2014-2015学年上海市南洋模范中学高一上学期期中数学试卷和解析

2024-2025学年上海市徐汇区南洋中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，则丁是甲的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.如图，U 是全集，A 、B 、C 是它的子集，则阴影部分表示对集合是( )A. (A ∩B)∩CB. (A ∩∁U B)∩CC. (A ∩B)∩∁U CD. (A ∪∁U B)∩C3.如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A. 1a <1bB. ab <b 2C. −ab <−a 2D. −1a <−1b 4.设集合A ={x||x−a|=1}，B ={1,−3,b}，若A ⊆B ，则对应的实数对(a,b)有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对二、填空题：本题共12小题，共40分。

5.A ={x|−1≤x ≤3}，B ={x|x <−2或x ≥2}，则A ∩B = ______．6.用反证法证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形，应假设______．7.不等式|x−1|<2的解集为______．8.不等式(1−2x)(x +1)>0的解集是______．9.方程x 2+(m−3)x +m =0有两个实根，则实数m 的取值范围是______．10.已知log 189=a ，18b =5，则18a−b 2的值为______．11.使不等式|x−5|+|x−3|≥2中等号成立的x 的取值范围是______．12.已知集合A ={2,(a +1)2,a 2+3a +3}，且1∈A ，则实数a 的值为______．13.不等式(a−2)x 2+2(a−2)x−4<0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______．14.若集合A ={1,2}，B ={1,2,3,4,5,6}，若集合M 满足A ⊂M ⊆B ，则这样的集合M 的个数是______．15.设α，β是方程lg 2x−lgx−3=0的两根，则log αβ+log βα= ______．16.记min{x,y,z}表示x ，y ，z 中最小的数.设a >0，b >0，则min{a,1b ,1a +3b}的最大值为______．三、解答题：本题共5小题，共44分。

2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共计36分）1．（3分）已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=；2．（3分）一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为cm2；3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=．4．（3分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是．5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为．6．（3分）函数的值域为；7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是；8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=．9．（3分）函数f （x）=的单调递增区间为．10．（3分）要得到函数y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象．11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是．12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3km C．3km D．2km 15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．三、解答题（48分）17．（8分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．图21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共计36分）1．（3分）已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=；【解答】解：∵角α的终边在射线上，故α的终边再第二象限，在α的终边上任意取一点P（x，y），取x=﹣3，y=4，则r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==﹣，∴sinα+cosα=，故答案为：．2．（3分）一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为cm2；【解答】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，则α=，可得：sin=，可得：r==2，可得扇形的面积为S=r2α==．故答案为：．3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=．【解答】解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故答案为：4．（3分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是﹣．【解答】解：（cosθ﹣sinθ）2=1﹣sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ﹣sinθ=，故答案为：．5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为（，] ．【解答】解：arccos2x＜arccos（1﹣x），由y=arccosx在[﹣1，1]递减，可得﹣1≤1﹣x＜2x≤1，即为x≤2且x＞且x≤，可得＜x≤，则x的取值范围是（，]．故答案为：（，]．6．（3分）函数的值域为；【解答】解：∵﹣≤x≤，∴﹣，∴﹣≤arcsin（cosx）≤．∴函数的值域为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是；【解答】解：函数f（x）=2sin2x+sin2x=1﹣cos2x+sin2x=﹣）+1，由sin（2x﹣）∈[﹣1，1]，∴当sin（2x﹣）=﹣1时，f（x）取得最小值为，当sin（2x﹣）=1时，f（x）取得最大值为．∴函数的值域为[，]．故答案为：[，]．8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．【解答】解：由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，得b2=22+c2﹣2×2×c×（﹣），即b2=4+49﹣14b+b2+7﹣b，15b=60∴b=4．故答案为：4．9．（3分）函数 f （x）=的单调递增区间为，k∈Z．【解答】解：∵对数的真数大于零∴⇒，k∈Z解之得函数的定义域为：，k∈Z令t=∵∴t关于x的单调减区间是函数f （x）=的单调递增区间由，k∈Z，得x∈，k∈Z，再结合函数的定义域，得x，是原函数的增区间故答案为：10．（3分）要得到函数y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移个单位．【解答】解：函数y=cos（﹣）=cos（﹣+）=sin（），只需将y=sin的图象向左平移个单位，即可得到函数y=cos（﹣）的图象，故答案为：向左平移个单位．11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是（﹣4，﹣2]∪{0} ．【解答】解：∵令g（x）=﹣3|cosx|+cosx=，x∈（0，2π），在坐标系中画出函数f（x）图象，如下图所示：由其图象可知当直线y=m，m∈（﹣4，﹣2]∪{0}时，g（x）=﹣3|cosx|+cosx，x∈（0，2π）的图象与直线y=m有且仅有两个不同的交点．故答案为：（﹣4，﹣2]∪{0}．12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为．【解答】解：∵tanC=，∴sinC=sin（B+C）=sinA，∴c=a，∵b=2，∴S===，∴a=2时，△ABC的面积S的最大值为，故答案为．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，C=π﹣（A+B），∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴cosA（sinB﹣sinA）=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴A=或B=A或B=π﹣A（舍去），故选：D．14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3km C．3km D．2km【解答】解：如图，由条件知AB=24×=6．在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°﹣75°=105°，∴∠ASB=45°．由正弦定理知，∴=故选：B．15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．【解答】解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=．故选：D．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，•=﹣，∴ω=2，再根据2•+φ=，2•+φ=2π，求得φ=，故选：D．三、解答题（48分）17．（8分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；【解答】解：（1）∵f（x）=4sin3xcosx﹣2sinxcosx﹣cos4x=sin2x×（1﹣cos2x）﹣sin2x﹣cos4x=﹣sin4x﹣cos4x=﹣sin（4x+），∴函数f（x）的最小正周期T=．∵由2kπ+≤4x+≤2kπ+，k∈Z，可得：，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z；（2）∵x∈[0，]，∴4x+，∴sin（4x+）∈[﹣，1]，∴f（x）=﹣sin（4x+）∈[﹣，]，可得当x=时，f（x）在区间[0，]上的最大值为，当x=时，取得最小值为．18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；【解答】解：（1）△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA；（2）△ABC 中，由正弦定理得=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33；所以B、D的距离约为0.33km．20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．图【解答】解：∵1﹣sinx ≥0且1+sinx ≥0，在R 上恒成立 ∴函数的定义域为R ； ∵=2+2|cosx|∴由|cosx |∈[0，1]，f 2（x ）∈[2，4]，可得函数的值域为[，2]；∵=f （x ）∴函数的最小正周期为π ∵当x ∈[0，]时，=2cos ，在[0，]上为减函数当x ∈[，π]时，=2sin ，在[，π]上为增函数 ∴f （x ）在上递增，在上递减（k ∈Z ）∵f （﹣x ）=f （x ）且，∴f （x ）在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线对称因此，可得如下表格：值域调性上上，图21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx﹣sinx；∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sin2x=cos2x．（2）∵=4cosx•cos（x﹣），∴f（x）=2cosx，α=﹣．（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）•f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|﹣sinx）=，因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，所以当x1=2kπ+π或时，g（x）≥g（x1）=﹣1当时，g（x）≤g（x2）=2所以或所以|x1﹣x2|的最小值是．。

2014学年第二学期南模中学高一年级数学学科期末考试卷一、填空题1． 写出数列12-，43，94-，165，…的一个通项公式．2． 函数1()arccos 12f x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭的值域是．3． 向量(34)a =，在向量(10)b =，方向上的投影为 ．4． 在ABC △中，已知2sin sin cos 2AB C ⋅=，则ABC △的形状为 ． 5． 等比数列{}n a 共有20项，其中前四项的积是1128，末四项的积是512，则这个等比数列的各项乘 积是 ． 6． 已知向量a ，b 的夹角为150°，1a =，3b =13b +=．7． 函数ππtan 42y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅=．8． 已知(0π)αβ∈，，，且3cos(2)2cos()cos 5αβαβα+-+=，则sin 2β= ．9． 已知π3x =是方程2cos()1x a +=的解，若()02πα∈，，则α= ． 10．已知无穷等比数列{}n a 各项和是94，且数列{}n a 各项平方和为818，则数列{}n a 的公比为 ．11．已知1OA =，2OB =0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且45AOC ∠=︒．设()OC mOA nOB m n R =+∈，，则mn=． 12．在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：[]1(1)(1)(2)(1)(1)3k k k k k k k k +=++--+，由此得[]112(12312)3123(234123)3.1(1)(1)(2)3n n n nn n n n⎧⨯=⨯⨯-⨯⨯⎪⎪⎪⨯=⨯⨯-⨯⨯⎪⎨⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪+=++--+⎪⎩，两边分别相加，得11223(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++．类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果是．二、选择题13．已知向量a b ，都是非零向量，“a b a b ⋅=⋅”是“a b ∥”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件14．等比数列{}n a 中，11a >，前n 项和为n S ，若11lim n x S a →∞=，那么1a 的取值范围是（ ）A ．(1)+∞，B ．(12)，C ．(1D ．(115．已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线π3x =是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是（ ）A ．π4sin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π2sin 426y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．π2sin 223y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭D ．π2sin 423y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭16．动点P 从点(10)，出发，在单位圆上逆时针旋转α角，到点133M ⎛- ⎝⎭，，已知角β的始边在x 轴的正半轴，顶点为(00)，，且终边与角α的终边关于x 轴对称，则下面结论正确的是（ ）A ．12πarccos 3k k Z β=-∈，B ．12πarccos 3k k Z β=+∈，C ．12ππarccos 3k k Z β=+-∈，D ．12ππarccos 3k k Z β=++∈，17．已知数列{}n a 的通项公式为1133144n n n a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则关于n a 的最大项、最小项叙述正确的是（ ）A ．最大项为1a 、最小项为3aB ．最大项为1a 、最小项不存在C ．最大项不存在、最小项为3aD ．最大项为1a 、最小项为4a18．由9个互不相等的正数排成的方阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的队列中，每行中的三个数成等差数列，且111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++成等比数列，下列四个判断正确的有（ ）①第2列12a ，22a ，32a 必成等比数列②第1列11a ，21a ，31a 不一定成等比数列③12322123a a a a +>+④若9个数之和等于9，则221a <A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个三、解答题19．⑴已知22lim 2x n na b n →∞⎛⎫-=⎪+⎝⎭，求a b ，的值． ⑵已知131lim 3(1)3n n n x a +→∞=++，求a 的取值范围．20．已知函数2π()2sin 4f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，⑴求()f x 的最大值和最小值；⑵若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知数列{}n a 中，135a =，且112(2)n n a n a -=-≥，数列{}n b 满足11n nb a =- ⑴求证：数列{}n b 是等差数列；⑵求数列{}n a 中最大项、最小项．22．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知(2)m b c a =-，，(cos cos )n A C =-，，且m n ⊥．⑴求角A 的大小；⑵若a =ABC △，试判断ABC △的形状，并说明理由． 23．已知函数3()23xf x x =+，数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=，*n N ∈，⑴求2a ，3a ，4a 的值；⑵求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；⑶设数列{}n b 满足1(2)n n n b a a n -=⋅≥，13b =，12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，若20152n m S -<对一切*n N ∈成立，求最小正整数m 的值．。

2018-2019学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）1．（3分）已知角α的终边在射线y＝﹣x（x≤0）上，则cosα＝．2．（3分）若，则cos2α＝．3．（3分）已知tan（π﹣θ）＝3，则＝．4．（3分）已知，则＝．5．（3分）已知，则cosα＝．6．（3分）函数的最小正周期为．7．（3分）函数y＝cos2x+2sin x﹣2的值域为．8．（3分）下图为函数的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MD 的中点，且△OMB为等腰直角三角形，则f（x）的解析式为f（x）＝．9．（3分）已知方程sin x+cos x＝m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是．10．（3分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D 用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长约为（精确到1米）．11．（3分）设α1，α2∈R，且，则tan（α1+α2）＝．12．（3分）已知函数f（x）＝sin2ωx﹣2cos2ωx+1（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间内没有零点，则ω的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）13．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为（）A．B．C．D．（1﹣sin1cos1）R215．（3分）已知△ABC内接于单位圆，则长为sin A、sin B、sin C的三条线段（）A．能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的一半B．能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的一半C．能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的一半D．不一定能构成一个三角形16．（3分）已知函数f（x）＝cos（sin x），g（x）＝sin（cos x），则下列说法正确的是（）A．f（x）与g（x）的定义域都是[﹣1，1]B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）的值域为[cos1，1]g（x）的值域为[﹣sin1，sin1]D．f（x）与g（x）都不是周期函数三、解答题17．（8分）已知（1）求tanα的值；（2）求的值．18．（8分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a＝2；②B＝45°；③c＝b试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可）19．（8分）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝1，∠ABC＝，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．（1）用θ表示S1和S2；（2）当θ变化时，求的最小值，及此时角θ的大小．20．某种波的传播是由曲线f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把解析式f（x）＝A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，把两个波的解析式相加称为波的叠加．（1）已如“1类波”中的两个波，与加后是一个“A类波”，求A的值；（2）已知三个不同的“A类波”，从f1（x）＝A sin（x+φ1），f2（x）＝A sin（x+φ2），f3（x）＝A sin（x+φ3）（其中φ1、φ2、φ3互不相同），三个波叠加后是“平波”y＝0，即f1（x）+f2（x）+f3（x）＝0，求cos（φ1﹣φ2）cos（φ2﹣φ3）cos（φ3﹣φ1）的值．21．某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：（1）请写出上表的x1、x2、y2，及函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式及的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，若在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．2018-2019学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）1．【解答】解：∵角α的终边在射线y＝﹣x（x≤0）上，在角α的终边上任意取一点（﹣1，1），则cosα＝＝﹣，故答案为：﹣．2．【解答】解：因为sinα＝，所以cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．故答案为：．3．【解答】解：∵tan（π﹣θ）＝﹣tanθ＝3，∴tanθ＝﹣3，则＝．故答案为：．4．【解答】解：∵已知，∴cosα＝﹣＝﹣，则＝sinαcos+cosαsin＝﹣＝，故答案为：．5．【解答】解：，所以：，解得：，所以：，整理得：，解得：（负值舍去），故＝，故答案为：．6．【解答】解：函数的最小正周期是函数y＝sin的周期的一半，而函数y＝sin的周期为＝4π，故函数的最小正周期是2π，故答案为：2π．7．【解答】解：y＝cos2x+2sin x﹣2＝﹣sin2x+2sin x﹣1＝﹣（sin x﹣1）2，∵x∈R，∴sin x∈[﹣1，1]，∴当sin x＝1时，y max＝0；当sin x＝﹣1时，y min＝﹣4，∴函数y的值域为[﹣4，0]．故答案为：[﹣4，0]．8．【解答】解：由已知点E（0，1）是线段MD的中点知A＝2，根据△OMB为等腰直角三角形，可得M（﹣1，0），D（1，2），∴•＝1﹣（﹣1），解得ω＝；∴函数f（x）＝2sin（x+φ），又由M（﹣1，0）是f（x）图象上的点，由正弦函数的图象与性质知，×（﹣1）+φ＝0，可得φ＝，∴f（x）＝2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．9．【解答】解：m+1＝sin x+cos x＝2sin（x+），x∈[0，π]，x+[]，如图：方程sin x+cos x＝m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，2sin（x+）∈．∴m+1∈，可得m∈．故答案为：．10．【解答】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD＝500（米），DA＝300（米），∠CDO＝60°在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°＝OC2即，5002+（r﹣300）2﹣2×500×（r﹣300）×＝r2解得r＝≈445（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD＝500（米），AD＝300（米），∠CDA＝120°在△CDO中，AC2＝CD2+AD2﹣2•CD•AD•cos120°＝5002+3002+2×500×300×＝7002．∴AC＝700（米）．cos∠CAD＝＝．在直角△HAO中，AH＝350（米），cos∠HAO＝，∴OA＝＝≈445（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．故答案为：445米．11．【解答】解：∵α1，α2∈R，且，∴sinα1+2＝1，2+sin （2α2）＝1，求得sinα1＝﹣1，sin（2α2）＝﹣1，∴α1＝2kπ﹣，且2α2＝2nπ﹣，k、n∈Z，∴α2＝nπ﹣，∴α1+α2＝（2k+n）﹣，∴tan（α1+α2）＝tan（﹣）＝1，故答案为：1．12．【解答】解：f（x）＝sin2ωx﹣2cos2ωx+1＝sin2ωx﹣cos2ωx＝sin（2ωx﹣），（ω＞0），由f（x）＝0得2ωx﹣＝kπ，即x＝+，k∈Z，∵函数f（x）在区间内没有零点，∴x＝+∉（，π），若+∈（，π），则＜+＜π，得ω﹣＜k＜2ω﹣，若函数f（x）在区间内没有零点，等价为在（ω﹣，2ω﹣）内没有整数，则≥＝，即0＜ω≤1，若（ω﹣，2ω﹣）内有整数，则当k＝0时，由ω﹣＜0＜2ω﹣，得，即＜ω＜，若当k＝1时，由ω﹣＜1＜2ω﹣，得，即＜ω＜，此时＜ω≤1，当k＝2时，由ω﹣＜2＜2ω﹣，得，即＜ω＜，此时ω超出范围，即若（ω﹣，2ω﹣）内有整数，则＜ω＜或＜ω≤1，则若（ω﹣，2ω﹣）内没有整数，则0＜ω≤或≤ω≤，即ω的取值范围为（0，]∪[，]，故答案为：（0，]∪[，]二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）13．【解答】解：由正弦定理知＝2R，∵sin A＞sin B，∴a＞b，∴A＞B．反之，∵A＞B，∴a＞b，∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，∴sin A＞sin B故选：A．14．【解答】解：l＝4R﹣2R＝2R，α＝＝＝2，可得：S扇形＝lR＝×2R×R＝R2，可得：S三角形＝×2R sin1×R cos1＝sin1•cos1•R2，可得：S弓形＝S扇形﹣S三角形＝R2﹣sin1•cos1•R2＝（1﹣sin1cos1）R2．故选：D．15．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，∴a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C∵a，b，c为三角形的三边∴sin A，sin B，sin C也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积故选：C．16．【解答】解：A．f（x）与g（x）的定义域都是R，故A错误，B．f（﹣x）＝cos（sin（﹣x））＝cos（﹣sin x）＝cos（sin x）＝f（x），则f（x）是偶函数，故B错误，C．∵﹣1≤sin x≤1，﹣1≤cos x≤1，∴f（x）的值域为[cos1，1]，g（x）的值域[﹣sin1，sin1]，故C正确，D．f（x+2π）＝cos（sin（x+2π））＝cos（sin x）＝f（x）则f（x）是周期函数，故D错误，故选：C．三、解答题17．【解答】解：（1）由于，则有3tan2α+8tanα﹣3＝0，解得或tanα＝﹣3，∵，∴tanα＝﹣3；（2）＝﹣cos2α＝﹣（cos2α﹣sin2α）＝＝＝＝．18．【解答】解：（1）由2b cos A＝c cos A+a cos C代入正弦定理得：2sin B cos A＝sin C cos A+sin A cos C即2sin B cos A＝sin（C+A）＝sin B≠0∴cos A＝又0＜A＜π∴A＝（2）选①③由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A∴b2+3b2﹣3b2＝4∴b＝2，c＝2∴S＝选①②由正弦定理得：又sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝∴S＝选②③这样的三角形不存在．19．【解答】解：（1）∵BC是半圆的直径，A在半圆上，∴AB⊥AC，又BC＝1，∴AB＝cosθ，AC＝sinθ，所以：S1＝•AB•AC＝sinθcosθ；设正方形的边长为x，则：BP＝，AP＝x cosθ，由BP+AP＝AB，得：+x cosθ＝cosθ，解得：x＝，所以：S2＝x2＝（）2．（2）＝＝＝+sin2θ+1，令t＝sin2θ，因为0＜θ＜，所以：0＜2θ＜π，则t＝sin2θ∈（0，1]，所以：＝++1，令g（t）＝++1（0＜t≤1），则g′（t）＝﹣+＝＜0，所以函数g（t）在（0，1]上递减，因此：当t＝1时，g（t）取得最小值g（1）＝1++1＝，此时：sin2θ＝1，解得θ＝．所以：当θ＝时，的值最小，最小值为．20．【解答】解：（1）与加后是一个“A类波”，即：f1（x）+f2（x）＝sin（x+）+sin（x+）＝sin x cos+cos x sin+sin x cos+cos x sin ＝sin x+cos x＝sin（x+）；由定义解析式f（x）＝A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，所以：A＝；（2）设f1（x）＝A sin（x+φ1），f2（x）＝A sin（x+φ2），f3（x）＝A sin（x+φ3），由f1（x）+f2（x）+f3（x）＝0恒成立，同（1）化简方法利用两角和差公式及辅助角公式，可解得：（cosφ1+cosφ2+cosφ3）sin x+（sinφ1+sinφ2+sinφ3）cos x＝0，易得：cosφ1+cosφ2+cosφ3＝0；①sinφ1+sinφ2+sinφ3＝0；②由两式变型平方可得：cosφ1+cosφ2＝﹣cosφ3；sinφ1+sinφ2＝﹣sinφ3；两式左右完全平方相加可得：2+2cos（φ1﹣φ2）＝1；cos（φ1﹣φ2）＝﹣；同理可得：cos（φ2﹣φ3）＝﹣；cos（φ3﹣φ1）＝﹣；∴cos（φ1﹣φ2）cos（φ2﹣φ3）cos（φ3﹣φ1）＝﹣．21．【解答】解：（1）由表格根据五点法作图的规律，可得+＝x1﹣＝x2﹣x1＝﹣x2，解得x1＝，x2＝，A＝，y2＝﹣，f（x）＝sin（x+）．（2）将函数f（x））＝sin（x+）的图象向右平移个单位，可得y＝sin（x﹣+）＝﹣sin x的图象；再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）＝sin x的图象．函数＝[sin x﹣]，由sin x﹣＞0，可得sin x＞，要求函数的单调递增区间，即求y＝sin x的减区间，而y＝sin x的减区间为[，），故的单调递增区间为[，）．（3）＝3sin2x+a sin x﹣1，令F（x）＝0，则a sin x＝1﹣3sin2x，显然当sin x＝0时，F（x）不存在零点，因此只需考虑sin x≠0时，F（x）的零点情况，令t＝sin x（sin x≠0且0＜x≤2π），则t∈[﹣1，0）∪（0，1]，a＝，则函数y＝在[﹣1，0）和（0，1]上单调递减，且t＝1时y＝2，当t＝﹣1时，y＝﹣2∴当y∈（﹣2，2）时，y＝t与y＝有两个交点，此时方程a sin x＝1﹣3sin2x存在4个实根，当y∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，y＝t与y＝有一个交点，此时方程a sin x＝1﹣3sin2x存在2个实根，当y＝2或y＝﹣2时，y＝t与y＝有两个交点，此时方程a sin x＝1﹣3sin2x存在3个实根．∵在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，∴当x∈（2018π，2019π）时，F（x）只可能存在2个零点，因此只有a＝2时符合条件，∴x∈（0，2019π）时F（x）的零点为：个．。

2014-2015学年上海市徐汇区南洋中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（每题3分，满分36分）1．若半径为2的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角大小为 ．（用弧度制表示）2．角α的终边上有一点P （﹣3，4），则sin α值为 ． 3．函数f(x)=arcsin(x3−1)的定义域为 ．4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ． 5．函数y =2cos(2x −π4)(x ∈[−π2，π2])的单调递增区间是 ．6．若函数f （x ）＝sin2x +m cos2x 的图象关于直线x =−π8对称，则实数m ＝ ． 7．若函数f （x ）＝sin 2x 对任意的x ∈R ，都有f （x ）＝f （x +C ）（C 为正常数）成立，则C 的最小值为 ．8．已知α∈(0，π2)，sinα=35，则cos(π−α2)= ．9．设tan （α+β）=25，tan （β−π4）=14，则tan （α+π4）＝ ．10．函数y =sinx−1sinx+2的值域是 ．11．曲线y ＝A sin2ωx +k （A ＞0，k ＞0）在区间[0，πω]上截直线y ＝4和y ＝﹣2所得弦长相等且不为0，则参数A 和k 要同时满足 ．12．已知函数f(x)=sin(2x +π3)，定义域为[a ，b ]，值域是[−1，12]，则下列正确命题的序号是 ． （1）b ﹣a 最小值是π3；（2）b ﹣a 最大值是2π3；（3）b ﹣a 无最大值；（4）直线x =201512π不可能是此函数的对称轴．二、选择题（每题4分，满分20分） 13．函数y ＝sin x cos x 是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数14．已知α为第四象限角，则α2所在的象限为（ ）A ．第二象限B ．第二或第四象限C ．第一象限D ．第一或第三象限15．将函数y ＝sin4x 的图象向左平移π12个单位，得到y ＝sin （4x +φ）的图象，则φ等于（ ）A ．−π12B ．−π3C ．π3D ．π1216．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A 2，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形17．给出下列四个命题：（1）函数y ＝3sin x2+4cos x2的定义域为[0，2π]，则值域为[﹣5，5]；（2）三角方程tan （5x +2π9）=√2在[0，π]内有5个解；（3）对任意的α∈R ，三角公式sin2α=2tanα1+tan 2α是一定成立的；（4）函数y ＝cos x 与y ＝arccos x （|x |≤1）互为反函数． 其中正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题（10+10+10+14）18．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝2√3，AC ＝2，求△ABC 的面积 ． 19．已知tan(π4−α)=−12，α∈(π，32π)，求cos α﹣sin2α的值． 20．已知关于x 的方程sin x +cos x ＝a （1）若方程有实数解，求实数a 的取值范围（2）若方程x ∈[0，π]时有两个相异的实数解，求实数a 的范围及两实数解的和． 21．我们把平面直角坐标系中，函数y ＝f （x ），x ∈D 上的点P （x ，y ），满足x ∈N *，y ∈N *的点称为函数y ＝f （x ）的“正格点”．（1）请你选取一个m的值，使对函数f（x）＝sin mx，x∈R的图象上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标．（2）若函数f（x）＝sin mx，x∈R，m∈（1，2）与函数g（x）＝lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（3）对于（2）中的m值，函数f（x）＝sin mx，x∈(0，59)时，不等式log a x＞sin mx恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年上海市徐汇区南洋中学高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（每题3分，满分36分）1．若半径为2的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角大小为 2 ．（用弧度制表示） 【分析】直接利用弧长、半径、圆心角公式，求出扇形圆心角的弧度数． 解：由题意可知，扇形圆心角的弧度数为：α=lr=42=2． 故答案为：2．【点评】本题考查扇形圆心角的弧度数的求法，是基础题． 2．角α的终边上有一点P （﹣3，4），则sin α值为45．【分析】求出OP ，然后直接利用三角函数的定义，求出sin α的值即可． 解：角α的终边上有一点P （﹣3，4），|OP |＝5，则sin α=45． 故答案为：45【点评】本题是基础题，考查三角函数的定义，注意正确利用定义是解题的关键． 3．函数f(x)=arcsin(x3−1)的定义域为 [0，6] ．【分析】设t =x3−1，根据反正弦函数的定义域解关于x 的不等式﹣1≤x3−1≤1，即可得出f （x ）的定义域． 解：设t =x3−1，∵反正弦函数y ＝arcsin t 的定义域为[﹣1，1]， ∴解不等式﹣1≤x3−1≤1，可得x ∈[0，6]． 所以函数的定义域为：[0，6]． 故答案为：[0，6]．【点评】本题考查反三角函数的定义域的求法，基本知识的考查． 4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为78．【分析】设出顶角为C ，根据周长为底边c 的5倍，用c 表示出两腰长a 和b ，利用余弦定理表示出cos C ，把三边长代入即可求出cos C 的值．解：设顶角为C ，∵l ＝5c ， ∴a ＝b ＝2c ，由余弦定理得：cosC =a 2+b 2−c 22ab =4c 2+4c 2−c 22×2c×2c =78．故答案为：78【点评】本题主要考查余弦定理的应用．余弦定理在解三角形中应用很广泛，很好的建立了三角形的边角关系，应熟练掌握．5．函数y =2cos(2x −π4)(x ∈[−π2，π2])的单调递增区间是 [−3π8，π8] ．【分析】求出函数y ＝2cos （2x −π4）在R 上的单调增区间，再求函数y 在x ∈[−π2，π2]的单调递增区间．解：函数y ＝2cos （2x −π4）， 令﹣π+2k π≤2x −π4≤2k π，k ∈Z ， 解得−3π8+k π≤x ≤π8+2k π，k ∈Z ，当k ＝0时，−3π8≤x ≤π8，∴函数y ＝2cos （2x −π4）在x ∈[−π2，π2]的单调递增区间是[−3π8，π8]．故答案为：[−3π8，π8]． 【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．6．若函数f （x ）＝sin2x +m cos2x 的图象关于直线x =−π8对称，则实数m ＝ ﹣1 ．【分析】先将函数y ＝sin2x +m cos2x 利用辅角公式化简，然后根据正弦函数在对称轴上取最值可得答案． 解：由题意知y ＝sin2x +m cos2x =√m 2+1sin （2x +φ）当x =−π8时函数y ＝sin2x +m cos2x 取到最值±√m 2+1将x =−π8代入可得：﹣sin （2×π8）+m cos （2×π8）=√22(m −1)=±√m 2+1即m ＝﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题．属基础题．7．若函数f （x ）＝sin 2x 对任意的x ∈R ，都有f （x ）＝f （x +C ）（C 为正常数）成立，则C 的最小值为 π ．【分析】因为函数满足f （x ）＝f （x +C ），所以欲求C 的最小值，只需找到函数的最小正周期就可以了．利用二倍角公式的变形式子，化简f （x ）＝sin 2x 即可． 解：∵（x ）＝sin 2x =1−cos2x2，∴（x ）的最小正周期为π 又∵f （x ）＝f （x +C ），∴C 为f （x ）的周期，∴C 的最小值为π 故答案为π【点评】本题借助二倍角公式考查了函数的最小正周期的求法，属于基础题． 8．已知α∈(0，π2)，sinα=35，则cos(π−α2)= −√1010．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cos α的值，再利用诱导公式、半角公式求得cos(π−α2)=−cos α2的值．解：∵已知α∈(0，π2)，sinα=35，∴cos α=√1−sin 2α=45，则cos(π−α2)=−cos α2=−√1+cosα2=−√1+452=−3√1010，故答案为：−3√1010．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、半角公式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．9．设tan （α+β）=25，tan （β−π4）=14，则tan （α+π4）＝322．【分析】由条件利用两角差的正切公式求得tan （α+π4）的值．解：∵tan （α+β）=25，tan （β−π4）=14，∴tan （α+π4）=tan(α+β)−tan(β−π4)1+tan(α+β)⋅tan(β−π4)=25−141+25×14=322， 【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题． 10．函数y =sinx−1sinx+2的值域是 [﹣2，0] ．【分析】原函数可变形为y ＝1−3sinx+2，由三角函数的有界限和不等式的性质可得．解：y =sinx−1sinx+2=1−3sinx+2， ∵﹣1≤sin x ≤1，∴1≤sin x +2≤3，∴﹣3≤−3sinx+2≤−1， ∴﹣2≤1−3sinx+2≤0，∴函数y =sinx−1sinx+2的值域是[﹣2，0]故答案为[﹣2，0]．【点评】本题考查函数的值域，变形为y ＝1−3sinx+2是解决问题的关键，属基础题．11．曲线y ＝A sin2ωx +k （A ＞0，k ＞0）在区间[0，πω]上截直线y ＝4和y ＝﹣2所得弦长相等且不为0，则参数A 和k 要同时满足 k ＝1，A ＞3 ． 【分析】由题意可得k =4+(−2)2=1，A ＞4﹣1＝3，从而得到答案． 解：由题意可得k =4+(−2)2=1，A ＞4﹣1＝3， 故答案为k ＝1，A ＞3．【点评】本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，属于中档题． 12．已知函数f(x)=sin(2x +π3)，定义域为[a ，b ]，值域是[−1，12]，则下列正确命题的序号是 （1）、（2）、（4） ． （1）b ﹣a 最小值是π3；（2）b ﹣a 最大值是2π3；（3）b ﹣a 无最大值；（4）直线x =201512π不可能是此函数的对称轴．【分析】利用正弦函数的图象，正弦函数的定义域和值域，判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：函数f(x)=sin(2x +π3)，定义域为[a ，b ]，值域是[−1，12]， 不妨令2a +π3=5π6，则2b +π3最小值为3π2，2b +π3最大值为13π6， 即当a =π4时，b 最小为7π12，最大为11π12，故b ﹣a 的最小值为π3，b ﹣a 的最大值为2π3，故（1）、（2）正确，（3）错误．再根据当x =201512π时，f （x ）=12，不是最值，故直线x =201512π不可能是此函数的对称轴，故（4）正确，故答案为：（1）、（2）、（4）．【点评】本题主要考查正弦函数的图象，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 二、选择题（每题4分，满分20分） 13．函数y ＝sin x cos x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数【分析】y ＝sin x cos x =12sin2x ，由周期公式及图象对称性可得结论．解：y ＝sin x cos x =12sin2x ， 周期为T =2π2=π，且其图象关于原点对称，故为奇函数， 故选：A ．【点评】本题考查二倍角的正弦公式、三角函数的周期性，属基础题． 14．已知α为第四象限角，则α2所在的象限为（ ）A ．第二象限B ．第二或第四象限C ．第一象限D ．第一或第三象限【分析】根据角α的终边在第四象限，建立角α满足的不等式，两边除以2再讨论整数k 的奇偶性，可得α2的终边所在的象限．解：∵角α的终边在第四象限， ∴2k π−π2＜α＜2k π，k ∈Z ∴k π−π4＜α2＜k π，k ∈Z①当k 为偶数时，2n π−π4＜α2＜2n π，n ∈Z ，得α2是第四象限角；②当k 为奇数时，（2n +1）π−π4＜α2＜（2n +1）π，n ∈Z ，得是第二象限角； 故选：B ．【点评】本题给出角α的终边在第四象限，求α2的终边所在的象限，着重考查了象限角、轴线角和终边相同角的概念，属于基础题． 15．将函数y ＝sin4x 的图象向左平移π12个单位，得到y ＝sin （4x +φ）的图象，则φ等于（ ）A ．−π12B ．−π3C ．π3D ．π12【分析】利用函数图象的平移，求出函数的解析式，与已知解析式比较，即可得到φ的值． 解：函数y ＝sin4x 的图象向左平移π12个单位，得到y =sin4(x +π12)的图象，就是y ＝sin （4x +φ）的图象，故φ=π3 故选：C ．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，注意平移的方向，基本知识的考查题目．16．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【分析】利用cos 2A2=1+cosA 2可得sinBsinC =1+cosA2，再利用两角和差的余弦可求． 解：由题意sinBsinC =1+cosA2，即sin B sin C ＝1﹣cos C cos B ，亦即cos （C ﹣B ）＝1，∵C ，B ∈（0，π），∴C ＝B ， 故选：A ．【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合．属于基础题．17．给出下列四个命题：（1）函数y ＝3sin x2+4cos x2的定义域为[0，2π]，则值域为[﹣5，5]；（2）三角方程tan （5x +2π9）=√2在[0，π]内有5个解；（3）对任意的α∈R ，三角公式sin2α=2tanα1+tan 2α是一定成立的；（4）函数y ＝cos x 与y ＝arccos x （|x |≤1）互为反函数． 其中正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】（1）利用辅助角公式求函数的周期即可．（2）利用正切函数的周期判断．（3）利用正切函数的定义域判断．（4）关键反函数的定义进行判断．解：（1）由数y ＝3sin x2+4cos x2得y ＝5sin （x2+θ），θ为参数，则函数的周期T =2π12=4π，因为定义域为[0，2π]，为半个周期，所以最大值5和最小值﹣5在[0，2π]内不能同时取得，所以（1）错误．（2）因为正切函数的周期为T =π5，所以[0，π]为5个周期长度．所以又因为正切函数在每个周期内都是单调递增函数，所以tan （5x +2π9）=√2在[0，π]内有5个解，所以（2）正确．（3）因为正切函数的定义域为{α|α≠kπ+π2}，所以（3）不一定恒成立．，所以（3）错误．（4）因为y ＝cos x 在定义域内不是单调函数，所以在定义域内，函数y ＝cos x 内没有反函数，所以（4）错误． 故选：B ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握正弦函数，余弦函数和正切函数的性质．三、解答题（10+10+10+14）18．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝2√3，AC ＝2，求△ABC 的面积 √3或2√3 ． 【分析】设BC ＝x ，由余弦定理可得 4＝12+x 2﹣4√3x cos30°，解出x 的值，代入△ABC 的面积为12AB ⋅BC ⋅sinB =12×2√3•x •12，运算求得结果．解：在△ABC 中，设BC ＝x ，由余弦定理可得4＝12+x 2﹣4√3x cos30°， x 2﹣6x +8＝0，∴x ＝2，或 x ＝4． 当x ＝2 时，△ABC 的面积为 12AB ⋅BC ⋅sinB =12×2√3•x •12=√3当x ＝4 时，△ABC 的面积为 12AB ⋅BC ⋅sinB =12×2√3•x •12=2√3，故答案为√3或2√3．【点评】本题考查余弦定理的应用，求得BC 的长度x ＝2或x ＝4，是解题的关键． 19．已知tan(π4−α)=−12，α∈(π，32π)，求cos α﹣sin2α的值．【分析】先根据已知条件求出tan α＝3；再借助于同角三角函数之间的关系求出cosα=110sinα=310，最后结合二倍角公式即可求出结论．解：由tan(π4−α)=−12，得tanπ4−tanα1+tanπ4tanα=−12，∴tanα＝3因α∈(π，32π)∴cosα=10sinα=10∴cosα﹣sin2α＝cosα﹣2sinααcosα=−6+√1010．【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用以及同角三角函数基本关系的运用．解决本题需要注意题中角的范围，避免出错．20．已知关于x的方程sin x+cos x＝a（1）若方程有实数解，求实数a的取值范围（2）若方程x∈[0，π]时有两个相异的实数解，求实数a的范围及两实数解的和．【分析】（1）利用两角和与差公式可得a=√2sin（x+π4），进而由正弦函数的特点求出√2sin（x+π4）的值域即可知a的取值范围；（2）利用两角和与差公式可得a=√2sin（x+π4），进而把问题转化成y1＝ay2＝sin（x+π4），x∈[0，π]有两个交点问题，将图象画出即可得出答案．解：（1）∵sin x+cos x＝a∴a=√2sin（x+π4），∴−√2≤a≤√2（2））∵sin x+cos x＝a∴a=√2sin（x+π4），设y1＝ay2＝sin（x+π4），由题意可知y1＝ay2＝sin（x+π4），x∈[0，π]有两个交点如图示知a∈[1，√2）设两相异实根为x1，x2，由图示⇒x1+x2＝2×π4=π2【点评】本题考查三角函数的值域以及两角和与差公式，（2）问将图画出是解题的关键．21．我们把平面直角坐标系中，函数y＝f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y＝f（x）的“正格点”．（1）请你选取一个m的值，使对函数f（x）＝sin mx，x∈R的图象上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标．（2）若函数f（x）＝sin mx，x∈R，m∈（1，2）与函数g（x）＝lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（3）对于（2）中的m值，函数f（x）＝sin mx，x∈(0，59)时，不等式log a x＞sin mx恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）取m=π2，可求相应正格点坐标；（2）作出两个函数图象，利用图象可知正格点交点只有一个点为（10，1），从而有2kπ+π2=10m，m=4k+120π，k∈Z，m∈（1，2），求得m=9π20，得交点的个数；（3）利用（2）的图象，分a＞1、0＜a＜1进行讨论解：（1）取m=π2时，正格点坐标（1，1），（5，1）（9，1）等（答案不唯一）；…（2）作出两个函数图象，可知函数f（x）＝sin mx，x∈R，与函数g（x）＝lgx的图象有正格点交点只有一个点为（10，1）；∴2kπ+π2=10m，解得m=4k+120π，其中k∈Z，m∈（1，2），取m=9π20；…根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为5个．（注意：最后两个点非常接近，几乎粘合在一起）…（3）由（2）知f （x ）＝sin 9π20x ，x ∈（0，59）； ∴①当a ＞1时，不等式log a x ＞sin mx 不能成立；…②当0＜a ＜1时，由图（2）可知log a 59＞sin π4， ∴(59)√2＜a ＜1．…【点评】本题考查了新定义和三角函数与对数函数的应用问题，正确理解新定义是解题的关键．。

2014-2015学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上的一点，且sinθ=﹣，则y=．2．（3分）设扇形AOB的周长为8 cm，若这个扇形的面积为4 cm2，则圆心角的弧度数为．3．（3分）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．4．（3分）已知，则sin2α的值为．5．（3分）若f（x）是定义R在上的奇函数，当x＜0时f（x）=cos3x+sin2x，则当x＞0时，f（x）=．6．（3分）函数的最小正周期是．7．（3分）当时，函数y=arccos（sinx）的值域是．8．（3分）已知tanα=1，3sinβ=sin（2α+β），求tan（α+β）的值．9．（3分）函数的单调递增区间是．10．（3分）已知函数（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，若，则f（x）的取值范围是．11．（3分）若关于x的方程2cos2x+5sinx﹣4=a有实数解，则实数a的取值范围是．12．（3分）在△OAB中，O为坐标原点，A（1，cosθ），B（sinθ，1），θ∈，则当△OAB的面积达最大值时，则θ=．二、选择题13．（3分）若，，则（）A．B．C．D．14．（3分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R15．（3分）方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根16．（3分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）17．（3分）函数y=tanx+sinx+|tanx﹣sinx|在区间（，）内的图象大致是（）A．B．C．D．18．（3分）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）三、解答题19．已知，．（1）求的值；（2）求的值．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin （1）求sinC的值（2）若a2+b2=4（a+b）﹣8，求边c的值．21．半圆O直径为2，OA=2，B为半圆上任意一点，C为半圆外异于A的点，以AB为边按顺时针方向作正△ABC，问B在何位置时，四边形OACB面积最大？22．已知定义在R上的函数满足：，f（x﹣π）=f（x+π）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设不等的实数x1，，且，求x1+x2的值．23．已知函数f（x）=sinkxsin k x+coskxcos k x﹣cos k2x，（其中k为常数，x∈R）（1）当k=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当k=1时，求函数在上的最大值（其中常数a ＞0）（3）是否存在k∈N*，使得函数f（x）为常函数，若存在，求出k的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．2014-2015学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上的一点，且sinθ=﹣，则y=﹣8．【解答】解：若P（4，y）是角θ终边上的一点，则点P到原点的距离r=则=，则y=﹣8故答案为：﹣82．（3分）设扇形AOB的周长为8 cm，若这个扇形的面积为4 cm2，则圆心角的弧度数为2．【解答】解：设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则扇形的周长为l=α•r+2r=8①，扇形的面积为S=lr=α•r2=4②，由①②解得α=2，r=2；∴圆心角的弧度数为2．故答案为：2．3．（3分）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：4．（3分）已知，则sin2α的值为．【解答】解：∵已知，则sin2α====，故答案为：．5．（3分）若f（x）是定义R在上的奇函数，当x＜0时f（x）=cos3x+sin2x，则当x＞0时，f（x）=﹣cos3x+sin2x．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0时，∵当x＜0时，有f（x）=cos3x+sin2x，∴当x＞0时，﹣x＜0时，f（﹣x）=cos（﹣3x）+sin（﹣2x）=cos3x﹣sin2x，又∵函数f（x）是奇函数，∴当x＞0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣cos3x+sin2x故答案为：﹣cos3x+sin2x．6．（3分）函数的最小正周期是2π．【解答】解：==tan∵此函数的最小正周期为=2π故答案为2π7．（3分）当时，函数y=arccos（sinx）的值域是[0，] ．【解答】解：当﹣≤x≤时，﹣≤sinx≤1，由于反余弦函数是定义域[﹣1，1]上的减函数，且arccos（﹣）=，arccos1=0，所以值域为[0，]，故答案为：[0，]．8．（3分）已知tanα=1，3sinβ=sin（2α+β），求tan（α+β）的值．【解答】解：将sin（2α+β）=3sinβ，变形得：sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）﹣α]，即sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα﹣3cos（α+β）sinα，整理得：2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα①，∵tanα=1，∴根据①得：tan（α+β）=2tanα=2．故答案为：2．9．（3分）函数的单调递增区间是（2kπ+，2kπ+），k∈Z．【解答】解：令t=sinx﹣cosx=sin（x﹣）＞0，可得2kπ＜x﹣＜2kπ+π，k∈Z，求得2kπ+＜x＜2kπ+，故函数的定义域为{x|2kπ+＜x＜2kπ+}．再根据函数即y=，故本题即求函数t的减区间．令2kπ+＜x﹣＜2kπ+π，求得2kπ+＜x＜2kπ+，故函数t的减区间为（2kπ+，2kπ+），故答案为：（2kπ+，2kπ+），k∈Z．10．（3分）已知函数（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，若，则f（x）的取值范围是[﹣，] ．【解答】解：函数f（x）和g（x）的图象对称轴完全相同，∴它们的最小正周期相同，则ω=2；又x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，f（x）是单调增函数，∴f（x）的最小值为3sin（﹣）=﹣，最大值为3sin=；∴f（x）的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]．11．（3分）若关于x的方程2cos2x+5sinx﹣4=a有实数解，则实数a的取值范围是[﹣9，1] ．【解答】解：有2cos2x+5sinx﹣4=a得﹣2sin2x+5sinx﹣2=a，令sinx=t，则a=﹣2t2+5t﹣2，t∉[﹣1，1]．令f（t）=﹣2t2+5t﹣2，则f（t）在[﹣1，1]上单调递增，∴f min（t）=f（﹣1）=﹣9，f max（t）=f（1）=1，∵关于x的方程2cos2x+5sinx﹣4=a有实数解，∴关于t的方程a=﹣2t2+5t﹣2在[﹣1，1]上有解，∴﹣9≤a≤1．故答案为：[﹣9，1]．12．（3分）在△OAB中，O为坐标原点，A（1，cosθ），B（sinθ，1），θ∈，则当△OAB的面积达最大值时，则θ=．【解答】解：如图单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，=S正方形OMPN﹣S△OMA﹣S△ONB﹣S△ABP则S△OAB=1﹣（sinθ×1）﹣（cosθ×1）﹣（1﹣sinθ）（1﹣cosθ）=﹣sincosθ=﹣sin2θ因为θ∈（0，]，2θ∈（0，π]，所以当2θ=π即θ=时，sin2θ最小，三角形的面积最大，最大面积为．故答案为：二、选择题13．（3分）若，，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴x﹣π∈（0，），∵，∴sin（x﹣π）=，∴x﹣π=arcsin，∴x=π+arcsin，故选：C．14．（3分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R【解答】解：由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin（2x+）故选：C．15．（3分）方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根【解答】解：方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内根的个数，就是函数y=|x|，y=cosx 在（﹣∞，+∞）内交点的个数，如图，可知只有2个交点．故选：C．16．（3分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选：C．17．（3分）函数y=tanx+sinx+|tanx﹣sinx|在区间（，）内的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=tanx+sinx+|tanx﹣sinx|，由正弦函数与正切函数的图象可知，选项A正确；故选：A．18．（3分）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）【解答】解：若对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2×+φ=kπ+，k∈Z则φ=kπ+，k∈Z又即sinφ＜0令k=﹣1，此时φ=，满足条件令2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z解得x∈故选：C．三、解答题19．已知，．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴sin（+α）=sin cosα+cos sinα==；（2）由（1）可知cosα=﹣，由二倍角是可得cosα=2=，解得．则=．∴=cos cos+sin sin==．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin （1）求sinC的值（2）若a2+b2=4（a+b）﹣8，求边c的值．【解答】解：（1）∵∴∴∴∴∴∴∴（2）由得即∴∵a2+b2=4（a+b）﹣8∴（a﹣2）2+（b﹣2）2=0∴a=2，b=2由余弦定理得∴21．半圆O直径为2，OA=2，B为半圆上任意一点，C为半圆外异于A的点，以AB为边按顺时针方向作正△ABC，问B在何位置时，四边形OACB面积最大？【解答】解：设∠AOB=θ，则S OACB =S△AOB+S△ABC．设AB=x，则x2=OB2+OA2﹣2OB•OAcosθ=12+22﹣2×1×2•cosθ=5﹣4cosθ．故S OACB=S△AOB+S△ABC=×1×2•sinθ+=sinθ+（5﹣4cosθ）=+2sin（θ﹣），∴当sin（θ﹣）=1，即θ=时，四边形OACB的面积取得最大值．22．已知定义在R上的函数满足：，f（x﹣π）=f（x+π）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设不等的实数x1，，且，求x1+x2的值．【解答】解：由f（x﹣π）=f（x+π）知f（x）=f（x+2π），即函数f（x）的周期为2π．又∵0＜ω≤1∴≤2π，ω=1．又∵f（x）=f（﹣x），∴f（0）=f（）⇒，解得a=，∴f（x）=sin（x+）（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（x+）可知f（x）的图象关于直线x=kπ+（k∈Z）对称，∵x1，，且，可知x1、x2关于直线x=对称．x1+x2=．23．已知函数f（x）=sinkxsin k x+coskxcos k x﹣cos k2x，（其中k为常数，x∈R）（1）当k=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当k=1时，求函数在上的最大值（其中常数a ＞0）（3）是否存在k∈N*，使得函数f（x）为常函数，若存在，求出k的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）k=1时，函数f（x）=sinxsinx+cosxcosx﹣cos2x=1﹣cos2x．由2kπ≤2x≤2kπ+π，得kπ≤x≤kπ+k∈Z即函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，kπ+]，k∈Z（2）由（1）得f（x）=1﹣cos2x，当x∈（0，]时，f（x）∈（0，]．令f（x）=t，t]，=函数h（t）=t+（a＞0）在t∈（0，）递减，在t∈（，+∞）递增，∴当0＜a时，函数g（x）的最大值为，当a时，函数g（x）的最大值为．（3）令x=0，f（x）=0，∴若函数f（x）为常函数，必是f（x）=0令x=，f（x）=sin﹣（﹣1）k=0，k∈Z+，k=4m﹣1 （m∈N+）．经验证k=3符合题意．。

2014-2015学年上海市徐汇区南洋中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，满分36分）1．（3分）若半径为2的圆心角所对的弧长为 4 cm，则这个圆心角大小为．（用弧度制表示）2．（3分）角α的终边上有一点P（﹣3，4），则sinα值为．3．（3分）函数的定义域为．4．（3分）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为．5．（3分）函数的单调递增区间是．6．（3分）若函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线x=﹣对称，则实数m=．7．（3分）若函数f（x）=sin2x对任意的x∈R，都有f（x）=f（x+C）（C为正常数）成立，则C的最小值为．8．（3分）已知，，则=．9．（3分）设tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．10．（3分）函数的值域是．11．（3分）曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间[0，]上截直线y=4和y=﹣2所得弦长相等且不为0，则参数A和k要同时满足．12．（3分）已知函数，定义域为[a，b]，值域是，则下列正确命题的序号是．（1）b﹣a最小值是；（2）b﹣a最大值是；（3）b﹣a无最大值；（4）直线不可能是此函数的对称轴．二、选择题（每题4分，满分20分）13．（4分）函数y=sinxcosx是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数14．（4分）已知α为第四象限角，则所在的象限为（）A．第二象限B．第二或第四象限C．第一象限D．第一或第三象限15．（4分）将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．16．（4分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形17．（4分）给出下列四个命题：（1）函数y=3sin+4cos的定义域为[0，2π]，则值域为[﹣5，5]；（2）三角方程tan（5x+）=在[0，π]内有5个解；（3）对任意的α∈R，三角公式sin2α=是一定成立的；（4）函数y=cosx与y=arccosx（|x|≤1）互为反函数．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3三、解答题（10+10+10+14）18．（10分）在△ABC中，若B=30°，AB=2，AC=2，求△ABC的面积．19．（10分）已知，，求cosα﹣sin2α的值．20．（10分）已知关于x的方程sinx+cosx=a（1）若方程有实数解，求实数a的取值范围（2）若方程x∈[0，π]时有两个相异的实数解，求实数a的范围及两实数解的和．21．（14分）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（1）请你选取一个m的值，使对函数f（x）=sinmx，x∈R的图象上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标．（2）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（1，2）与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（3）对于（2）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x ＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年上海市徐汇区南洋中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，满分36分）1．（3分）若半径为2的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角大小为2．（用弧度制表示）【解答】解：由题意可知，扇形圆心角的弧度数为：α===2．故答案为：2．2．（3分）角α的终边上有一点P（﹣3，4），则sinα值为．【解答】解：角α的终边上有一点P（﹣3，4），|OP|=5，则sinα=．故答案为：3．（3分）函数的定义域为[0，6] ．【解答】解：设t=﹣1，∵反正弦函数y=arcsint的定义域为[﹣1，1]，∴解不等式﹣1≤﹣1≤1，可得x∈[0，6]．所以函数的定义域为：[0，6]．故答案为：[0，6]．4．（3分）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为．【解答】解：设顶角为C，∵l=5c，∴a=b=2c，由余弦定理得：．故答案为：5．（3分）函数的单调递增区间是[﹣，] ．【解答】解：函数y=2cos（2x﹣），令﹣π+2kπ≤2x﹣≤2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，当k=0时，﹣≤x≤，∴函数y=2cos（2x﹣）在x∈[﹣，]的单调递增区间是[﹣，]．故答案为：[﹣，]．6．（3分）若函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线x=﹣对称，则实数m=﹣1．【解答】解：由题意知y=sin2x+mcos2x=sin（2x+φ）当x=﹣时函数y=sin2x+mcos2x取到最值±将x=﹣代入可得：﹣sin（2×）+mcos（2×）==±即m=﹣1故答案为：﹣1．7．（3分）若函数f（x）=sin2x对任意的x∈R，都有f（x）=f（x+C）（C为正常数）成立，则C的最小值为π．【解答】解：∵（x）=sin2x=，∴（x）的最小正周期为π又∵f（x）=f（x+C），∴C为f（x）的周期，∴C的最小值为π故答案为π8．（3分）已知，，则=﹣．【解答】解：∵已知，，∴cosα==，则=﹣cos=﹣=﹣=﹣，故答案为：﹣．9．（3分）设tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．【解答】解：∵tan（α+β）=，tan（β﹣）=，∴tan（α+）===，10．（3分）函数的值域是[﹣2，0] ．【解答】解：=1﹣，∵﹣1≤sinx≤1，∴1≤sinx+2≤3，∴﹣3≤﹣≤﹣1，∴﹣2≤1﹣≤0，∴函数的值域是[﹣2，0]故答案为[﹣2，0]．11．（3分）曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间[0，]上截直线y=4和y=﹣2所得弦长相等且不为0，则参数A和k要同时满足k=1，A＞3．【解答】解：由题意可得k==1，A＞4﹣1=3，故答案为k=1，A＞3．12．（3分）已知函数，定义域为[a，b]，值域是，则下列正确命题的序号是（1）、（2）、（4）．（1）b﹣a最小值是；（2）b﹣a最大值是；（3）b﹣a无最大值；（4）直线不可能是此函数的对称轴．【解答】解：函数，定义域为[a，b]，值域是，不妨令2a+=，则2b+最小值为，2b+最大值为，即当a=时，b最小为，最大为，故b﹣a的最小值为，b﹣a的最大值为，故（1）、（2）正确，（3）错误．再根据当时，f（x）=，不是最值，故直线不可能是此函数的对称轴，故（4）正确，故答案为：（1）、（2）、（4）．二、选择题（每题4分，满分20分）13．（4分）函数y=sinxcosx是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数【解答】解：y=sinxcosx=sin2x，周期为T==π，且其图象关于原点对称，故为奇函数，故选：A．14．（4分）已知α为第四象限角，则所在的象限为（）A．第二象限B．第二或第四象限C．第一象限D．第一或第三象限【解答】解：∵角α的终边在第四象限，∴2kπ﹣＜α＜2kπ，k∈Z∴kπ﹣＜＜kπ，k∈Z①当k为偶数时，2nπ﹣＜＜2nπ，n∈Z，得是第四象限角；②当k为奇数时，（2n+1）π﹣＜＜（2n+1）π，n∈Z，得是第二象限角；故选：B．15．（4分）将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到的图象，就是y=sin（4x+φ）的图象，故故选：C．16．（4分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：由题意，即sinBsinC=1﹣cosCcosB，亦即cos（C ﹣B）=1，∵C，B∈（0，π），∴C=B，故选：A．17．（4分）给出下列四个命题：（1）函数y=3sin+4cos的定义域为[0，2π]，则值域为[﹣5，5]；（2）三角方程tan（5x+）=在[0，π]内有5个解；（3）对任意的α∈R，三角公式sin2α=是一定成立的；（4）函数y=cosx与y=arccosx（|x|≤1）互为反函数．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：（1）由数y=3sin+4cos得y=5sin（），θ为参数，则函数的周期T=，因为定义域为[0，2π]，为半个周期，所以最大值5和最小值﹣5在[0，2π]内不能同时取得，所以（1）错误．（2）因为正切函数的周期为T=，所以[0，π]为5个周期长度．所以又因为正切函数在每个周期内都是单调递增函数，所以tan（5x+）=在[0，π]内有5个解，所以（2）正确．（3）因为正切函数的定义域为{α|}，所以（3）不一定恒成立．，所以（3）错误．（4）因为y=cosx在定义域内不是单调函数，所以在定义域内，函数y=cosx内没有反函数，所以（4）错误．故选：B．三、解答题（10+10+10+14）18．（10分）在△ABC中，若B=30°，AB=2，AC=2，求△ABC的面积或2．【解答】解：在△ABC中，设BC=x，由余弦定理可得4=12+x2﹣4xcos30°，x2﹣6x+8=0，∴x=2，或x=4．当x=2 时，△ABC的面积为=×2•x•=，当x=4 时，△ABC的面积为=×2•x•=2，故答案为或2．19．（10分）已知，，求cosα﹣sin2α的值．【解答】解：由，得，∴tanα=3因∴∴cosα﹣sin2α=cosα﹣2sinααcosα=．20．（10分）已知关于x的方程sinx+cosx=a（1）若方程有实数解，求实数a的取值范围（2）若方程x∈[0，π]时有两个相异的实数解，求实数a的范围及两实数解的和．【解答】解：（1）∵sinx+cosx=a∴a=sin（x+），∴﹣≤a≤（2））∵sinx+cosx=a∴a=sin（x+），设y1=a y2=sin（x+），由题意可知y1=a y2=sin（x+），x∈[0，π]有两个交点如图示知a∈[1，）设两相异实根为x1，x2，由图示⇒x1+x2=2×=21．（14分）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（1）请你选取一个m的值，使对函数f（x）=sinmx，x∈R的图象上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标．（2）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（1，2）与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（3）对于（2）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x ＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）取m=时，正格点坐标（1，1），（5，1）（9，1）等（答案不唯一）；…（2分）（2）作出两个函数图象，可知函数f（x）=sinmx，x∈R，与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点只有一个点为（10，1）；（4分）∴2kπ+=10m，解得m=π，其中k∈Z，m∈（1，2），取m=；…（6分）根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为5个．（注意：最后两个点非常接近，几乎粘合在一起）…（7分）（3）由（2）知f（x）=sin x，x∈（0，）；∴①当a＞1时，不等式log a x＞sinmx不能成立；…（8分）②当0＜a＜1时，由图（2）可知log a＞sin，∴＜a＜1．…（10分）第11页（共11页）。

上海市徐汇区南洋模范中学2019届高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知线性方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数m 的值为______．421m m m m +⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知集合，则m 的取值范围为______．2{|440}P x mx mx R =+-<=3.若为等比数列的前n 项的和，，则=___________n S {}n a 2580a a +=63S S 4.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 .5.直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是什么？6.幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.7.设无穷等比数列的公比为q ，若，则______．{}n a ()134lim n n a a a a →∞=++⋅⋅⋅+q =8.在△ABC 中，,且，则△ABC 的面积为_____________．2AB AC ==6B π∠=9.从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中，乙没有被选中的概率是______．10.已知，当时，恒成立，则a 的取值范围为______．()11f x x ax =+--()0,1x ∈()f x x >11.已知函数，，，实数是函数的一个()21log 3x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0a b c <<<()()()0f a f b f c <d ()f x 零点，给出下列四个判断：① ； ②； ③ ； ④d a <d b >d c <d c>其中可能成立的序号是__________．（把你认为正确的命题的序号都填上）12.已知定义域为的函数满足，当时，，设[0,)+∞()f x ()2(2)f x f x =+[0,2)x ∈2()24f x x x =-+在上的最大值为，且数列的前项和为，则__________．()f x [22,2)n n -*()n a n N ∈{}n a n n S n S =二、选择题（本大题共4小题，共20.0分）13.朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的1f 频率为，则＝2f 21f f A.14.已知，则等于（ ）sin sin 032ππααα⎛⎫++=-<< ⎪⎝⎭5sin 6πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭A. B. C. D. 45-35-354515.若函数的图象与的图象关于y 轴对称，若是的反函数，则()y f x =2x y =()1y f x -=()y f x =的单调递增区间是（ ）()122y f x x-=-A. B. C. D. [).1,+∞().2,+∞(].,1-∞(),0-∞16.已知直角三角形的三边长，满足，且成等比数列，若数列满足,,a b c a b c ≤<,,a b c {}n X ，则数列中的任意连续三项为边长的线段（ ）()()()n n n c a X n N a c +=--∈A. 可构成锐角三角形B. 可构成直角三角形C. 可构成钝角三角形D. 不构成三角形三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．,αβ4tan 3α=cos()αβ+=cos 2αtan()αβ-18.已知正四棱锥的全面积为2，记正四棱锥的高为h ．P ABCD -（1）用h 表示底面边长，并求正四棱锥体积V 的最大值；（2）当V 取最大值时，求异面直线AB 和PD 所成角的大小．结果用反三角函数值表示()19. 科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对A 市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A 市2013年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m 万吨（m>0）.（1）求A 市2015年的碳排放总量(用含m 的式子表示)；（2）若A 市永远不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围.20.已知函数．()1log (01)1a x f x a x -=<<+（1）求函数的定义域D ，并判断的奇偶性；()f x ()f x （2）如果当时，的值域是，求a 的值；()1,x a ∈-()f x (),1-∞（3）对任意的m ，，是否存在，使得，若存在，求出t ，若不存在，请n D ∈t D ∈()()()f m f n f t +=说明理由．21.已知数列是无穷数列，其前n 项，，中的最大项记为，第n 项之后的所有项，{}n a 1a 2a n a ⋯n A 1n a +，，中的最小项记为数列满足．2n a +3n a +⋯.n B {}n b n n n b B A =-（1）若，求的通项公式；23n a n n =-{}n b n b （2）若，，求数列的通项公式11a =12n n b -={}n a na （3）判断命题“是常数列的充分不必要条件是为递增的等差数列”的真假，并说明理由．{}n b {}n a。

2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c-a cos B=（2a-b）cos A，则△ABC的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形2.张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A. 2kmB.C. 3kmD.3.图是偶函数f（x）=A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A. B. C. D.4.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=______；6.一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为______cm2；7.已知cos（α-β）=，sinβ=-，且α（0，），β∈（-，0），则sinα=______．8.若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ-sinθ的值是______．9.满足不等式arccos2x＜arccos（1-x）的x的取值范围为______．10.函数的值域为______；11.函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是______；12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cos B=-，则b=______．13.函数f（x）=的单调递增区间为______．14.要得到函数y=cos（-）的图象，只需将y=sin的图象______．15.若函数f（x）=3|cos x|-cos x+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是______．16.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法-“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tan C=，则△ABC的面积S的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间，上的最大值和最小值及相应的x值；18.如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且∈，．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．19.如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；20.函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[-π，2π]上的图象．21.已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cos x+sin x，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sin x|+cos x，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵c-acosB=（2a-b）cosA，C=π-（A+B），∴由正弦定理得：sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA，∴cosA（sinB-sinA）=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴A=或B=A或B=π-A（舍去），故选：D．由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cosA（sinB-sinA）=0，从而可得A=或B=A或B=π-A（舍去）．本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力，属于中档题．2.【答案】B【解析】解：如图，由条件知AB=24×=6．在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°-75°=105°，∴∠ASB=45°．由正弦定理知，∴=故选：B．先求AB，∠ASB，再利用正弦定理，可得结论．本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=．故选：D．通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出φ，即可求解f（）的值．本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，•=-，∴ω=2，再根据2•+φ=，2•+φ=2π，求得φ=，故选：D．由题意利用正弦函数的图象和性质，求得ω取最小时，ϕ的值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵角α的终边在射线上，故α的终边再第二象限，在α的终边上任意取一点P（x，y），取x=-3，y=4，则r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==-，∴sinα+cosα=，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得sinα+cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】【解析】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，则α=，可得：sin=，可得：r==2，可得扇形的面积为S=r2α==．故答案为：．由已知可求扇形的半径，进而根据扇形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．7.【答案】【解析】解：∵α∈（0，），β∈（-，0），∴α-β∈（0，π），又cos（α-β）=，sinβ=-，∴sin（α-β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=×+×（-）=．故答案为：由α和β的范围求出α-β的范围，根据cos（α-β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α-β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．8.【答案】-【解析】解：（cosθ-sinθ）2=1-sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ-sinθ=，故答案为：．求出表达式的平方的值，根据角的范围确定表达式的符号，求出值即可．本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围三角函数的符号的确定，是本题的关键．9.【答案】（，]【解析】解：arccos2x＜arccos（1-x），由y=arccosx在[-1，1]递减，可得-1≤1-x＜2x≤1，即为x≤2且x＞且x≤，可得＜x≤，则x的取值范围是（，]．故答案为：（，]．由y=arccosx在[-1，1]递减，可得-1≤1-x＜2x≤1，解不等式即可得到所求范围．本题考查反三角函数的定义和性质，考查定义法的运用，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．10.【答案】，【解析】解：∵-≤x≤，∴-，∴-≤arcsin（cosx）≤．∴函数的值域为[-，]．故答案为：[-，]．由-≤x≤，得到-，由此能求出函数的值域．本题考查反三角函数的值域的求法，考查三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是基础题．11.【答案】，【解析】解：函数f（x）=2sin2x+sin2x=1-cos2x+sin2x=-）+1，由sin（2x-）∈[-1，1]，∴当sin（2x-）=-1时，f（x）取得最小值为，当sin（2x-）=1时，f（x）取得最大值为．∴函数的值域为[，]．故答案为：[，]．利用三角函数的诱导公式化简，再由正弦函数的值域求得函数f（x）的值域．本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的值域的求法，是基础题．12.【答案】4【解析】解：由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB，得b2=22+c2-2×2×c×（-），即b2=4+49-14b+b2+7-b，15b=60∴b=4．故答案为：4．利用余弦定理，根据题设中的a=2，c+b=7，cosB=-，直接求得b即可．本题主要考查余弦定理的应用，考查计算能力．13.【答案】，，k∈Z【解析】解：∵对数的真数大于零∴⇒，k∈Z解之得函数的定义域为：，k∈Z令t=∵∴t关于x的单调减区间是函数f （x）=的单调递增区间由，k∈Z，得x∈，k∈Z，再结合函数的定义域，得x，是原函数的增区间故答案为：先根据对数的真数必须大于零，求出函数的定义域．为了求出原函数的单调减区间，研究真数对应的余弦型函数的增区间，最后将所得区间与函数的定义域取交集，即可得原函数的单调增区间．本题以对数型函数为例，考查了复合三角函数的单调性，属于中档题．解题的同时要注意单调区间应该是函数的定义域的子集．14.【答案】向左平移个单位【解析】解：函数y=cos（-）=cos（-+）=sin（），只需将y=sin的图象向左平移个单位，即可得到函数y=cos（-）的图象，故答案为：向左平移个单位．化简两个函数为同名函数，然后利用平移原则求解即可．本题考查三角函数的图象的平移，注意自变量x的系数．15.【答案】（-4，-2]∪{0}【解析】解：∵令g（x）=-3|cosx|+cosx=，x∈（0，2π），在坐标系中画出函数f（x）图象，如下图所示：由其图象可知当直线y=m，m∈（-4，-2]∪{0}时，g（x）=-3|cosx|+cosx，x∈（0，2π）的图象与直线y=m有且仅有两个不同的交点．故答案为：（-4，-2]∪{0}．根据cosx≥0和cosx＜0对应的x的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，由图象求出m的取值范围．本题的考点是余弦函数的图象应用，即根据x的范围化简函数解析式，根据余弦函数的图象画出原函数的图象，再由图象求解，考查了数形结合思想和作图能力．16.【答案】【解析】解：∵tanC=，∴sinC=sin（B+C）=sinA，∴c=a，∵b=2，∴S===，∴a=2时，△ABC的面积S的最大值为，故答案为．由已知利用正弦定理可求c=a，代入“三斜求积”公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．17.【答案】解：（1）∵f（x）=4sin3x cosx-2sin x cosx-cos4x=sin2x×（1-cos2x）-sin2x-cos4x=-sin4x-cos4x=-sin（4x+），∴函数f（x）的最小正周期T=．∵由2kπ+≤4x+≤2kπ+，k∈Z，可得：，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z；（2）∵x∈[0，]，∴4x+∈，，∴sin（4x+）∈[-，1]，∴f（x）=-sin（4x+）∈[-，]，可得当x=时，f（x）在区间[0，]上的最大值为，当x=时，取得最小值为．【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=-sin（4x+），利用周期公式可求函数f（x）的最小正周期，由2kπ+≤4x+≤2kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间．（2）由x∈[0，]，可得4x+，利用正弦函数的性质可得f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角函数周期公式的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．18.【答案】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为∈，，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=-2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α-cos2α，整理得cos2α=0．因为＜＜，所以＜＜，所以，即．【解析】（Ⅰ）由三角函数定义，得x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得y1=sinα，，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．19.【答案】解：（1）△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°-∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180-60°-60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA；（2）△ABC中，由正弦定理得=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33；所以B、D的距离约为0.33km．【解析】（1）△ACD中，由∠DAC=30°推断出CD=AC，根据CB是△CAD底边AD的中垂线，得出BD=BA；（2）△ABC中利用正弦、余弦定理求得AB的长即得BD的距离．本题主要考查了解三角形的实际应用问题，也考查分析问题解决问题的能力．20.【答案】解：∵1-sin x≥0且1+sin x≥0，在R上恒成立∴函数的定义域为R；∵=2+2|cos x|∴由|cos x|∈[0，1]，f2（x）∈[2，4]，可得函数的值域为[，2]；∵=f（x）∴函数的最小正周期为π∵当x∈[0，]时，=2cos，在[0，]上为减函数当x∈[，π]时，=2sin，在[，π]上为增函数∴f（x）在，上递增，在，上递减（k∈Z）∵f（-x）=f（x）且，∴f（x）在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线对称因此，可得如下表格：【解析】由正弦函数的最大最小值，可得函数的定义域为R；由平方法结合余弦函数的有界性，得到函数的值域为[，2]；由函数周期性的定义加以验证，得到函数的最小正周期为π；讨论函数在区间[0，π]上的单调性，结合函数的周期可得函数在R上的单调区间；最后根据函数奇偶性的定义和轴对称的有关公式，算出f（x）在其定义域上为偶函数，图象关于直线对称．由此即可得到本题的答案．本题给出根号下含有三角函数式的函数，求函数的单调性、周期性、奇偶性，并求函数的单调区间和值域．着重考查了三角函数的值域、正余弦函数的图象与性质和函数图象对称轴的求法等知识，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵f（x）=cos x+sin x，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cos x-sin x；∴g（x）=（cos x+sin x）（cos x-sin x）=cos2x-sin2x=cos2x．（2）∵=4cos x•cos（x-），∴f（x）=2cos x，α=-．（3）∵f（x）=|sin x|+cos x，∴g（x）=f（x）•f（x+α）=（|sin x|+cos x）（|cos x|-sin x）=，∈，，∈，，∈，，∈，，因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，所以当x1=2kπ+π或，∈时，g（x）≥g（x1）=-1当，∈时，g（x）≤g（x2）=2所以，、∈或，、∈所以|x1-x2|的最小值是．【解析】（1）求出f（x+α），代入g（x）=f（x）•f（x+α）化简得出．（2）对g（x）化简得=4cosx•cos（x-），故f（x）=2cosx，α=-．（3）求出g（x）的解析式，判断g（x）在何时取的最大值和最小值，本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质，分段函数的应用，属于中档题．。