二项式常见题型及习题精练

9.5 二项式定理5大题型【题型解读】【知识储备】1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n C0n a n C1n a n－1C k n n－k k C n n b n*(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n(3)(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2．二项式系数的性质[常用结论]若二项展开式的通项为T r＋1＝g(r)·x h(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔T r＋1是常数项．(2)h(r)是非负整数⇔T r＋1是整式项．(3)h(r)是负整数⇔T r＋1是分式项．(4)h(r)是整数⇔T r＋1是有理项．【题型精讲】【题型一求特定项的系数】方法技巧 三项式()()n a b c n N ++∈的展开式：()[()]n n a b c a b c ++=++()n rrr n C a b c -=+++()rq n r q qrn n r C C ab c---=++++r q n r q q r n n r C C a b c ---=++若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式()r q p q r n n r C C a b c p q r N p q r n -∈++=，，，，其中!(r)!!!()!!()!!!!r q n n r n n n C C r n r q n r q p q r --==---叫三项式系数． 例1 （2022·华师大二附中高三练习） 若()()()2880128111x a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则3a = ．例2 在73x⎛ ⎝的系数是 ．例3 （2022·江西模拟）在 5221y x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的展开式中，含 32x y 的项的系数是（ ）A ．10B ．12C ．15D ．20【题型精练】1. （2022·河南高三月考）在732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，5x 项的系数是（ ）A ．280B ．280-C ．560D ．560-2．（2022·全国高三课时练习）61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数和为___________，展开式中常数项为___________.3．（2022·枣庄模拟）在()622x x y-+的展开式中，含52x y 项的系数为（ ）A ．480B ．480C ．240D ．2404. （2022·汕头模拟）100的展开式中系数为有理数项的共有_______项.【题型二 已知项的系数求参】例4 （2022·四川模拟）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则a =（ ） A ．2B ．2C ．2或2D ．4例5 （2022·武昌模拟）()()611ax x -+的展开式中，3x 项的系数为10，则实数a = .【题型精练】1．（2022·石家庄模拟）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则=a （ ）A ．2B ．2C ．2或2D ．42. （2022·临沂二模）已知 ()5221ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中 x 的系数为（ ） A ．120 B ．40 C ．40 D ．120【题型三 二项式定理的性质】例6 （2022·唐山二模）（多选）已知22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A ．n=9B ．11n =C ．常数项是672D ．展开式中所有项的系数和是1例7 设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【题型精练】1．（2022·高三课时练习）若()*1N nn x ⎛+∈ ⎝⎭的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则n =（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．82.（2022·广东高三模拟）若n 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．3. （2022·浙江高三模拟）在1)2n x 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数为（ ） A ．454B ．358-C ．358D ．7【题型四 二项式系数和及系数和问题】方法技巧 系数和问题2012()...n n n ax b a a x a x a x +=++++，令1x =得系数和：01...()n n a a a a b +++=+①；令1x =-得奇数项系数和减去偶数项系数和：01230213...()(...)(...)n n a a a a a a b a a a a -+-=-=++-++②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．例8 （2022·福建泉州科技中学月考）在10(23)x y -的展开式中，求： （1）二项式系数的和； （2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； （4）奇数项系数和与偶数项系数和； （5）x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.【题型精练】1．（2022·常州市新桥高级中学高三模拟）若()5234501234513x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345a a a a a a -+-+-的值为 ．2.（2022·济北中学高三月考）设 ()()54234501234521x m x a a x a x a x a x a x ++-=+++++ .若01234532a a a a a a +++++= ，则实数 m = ， 3a = ．3. （2022·上虞模拟）已知()102100121031x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则3a = ，1012210333a a a ++⋅⋅⋅+= .【题型五 二项式定理的应用】例9 （2022福建省部分名校高三联合测评）（多选）若202051a +能被13整除，则实数a 的值可以为（ ） A ．0 B ．11 C ．12 D ．25例10 71.95的计算结果精确到个位的近似值为 A ．106 B ．107 C ．108 D ．109【题型精练】1.（2022·全国高三课时练习）(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.342. 若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++，则()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为___________.。

二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。

二项式定理常考题型汇总（含答案）1. 展开式中的常数项是 （用数字作答）2.若在展开式中系数为-80，则a= 。

3.如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 的系数是（ ）A. 7B. –7C. 21D. –21 4.设k=1，2，3，4，5，则的展开式中k x 的系数不可能是（ ）A. 10B. 40C. 50D. 80 5.在的展开式中的系数是（ ）A. –14B. 14C. –28D. 286. 的展开式中 项的系数为 。

7.的展开式中 项的系数 。

8. 521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，4x 的系数是 。

9. 若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+321展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是 。

10. 522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中2x 的系数是 ，展开式各项系数之和是 ，展开式各项的二项式系数之和是 。

11. 622⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数是 。

12. ()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x 的展开式中的常数项为 。

1.（2005·福建卷）展开式中的常数项是（用数字作答）分析：当得r=2.∴，即所求常数项为240。

2.（2004·重庆卷）若在展开式中系数为-80，则a=。

解：∴当r=3时有∴由题设得∴a=-2，即应填-2。

3.（2005·山东卷）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A. 7B. –7C. 21D. –21分析：设，则∴由已知得，解得n=7∴令得r=6.∴，故所求系数为，应选C。

4.（2005·江苏卷）设k=1，2，3，4，5，则的展开式中的系数不可能是（）A. 10B. 40C. 50D. 80分析：立足于二项展开式的通项公式：∴当k=1时，r=4，的系数为；当k=2时，r=3，的系数为；当k=3时，r=2，的系数为；当k=4时，r=1，的系数为。

∴综上可知应选C。

二项式定理练习题及答案解析一、选择题1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是()A．2n B．2n＋1C．2n－1D．2(n＋1)[答案] B2．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是()A．Crn B．Cr＋1nC．Cr－1n D．(－1)r－1Cr－1n[答案] D3．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是()A．－27C610 B．27C410C．－9C610 D．9C410[答案] D[解析]∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令10－r＝6，解得r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.4．(2010•全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是() A．－4 B．－2C．2 D．4[答案] C[解析](1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5，故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1×C35(－3x)3＋12xC05＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.5．在2x3＋1x2n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是()A．3 B．5C．8 D．10[答案] B[解析]Tr＋1＝Crn(2x3)n－r1x2r＝2n－r•Crnx3n－5r.令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.∴n的最小值为5.6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是()A．－297 B．－252C．297 D．207[答案] D[解析]x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.7．(2009•北京)在x2－1xn的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是()A．3 B．4C．5 D．6[答案] D[解析]通项Tr＋1＝Cr10(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且Crn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D.8．(2010•陕西理，4)(x＋ax)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于()A．－1 B.12C．1 D．2[答案] D[解析]Cr5•xr(ax)5－r＝Cr5•a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，由C45•a＝10，得a＝2.9．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()A.112＜x＜15B.16＜x＜15C.112＜x＜23D.16＜x＜25[答案] A[解析]由T2>T1T2>T3得C162x>1C162x>C26(2x)2∴112＜x＜15. 10．在32x－1220的展开式中，系数是有理数的项共有()A．4项B．5项C．6项D．7项[答案] A[解析]Tr＋1＝Cr20(32x)20－r－12r＝－22r•(32)20－rCr20•x20－r，∵系数为有理数，∴(2)r与220－r3均为有理数，∴r能被2整除，且20－r能被3整除，故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.∴r＝2,8,14,20.二、填空题11．(1＋x＋x2)•(1－x)10的展开式中，x5的系数为____________．[答案]－16212．(1＋x)2(1－x)5的展开式中x3的系数为________．[答案] 5[解析]解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3•(1－x2)2＝(1－x)3(1＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)•C13(－1)＝5；解法二：C35(－1)3＋C12•C25(－1)2＋C22C15(－1)＝5.13．若x2＋1ax6的二项展开式中x3的系数为52，则a＝________(用数字作答)．[答案] 2[解析]C36(x2)3•1ax3＝20a3x3＝52x3，∴a＝2.14．(2010•辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－1x)6的展开式中的常数项为________．[答案]－5[解析](1＋x＋x2)x－1x6＝x－1x6＋xx－1x6＋x2x－1x6，∴要找出x－1x6中的常数项，1x项的系数，1x2项的系数，Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)rx－r＝Cr6(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，令6－2r＝－1，无解．令6－2r＝－2，∴r＝4.∴常数项为－C36＋C46＝－5.三、解答题15．求二项式(a＋2b)4的展开式．[解析]根据二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbnn得(a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.16．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．[解析]由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.∴m＝1n＝18，m＝2n＝17，…，m＝18n＝1.x2的系数C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171.∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C79＋C710＝156.17．已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解析](1)Tr＋1＝Crn•(3x)n－r•(－123x)r＝Crn•(x13)n－r•(－12•x－13)r＝(－12)r•Crn•xn－2r3.∵第6项为常数项，∴r＝5时有n－2r3＝0，∴n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴所求的系数为C210(－12)2＝454.(3)根据通项公式，由题意得：10－2r3∈Z0≤r≤10r∈Z令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝10－3k2＝5－32k.∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2,0，－2，∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．它们分别为C210•(－12)2•x2，C510(－12)5，C810•(－12)8•x－2.18．若x＋124xn展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．[解析]通项为：Tr＋1＝Crn•(x)n－r•124xr.由已知条件知：C0n＋C2n•122＝2C1n•12，解得：n＝8.记第r项的系数为tr，设第k项系数最大，则有：tk≥tk＋1且tk≥tk－1.又tr＝Cr－18•2－r＋1，于是有：Ck－18•2－k＋1≥Ck8•2－kCk－18•2－k＋1≥Ck－28•2－k＋2即8！(k－1)！•(9－k)！×2≥8！k！(8－k)！，8！(k－1)！•(9－k)！≥8！(k－2)！•(10－k)！×2.∴29－k≥1k，1k－1≥210－k.解得3≤k≤4.∴系数最大项为第3项T3＝7•x35和第4项T4＝7•x74.。

二项式定理应用常见题型大全一．选择题（共21小题）1．（2012•重庆）的展开式中常数项为（）．C D2．（2012•桃城区）在的展开式中，有理项共有（）20124．（2008•江西）展开式中的常数项为（）n*56．（2006•重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）8829211200610．（2004•福建）若（1﹣2x）9展开式的第3项为288，则的值是（）D．11．若则二项式的展开式中的常数项为（）12．（a＞0）展开式中，中间项的系数为70．若实数x、y满足则z=x+2y的最小值是（）C1014．的展开式中第三项的系数是（）．C．4n+1n17．设f（x）等于展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则m的取值范围是[[，[18．在的展开式中系数最大的项是（）682010参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2012•重庆）的展开式中常数项为（）．C D的展开式通项公式中，令的展开式通项公式为=2．（2012•桃城区）在的展开式中，有理项共有（）••，2012+ 4．（2008•江西）展开式中的常数项为（）的展开式的通项为的展开式的通项为=的通项为=，时，展开式中的项为常数项n*56．（2006•重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）则展开式的常数项为88292112006分别取，时，有）（时，有）（（10．（2004•福建）若（1﹣2x）9展开式的第3项为288，则的值是（）D．中，化简可得答案．，x==211．若则二项式的展开式中的常数项为（）∴二项式的通项为的展开式中的常数项为=16012．（a＞0）展开式中，中间项的系数为70．若实数x、y满足则z=x+2y的最小值是（）C，则=y=，则1014．的展开式中第三项的系数是（）．C．的展开式中第三项是×=4n+1n×、；=2×；n+×17．设f（x）等于展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则m的取值范围是[[，[展开式的通项，再求出其展开式的中间项，即可得变形为x，由二次函数的性质，求出[，展开式的通项为（（）=x⇔时，x时，，则若18．在的展开式中系数最大的项是（）（﹣）从而获解，但比较麻烦，在选择填空中不提倡用，不可小题大做，682010。

二项式定理高考题型及解题（精编版）题型一、求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x + =])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xx x x2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(xx -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。

本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn n n n n n 3)1( (279313)21-++-+-； 解：原式=n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。

题型二：求二项展开式的特定项 1．求指定幂的系数或二项式系数 （1）求单一二项式指定幂的系数例4．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；解：r r rr x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r x C 3189)21(--令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：221)21(339-=-C ，∴填221-（2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C ； ② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。

最全的二项式定理题型及典型试题
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最全的二项式定理题型总结及练习
1、“n b a )(+展开式
例1．求4)1
3(x x +的展开式；
【练习1】求4)1
3(x x -
的展开式
2.求展开式中的项
例2.已知在331
)2-（n x x 的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
【练习2】若41()2n x x
+展开式中前三项系数成等差数列.求：
（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.
3.二项展开式中的系数
例3.已知223()n x x +的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)
n x x -的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项（先看例9）.
[练习3]已知*22()()n x n N x
-∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.（1）求展开式中含3
2x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例4．在72)2)(1-+x x （的展开式中，3
x 项的系数是；
[练习4]在2
61+x+x )(x )x
-（2的展开式中常数项是5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5．在3)21(-+
x
x 的展开式中，常数项是________ [练习5]在28+x-x )（2的展开式中含1x 的项是
6、求中间项。

一．选择题（共19小题）1．（ax+y）5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（）A．2B．±2C．D．±2．的展开式中x3的系数为（）A．5B．﹣5C．15D．﹣153．已知二项式（x+）n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x3项的系数是（）A．1B．C．D．34．（x﹣1）5展开式中x4项系数为（）A．5B．﹣5C．10D．﹣105．的展开式中常数项为（）A．﹣240B．﹣160C．240D．1606．（1+x）5展开式中x2的系数为（）A．﹣10B．﹣20C．20D．107．的展开式中含x5项的系数是（）A．﹣112B．112C．﹣28D．288．的展开式中x3的系数为（）A．﹣160B．﹣64C．64D．1609．二项式的展开式中的常数项是（）A．﹣15B．15C．20D．﹣2010．若的展开式中常数项为240，则正整数n的值为（）A．6B．7C．8D．911．（x﹣1）10的展开式的第6项的系数是（）A．B．C．D．12．展开式中的常数项是（）A．﹣160B．﹣140C．160D．14013．（x﹣2y﹣1）5的展开式中含x2y2的项的系数为（）A．﹣120B．60C．﹣60D．3014．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（）A．14B．16C．18D．2015．设n为正整数，（2x2+）n的展开式中存在常数项，则n的最小值为（）A．2B．3C．4D．516．在（2x+1）4的展开式中，x2的系数为（）A．6B．12C．24D．3617．在的展开式中，的系数为（）A．﹣30B．﹣20C．﹣10D．3018．的展开式中，x2的系数等于（）A．﹣45B．﹣10C．10D．4519．（x+2y）（x﹣y）5的展开式中x2y4的系数为（）A．﹣15B．5C．﹣20D．25二．填空题（共10小题）20．已知（a+x）（1+x）6的展开式中x2的系数为21，则a＝．21．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为.（用数字作答）22．（x﹣2y+1）5展开式中含x2y项的系数为．23．的展开式中项的系数为．24．的展开式中，常数项为（用数字作答）．25．（x﹣1）（x+2）8的展开式中x8的系数为（用数字作答）．26．在的展开式中，xy7的系数为．27．（x2﹣y）（）6的展开式中，其中不含x的项为．28．在的展开式中，常数项等于．（用数字作答）29．（x2+y+3）6中x4y的系数为（用数字作答）．。

二项式定理的相关计算1．已知2nax⎛⎝展开式的二项式系数之和为128，则n =__________.【解答】根据展开式的二项式系数之和为2n ，所以2128n =，解得7n =，故答案为：7.2．若()8ax y -的展开式中35x y 的系数为448-，则=a __________.【解答】二项式()8ax y -展开式的通项为()()818C rrr r T ax y -+=-所以()8ax y -的展开式中含35x y 的项为()()5533358C 56ax y a x y -=-，所以()8ax y -的展开式中35x y 的系数为356448a -=-，所以2a =.故答案为：23．10x⎛⎝的展开式中x 的系数为______（用数字表示）.【解答】10x⎛ ⎝的通项为()(){}131010221010C 1C 1,0,1,2,,10r r r r r r x x x r ---=-∈ -,令310162r r -=⇒=，所以展开式中x 的系数为()6610C 1210-=,故答案为：2104．()()8x y x y -+的展开式中72x y 的系数是______.【解答】二项式()8x y -中，()8181C rr r r r T x y -+=-，当x y +中取x 时，这一项为()981C rr r r x y --，所以2r =，()2281C 28-=，当x y +中取y 时，这一项为()8181C r r r r x y -+-，所以1r =，()1181C 8-=-，所以展开式中27x y 的系数为-+=82820.故答案为：20.5．若621(12)x x ⎫++⎪⎭的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中4x 的系数为__________．【解答】令1x =，得)631192=，解得1a =，进而可得61(x x+的展开式为6216C r rr T x -+=，令1r =，得14426C 6T x x ==，令2r =，得22236C 15T x x ==，故4x 的系数为1621536⨯+⨯=．故答案为：366．83x ⎛- ⎝的展开式中，2x -项的系数为__________．【解答】由二项式展开式通项为58883188C (3)((1)3C r r rrrrr r T x x---+==-，令5823r -=-，则6r =，则2622783C 252T x x --==，故2x -项的系数为252.故答案为：2527．已知323401234(1)(1)x x a a x a x a x a x -+=++++，则123a a a ++=__________．【解答】依题意323401234(1)(1)x x a a x a x a x a x -+=++++，令0x =，得01a =，令1x =，得012340a a a a a ++++=.因为43343C ,a x x x =-⨯可以得出343C 1a =-=-,01234123110a a a a a a a a ++++=+++-=，故1230a a a ++=.故答案为：0.8．已知二项式521a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的常数项为59-，则=a ______________.【解答】由题意可知225211()a a x x x x ⎛⎫++++ ⎝⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎭，则其通项为521(),0,1,5C ,2,rr ra x r xT +==+，而2(r a x x +的通项为312C C ,0,1,2,,kk r k k k r k k r r a T x a x k r x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令30,3r k r k -=∴=，当0k =时，0r =；当1k =时，3r =；当2k ≥时，6r ≥，不合题意，由二项式521a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的常数项为59-，可得0003115053C C C C 59a a +=-，即3060a =-，解得2a =-，故答案为：2-9．在()52231x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为______．【解答】()55522222313x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的展开式中x 的项为322322355223C C 24040200x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以展开式中x 的系数为200-．故答案为：200-.10．()52x x +的展开式中9x 的系数为______【解答】()52x x +展开式的通项为()()5210155C C 0,1,2,,5rrr r rr T x x x r --+=⋅== ，令109r -=，解得1r =，所以展开式中9x 的系数为15C 5=.故答案为：5.11．已知常数0m >，6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 项的系数是60，则m 的值为_____________．【解答】由已知6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则其展开式的通项为66266C C rr r r r rm x m xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭，又其二项展开式中2x 项的系数是60，则令622r -=，即2r =，2226C 1560m m ==，又0m >，所以2m =，故答案为：2.12．若()()512x a x -+的展开式中3x 的系数为60，则实数=a ________．【解答】∵()()512x a x -+的展开式中含3x 的项为()()()2323355C 2C 24080x x a x a x ⋅-⋅=-，由已知3x 的系数为408060a -=，∴14a =-．故答案为：14-.13．()()532x y x y +-的展开式中33x y 的系数是______.（用数字作答）【解答】()()()()55532322x y x y x x y y x y +-=-+-，而()52x y -的通项为55C (2)r rr xy --，0,1,2,3,4,5r =，故展开式中33x y 的系数是3322553C (2)C (2)200⨯⨯-+⨯-=-,故答案为：200-.14．在61(21)x x x ⎛⎫--⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数为____________．（结果填数字）【解答】设6(21)x -的展开式通项为666166C (2)(1)(1)2C rrr r r r rr T x x ---+=-=-，当6r 3-=时，3r =，3x 的系数为3336(1)2C 160-=-；当65r -=时，1r =，5x 的系数为1516(1)2C 192-=-；所以4x 的系数为1(160)(1)(192)32⨯-+-⨯-=.故答案为：3215．(72展开式中含3x 项的系数为______.【解答】(72展开式的通项公式为(()772177C 21C 2r rrr rrr r T x --+==-，令32r =，则6r =，所以含3x 项为63377C 214T x x ==，所以(72展开式中含3x 项的系数为14.故答案为：14.16．434log 2(log 3)x x+展开式的常数项为___________.（用最简分数表示）【解答】434log 2(log 3)x x+展开式通项公式44214344344log 2log 3)()log 43)(log 2C ((C ,)N,r r r r r rrr T xx r x r --+-==⋅∈≤，令420r -=，解得2r =，则2223234log 3)(lo 2113(C 62)24g T ==⨯=⋅，所以434log 2(log 3)x x +展开式的常数项是32.故答案为：3217．()5(2)0ax a +≠的展开式中含x 的项与含2x 的项系数相等，则=a ___________.【解答】由5(2)ax +的展开式的通项为55155C 2()2C r rr r r rr r T ax a x --+=⋅⋅=⋅，令1r =，可得411252C 80T a x ax =⋅⋅=；令2r =，可得322222252C 80T a x a x =⋅⋅=，因为展开式中含x 的项与含2x 的项系数相等，可得2a a =，又因为0a ≠，所以1a =.故答案为：1.18．已知()42340123412x a a x a x a x a x +=++++，则024a a a ++的值等于______.【解答】令1x =，则401234381a a a a a ++++==；令1x =-，则012341a a a a a -+-+=，上述两式相加得()0242811a a a ++=+，故02441a a a ++=；故答案为：41.19．已知()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x -+=++++++，则2345a a a a +++=___________．（用数字作答）【解答】因为()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x -+=++++++，令0x =，得01a =-；令1x =，得50123456232a a a a a a a ++++++==；又()()()()555211211x x x x x -=-+++，二项式5(1)x +的通项公式为55155C 1C r r r rr r T x x --+=⋅⋅=⋅，则0652C 2a =⨯=，41521(1)C 3a =⨯+-⨯=-，所以2345322(3)(1)34a a a a +++=-----=．故答案为：3420．()52211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为________.【解答】因为()51x +的二项展开式为5155C 1C ,0,1,2,3,4,5rrr r rr T x x r -+=⨯⨯==，所以3x 项为335334655221C 2C 12T T x x x x⨯+⨯=+=，即展开式中3x 项的系数为12.故答案为：12.21．已知a >0，若9290129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++L ，且5126a =，则a =______.【解答】因为9290129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++L ，又99()[(1)1]x a x a ++-=+，展开式通项为919C (1)(1)r rr r T x a -+=+-，5126a =对应5(1)x +的系数，故得到95r -=，解得4r =，其系数为449C (1)1260a a -=⇒=或2a =.又a >0，故实数a 的值为2.故答案为：2.22．若()312nx x ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为132，则展开式中3x 的系数为______.【解答】因为()312nx x ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为132,令1x =,得1121232n⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭,所以n =6.因为62x ⎛ ⎝展开式的通顶公式为663621661C C (1)22r rrrr r rr x T x---+⎛⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝,令3632r -=,得2r =;令3602r-=,得4r =,所以展开式中3x 的系数为4224661175C C 2216⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：751623．5x⎛ ⎝的展开式中含1x -项的系数为_________．【解答】解：5x⎛ ⎝展开式的通项为3552155C C (2)rr r r r r T x x --+⎛==- ⎝，令3512r -=-，得4r =，所以展开式中常数项为445C (2)80-=．故答案为：8024．4(1)(2)x x --的展开式中，含3x 的项的系数是__________．【解答】由题意可知4(1)x -中3x 的系数为114C (1)4-=-,2x 的系数为224C (1)6-=,故4(1)(2)x x --的展开式中，含3x 的项的系数是16(2)(4)14⨯+-⨯-=，故答案为：1425．41(2)x x+展开式的常数项是__________．（用数字作答）【解答】41(2)x x +展开式的通项公式是44421441C (2)(2C ,N,4r r r r r rr T x x r r x ---+==∈≤，由420r -=，得2r =，所以41(2x x+展开式的常数项为22342C 4624T ==⨯=.故答案为：2426．若()6x ay +展开式中33x y 的系数为160-，则=a ______．【解答】()6x ay +的通项为：()66166C C rr r r r r rr T x ay a x y --+==，令3r =，则336C 160a =-，解得：2a =-.故答案为：2-.27．已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为243，则这个展开式中3x 项的系数是__________．【解答】在12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中令1x =得展开式中各项系数的和为3243n =，求出5n =．12nx x ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的展开式的通项55521551C (2)2C rr r r rr r T x x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令523-=r ，得41331151,2C 80r T x x +=∴=⋅⋅=．故答案为：80．28．在6(31)x -的展开式中，含2x 的项的系数为__________.【解答】在6(31)x -展开式中，第1k +项为666166C (3)(1)C 3(1)kkk k kk k k T x x ---+=-=-，06,N k k ≤≤∈，令4k =，得含有2x 的项的系数为4246C 3(1)135⋅⋅-=；故答案为：135.29．二项式5(13)(12)x x +-的展开式中的4x 项的系数为___________.【解答】5(12)x -展开式的通项为()()155C 22C kkk k kk T x x +=-=-，0,1,2,3,4,5k =，所以当4k =时，()4444552C 80T x x =-=，当3k =时，()3333452C 80T x x =-=-，所以二项式5(13)(12)x x +-的展开式中含4x 项的系数为801(80)3160⨯+-⨯=-.故答案为：160-.30．在91x ⎫⎪⎭的展开式中，6x -的系数为________．【解答】因为91x ⎫-⎪⎭的展开式的通项公式为()9191C 09,rrr r T r r x -*+⎛⎫=-≤≤∈ ⎪⎝⎭N ，即()()932191C 09,r rr r T xr r -*+=-≤≤∈N ，所以由9362r-=-，得到7r =，故6x -的系数为779(1)C 36-=-.故答案为：36-.31．712x xx ⎛⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎝的展开式中常数项为______.【解答】72x⎛ ⎝的展开式中通项为()()37772177,0,1,2C 2C 21,,7kk kk kk k k k T x x---+⎛==- ⎝= ,所以要使712x xx ⎛⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎝展开式中出现常数项，需3712k -=或1-，当3712k -=时，4k =；当3712k -=-时，163k =（舍去），所以常数项为()44371C 21280x x -⋅=，故答案为：280.32．在二项式622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的二项式系数为__________．【解答】因为()621231662C C 2rrr r r rr T x x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，0r =，1，2，…，6.令1233r -=，得3r =，所以3x 项的二项式系数为36C 20=.故答案为：2033．()72213x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中82x y 的系数为__________.（用数字作答）【解答】由题意得()()()777222221313x yx y x y xy x y=⎛⎫+-⎝+-- ⎪⎭，因为()72x y -的展开式的通项为()()()714212771C C rrrrr r rr T x y x y --+-==-，令2r =，()2102223710121C x y T x y ==-，令3r =，()33838347C 135T x y x y =-=-，所以()41313x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中82x y 的系数为()2135384+-⨯=-，故答案为：84-.34．6⎛⎝的展开式中x 的系数为___________.【解答】6⎛+ ⎝的展开式的通项公式为(663166C C 32rrrr r r rr T x ---+==，令31r -=，得2r =，所以展开式中x 的系数为2426C 324860⨯⨯=.故答案为:4860.35．431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为______．【解答】二项式431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()43441441C C 1rr r r rr rT x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令440r -=，解得1r =，所以()021144C 1T x =-=-，所以展开式中常数项为4-.故答案为：4-36．已知二项式9112x ax -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为18-，则该二项展开式中的常数项为___________.【解答】9112x ax -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项()()91931222199C C rr rrr rr T x axa x---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，令93322r -=，解得1r =，∴19C 918a a -=-=-，解得2a =，令93022r -=，解得3r =，∴该二项展开式中的常数项为()3392C 672-=-.故答案为：672-.37．102x⎛⎝的展开式中的常数项为______.【解答】二项式102x⎛ ⎝展开式的通项为()()520102211010C C 1rrr r r r T xx--+⎛=⋅=-⋅ ⎝，令52002r -=，解得8r =，∴常数项为()881081C 145T +=⨯-=.故答案为：45．38．已知6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为20，则实数m 的值为______．【解答】展开式的通项为66266C C rrrr r rm xm x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，令620r -=解得3r =，∴336C 20m =．∴1m =．故答案为：139．()8221x x x ⎛⎫--⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______．【解答】82x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为828188(2)C (2)C r rr r r r r r T x x x --+-=-⋅⋅-⋅=.令820,4r r -==，令822,5r r -=-=.则()8221x x x ⎛⎫--⎪⎝⎭的展开式中的常数项为445588212(2)C (2)9C 1⨯-⋅--=⋅.故答案为：291240．二项式42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为_______________（用数值表示）．【解答】由二项式定理可得()()()()()40123404113122131140144444222222x x x x x x x x x x x x -----⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭C C C C C ，显然其常数项为第三项即()22214224x x -=C ，故答案为：2441．在1022x ⎫+⎪⎭的展开式中，常数项为______________.（结果用数字表示）【解答】1022x ⎫⎪⎭展开式通项为：1051021101022C 2C rrrrr rr T x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，令10502r -=，解得：2r =，223102C 445180T ∴=⨯=⨯=，即常数项为180.故答案为：180.42．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数是______．【解答】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()621231662C C 2rrr r r r r T x x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，令1233r -=，得3r =，所以含3x 项的系数为()()336C 2208160-=⨯-=-，故答案为：160-．43．8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________．【解答】8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项为()884188311C C 20,1,2,,82rr r rr r r T r x x x --+==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令840r -=，得2r =，所以常数项为282C 72=．故答案为：7.44．二项式()511x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项为__________．【解答】51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式的通项公式为5521551C C rr r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而()5551111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令-+=5210r ，得3r =；令520r -=，得52r =（舍）.所以()511x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为35C 10=．故答案为：1045．若在61x ⎫⎪⎭的展开式中，2x -的系数为__________．（用数字作答）【解答】61x ⎫⎪⎭的展开式通项为()()46231661C C 10,1,2,,6kkk k kk k T x k x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭，令4223k -=-，可得3k =，因此，展开式中2x -的系数为()336C 120⋅-=-.故答案为：20-.46．已知54(1)(13)ax x -+的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为_________．【解答】解：5(1)ax -展开式的通项公式为()5C 1,2, (5)r ax r -=，，4(13)x +展开式的通项公式为()4C 31,2, (4)s x s =，，所以54(1)(13)ax x -+的展开式中x 的系数为()()010111005454C C 3C C 32a a -+-=，解得2a =，故答案为：247．在4(21)x +的展开式中，2x 的系数为__________．（用数字作答）【解答】4(21)x +的展开式通项公式为()414C 2rr r T x -+=，令2r =，得()22234C 224T x x ==，故2x 的系数为24.故答案为：24.48．()226()x y x y ++的展开式中，53x y 的系数为____．【解答】因为23332155366C C 26x x y y x y x y +=，所以53x y 的系数为26．故答案为：2649．已知()()811ax x -+的展开式中5x 的系数为84-，则实数a 的值是________.【解答】()81x +的通项公式为81C r r r T x +=，所以81888C (1)(1)(1)C C r r r r r r x x a ax x ax x +-+=-⋅=-，令=5r ，则8C r r x 的展开式中5x 的系数为58C 56=；令154r r ,+==，则18C r r a x +的展开式中5x 的系数为48C 70a a =；故()()811ax x -+的展开式中5x 的系数为567084a -=-,2a ∴=.故答案为：2.50．6313⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 展开式中2x 的系数为______.【解答】361(3)x x-展开式的通项公式为()6184161C 3r r r r r T x --+=-⨯⨯⋅，令1842r -=，解得4r =，1C3135--⨯⨯=.故答案为：135.所以含2x的项的系数为()44646。