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求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
适用标准第二章极限与连续一、判断题1.若 lim f ( x)lim f ( x) ，则 f ( x) 必在 x 0 点连续；（ ）x x 0x x 02. 当 x0 时， x 2 sin x 与 x 对比是高阶无量小；（ ） 3.设 f ( x) 在点 x 0 处连续，则 lim f ( x)lim f ( x)；（ ）xx 0x x 04.函数f ( x) x 2sin 1, x 0在 x 0 点连续； （ ）x0 , x 05.x 1 是函数 yx 2 2 的中断点； （）x 16. f ( x) sin x是一个无量小量；（ ）7. 当 x0 时， x与 ln(1 x 2 ) 是等价的无量小量；（ ） 8.若 lim f ( x) 存在，则 f ( x) 在 x 0 处有定义； （）x x 09. 若 x 与 y 是同一过程下两个无量大批，则 xy 在该过程下是无量小量；（）10. limx 1 ； （ ）x 0 x sin x 211. lim x sin 11 ； （ ）xx 012. lim(1 2) xe 2 ；（）xx13. 数列1, 0, 1, 0, 1 , 0, L 收敛 ；（ ）2 4 814. 当 x 0 时， 1 x1 x ~ x ；（ ）15. 函数f ( x) x cos 1 ，当 x时为无量大；（）sin x x16. ；（ ）lim1xx17. 无量大批与无量小量的乘积是无量小量； （ ）18. ln(1 x) ~ x ； （ ）19. 1；（ ） lim x sin1xx20. limtan x1 .（）x 0x出色文档适用标准二、单项选择题x 27x 1211、 limA．1B． 0C（）．D ．x 4 x 25x 432、 lim( xh) 2 x 2 =()。
A. 2x B. hC. 0D.不存在h 0h3、 lim2x 2 x 3（）A．B．2C． 0D． 13x 2x2x34、 limn33 3 n 1（）A．B ．3C． 0D．142nn 1 n 245、设 f ( x)3x 2, x 0 ，则 lim f ( x)()x22, xx 0(A) 2(B)(C)1 (D)26、 设f( x)x，e 2 1 x 0,则 lim f (x) ()，x 0x 1x(A) 1 (B)(C)1(D)不存在x 2， x 07、设 f ( x)2， x 0 , 则 lim f ( x) ( )x 1， x 0 x(A) 2(B)(C) 1 (D)不存在8设 f ( x) x 1 , 则 lim f ( x) （）A． 0 B． 1 C ． 1 D ．不存在、x 1 x 11 ） A.B. 1C.D. 不存在9、 lim xcos（xx10、 lim x sin 1 （）A.B.1C.D.不存在xx11、以下极限正确的选项是 ()A.lim xsin11B. lim xsin11； C. lim sin x 1 ； D.lim sin 2 x 1；xxx 0 xxxx 0x12、 lim sin mx( m 为常数 ) 等于 ( )B. 1C.1D.mxx 0m13、 lim 2 n sinx等于 () B. 1C.1 D. xnn2x14、 lim sin 2x（）C. ∞2)xx( x出色文档适用标准15、 limtan3x（） A.B.3x 02x216、 lim (12) x（ ） A.e -2B.e -1C. e 2xx2, x 117、已知函数 f (x)x1, 1 x 0 ，则 lim f ( x) 和 lim f ( x) ()0 x 1 x1x 01 x2 ,(A) 都存在 (B)都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D)第一个不存在，第二个存在18、当 n时， n sin1是 ()n(A) 无量小量 (B) 无量大批 (C) 无界变量 (D) 有界变量19、x 1时，以下变量中为无量大批的是( )1x 2 11 x 1(A) 3x(B)1x(C)(D)x 2 11x20、函数xx 1的连续区间是 ()f (x)12 x 1(A) (,1)(B) (1,)(C) (,1)(1, ) (D)( , )x 2 1， x 021、 f ( x)0， x0 的连续区间为 ( )x ， x(A) （， ） (B) （ ，0）（0， ） (C) （ ，0] (D) （0， ）22、函数 f (x)1, x 0 ，在 x0 处 ()1, x(A) 左连续 (B)右连续 (C) 连续 (D)左、右皆不连续23、 f ( x) 在点 xx 0 处有定义，是 f (x) 在 x x 0 处连续的 () (A) 必需条件 (B)充足条件 (C) 充足必需条件 (D)没关条件1 24、设 f(x)=(1 x ) x a,, x 0 要使 f(x) 在 x=0 处连续，则 a=（）x 01C.e出色文档25、设 f ( x)sin x x 0在 x=0 处连续，则常数x a=（ ）ax 026、设 f ( x) 1 x 1 x ，x 0 在 x 0 点处连续，则 kxk ， xA.0 ；；C.1 ； D. 2；227、设函数 f (x)x 4 2 ， x0 在点 x0 处连续，则 k xk ， x 0A. 0B.1 C. 1 D. 242等于 ( )等于 ( )x 1 , x 128、若函数y在 x 1 处是（）3 x , x 1A. 可去中断点B. 跳跃中断点C. 无量中断点D. 非无量型的第二类中断点e xx,则以下说法中正确的选项是 () 29、 设f (x)x 2 ，1 ， x 0(A) f ( x)有1个中断点 (B) f (x)有 2个中断点(C) f ( x)有3个中断点(D)f (x)无中断点30、 设f (x)x 4 的中断点个数是 ()2 3x4 xA. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题x hx___________ ；2x 71 ；limh、 lim______ 1、 h 0x 1x13、 lim3n 2 = _______ ； 4sin x2、 lim_______ ；n5n2n1xx5、 limxsin x____________ ．6、 lim (xa) sin(a x)xxx a7、 limsin x.、 lim(1 2 )x x 03x8x ________；x出色文档9、 lim x[ln( x2) ln x]_________ln(1 3x)lim_________ ；x10、 x 0 sin 3x11、 limx 3x2ax4存在 , 则 a ______ ；x 1x 112、当 x 0 时， 1 cos x 是比 x ______ 阶的无量小量；13、当 x 0 时， 若 sin 2x 与 ax是等价无量小量，则 a ______ ； 14、当 x0 时， 4 x 2与 9 x3是 ______（同阶、等价）无量小量 .15、函数 y x 2在 _______ 处中断；x 29116、11 设 f ( x)e x 2 ,x 0 在 x0 处 ________（是、否）连续；0, x 0sin 2x17、设 f ( x)x , x 0 连续，则 a_________ ；a, x 018、设 f ( x)a x, x 0 在 x 0 连续，则常数 a。
15天突破高考数学
主讲：周帅
欢送使用新东方在线电子教材
第一天：函数〔一〕：选择填空
核心考法一、定义域值域
核心考法二、指数对数函数
核心考法三、图象与零点
核心考法四、函数性质综合
核心考法五、导数工具使用
第二天：函数〔二〕导数大题
核心考法一、切线、单调性、最值核心考法二、参数范围
核心考法三、零点问题
核心考法四、证明问题
第三天：三角〔一〕三角函数
核心考法一、角度计算
核心考法二、图象性质
核心考法三、综合解答
第四天：三角〔二〕三角向量
核心考法一、解三角形
核心考法二、平面向量
核心考法三、综合解答
第五天：数列〔一〕选择填空
核心考法一、等差数列
核心考法二、等比数列
核心考法三、其他数列
第六天：数列〔二〕解答题
核心考法一、根底公式
核心考法二、综合计算
第七天：不等式：均值与规划
核心考法一、不等式性质
核心考法二、根本/均值不等式
核心考法三、简单线性规划
第八天：解析几何〔一〕：选择填空
核心考法一、圆
核心考法二、椭圆
核心考法三、双曲线
核心考法四、抛物线。
极限计算练习题首先，让我们研究一些关于极限计算的练习题。
通过解答这些问题，我们将深入理解极限的概念，并熟悉常见的计算方法。
问题一：计算 $\lim_{x\to 2} (3x+1)$解答：对于这个问题，我们可以直接将 $x$ 替换为 2 来计算极限。
因此，我们有：$$\lim_{x\to 2} (3x+1) = 3(2) + 1 = 7$$因此，上述极限的结果为 7。
问题二：计算 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}$解答：这是一个经典的极限计算问题，也被称为正弦极限。
我们可以利用泰勒级数展开式来解决该问题。
根据泰勒级数展开式，我们有：$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +\ldots$$如果我们将上式代入所给的极限，则会发现 $x$ 的系数逐渐消失，得到以下结果：$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \left(1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \ldots\right) = 1$$因此，上述极限的结果为 1。
问题三：计算 $\lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$解答：这个问题涉及到一个重要的极限，也就是自然对数的底，通常用 $e$ 来表示。
我们可以重写问题三的极限表达式：$$\lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{x\to \infty} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right)$$我们知道，上述极限的结果是 $e$。
因此，问题三的答案为 $e$。
通过以上的练习题，我们巩固了极限计算的基本方法。
极限计算练习题极限计算是高等数学中的一个重要概念，它涉及到函数在某一点或无穷远处的行为。
以下是一些极限计算的练习题，供学习者练习和检验自己的极限计算能力。
1. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
2. 求函数 \( f(x) = x^2 - 1 \) 在 \( x = 2 \) 处的左极限和右极限，并判断极限是否存在。
3. 计算 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 5}{x^2 + 4}\)。
4. 求 \(\lim_{x \to 1} (x^3 - 3x^2 + 2x - 1)\)。
5. 判断函数 \( f(x) = \frac{1}{x - 1} \) 在 \( x = 1 \) 处是否有极限，并说明理由。
6. 计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)。
7. 求 \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}\)。
8. 计算 \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}\)。
9. 求 \(\lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1}\)。
10. 计算 \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1}\)。
11. 求 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)。
12. 计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\)。
13. 判断函数 \( f(x) = x^3 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \)在 \( x = 0 \) 处是否有极限。
14. 求 \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\)。
15. 计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x^2}\)。
请整理总结计算极限的方法提供一个典型的题目极限是数学中一个重要的概念，它定义为连续函数在某一点取极值时函数值是有限的。
极限的计算从本质上讲是在取连续函数值时，在某一点取值比较接近时，函数值转变极慢，所以称之为极限。
极限的计算有四种基本方法：定义域法、左右定义域法，导数法和不定积分法。
在实际运用中，使用不同的方法可以让人们得出更准确的极限值，可以获得更准确的函数值，以便于数学的求解。
下面给出一个例题，以便说明如何使用这四种方法来计算极限。
例题：求解函数f(x) = (x + 2x - 7) (x + 7x)的极限。
解：由于函数f(x)在x=7处结束，所以这里可以使用定义域法来计算极限。
定义域法：令x→7，令f(x)=[(7+2(7)-7)/ (7+7*7)]，则f(7)=1。
因此，函数f(x)在x=7处取得极限1。
左右定义域法：当x→7+时，f(x)=[(7+(7+1)-7)/ (7+(7+1)*7)]，f(7+)=0.5；当x→7-时，f(x)=[(7+(7-1)-7)/ (7+(7-1)*7)]，f(7-)=1.5。
因此，函数f(x)在x=7处取得极限为1.导数法：令f(x)=0，则有，x+2x-7=0，由卡塔兰公式解得：x=7，由此可知，函数f(x)在x=7处取得一个极大值，即极限值为1.不定积分法：不定积分法是计算函数极限值的常用方法，即将极限等价于函数积分值，则函数f(x)的极限为：lim x→7[∫(x+2x-7)(x+7x)dx] = 1。
综上，函数f(x) = (x + 2x - 7) (x + 7x)的极限值为1。
结论：从上面的例题中可以看出，使用不同的方法可以得出极限，定义域法、左右定义域法，导数法和不定积分法都是计算极限的有效方法，相对而言，导数法和不定积分法的计算更准确。
在实际中，应根据情况选择不同的方法来计算极限，以获得最准确的极限值。
极限的计算不仅在数学求解中有重要意义，还可以应用到现实中，包括经济学原理和物理学理论等，因此，学习极限计算对于不同领域的研究都有着重要意义。
极限计算练习题一、基本极限计算(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (1 cos x) / x^2(3) lim(x→π/4) (tan x 1) / x π/4(1) lim(x→0) (e^x 1) / x(2) lim(x→0) (ln(1+x) / x)(3) lim(x→+∞) (1/x ln(1+1/x))二、含参数极限计算(1) lim(x→0) (sin ax / x)(2) lim(x→0) (1 cos bx) / x^2(3) lim(x→π/2) (tan(cx) 1) / (x π/2)(1) lim(x→+∞) (e^(kx) 1) / x(2) lim(x→∞) (ln(1+mx) / x)(3) lim(x→+∞) (1/x^n ln(1+1/x^n))三、复合函数极限计算(1) lim(x→0) (sin x^2 / x^2)(2) lim(x→1) (e^(x^2 1) 1) / (x 1)(3) lim(x→0) (ln(1+sin^2 x) / x^2)(1) lim(x→0) (1 cos x^3) / x^6(2) lim(x→+∞) (x ln x) / x(3) lim(x→+∞) (x^2 arcsin(1/x)) / x四、无穷小比较与等价无穷小(1) sin x 与 x(2) 1 cos x 与 x^2(3) e^x 1 与 x(1) lim(x→0) (sin^3 x / x^3)(2) lim(x→0) (e^x 1 x) / x^2(3) lim(x→0) (arctan x x) / x^3五、极限存在的判定与证明(1) lim(x→0) (sin x / x^2)(2) lim(x→1) (1 x^2) / (1 x)(3) lim(x→+∞) (x ln x)(1) lim(x→0) (x sin x)(2) lim(x→+∞) (ln x / x)(3) lim(x→+∞) (x / e^x)六、分段函数极限计算(1) lim(x→0) [x^2 sin(1/x) / (1 cos x)](2) lim(x→0) [x^2 / (e^(1/x) 1)](3) lim(x→1) [(x 1) / (1 √x)](1) lim(x→0) [x / (|x| + sin x)](2) lim(x→π) [(x π)^2 / sin(x π)](3) lim(x→+∞) [(x^2 + 1) / (x^2 x + 1)]七、含有绝对值的极限计算(1) lim(x→0) [|x| / sin|x|](2) lim(x→0) [(|x| 1) / (1 |x|)](3) lim(x→1) [(1 |x 1|) / (x 1)](1) lim(x→0) [x^2 / (1 |x|)](2) lim(x→0) [(1 |x|) / x^2](3) lim(x→+∞) [|x| / (x^2 + 1)]八、含有指数函数的极限计算(1) lim(x→0) [(a^x 1) / x](2) lim(x→+∞) [(a^x + b^x) / (a^x b^x)](3) lim(x→∞) [(1 + x)^1/x](1) lim(x→0) [e^(ax) / (e^x 1)](2) lim(x→+∞) [x^2 / (e^x e^(x))](3) lim(x→+∞) [ln(x^2 + 1) / ln(e^x)]九、含有对数函数的极限计算(1) lim(x→1) [(ln x) / (x 1)](2) lim(x→0) [(ln(1 + x^n)) / (ln(1 + x))](3) lim(x→e) [(ln x) / (x e)](1) lim(x→+∞) [(ln x) / (x)](2) lim(x→1) [(ln(x^2)) / (x 1)](3) lim(x→0) [(ln(1 + e^x)) / x]十、综合极限计算(1) lim(x→0) [(sin x x + x^3/6) / (x^5)](2) lim(x→+∞) [(x^2 + ln x) / (x^2 ln x)](3) lim(x→π/2) [(tan x tan(π/4)) / (x π/4)](1) lim(x→0) [(1 cos x) / (x^2 + sin^2 x)](2) lim(x→1) [(x^2 ln x) / (1 e^(1x))](3) lim(x→+∞) [(x ln x) / (x + ln x)]一、基本极限计算1.(1) 1(2) 1/2(3) 12.(1) 1(2) 1(3) 1二、含参数极限计算1.(1) a(2) b^2/2(3) c/(c^2 1) 2.(1) k(2) m(3) 1/n三、复合函数极限计算1.(1) 1(2) 2(3) 1/2(1) 1/6(2) 1(3) 1四、无穷小比较与等价无穷小1.(1) 是，等价无穷小(2) 否，不是等价无穷小(3) 是，等价无穷小2.(1) 1(2) 1/2(3) 1/6五、极限存在的判定与证明1.(1) 不存在(2) 存在，值为 2(3) 存在，值为 02.(1) 存在，值为 0(2) 存在，值为 0(3) 存在，值为 0六、分段函数极限计算1.(2) 0(3) 1/22.(1) 0(2) 0(3) 1七、含有绝对值的极限计算1.(1) 1(2) 不存在（左极限为1，右极限为1）(3) 不存在（左极限为1，右极限为1）2.(1) 0(2) 不存在(3) 0八、含有指数函数的极限计算1.(1) ln a(2) 1(3) e2.(1) 1/(a1)(2) 1九、含有对数函数的极限计算1.(1) 1(2) n(3) 1/e2.(1) 0(2) 2(3) 1十、综合极限计算1.(1) 1/120(2) 1(3) 12.(1) 1/2(2) 不存在（因为当x→1时，分子趋向于0，而分母趋向于负无穷）(3) 1。
高斯数学【计算训练营】结营自测卷-5年级（带答案）【计算训练营】结营自测卷高斯数学结营自测卷5年级【学生注意】本次测验满分100分，考试时间30分钟．计算训练营自测卷一、填空题（本题共有50小题，每题2分，共100分）1. 42015?=_____．63002. 3501624+?=_____．7343. 5209633-÷=_____．1994. 12045 ?=_____．54005. 640861÷-=_____．196. 251724??_____．102007. 9921?=_____．20798. 27352766?+?=_____．25119. 30313160?+?=_____．279010. 6745453245?+?+=_____．450011. 109874321-+-++-+-= _____．512. 31302928321-+-++-+= _____．1613. 12111094321+--++--= _____．1214. 393735337531+--+++--= _____．2015. 24650++++= _____．65016. 35799++++= _____．249917. 9997?=_____．699318. 10324?=_____．247219. 1288?=_____．102420. 4825?=_____．120021. ()99652185665--=_____．711522. 1000641149--=_____．210 姓名：_______________ 日期：____年___月___日【计算训练营】结营自测卷5年级高斯数学结营自测卷 23. 8214518++=_____．245 24. 解方程：38210,x x x -=+=_____．18 25. 解方程：52156,x x x =+-=_____．326. 解方程：108296,x x x -=+=_____．1327. 解方程：8502,x x x -+==_____．2128. 解方程：381516,x x x +=-=_____．229. 解方程：238255,x x x -=+=_____．330. 解方程：91215,x x x +=+=_____．231. 解方程：915,x x x +=+=_____．0.532. 解方程：128210,x x x -=+=_____．1.833. (23.442.334.2)30++÷=_____．3.3334. 12.3 6.6631.2 6.6623.1 6.66÷+÷+÷=_____．1035. 125(0.8880)?++=_____．1110036. 25(0.4440)?++=_____．111037. 88.833.366.6?÷=_____．44.438. 5.6 1.250.7?÷=_____．1039. 166.80.5?=_____．83.440. (123.4432.1)2+?=_____．111141. 158(46164)-+?=_____．4842. 58585800++=_____．591643. 452452?÷?=_____．444. 1344344?+?=_____．67245. 456532221++=_____．490846. 160025?=_____．4000047. 3745?=_____．167048. 98998999899998=+++_____．111092【计算训练营】结营自测卷高斯数学结营自测卷 5年级49. 能否在1、2、3、…、9的相邻两个数之间填入加号或减号（不能改变数的顺序），使得结果是24？_______．A ．能B ．否C ．无法确定【答案】B 【解析】B ．设每个数的前面都是加号，则12345678945++++++++=，每将一个数前的加号变为减号，和就减少这个数的2倍，例如：12345678927+++++++-=，和减少了18，若要结果为24，则减少452421-=，即变号的数之和为10.5，显然，整数与整数相加不可能得到一个小数，所以不能，选B ．50. 在横行数列的表格中，将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，那么189所在的行列之和是_______．A ．41B ．42C ．43【答案】B【解析】B ．189在第38行第4列，所在行列之和为42．1 2 3 456 7 8 91011 12 13 141516 17 18 1920。
求极限练习题在数学学习中，求极限是一个非常重要的概念和技巧，它是解决各种数学问题的基础。
通过求极限，我们可以深入了解函数的性质和行为。
本文将提供一系列有关求极限的练习题，帮助读者巩固和提高解决极限问题的能力。
练习题一：计算以下函数的极限：1. 当x趋近于2时，求函数f(x) = 3x + 5的极限。
2. 当x趋近于0时，求函数g(x) = x^2 - 4的极限。
3. 当x趋近于1时，求函数h(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)的极限。
练习题二：计算以下函数的极限：1. 当x趋近于无穷大时，求函数f(x) = 1/x的极限。
2. 当x趋近于无穷大时，求函数g(x) = e^x的极限。
3. 当x趋近于负无穷大时，求函数h(x) = ln(x)的极限。
练习题三：计算以下函数的极限：1. 当x趋近于0时，求函数f(x) = sin(x)/x的极限。
2. 当x趋近于0时，求函数g(x) = (1 - cos(x))/x的极限。
3. 当x趋近于0时，求函数h(x) = tan(x)/x的极限。
练习题四：计算以下函数的极限：1. 当x趋近于无穷大时，求函数f(x) = (2x^2 + 3x + 1)/(3x^2 - 4x - 2)的极限。
2. 当x趋近于无穷大时，求函数g(x) = (5x^3 + 2x^2 + 1)/(3x^3 - 4x+ 2)的极限。
3. 当x趋近于无穷大时，求函数h(x) = (6x^2 - 4x + 1)/(2x^2 + 3)的极限。
练习题五：计算以下函数的极限：1. 当x趋近于无穷大时，求函数f(x) = (x + 2)/(x - 3)的极限。
2. 当x趋近于0时，求函数g(x) = (x^2 + 3x - 1)/(2x^2 - x + 1)的极限。
3. 当x趋近于0时，求函数h(x) = (x - 5)/(3x^2 - 4x)的极限。
通过以上的练习题，我们可以对求极限的概念和方法有一个更全面的了解，同时也可以提高我们的计算能力。
1.求极限]sin 1)1ln(1[lim 220x x x -+→ 【解】]sin 1)1ln(1[lim 220xx x -+→ xx x x x 22220sin )1ln()1ln(sin lim ⋅++-=→ 4220)1ln(sin lim x x x x +-=→ (等价代换) 4220sin lim xx x x -=→4220)1ln(lim x x x x +-+→ 40))(sin (sin lim xx x x x x -+=→44021lim x x x →+ 430)61)(2(lim x x x x -=→61213121=+-=+2. 求极限])tan 1ln(1)1ln(1[lim 220x x x +-+→ 【解】])tan 1ln(1)1ln(1[lim 220x x x +-+→ )tan 1ln()1ln()1ln()tan 1ln(lim 22220x x x x x +++-+=→ 4220)1ln()tan 1ln(lim x x x x +-+=→ (等价代换) 4220][tan 11lim xx x x -+=→ξ (拉格朗日中值定理) 40))(tan (tan lim x x x x x x -+=→32)31)(2(lim 430==→x x x x3.求极限.14tan lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n π 【解】⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 14tan lim πn n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∞→1)14tan(1lim π 又 n n n 11)14tan(lim -+∞→πnn n 14tan )14tan(lim ππ-+=∞→ nn n 11sec lim 2⋅=∞→ξ （拉格朗日中值定理） 24sec 2==π 故 原式2e =4.求极限x nx x x x n 120)e ...e (e lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→. 【解】原式x nx x x x n n e e e 120...1lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=→ nxn e e e nx x x x -+++→...lim 20 xe e e n nx x x x )1(...)1()1(lim 120-++-+-=→ nn n n n 2)1(...21+=+++= 21+=n 原式21+=n e5. 求极限xnx n x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→))...(2)(1(lim . 【解】原式xx x x n x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→...21lim x x x x x n x x ---∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1...2111lim n e e e ---⋅=...21 2)1(+-=n n e6.求极限⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→111lim n n n e n 【解】⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→111lim n n n e n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=+-∞→1lim )11ln(n n n e e n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-∞→1lim )11ln(1n n n e n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞→)11ln(1lim n n n n 1(-x e ～)x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞→)11ln(1lim 2n nn n 22121lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∞→n n n )1ln((x x +-～)212x 21=7.设,1,0≠>a a 且,ln )(lim 111a a a x x x p x =-++∞→则.________=p 【解】)]111(ln [lim )(lim 111+-=-+∞→++∞→x x a a x a a x p x x x p x ξ （拉格朗日中值定理）)1(lim ln +=+∞→x x x a px a ln =则 1)1(lim =++∞→x x x px 故 2=p8.函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界（ ） （A ）)0,1(- （B ）)1,0( （C ）)2,1( （D ）)3,2(【解1】选)(A排除法因为 ∞=---=→→211)2)(1()2sin(||lim )(lim x x x x x x f x x ∞=---=---=→→→22222)2)(1()2(lim )2)(1()2sin(||lim )(lim x x x x x x x x x x x f x x x 所以)(x f 在)3,2(),2,1(),1,0(内均无界，故应选（A ）.【解2】排除法 由于2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在区间)0,1(-上连续，且极限 21)1()2)(1()2sin(||lim )(lim ---=→-→+x x x x x x f x x 20200)2)(1()2sin()(lim )2)(1()2sin(||lim )(lim ----=---=---→→→x x x x x x x x x x x f x x x 都存在，则)(x f 在区间)0,1(-上有界，故应选（A ）.【注】解2中用到一个基本结论：若)(x f 在开区间),(b a 上连续，且)(+a f 和)(-b f 都存在，则)(x f 在开区间),(b a 上有界.9.求极限x x x x x x sin 114lim 22+++-+-∞→.【解】分子和分母都提因子x -得 原式22sin 1)(]11114)[(lim xx x x x x x x +----+-=-∞→ 1112sin 111114lim 22=-=+---+=-∞→xx x x x x 10..______])1(...21...21[lim =-+++-+++∞→n n n 【解】有理化得 原式)1(...21...21lim -+++++++=∞→n n n n 2)1(2)1(lim -++=∞→n n n n nn ]1111[lim 2n n n nn -++=∞→22= 【注】本题用到求和公式.2)1(...21+=+++n n n11.若,2)(sin lim 3430=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x f x x x 则当0→x 时，)(x f 是x 的（ ） （A ）等价无穷小 （B ）同阶但非等价无穷小（C ）高阶无穷小 （D ）低阶无穷小【解】由2)(sin lim 3430=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x f x x x 可知 0)(sin lim 3430=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x f x x x 即 0)(sin lim 2330=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x f x x x 0)(lim 120=-→x x f x 1)(lim 20=→xx f x 则当0→x 时，)(x f 是x 的高阶无穷小.12.求极限)23(lim 434323x x x x x --++∞→ 【解】)23(lim 434323x x x x x --++∞→)2131(lim 43xx x x --+=+∞→ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=+∞→)121()131(lim 43x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-⋅=+∞→))2(41()331(lim x xx x （等价代换） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=+∞→x x x 123lim 23=13.求极限)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→ =-+-+→)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x )cos 1(]sin [tan 21lim 0x x x x x --→ξ （拉格朗日中值定理）)cos 1(]cos 1[tan lim 210x x x x x --=→ 21tan lim 210==→x x x14.已知,12cos lim 20=-→b x x ax x e 求b a ,的值. b x x ax x e 2cos lim 120-=→b x x ax x e ]12[cos ]1[lim 20---=→ b x axx x ])2(21[][lim 220--=→ （等价无穷小代换） b x axx 203lim →= 则.2,3==b a15.函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为 （A ）.0 （B ）.1 （C ）.2 （D ）.3【解】应选C. xx x x x f xln )1(1)(+-=在1,0,1-=x 处没定义， x x x e x x x x x f x x x x x x ln )1(1lim ln )1(1lim )(lim ln 111+-=+-=-→-→-→=∞=+=+-→-→11lim ln )1(ln lim 11x x x x x x x x x x x e x x x x x f x x x x x x ln )1(1lim ln )1(1lim )(lim ln 000+-=+-=→→→111lim ln )1(ln lim 00=+=+=→→x x x x x x x x x x x e x x x x x f x x x x x x ln )1(1lim ln )1(1lim )(lim ln 111+-=+-=→→→=2111lim ln )1(ln lim 11=+=+→→x x x x x x x x 故0=x 和1=x 为可去间断点.。
