不能被5整除，那么a被5除的余数为1、2、3或者4，a4被5除的余数为14、24、34、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管a为多少，a4被5除的余数为1，而a56=(a4)14，即14个a4相乘，所以a56除以5均余1，则a56−1能被5整除，有5∣a1949(a56−1)．所以5∣(a2005−a1949)．由于2与5互质，所以10∣(a2005−a1949)．25. 求644312÷19的余数．【答案】11【分析】本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况．由6443÷19余2，求原式的余数只要求212÷19的余数即可．但是如果用2÷19发现会进入一个死循环，因为这时被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整，212=26×26=64×64，64÷19余数为7，那么求212÷19的余数就转化为求64×64÷19的余数，即49÷19的余数．49÷19余数为11，所以644312÷19的余数为11．26. 从1，2，3，4，⋯，200中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和都不能被7整除．N最大为多少？【答案】60【分析】除以7的余数有：0、1、2、3、4、5、6，从余数看，能整除7的组合有：余数和为7：(0,0,0)、(0,1,6)、(0,2,5)、(0,3,4)、(1,1,5)、(1,2,4)、(1,3,3)、(2,2,3);余数和为14：(2,6,6)、(3,5,6)、(4,4,6)、(4,5,5).取1，则不能取6、5、3；取2，则不能取6、5、3；取1和2，则不能取4.1和2，与6、5、4、3选择，要选择取1和2．200÷7＝28⋯⋯4,取29个1，取29个2，2个0，共计：29+29+2＝60(个).27. 用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=．【答案】43．【分析】n能整除63+91+129−25=258．因为25÷3=8...1，所以n是258大于8的约数．显然，n不能大于63．符合条件的只有43．28. 已知:a÷5=⋯⋯3，b÷5=⋯⋯2且a>b那么：（1）(a+b)÷5⋯⋯；（2）(a−b)÷5⋯⋯；（3）(a×b)÷5⋯⋯．【答案】（1）0；（2）1；（3）1．【分析】（1）(3+2)÷5⋯⋯0；（2）(3−2)÷5⋯⋯1；（3）(3×2)÷5⋯⋯1．29. 1＋2＋3＋…＋2000除以19的余数是多少？【答案】15．【分析】根据等差数列求和列式：1＋2＋3＋…＋2000=(1+2000)×2000÷2，整理可得2001×1000，因为2001÷19⋯6，1000÷19⋯12，根据余数定理，2001×1000除以19的余数等于6×12除以19的余数，即6×12÷19⋯15，所以1＋2＋3＋…＋2000除以19的余数是15．30. 如果a+b+c是5的倍数，2a+3b+4c也是5的倍数，求证a−c是5的倍数．（a、b、c都是自然数）【答案】见解析【分析】a−c=3(a+b+c)−(2a+3b+4c)，所以a−c能被5整除．31. 有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2014个数中，有几个是5的倍数？【答案】402【分析】先观察规律可知这组数从第三个开始，每个数都等于与它相邻的前面两个数的和，所以根据余数的加法性质得出如下表格：数112358⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯除以5的余数112303314044320从上表可知这组自然数除以5的余数是每5个就有一个余数为0，所以2014÷5=402⋯⋯4所以，在这串数的前2014个数中，有402个是5的倍数．32. 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《数学的发现》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这本《数学的发现》的定价是多少元？【答案】32【分析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《数学的发现》的定价是(14+17+18+21+26)÷3=32元．33. 六位数20▫▫08能被49整除，▫▫中的数是多少？【答案】05或54．【分析】设六位数为20ab08，则20ab08=200008+ab00=200008+ab×100．因为200008÷49=4081⋯⋯39，所以(ab×100)÷49的余数为49−39=10．又因为100÷49=2⋯⋯2，所以ab÷49的余数为5．则ab可以是05或54．34. 在所有由1、3、5、7、9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？【答案】24【分析】除以3余0的数有3,9，除以3余1的数有1,7，除以3余2的数有5，三个数字之和为3的倍数，本题只能从除以3余0,1,2的数中各取一个，每个三位数交换位置又可以变换出6个，因此共有2×2×1×6=24(个)．35. （1）123+456+789的结果除以111的余数是多少？（2）224468−6678的结果除以22的余数是多少？【答案】（1）36；（2）12【分析】简答：利用替换求余法计算．36. 已知98个互不相同的质数p1，p2，⋯，p98，记N=p12+p22+⋯+p982，问：N被3除的余数是多少？【答案】1或2．【分析】（1）这些质数中不含质数3，所以该数平方后被3除的余数就是1，所以N被3除的余数就是98被3除的余数，是2；（2）如果有3，那么剩下97个除以3余1．3的平方除以3余数是０，那么N除以3的余数1．37. 已知n!+4等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×⋯×n）【答案】2【分析】注意到两个相邻自然数的乘积除以3只能余0或余2．因为当n⩾3时，n!+4除以3余1，所以n<3，尝试n取0、1、2后得n为2．38. 从1，2，3，⋯⋯49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？【答案】23【分析】将1至50这50个数，按除以7的余数分为7类：[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，所含的数的个数分别为7，8，7，7，7，7，7．被7除余1与余6的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；同样的，被7除余2与余5的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；被7除余3与余4的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；两个数都是7的倍数，它们的和也是7的倍数，所以7的倍数中只能取1个．所以最多可以取出8+7+7+1=23个39. （1）21100的个位数字是多少？32014除以10的余数是多少？（2）32014除以7的余数是多少？【答案】（1）6；9（2）4【分析】详解：（1）2n的个位数字依次是2、4、8、6、⋯每四个数为一个周期．100除以4的余数是0，那么2100的个位数字是周期中的第四个数6．3n的个位数字依次是3、9、7、1、⋯每四个数为一个周期．2014除以4的余数是2，那么32014的个位数字是周期中的第二个数9．（2）3n除以7的余数依次是3、2、6、4、5、1、⋯每六个数为一个周期．2014除以6的余数是4．所以32014除以7的余数是周期中的第四个数4．40. 甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪—个是平衡的？【答案】天平乙是平衡的．【分析】考虑除以3，所得的余数．因为478除以3余1，9763除以3也余1（只要看4+7+8，9+7+6+3除以3的余数），所以478×9763除以3余1×1=1，而4666514除以3余2（即4+6+6+6+5+1+4除以3余2），因此478×9763≠4666514，从而天平甲不平衡．天平乙是平衡的．41. 有6个密封的盒子，分别装有红球、白球和黑球，每个盒子里只有一种颜色的球，且球的个数分别是15，16，18，19，20，31，已知黑球的个数是红球个数的两倍，装白球的盒子只有1个，问：（1）装有15个球的盒子里装的是什么颜色的球？（2）有多少个盒子里装的是黑球？【答案】（1）红球；（2）3【分析】（1）所有球的个数：15+16+18+19+20+31=119(个).黑球的个数是红球的2倍，黑球加红球的个数是红球的2+1=3倍119÷3=39⋯⋯2根据余数的可加可减性，白球的个数除以3也是余2，白球的个数只能是20．黑球和红球共：119−20=99(个).红球：99÷3=33(个)只能是15+18=33(个).答：装有15个球的盒子里装的是红球．（2）还剩下16，19，31的盒子里装的是黑球，即有3个盒子．答：有3个盒子里装的是黑球．42. 如果(3a+b)是7的倍数，求证(2b−a)也是7的倍数．（a、b都是自然数）．【答案】见解析【分析】方法一：因为(3a+b)是7的倍数，所以(6a+2b)也是7的倍数，所以(6a+2b−7a)即(2b−a)，也是7的倍数．方法二：设3a+b=7k，那么a=7k−b3，所以2b−a=7b−7k3也是7的倍数．43. 11+22+33+44+⋯+20052005除以10所得的余数为多少？【答案】3【分析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个（20是4和10的最小公倍数）一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算11+22+33+44+⋯+2020的个位数字，为1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0=94的个位数字，为4，由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4×100=400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1+4+7+6+5=23的个位数3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．44. 今天是星期四，101000天之后将是星期几？【答案】星期一【分析】先求较小的n，使10n除以7的余数为1．10除以7余3，102除以7余2，103=10×102除以7余3×2=6，104=102×102除以7余2×2=4，106=103×103除以7的余数等于6×6=36除以7的余数等于1，所以，101000除以7的余数等于104×106×166除以7的余数等于4×1=4故101000天后为星期一．45. 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？（余数可以为0）【答案】99【分析】我们知道18，33的最小公倍数为[18,33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，⋯，17，198（余0）这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5⋯⋯9，所以共有5×18+9=99个这样的数．46. 如果六位数1992▫▫能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【答案】90【分析】方法一：利用整除特征．因为105=3×7×5，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可．末位只能为0或5．①如果末位填入0，那么数字和为1+9+9+2+▫+0=21+▫，要求数字和是3的倍数，所以▫可以为0，3，6，9，验证200−199=1，230−199=31，260−199=61，290−199=91，有91是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90．②如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征．所以，题中数的末两位只能是90．方法二：采用试除法用199200试除，199200÷105=1897⋯⋯15，余15可以看成不足，105−15=90．所以补上90，即在末两位的方格内填入90即可．47. 22008+20082除以7的余数是多少？【答案】3【分析】23=8除以7的余数为1，2008=3×669+1，所以22008=23×669＋1=(23)669×2，其除以7的余数为：1669×2=2；2008除以7的余数为6，则20082除以7的余数等于62除以7的余数，为1；所以22008+20082除以7的余数为：2+1=3．48. 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？【答案】17【分析】设这个数为M，则603÷M=A1⋯⋯r1，939÷M=A2⋯⋯r2，393÷M=A3⋯⋯r3，r1=2×r2，r2=2×r3，要消去余数r1,r2,r3，我们只能先把把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，这样被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．这样我们可以得到下面的式子：603÷M=A1…r1，(939×2)÷M=2A2…(r2×2)，(393×4)÷M=4A3⋯⋯(r3×4)这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被M整除．939×2−603=1275，393×4−603=969，1275−969= 306，(1275,306)=51=3×17．603,939,393这三个数有公约数3．51÷3=17．则A等于17．49. 如果(a+2b)被5除余数为2，(3a−b)被5除所得的余数为3，求证：(a−b)能被5整除．（a、b都是自然数）．【答案】证明见解析【分析】方法一：设a+2b=5k+2，3a−b=5l+3，解方程组 $\left\{ \begin{gathered}a + 2b = 5k +2 \hfill \\3a - b = 5l +3 \hfill \\\end{gathered} \right.$ 得到 $\left\{ \begin{gathered}a = \dfrac{{10l+ 5k + 8}}{7} \hfill \\b = \dfrac{{3 +15k - 5l}}{7} \hfill \\\end{gathered} \right.$，所以a−b=15l−10k+57能被5整除．方法二：由题目条件2(3a−b)−3(a+2b)能被5整除，即3a−8b能被5整除，继而得到3a−3b能被5整除，所以a−b能被5整除．50. 在六位数11▫▫11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？【答案】53【分析】采用试除法．设六位数为11ab11，则11ab11=11×10000+ab00+11=110011+ab00如果一个数能同时被17和19整除，那么一定能被323整除．110011÷323=340⋯⋯191,余191也可以看成不足323−191=132．所以当ab00=132+323n时，即ab00是100的倍数时，六位数才是323的倍数．所以有323n的末位只能是10−2=8，所以n只能是6，16，26，⋯验证有n=16时，132+ 323×16=5300，所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意．−1的个位数字是多少？51. 自然数2×2×2×...×2⏟67个2【答案】7．的个数数字，再减去1即为所求（特别的如果是0，【分析】我们先计算2×2×2×...×2⏟67个2那么减去1后的个位数字因为借位为9）．将一个数除以10，所得的余数即是这个数的个位数字．而积的余数，等于同余余数的积．2除以10的余数为2，2×2除以10的余数为4，2×2×2除以10的余数为8，2×2×2×2除以10的余数为6；2×2×2×2×2除以10的余数为2，2×2×...×2除以10的余数为4，⏟6个22×2×...×2除以10的余数为8，⏟7个22×2×...×2除以10的余数为6；⋯⋯⏟8个2也就是说，n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．除以10的余数同余与2×2×2，即余数为8，因为67÷4=16⋯⋯3，所以2×2×2...×2⏟67个2−1除以10的余数为7．所以2×2×2...×2⏟67个2−1的个位数字为7．即2×2×2...×2⏟67个2评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．52. 11+22+33+44+⋯⋯+20132013+20142014除以10所得的余数为多少？【答案】3【分析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2014这2014个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个（20是4和10的最小公倍数）一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算11+22+33+44+⋯⋯+2020的个位数字，为1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0=94结果的个位数字为4，由于2014个加数共可分成100组另14个数，100组的个位数字和是4×100=400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005、…… 20142014，它们和的个位数字是1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6=63，63的个位数3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．53. 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．【答案】见解析．【分析】1996÷4=499，下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数．取500个数：1，11，111，⋯⋯，111⋯⋯1（500个1）．用499去除这500个数，得到500个余数a1，a2，a3，⋯，a500．由于余数只能取0，1，2，⋯，498这499个值，所以根据抽屉原则，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，差的前若干位是1，后若干位是0：11⋯100⋯0．又499和10是互质的，所以它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，这是1996的倍数．54. 已知n!+3是一个完全平方数，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×⋯×n）【答案】0、1或3【分析】枚举验证n为0、1、2、3、4、…，得到n为0、1或3时满足．因为当n⩾4时，n!+3除以4余3，根据完全平方数除以4只能余0或余1，可知当n⩾4时，n!+1不可能是完全平方数．55. 算式188+288+388+⋯+1988+2088的结果除以9、13的余数分别是多少？【答案】8；10【分析】188+288+388+⋯+1988+2008=(188+2088)×10然后利用替换求余法计算．56. （1）87784+49235×81368除以4、9的余数分別是多少？（2）365366+367368×369370除以7、11、13的余数分别是多少？【答案】（1）0；2（2）2；2；2【分析】 详解：提示，特性求余法和替换法结合使用．57. 用 0 至 9 这十个数字各 1 次，组成四位数、三位数、两位数和一位数各 1 个，并使这四个数两两互质．已知组成的四位数是 1860，那么其他的三个数是多少？【答案】 7；43；529【分析】 1860=22×3×5×31，一位数只能是 7，另外两个数的末位只能是 3 和 9．剩下的数字之和除以 3 余 2，只能拆成两个数除以 3 余 1 的组合，所以 4 和 2、5 是分成两组，49 是 7 的倍数，所以两位数只能是 43，259 是 7 的倍数，所以三位数只能是 529．58. 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 3 整除？【答案】 是．【分析】 因为任何整数除以 3，其余数只可能是 0，1，2 三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”．一个整数除以 3 的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以 3 的余数相同，所以这两个数的差必能被 3 整除．59. 一个大于 1 的数去除 290，235，200 时，得余数分别为 a ，a +2，a +5，则这个自然数是多少？【答案】 19【分析】 设这个数为 x ，则有{290÷x =m ⋯⋯a235÷x =n ⋯⋯a +2200÷x =p ⋯⋯a +5可以转化为：{290÷x =m ⋯⋯a233÷x =n ⋯⋯a 195÷x =p ⋯⋯a即有 290≡233(modx)≡195(modx)，根据同余性质，可知 x 为它们两两差的约数，又290−233=57，290−195=95，233−195=38，(38,57,95)=19，所以这个自然数为 19．60. 算式 2009×2009+2010×2010+2011×2011 除以 31 的余数是多少？【答案】 15【分析】 简答：利用替换求余法计算．61. 已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是a−1，a2，a3−1，求该自然数的值．【答案】29【分析】根据题意可知，自然数61，154，201被该数除所得余数分别是a，a2，a3．由于a2=a×a，所以自然数612=3721与154同余；由于a3=a×a2，所以61×154=9394与201同余，所以除数是3721−154=3567和9394−201=9193的公约数，运用辗转相除法可得到(3567,9193)=29，该除数为29．经检验成立．62. 一个自然数除429、480所得的余数相等，求这个自然数的值．【答案】3，17或51．【分析】这两个数除以该自然数的余数相同，也就是同余，那么这两个数的差除以该自然数就除得开，也就是(480−429)能够除得开，即51．51=3×17，这个数可以是3，17或51．63. 请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？【答案】12504【分析】五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3．首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7．可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8×9×9×9×3=17496(个).所以满足条件的五位数共有30000−17496=12504(个).64. (3130+3031)被13除所得的余数是多少？【答案】3【分析】31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，⋯，时5n被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1，⋯，以4为周期循环出现，所以530被13除的余数与52被13除的余数相同，余12，则3130除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，⋯，时，4n被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，⋯，以6为周期循环出现，所以431被13除所得的余数等于41被13除所得的余数，即4，故3031除以13的余数为4；所以(3130+3031)被13除所得的余数是12+4−13=3．65. 求1∼2013的自然数中最多可以取出多少个数，使得任意两数之和不能被两数之差整除？。
