函数实践与探索 教学案 2

九年级下册数学二次函数实践与探索（2）导学案及练习[本课知识重点]让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．[创新思维]二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．[实践与探索]例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。

设销售单价为x 元，日均获利为y 元。

（1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成ab ac a b x a y 44)2(22-++=的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？ 分析 若销售单价为x 元，则每千克降低（70-x ）元，日均多售出2（70-x ）千克，日均销售量为[60+2（70-x ）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。

解 （1）根据题意，得500)]70(260)[30(--+-=x x y650026022-+-=x x (30≤x ≤70)。

（2）y 650026022-+-=x x 1950)65(22+--=x 。

顶点坐标为（65，1950）。

二次函数草图略。

经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

例2。

某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x （十它们的关系如下表：（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？解 （1）设二次函数关系式为c bx ax y ++=2。

聚焦数学核心素养一次函数的图象和性质的教学探索和实践摘要：数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。

数学核心素养培养的主要途径是通过数学学科教学活动。

函数是初中学生接触的全新概念，这需要教师聚焦数学核心素养，帮助学生建立函数模型，培养函数逻辑推理能力，本文就是在聚焦数学核心素养的基础上，对《一次函数的图象和性质》进行教学探索和实践。

关键字词：数学核心素养探索和实践《一次函数的图象和性质》是我从事教学工作以来第二次执教，第一次执教时，知道学生理解起来很难，但我自认为按着我的思路去学习，应该很轻松就能理解，所以到后来，我一节课的容量很大，记得当时正好遇到常规教研课，来听课的老师都认为我上的是复习课，后面学生也反馈说上太快了，还来不及消化就进入了下一个知识了，当时我并没有引起足够的重视，直到学习反比例函数图象和性质时，我才知道前面一次函数的相关知识的授课存在比较严重的问题，我没有聚焦数学核心素养，站在学生的角度思考，没有给学生缓冲的时间，也没有在学生的就近发展区建构知识。

有了第一次授课的教训，所以这一次上一次函数的图象和性质时，我提前很久就开始思考如何完成这部分历届学生都觉得很难的内容的执教，也请教了同组领导和同事的思路，翻阅了很多资料，但自己的思路都不是特别清晰，上课中也在不断地摸索和思考这样的教学安排合适吗，符合学生的就近发展区吗？有做到由浅入深，层层递进吗？课后也在不断的反思还有没有更适合我的学生的教学安排？历经近半个月的授课实践，现在一次函数的图象和性质已经授课完成。

现进行课后的再次反思：课前虽然查阅了相关资料和课程标准，但是准备依然不够充分，对整个知识结构把握还不是特别透彻；整个教学安排不是特别严谨，比如说在刚讲到一次函数的图像时，就直接求一次函数与x轴y轴的交点坐标是（0，b）和，图象与两坐标轴围成的图形是直角三角形，且面积是，没有例题分析和给学生消化时间又思维跳跃般的进入到了分析k相同，b不同时的函数图象之间的关系，这使得学生对于理解一次函数与两坐标轴的交点和与两坐标轴围成的图形及其面积相对吃力，课后反思后的我觉得这应该放到研究完图象之后进行分析，并且举一些实际例子，让学生去观察，让学生自己去发现分析，初二学生的思维虽然已经由具体形象思维转向抽象思维，但我的学生因为基础不是特别好，所以多数还是具体形象思维大于抽象思维，所以应该选择他们能够理解的方式去让他们发现思考分析，然后给予经典例题，让学生进一步去理解，这比老师直接给出结果更能够建构知识。

《二次函数实践与探索》教学设计黔江区舟白初级中学陶仕销一、教材分析（一）教材的地位和作用本节是九年级下册第26章第3节，利用二次函数的性质解决实际问题，是历年中考的热点，需引起同学们的关注和重视。

通过有关二次函数实际应用问题的探索和研究，让学生体验数学“建模”思想。

并学会合理解释模型，重在培养学生探索精神和创新意识。

（二）、学情分析学生已经学习过了二次函数的图像及其性质，同时已具有用数学知识解决实际问题的经验，另外学生个性活泼，思维活跃，积极性高，已初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。

（三）、教学目标知识目标一一经历和体验用二次函数解决实际问题的过程，进一步体会函数是刻画现实世界的有效数学模型。

能力目标一一培养学生的数学应用能力。

情感目标一一了解数学理论的实用价值，提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的自信心，体现发展性教学评价。

（四）、教学重难点教学重点一一建立并合理解释数学模型教学难点一一实际问题数学化过程突破点：利用丰富的素材，充分感知，实现数学化过程。

（五）、教法及学法分析体现“变教为导，以导促学，学思结合，导学互动”的教学理念，关注个体差异，满足不同学生的学习需要。

教学方法——情景探究，师生互动学习方法——自主探索，合作交流教学手段一一使用多媒体辅助教学二、设计思路：1.实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。

2.树立用二次函数构建数学模型解决实际问题的思想3.通过丰富的问题情景，形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。

4.合理解释相应的数学模型。

三、教学过程（一）抛砖引玉，点明主旨。

在2008年的北京奥运会上，我们处处都能看见抛物线的踪影。

如投篮球、打排球，踢足球、跳水等；在生活中有许多实物也是抛物线型，找同学举例子：跳绳、喷泉、隧道，涵洞，拱桥等等。

通过实际问题的提出，既激发了学生的学习兴趣又说明引入二次函数模型的必要性。

（二）自主探索，实践新知例1、某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。

22.3 .1实践与探索(一)教学目标1、学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。

2、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。

3、学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。

重点难点1、重点：利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。

2、难点：学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案。

教学过程一、巩固旧知识1、解方程2708250x x -+=，并叙述解一元二次方程的解法。

2、说说你对实践问题的解决时，有何经验，有何体会？二、创设问题情境小明把一张边长为10cm 的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。

（1）如果要求长方体的底面面积为81cm 2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？三、尝试解决问题1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？（长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？（长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。

解：设剪去的正方形边长为xcm ，依题意得：2(10)81x -=109x -=±11x =，29x =因为正方形硬纸板的边长为10cm ，所以剪去的正方形边长为1cm 。

4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。

（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为381181cm ⨯=）5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。

一次函数的图象和性质第二课时教学目标：1、在画多个正比例函数图像的基础上，引导学生从图像上观察得出正比例函数的性质。

2、在正比例函数性质基础上，探究一次函数性质及数学应用。

教学重点：一次函数性质设计理念：依据《数学课程标准》，引导学生观察分析，探索发现结论。

教学难点：性质的应用 教学方法：实践探究法 学生学法：自主学习法 教学过程： 一、温故知新1、两变量x 、y 的函数关系式表示成________________形式，就称y 为x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为________________,这时y 叫x 的___________。

2、画函数图像的基本方法分为_____、______、_______三个步骤。

3、一次函数的图像是一条_____，因此，我们画一次函数的图像时通常只需取___个点就可以。

如画y=4x 时，通常取______、______，画y=2x-1 时，通常取_______、_________两点即可。

一、 引入课前老师布置的作业做好了吗？在第一个坐标系中画（1）y=x(2)y=2x(3)y = x (4)y = x 在第一个坐标系中画（1）y=-x(2)y=-2x(3)y =- x (4)y =- x 新授：实物投影（两个学生作业）观察与思考： （1） 这些图像位置怎样？你认为是由谁决定的？（2） 观察这些图像中函数值随自变量x 的值的增大而怎样变化？你如何得到这个结论的？ （3） 仿照k>0说第二组图像的性质。

总结：y=kx k>0 一三象限随x 的增大而增大↗k>0 一三象限随x 的增大而增大↘ 题组一－ 14－ 1 2 － 1 2－ 1 4填空题⒈函数y=2x 的图像是过_____象限的一条直线，y 随x 的增大而____，y=- x 的图像是过_____象限的一条直线， y 随x 的增大而____。

⒉正比例函数y=(1+m 2)x 的图像是过_____象限的一条直线，y 随x 的减小而______。

《实践与探索》教案教学目标知识与技能1．知道二次函数图象与x轴交点的个数与二次方程的解的个数之间的联系．2．知道二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解、一元二次不等式的解集．数学思考与问题解决经历探索函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程，体会方程、不等式与函数之间的联系．情感态度通过观察二次函数图象与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合的思想．重点难点重点利用图象法求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集．难点进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．教学设计情境引入40m/s的速度将球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度A(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系h=20t-5t2．考虑以下问题：(1)球的飞行髙度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？(2)球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？(3)球的飞行高度能否达到20．5m，为什么？⑷球从飞出到落地要用多少时间？教师出示问题，让学生以小组为单位自学、讨论、合作、交流，尝试解决问题．问题探究1．探究分析：由于球的飞行髙度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t-5t2．所以可以将问题中的h的值代人函数表达式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到向题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．二次函数与一元二次方程的解有什么关系？教师适时引导、点拨，然后由学生解答，点评．例如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值．我们可以解一元二次方程-x2+4x=3，即．x2-4x+3=0．反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0时，求自变量x的值．结论：一般地，我们可以利用二次函数深入讨论一元二次方程y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0．引导学生总结：从上面可以看出：二次函数与一元二次方程的关系密切．由学生小组讨论，总结出二次函数与—元二次方程的关系．2．观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当X取点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能求出相应一元二次方程的根吗？(1)y=x2+x-2；(2)y=x2-4x+4；(3)y=x2-x+1．教师出示图象．引导学生观察图象，思考时，应注意：二次函数图象与x轴有无公共点及公共点的横坐标是多少，与其对应的函数值是多少．3．归纳总结(1)抛物线：y=x2+x-2与x轴有两个交点，它们的横坐标是-2，1．当x取公共点的横坐标时，函数的值是0．由此得出方程：x2+x-2=0的根是-2，1．(2)抛物线：y=x2-4x+4与x轴有一个公共点，这个点的横坐标是2．当x=2时，函数的值是0，由此得出方程x2-4x+4=0有两个相等的实数根．(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点，由此可知方程震x2-x+1=0没有实数根．引导学生总结二次函数与一元二次方程根的关系．一般地，(1)如果二次函数y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0，当x=x0时，函数值为0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根．(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点、一个公共点、二个公共点，这时相对迨的一元二次方程没有实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根．4．典型例题例1利用函数的图象求方程x2-x-34=0的实数根．解：作函数x2-x-34=0的图象，它与x轴的公共点的横坐标分别是-0．5和1．5．所以方程为x2-x-34=0的实数根为x1=-0．5，x2=1．5．板书解题过程，讲解这类题的解法．5．试一试根据例1的图象回答下列问题：(1)当x取何值时，y<0？当x取何值时，y>0？(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？二次函数y=ax2+bx+c图象在x轴上方点的横坐标就是不等式ax2+bx+c>0的解；图象在x轴下方点的横坐标就是不等式的ax2+bx+c<0解．教师引导学生复习在反比例函数学习中的有关题目，并公布答案．巩固练习1．抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点有_______个．2．教材第28页下方练习第1、2题．教师让学生思考、板演，纠错，巡视指导，讲评．本课小结本节课你有什么收获？还有哪些疑惑？①二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系．②用图像法解方程组．作业教材习题26．3第3(1)、4(1)题．。

华师大版八下数学17.5实践与探索第2课时说课稿一. 教材分析华师大版八年级下册数学第17.5实践与探索第2课时，主要内容是进一步探究函数的性质。

通过本节课的学习，学生能够掌握函数的单调性、奇偶性等基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

本节课的内容在教材中起到了承前启后的作用，为后续学习更高级的数学知识打下基础。

二. 学情分析在进入八年级下册之前，学生已经学习了函数的基本概念和简单的函数图像。

他们对函数有一定的认识，但还不够深入。

在学习本节课的过程中，学生需要通过实践活动和探索，进一步深化对函数性质的理解。

此外，学生还需要培养解决问题的能力和团队合作精神。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握函数的单调性、奇偶性等基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：学生通过实践活动和探索，培养解决问题的能力和团队合作精神。

3.情感态度与价值观目标：学生对数学产生浓厚的兴趣，树立自信心，培养坚持不懈的品质。

四. 说教学重难点1.教学重点：函数的单调性、奇偶性等基本性质。

2.教学难点：如何运用函数的性质解决实际问题。

五. 说教学方法与手段本节课采用问题驱动的教学方法，通过引导学生提出问题、分析问题、解决问题，培养学生的思维能力和创新能力。

同时，利用多媒体手段，如动画、图片等，帮助学生直观地理解函数的性质。

六. 说教学过程1.导入：通过复习上节课的内容，引导学生回顾函数的基本概念和图像，为新课的学习做好铺垫。

2.自主学习：学生分组讨论，根据已有知识，探索函数的单调性和奇偶性。

3.合作交流：学生分享自己的探索成果，讨论并解决出现的疑问。

4.教师讲解：针对学生的探索结果，教师进行讲解和总结，明确函数的单调性和奇偶性的定义和性质。

5.实践应用：学生分组解决实际问题，运用函数的性质进行分析和计算。

6.总结反思：学生对自己在实践活动中的表现进行总结，反思自己在解决问题过程中的优点和不足。