江西省抚州市临川区第二中学高三数学七月月考试题文

江西省抚州市临川区第一中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列计算正确的是（ ）A ．2a +3a ＝5a 2B ．a 2•a 3＝a 6C ．a 6÷a 2＝a 3D ．（a 2）3＝a 6 2．如图，已知50E ∠=︒，当ADC ∠=__时，就能使AB EF ∥（ ）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒ 3．202320245335⎛⎫⎛⎫-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．35B ．53C ．35-D ．53- 4．已知29x kx ++是完全平方式，则k 的值为（ ）A ．3B ．3±C ．6D ．6± 5．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()22x y x y --+B ．()()2121x x +--C ．()()33a b b a +-D ．()()m n m n ---+ 6．已知23a -=-，213b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0(3)c =-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．c b a <<二、填空题7．可乐和奶茶含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因不能超过0.000085kg ，将数据0.000085用科学记数法表示为．8．已知140∠=︒，2∠与1∠互余，则2∠的补角是．9．已知92842m m ⨯÷=，则m =．10．若1a b -=，则代数式222a b b --的值为．11．有两个正方形A ，B ，现将B 放在A 的内部得图甲，将A ，B 并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和13，则正方形A ，B 的面积之和为．12．阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②1-的奇数次幂都等于1-；③1-的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式13)1x x +-=（成立的x 的值为．三、解答题13．计算： (1)()10211π32-⎛⎫⎪⎭-+ -⎝-； (2)22232(3)()x y xy x y x ⋅+-÷．14．已知2,3x y a a ==，则x y a +和23x y a -的值．15．如图，点P 是AOB ∠的边OB 上的一个格点，用无刻度的直尺作图：(1)过点P 作PQ OA ⊥，垂足为Q ；(2)过点P 作PC OB ⊥，交OA 于点C ；(3)线段________的长度是点P 到OA 的距离．16．先化简，再求值()()()22x y x y xy xy x +-+-÷，其中11,2x y ==． 17．如图，已知AC BD ⊥，且AE 平分DAC ∠，45B ∠=︒，试判断AE 与BC 的位置关系并说明理由．18．已知2a b +=，1ab =-，求下列代数式的值：(1)2()a b -；(2)22a b +．19．如果n x y =，那么我们规定(],x y n =．例如：因为2416=，所以(]4,162=．(1)(]2,16-=______；若(]3,27y =，则y =______；(2)已知(]4,12a =，(]4,5b =，(]4,y c =，若a b c +=，求y 的值；20．如图：某市有一块长为()3a b +米，宽为()2a b +米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．(1)绿化的面积是多少平方米？（用a ，b 的代数式表示）(2)若a ，b 满足()()212x x x ax b ++=++时，且绿化成本为40元/2m ，则完成绿化工程共需要多少元？21．阅读下面的材料：【材料一】若22228160m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=∴()()22228160m mn n n n -++-+=∴22()(4)0m n n +--=∴22()0,(4)0m n n -=-=∴4,4n m ==．【材料二】“0a ≥”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：()222817816141m m m m m ++=+++=++，∵()240m +≥，∴()2411m ++≥，∴28171m m ++≥．故2817m m ++有一个最小值为1．阅读材料，探究下列问题：(1)已知2222690x xy y y -+++=，求x 与y 的值；(2)无论m 取何值，代数式2613m m ++总有一个最小值，求出它的最小值．22．阅读：在计算()()1211n n n x x x x x ---+++++L 的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：【观察】①()()2111x x x -+=-；②()()23111x x x x -++=-；③()()324111x x x x x -+++=-；……(1)【归纳】由此可得：()()1211n n n x x x x x ---+++++=L ________；(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：2023202220212222221++++++L ；(3)【拓展】请运用上面的方法，求201918173222222221-+-+-+-+L 的值． 23．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a 、b 的小长方形若干个．(1)用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______；(2)用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式2()a b +、2()a b -、4ab 之间的等量关系式：________；根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：(3)直接写出下列问题答案：①若235m n +=，1mn =，则23m n -=________；②若()()202320246m m --=，则()()2220232024m m -+-=________． (4)如图3，点C 是线段AB 上的一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形，设7AB =，两正方形的面积和1216S S +=，请根据以上信息求图中阴影部分的面积．。

2024年抚州市临川区高三数学九省联考后测试卷试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A．93B．93.5C．94D．94.52．已知向量a ，b 满足1a b ⋅= ，π,3a b = ，则2a b a b++- 的最小值为（）+C．8D．23．过直线y x =上一点M 作圆C：()2221x y -+=的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ 过点()1,3，则直线PQ 的方程为（）A．520x y --=B．5140x y -+=C．580x y +-=D．5160x y +-=4．古城赣州最早有五大城门，分别为镇南门、百盛门、涌金门、建春门和西津门，赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五大城门的地理位置及历史意义进行调研．若约定：每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为（）A．25B．13C．15D．455．数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（）A．552B．452C．92D．1026．已知矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，将CBD △沿BD 折起至C BD ' ，当C B '与AD 所成角最大时，三棱锥C ABD '-的体积等于（）A．6B．C．D．7．已知()()()cos 140sin 110sin 130ααα︒-+︒+=︒-，求tan α=（）A．B．D．8．若存在a ∈R ，使得对于任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()22ln e 2e ln e x ax bx x ≤+≤-+恒成立，则实数b 的最小值为（）A．32e e 1e 1++--B．22e ee 1+--C．1-D．e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．{0}∅∈B．集合{}|2,Z Z 2x x x n n x⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭C．函数()R 1Q0Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð的值域为[0,1]D．()f x x x=在定义域内单调递增10．如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线2y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（）A．4ω=B．9π182f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C．函数()f x 在ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减D．若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π2411．已知定义在(0,)+∞的函数()f x 满足：①对(0,)∀∈+∞x 恒有()()xf x f x x'-=；②对任意的正数m ，n恒有()()()f mn nf m mf n mn=++．则下列结论中正确的有（）A．()11f =-B．过点()()e,e f 的切线方程1y x =-C．对(0,)∀∈+∞x ，不等式()ef x x ≥-恒成立D．若0x 为函数()2y f x x =+的极值点，则()0030f x x +>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复平面上一个动点Z 对应复数z，若|4i |2z -≤，其中i 是虚数单位，则向量OZ扫过的面积为．13．已知实数x，y 满足23ln 0x x y --=)R m ∈的最小值为．14．如图，在直角梯形ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝CD＝DA＝2，动点M 在边DC 上（不同于D 点），P 为边AB 上任意一点，沿AM 将△ADM 翻折成△AD'M，当平面AD'M 垂直于平面ABC 时，线段PD'长度的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是23，乙获胜的概率是13，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．(1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率；(2)若甲以2:1领先乙时，记X 表示比赛结束时还需要进行的局数，求X 的分布列及数学期望．16．设函数()ln f x x ax b=++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为63y x =-.(1)求,a b ；(2)证明：()35f x x >-.17．如图，AB 是半球O 的直径，4AB =，,M N 依次是底面AB 上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且60PON ∠=︒．(1)证明：PB PM ⊥；(2)若点P 在底面圆上的射影为ON 中点，求直线PM 与平面PAB 所成的角的正弦值．18．已知双曲线22:14x C y -=，点(4,0)M ，经过点M 的直线交双曲线C 于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C 的切线，两切线交于点E．（二次曲线221Ax By +=在曲线上某点()00,x y 处的切线方程为001Ax x By y +=）(1)求证：点E 恒在一条定直线L 上；(2)若两直线与L 交于点N，,AN MA BN MB λμ== ，求λμ+的值；(3)若点A、B 都在双曲线C 的右支上，过点A、B 分别做直线L 的垂线，垂足分别为P、Q，记 AMP ，BMQ ，PMQ 的面积分别为123,,S S S ，问：是否存在常数m，使得2123S S mS =？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．19．若各项为正的无穷数列{}n a 满足：对于*n ∀∈N ，221n n a a d +-=，其中d 为非零常数，则称数列{}n a 为D 数列.记1n n n b a a +=-.(1)判断无穷数列n a =2n n a =是否是D 数列，并说明理由；(2)若{}n a 是D 数列，证明：数列{}n b 中存在小于1的项；(3)若{}n a 是D 数列，证明：存在正整数n ，使得112024ni i a =>∑.1．B【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8⨯=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.52+=.故选：B.2．A【分析】设,OA a OB b == 且,OA m OB n == ，建立直角坐标系，得到13(,0),(,)22a m b == ，求得2mn =，得到2a b a b ++-=+结合基本不等式和函数()f t =上的单调性，即可求解.【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设,OA a OB b ==且,OA m OB n== ，因为π,3a b = ，可得1(,0),()2A m B n ，则1(,0),()2a OA m b OB n ==== ，所以11(),(,)22a b m n n a b m n n +=+-=- ，又因为向量,a b 满足1a b ⋅= ，可得1cos ,12a b a b a b mn ⋅=== ，解得2mn =，所以a b +===a b -===则2a b a b ++-=设22t m n =+，因为2224t m n mn =+≥=，当且仅当m n ==所以2a b a b ++-=，又因为()f t =[4,)+∞上为单调递增函数，所以()()min4f t f ==+2a b a b ++- +故选：A.3．C 【分析】设(),M t t ，先利用两圆方程相减得到直线PQ 的方程，再利用直线PQ 过点()1,3求得t 的值，进而得到直线PQ 的方程.【详解】圆C：()2221x y -+=的圆心为()2,0C ，设(),M t t ，则以MC 为直径的圆的方程为()()22222120224t t x y t t +⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-=-+- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭与圆C 的方程()2221x y -+=两式相减可得直线PQ 的方程为()2230t x ty t -+-+=因为直线PQ 过点()1,3，所以23230t t t -+-+=，解得12t =-．所以直线PQ 的方程为5113022x y --++=，即580x y +-=．故选：C．4．A【分析】根据题意，得到此次调研的基本事件的总数为2355C C +种，再由题设条件，分为两类求得恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的种数，集合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，共有2355C C 20+=种不同的调研方法，其中恰好在同一个周日调研百盛门和建春门，可得分为：①其中一个周日只调研百盛门和建春门，另一个周日调研其他三门，有12C 2=种方法；②其中一个周日调研百盛门、建春门和其中另一个门，另一个周日调研剩余的两门，有1123C C 6=种方法，共有268+=种不同的调研方法，所以恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为82205P ==.故选：A.5．B【分析】根据给定的递推公式求出1a ，进而求出数列{}n a 通项，借助单调性求解即得.【详解】依题意，N n *∈，1024nn S a +=，则1512a =，当2n ≥时，111024n n S a --+=，两式相减得12n n a a -=，即112n n a a -=，因此数列{}n a 是以512为首项，12为公比的等比数列，于是1101512()22n nn a --=⨯=，显然数列{}n a 单调递减，当10n ≤时，1n a ≥，当11n ≥，1n a <，所以当9n =或10n =时，数列{}n a 的前n 项积最大，最大值为98720452222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯= .故选：B6．A【分析】根据异面直线所成角、锥体体积公式等知识求得正确答案.【详解】因为异面直线所成角的范围是π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故当C B AD '⊥时，C B '与AD 所成角最大，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥，而,,AB C B B AB C B ''⋂=⊂平面ABC '，所以AD ⊥平面ABC '，因为AC '⊂平面ABC '，所以AD AC '⊥，在直角三角形ADC '中，1,2,AD C D AC ''===而2221,2,BC AB BC AC AB '''==+=，所以BC AC ''⊥，所以1113113326C ABD D ABC ABC V V S AD '''--===⨯⨯⨯=⋅ .故选：A【点睛】异面直线所成角的范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，当两条直线所成角为0时，两直线平行或重合.求解锥体体积的问题，可以考虑利用转换定点的方法，然后利用体积公式13V Sh=来求得三棱锥的体积.7．D【分析】利用三角函数诱导公式化简已知等式可得()()()cos 20cos 40cos 40ααα︒+=︒-+︒+，再利用两角和差的余弦公式结合同角三角函数关系化简可得cos 202cos40tan sin 20α︒-︒=︒，继而利用三角恒等变换，化简求值，即得答案.【详解】由题意知，()()()cos 140sin 110sin 130ααα︒-+︒+=︒-即()()()cos 40cos 20cos 40ααα-︒++︒+=︒-，故()()()cos 20cos 40cos 40ααα︒+=︒-+︒+，即cos 20cos sin 20sin 2cos40cos ααα︒-︒=︒，故cos 20cos 2cos40cos sin 20sin ααα︒-︒=︒，即sin cos 202cos40cos(3010)2cos(3010)tan cos sin 20sin 20ααα︒-︒︒-︒-︒+︒===︒︒3sin1022sin 20︒+︒==︒故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数诱导公式以及两角和差的公式化简得出tan α的表达式之后，要利用拆角的方法，继而结合三角恒等变换公式，化简求值即可.8．C【分析】将题干中的不等式变形为()2e 2e ln e ln x xax b x x -+≤+≤，由题意可知直线y ax b =+恒位于函数()ln xf x x =图象的上方，函数()()2e 2e ln e xg x x -+=的图象的下方，b 代表直线y ax b =+在y 轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过()e,e 1M -且与曲线ln x y x =相切时，b 最小，设切点坐标为000ln ,x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出0x 的值，即可得出b 的最小值.【详解】令()ln x f x x =，其中1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()21ln x f x x -'=，当1e e x <<时，()0f x ¢>，则函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()10f =，令()()2e 2e ln ex g x x-+=，则()()2222e e ln e 3ex g x x -+-'=，因为函数()222e e ln e 3e y x =-+-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()221e 2e 5e 0e g ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()1e 0e g '=-<，所以，存在01,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当01e x x <<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当0e x x <<时，()0g x '<，此时函数()g x单调递减，如下图所示：由题意得()2e 2e ln e ln x xax b x x -+≤+≤，直线y ax b =+恒位于()y f x =的图象上方，()y g x =的图象下方，b 代表直线y ax b =+在y 轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过()e,e 1M -且与曲线ln xy x =相切时，b 最小．设切点为000ln ,x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则000200ln e 11ln e x x x x x -+-=-，整理可得()()20000e 12e ln e 0x x x x -+---=，令()()()2e 12e ln eh x x x x x =-+---，则()10h =，()()()()()e e2e 1121ln 2e 112ln h x x x x x x x '=-+-++=-+-+，而当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()e 2e 13x x -+≥>，12ln 3x +≤，所以，()()e2e 112ln 0x x x -+-+>，所以当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '>，则函数()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()h x 有唯一的零点1，所以01x =，此时直线方程为1y x =-，故min 1b =-.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的最值，解题的关键在于将不等式变形为()2e 2e ln e ln x x ax b x x -+≤+≤，通过作出图象，找出直线y ax b =+与函数ln xy x =相切时，b 最小，然后利用导数法进行求解.9．BD【分析】根据空集的定义判断A，根据集合元素的特征判断B，根据所给函数解析式判断C，将函数写成分段函数、再分析函数在各段的单调性即可判断D.【详解】对于A：{0}∅⊆或∅{0}，故A 错误；对于B：{}{}|2,Z ,6,4,2,0,2,4,6,8,x x n n =∈=--- ，又Z 2x ∈，令Z 2x k =∈，所以2x k =，Z k ∈，即{}{}Z 2,Z,6,4,2,0,2,4,6,8,2x x x x k k ⎧⎫∈==∈=---⎨⎬⎩⎭ ，所以{}|2,Z Z 2x x x n n x⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭，故B 正确；对于C：因为()R 1Q0Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，所以()f x 的值域为{}0,1，故C 错误；对于D：()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，因为2y x =在[)0,∞+上单调递增，2y x =-在(),0∞-上单调递增，且()f x 为连续函数，所以()f x 在R 上单调递增，故D 正确；故选：BD10．ACD【分析】令()f x =求得,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()3sin 2f x x ωϕ=+得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5ππ4,2π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+⎪⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD.11．ACD【分析】由条件①结合导数的运算法则可设()ln f x x C x =+，再由条件②，求得()ln f x x x x =-，选项A，B 易判断；对C，构造函数()()e ln 2eg x f x x x x x =-+=-+，利用导数证明()0g x ≥即可；对D，利用导数判断极值点0x 的范围，即可得证.【详解】 ()0,x ∀∈+∞恒有()()xf x f x x'-=，2()()()1f x xf x f x x x x ''-⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，∴可设()ln f x x C x =+（其中C 为常数），又对任意的正数,m n 恒有()()()f mn nf m mf n mn =++，∴对任意的正数,m n 恒有()()()1f mn f m f n mn m n =++，∴()ln ln ln 1mn C m C n C +=++++，∴1C =-，()ln 1f x x x ∴=-，即()ln f x x x x =-，对于A，由上式可得()11f =-，故A 正确；对于B，()ln f x x'=，设切点为()()00,x f x ，则切线斜率为0ln k x =，()()0000000e ln ln ee f x f x x x x x x --∴==--，化简得00eln x x =，解0e x =，所以点()()e,e f 就是切点，所以切线方程为e y x =-，故B 错误；对于C，令()()e ln 2eg x f x x x x x =-+=-+，0x >，则()ln 1g x x '=-，令()0g x '>，可得e x >，()0g x '<，可得0e x <<，所以函数()g x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，()()e e ln e 2e e 0g x g ∴≥=-+=，所以()ef x x ≥-，对()0,x ∀∈+∞恒成立，故C 正确；对于D，设22()()ln p x f x x x x x x =+=-+，()ln 2p x x x ='+，()p x '在()0+∞，上单调递增，且12()10e e p =-+<'，(1)20p '=>，所以01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()p x 在()00,x 上单调递减，()p x 在()0,x +∞上单调递增，∴o x x =为函数()p x 的极小值点且满足00ln 20x x +=，01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()2000000003ln 2222(1)0o f x x x x x x x x x +=+=-+=->，故D 正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题属于导数的应用问题，难度较大.首先分析条件①，由导数的运算法则得2()()()f x xf x f x x x '-⎛⎫⎪⎝'= ⎭，可设()ln f x x C x =+，再由条件②，代入运算求得()ln f x x x x =-，再根据导数知识可依次判断各个选项得解.12．8π3【分析】根据题意，利用复数的几何意义，得到复数z 表示以(0,4)C 为圆心，以2为半径的圆C 的圆面，过原点O 作圆C 的切线，切点为,A B ，结合三角形和扇形的面积公式，即可求解.【详解】因为|4i |2z -≤，根据复数的几何意义，可得复数z 表示以(0,4)C 为圆心，以2为半径的圆C 的圆面，如图所示，过原点O 作圆C 的切线，切点为,A B ，在直角OBC △中，可得4,2OC BC ==，所以π3OCB ∠=，且OB =，所以2π3ACB ∠=，所以复数向量OZ 扫过的面积为2112π8π22(2π22233S =⨯⨯+⋅-⨯=.故答案为：8π3+.【分析】将题意转化为求曲线上一点到,22m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭距离最小值，通过求导求出点()1,1符合题意，进而求出答案.，即求曲线23lny x x=-上一点到,22m m⎛⎫-⎪⎝⎭距离最小值，又因为,22m m⎛⎫-⎪⎝⎭在直线y x=-上，所以当曲线与直线y x=-平行时，距离取得最小值，令321y xx'=-=-，解得1x=或32x=-（舍去），当1x=时，点()1,1到直线0x y+==，即所求曲线23lny x x=-上一点到,22m m⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用.关键点在于将所求式子进行化简，进而转化为距离问题，通过导数研究曲线即可.本题考查转化与化归能力、计算能力，属于中档题.14．【分析】作DH⊥直线AM于点H，连接PH，则翻折后D H AM'⊥，设DAHθ∠=，由2DA=，得2sinDHθ=，2cosAHθ=，设AP x=，则[0x∈，1]，根据条件得到222224cos cos()4cos4sin3PD x xπθθθθ'=--++，然后求出线段PD'长度的最小值．【详解】作DH⊥直线AM于点H，连接PH，则翻折后D H AM'⊥，平面AD M'⊥平面ABC，AM为两平面的交线，D H ∴'⊥平面ABC ，∴PD '设DAH θ∠=，由2DA =，得2sin DH θ=，2cos AH θ=，设AP x=，则[0x ∈，1]．由2AC CD DA ===知ACD 为正三角形，则23πBAD ∠=，∴23BAM πθ∠=-，在PAH 中，2222cos PH AP AH AP AH PAH =+-⋅⋅∠，即22224cos cos()4cos 3PH x x πθθθ=-+，∴222224cos cos()4cos 4sin 3PD x x πθθθθ'=--++，记22cos cos()3t πθθ=-，则222()4PD x t t '=-+-，由212cos cos()sin(2),03623t πππθθθθ=-=--< ，得112t -< ，又[0x ∈，1]，∴若10t -<<，则当0x =时，2'min ()4PD =；若102t，则当x t =时，22min 115()4444PD t '=--=，∴min ()PD '=．故答案为：152．15．(1)13(2)分布列见解析，数学期望为43【分析】（1）分甲乙全胜两种情况相加得结果；（2）利用分布列步骤求解并求得期望.【详解】（1）甲3局全胜的概率为1222833327P =⨯⨯=,乙3局全胜的概率为2111133327P =⨯⨯=，∴进行3局比赛决出冠亚军的概率为81127273P =+=（2）X 的可能取值为1，2，()213P X ==，()12111233333P X ==⨯+⨯=，故X 的分布列为：X12P2313故()21412333E X =⨯+⨯=．16．(1)5,2==-a b (2)证明见解析【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()()10,,f x a x ∞'+=+.将1x =代入63y x =-，解得3y =，即()13f =，由切线方程63y x =-，则切线斜率()16f '=.故3,16a b a +=+=，解得5,2==-a b .（2）证明：由（1）知()ln 52f x x x =+-，从而()35f x x >-等价于23ln 525x x x x >-+-.设函数()ln g x x x=，则()1ln g x x='+.所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0g x '<，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>.故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()g x 在()0,∞+上的最小值为11e e g ⎛⎫=-⎪⎝⎭.设函数()22312525555h x x x x ⎛⎫=-+-=---⎪⎝⎭，从而()h x 在()0,∞+上的最大值为12155e h ⎛⎫=-<-⎪⎝⎭.故()()>g x h x ，即()35f x x >-.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意证明ON ⊥面PMB ，得到ON PB ⊥，再结合线面垂直的判定定理得证；（2）根据题意建立空间直角坐标系，结合线面角的空间向量计算公式进行求解即可.【详解】（1）连接,,,AM OM MN PN ，因为,M N 依次是底面AB 上的两个三等分点，所以四边形OMNB 是菱形，设MB ON Q ⋂=，则Q 为ON 中点，且ON MB ⊥，又因为,60OP ON PON ==︒∠，故OPN 是等边三角形，连接PQ ，则ON PQ ⊥，又因为,MB PQ ⊂面PMB ，MB PQ Q ⋂=，所以ON ⊥面PMB ，因为PB ⊂面PMB ，所以ON PB ⊥，因为,M N 依次是底面AB 上的两个三等分点，所以//ON AM ，所以AM PB ⊥，又因为AB 是半球O 的直径，P 是半球面上一点，所以PB PA ⊥，因为,AM PA ⊂面PAM ，AM PA A ⋂=，所以PB ⊥面PAM ，又因为PM ⊂面PAM ，所以PB PM⊥（2）因为点P 在底面圆上的射影为ON 中点，所以PQ ⊥面AMB ，因为,QM QN ⊂面AMB ，所以,PQ QM PQ QN ⊥⊥，又因为QM QN ⊥，所以以{},,QM QN QP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()),,,2,0P M B A-，所以(),2,,2,0PM PA BA ==-=-，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则2020n PA y n BA y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则()1n =- ，设直线PM 与平面PAB 所成角为π02θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则sin cos ,PM n PM n PM nθ⋅==⋅ 所以直线PM 与平面PAB 所成角的正弦值为10518．(1)证明见解析(2)0(3)存在14m =【分析】（1）设()()()001122,,,,,E x y A x y B x y ，由题意可证得点A，B 都在直线0014x xy y -=上，直线l 过点(4,0)M ，可得01x =，即可证明点E 恒在定直线:1L x =上．（2）法一：设()31,N y ，由AN MA λ= 可得1311411x y y λλλ+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将其带入双曲线方程可得22312430y λ--=，同理可得22312430y μ--=，由根与系数的关系可得0λμ+=．法二：由题意知，设l 的方程：(4)y k x =-，联立直线与双曲线的方程，设()31,N y ，由AN MA λ=可得1114x x λ-=-，同理2214x x μ-=-，将韦达定理代入λμ+即可得出答案.（3）设:4l x ty =+，与22:14x C y -=联立，设()()121,,1,P y Q y ，表示出123,,S S S ，将韦达定理代入化简即可得出答案.【详解】（1）证明：设()()()001122,,,,,E x y A x y B x y ，由题意得：切线EA 的方程为：1114x xy y -=，将点E 带入得：101014x x y y -=，同理可得：202014x x y y -=，易知点A，B 都在直线0014x x y y -=上，所以直线l 的方程为：0014x xy y -=，因为直线l 过点(4,0)M ，所以01x =，所以点E 恒在定直线:1L x =上．（2）法一：设()31,N y ，因为AN MA λ=，所以()1131114,,x x y y y λλ⎧-=-⎨-=⎩整理得13114,11x y y λλλ+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因为点()11,A x y 在双曲线上，所以223141141y λλλ+⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-= ⎪+⎝⎭，整理得22312430y λ--=，同理可得22312430y μ--=，所以，,λμ是关于x 的方程22312430x y --=的两个实根，所以0λμ+=．法二：由题意知，l 的斜率存在，设l 的方程：(4)y k x =-，联立()22414y k x xy ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得：()()222214326440k x k x k -+-+=，()()()2222Δ324146440kk k=+-+>所以2212122232644,4141k k x x x x k k ++==--，设()31,N y ，因为AN MA λ=，所以()1114x x λ-=-，所以1114x x λ-=-，同理2214x x μ-=-，所以()()1212121212122581144416x x x x x x x x x x x x λμ-++---+=+=---++22222212881603286441286416k k k k k k --+-+==+-+-.（3）设:4l x ty =+，与22:14x C y -=联立得：()2248120ty ty -++=，121222812,44ty y y y t t +=-=--，因为直线L 的方程为1x =，所以()()121,,1,P y Q y ，所以11111111113222S AP y x y ty y =⋅=-⋅=+⋅，同理222312133,22S ty y S y y =+⋅=-，所以()()2222221212121222231222121224193944414948489444t t y y t y y t y y t t t S S m S t y y t t ⋅⋅-+⋅+++---====⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故存在14m =，使得212314S S S =．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．(1)n a =D 数列，2n n a =不是D 数列，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）代入定义计算即可得；（2）借助题目条件，借助放缩将等式转换为不等式后结合数列的函数性质即可得；（3）由题意将11ni ia =∑表示出来后，使用放缩技巧，通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与11ni i a =∑有关不等式即可证明.【详解】（1）n a =D 数列，2n n a =不是D 数列，理由如下：当n a =2n a n =，211n a n +=+，则22111n n a a n n +-=+-=，故是D 数列；当2nn a =时，222n n a =，22212n n a ++=，则22222212232n n n n n a a ++-=-=⨯，故不是D 数列；（2）若{}n a 是D 数列，则0n a >且221n n a a d +-=，此时数列{}2na 是以21a为首项，d 为公差的等差数列，故()2121na n da=+-，当0d<时，则总存在正整数n，使()2110a n d+-<，与na>矛盾，故0d>恒成立，221n na a d+-=>，有()()21211na n d n da=+->-，1221na nd nda+=+>，即na>+1na>+1n na a=+>+则1+1n n nn ndb a aa a+=-=<=+n的增大而增大，故总存在正整数n1<，即数列{}nb中存在小于1的项；（3）由（2）得()2121na n da=+-，故na=即1na=2>=2d=，则112ni ia d=>+∑)12da=1a随n的增大而增大，且+n→∞时，)12+da→∞，故对任意的0d>，总存在正整数n使)122024ad>，即总存在正整数n，使得112024ni ia=>∑.【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与11ni ia=∑有关不等式.21。

2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230,A x x x =+-≤{}2B xx =<，则A B =IA ．{}31x x -≤≤B ．{}01x x ≤≤ C ．{}31x x -≤< D ．{}10x x -≤≤【答案】B【解析】先化简集合A,B ，再求得解.【详解】{}{}31,04A x x B x x =-≤≤=≤<,所以A B =I {}01x x ≤≤. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．设复数z ＝213ii-+，则|z |＝（ ） A ．13B ．23C ．12D ．22【答案】D【解析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】 解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z |22171010⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭501001222. 故选：D . 【点睛】3．在等差数列{a n }中，若a 3＝5，S 4＝24，则a 9＝（ ） A ．﹣5 B ．﹣7 C ．﹣9 D ．﹣11【答案】B【解析】由a 3＝5，S 4＝24用通项公式和前n 项和公式列出关于1a ,d 的方程，得到{}n a 的通项公式，从而求出答案. 【详解】数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝5，S 4＝24， ∴a 1+2d ＝5，4a 1+432⨯d ＝24， 联立解得a 1＝9，d ＝﹣2， 则a 9＝9﹣2×8＝﹣7． 故选：B . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题.4．已知幂函数()f x ＝x α的图象经过点 （3，5），且a ＝（1e）α，b c ＝log α14，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜a ＜b B ．a ＜c ＜bC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a【答案】A【解析】先由条件求出幂函数f （x ）＝x α中的α的值，再结合指数、对数函数的单调性比较,,a b c 的大小即可. 【详解】解：∵幂函数f （x ）＝x α的图象经过点 （3，5）， ∴3α＝5，∴α＝log 35∈（1，2），∴0＜a ＝1ae ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，b 1，c ＝log α14＜log α1＝0， ∴c ＜a ＜b ． 故选：A.本题主要考查应用指数函数、对数函数的单调性比较大小,属于基础题.5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户 【答案】D【解析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案. 【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%， 则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A 正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B 正确， 该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C 正确， 该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D 错误． 故选：D . 【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.6．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足OA u u u r ＝1，OB u u u r＝2，点C 为线段AB 的中点，若OC u u u r3AOB ＝（ ）A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】点C 为线段AB 的中点,在OAB V 中，则OA OBOC +=u u u r u u u r u u u r , 将两边平方结合向量数积的定义得到答案. 【详解】解：点C 为线段AB 的中点,在OAB V 中，则2OA OBOC +=u u u r u u u r u u u r ,两边平方得： 22224OA OA OB OB OC +⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 由OA u u u r ＝1，OB u u u r ＝2，OC u u u r 3OA u u u r ，OB uuu r 的夹角为AOB ∠即31+4+212cos =44AOB ⨯⨯⨯∠，解得：1cos 2AOB ∠=-.又,[0]AOB π∠∈，，所以2=3AOB π∠. 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算，本题还可以用余弦定理求解,属于中档题.7．8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 2y 2项的系数是（ ） A ．420 B ．﹣420C ．1680D ．﹣1680【答案】A【解析】由题意根据乘方的意义，组合数的计算公式，求得展开式中x 2y 2项的系数. 【详解】解：8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示8个因式1+22y x -的乘积，要得到展开式中含x 2y 2的项，则 故其中有2个因式取2x ，有2个因式取﹣y 2， 其余的4个因式都取1，可得含x 2y 2的项．故展开式中x 2y 2项的系数是28C •22•26C •212⎛⎫- ⎪⎝⎭•44C ＝420，本题主要考查乘方的意义，组合数的计算公式，属于基础题.8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A ．1003B ．1043C ．27D ．18【答案】B【解析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解. 【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2， 所以几何体体积1104(436436)233V =++⨯⨯=. 故选B 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .因为22|sin()||sin|22()66()1()1x xf x f xx x--=-=-=+-+,所以函数()f x为偶函数,图象关于y轴对称,故可以排除C;因为2|sin|242()61111fπππππ=-=-++11101122<-=-=+,故排除B,因为2|sin|22()2()621()2fππππ=-=+426164ππ-+42616444>-+46662425=->-=-=由图象知,排除D.故选:A【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,1111x yA x y x y x yx⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(,)∈x y A，则2z x y=+的取值范围是()A．[25-5] B．[25-25]C．[5-25] D．[4-，25]【答案】C【解析】结合图形，平移直线2z x y=+，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．如图，作直线20x y +=，当直线上移与圆22(1)1y x +-=相切时，2z x y =+取最大值，此时，圆心(0,1)到直线2z x y =+的距离等于1，即15=，解得z 的最大值为：25+，当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值，同理25=，即z 的最小值为：25-，所以[25,25]z ∈-+．故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．11．关于函数()f x ＝|cosx |+cos |2x |有下列四个结论：①()f x 是偶函数；②π是()f x 的最小正周期；③()f x 在[34π，54π]上单调递增；④()f x 的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】由二倍角的余弦公式和余弦函数的性质，化简()f x ，由()()f x f x =-，可判断①；可令|cos |t x =，可得2()21g t t t =+-，由函数的周期性可判断②；由|cos |y x =的单调性，结合复合函数的单调性可判断③；由二次函数的单调性可判断④． 【详解】解：f （x ）＝|cosx |+cos |2x |＝|cosx |+2cos 2|x |﹣1，由cos |x |＝cosx ，可得()f x ＝|cosx |+2cos 2x ﹣1＝2|cosx |2+|cosx |﹣1，由(-)f x ＝22|cos()||cos()|1()x x f x -+--=，则()f x 为偶函数，故①正确；可令t ＝|cosx |，可得2g()21t t t =+-，由y ＝|cosx |的最小正周期π，可得()f x 的最小正周期为π，故②正确； 由y ＝cosx 在[﹣2π，0]递增，在[0，2π]递减，可得f （x ）在[34π，π]递增，在[π，54π]递减，故③错误；由t ∈[0，1]，219g()2()48t t =+-，可得g()t 在[0，1]递增，则g()t 的值域为[﹣1，2]，故④错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查函数的周期性和奇偶性、值域的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推，若该数列前n 项和N 满足：①80N >②N 是2的整数次幂，则满足条件的最小的n 为A ．21B ．91C ．95D ．10【答案】C【解析】构造数列{}m b ()m N *∈，使得：012b =，0122+2b =，01232+2+2b =，...，01212+2+2...2m m b -=++，求出数列{}m b 的前m 项和，根据题意可表示出原数列n 与m 的关系，以及原数列前n 和与数列{}m b 的前m 项和的关系，讨论出满足条件的n 的最小值即可。

12019~2020学年度临川二中高三第一次考试数学试卷（理）命题人：王晶 考试时间：120分钟一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．已知集合2{|230}A x x x =+−≤，{|2}B x x =<，则A B =（ ）A ．{|31}x x −≤≤B ．{|01}x x ≤≤C ．{|31}x x −≤<D ．{|10}x x −≤≤ 2． 设复数213iz i−=+，则z =（ ） A ．13B ．23 C ．12 D ．223．在等差数列{}n a 中，若35a =，424S =，则9a =（ ）A ．5−B ．7−C ．9−D ．11−4．已知幂函数()f x x α=的图象经过点(3,5)，且1()a eα=，b =α，1log 4c α=，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制成下图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A ．该市总有15000户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户 6．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足||1OA =，||2OB =，点C 为线段AB 的中点，若3||2OC =，则∠=AOB （ ）A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π 7． 8(12)2y x +−的展开式中22x y 项的系数是（ ） A ．420 B ．420− C ．1680D ．1680−8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A ．0031 B ．1043C ．27D ．1829．函数2sin 2()61xf x x=+的图象大致为（ ）10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为2222224(,)|(1)1(1)10x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪=++≥+−≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭或，设点(,)x y A ∈，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[25,25]−B ．[25,25]−C ．[25,25]−D ．[4,25]−11．关于函数()cos cos 2f x x x =+有下列四个结论：○1 ()f x 是偶函数；○2π是()f x 的最小正周期；○3()f x 在35[,]44ππ上单调递增；○4()f x 的值域为[2,2]−．上述结论中，正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的亮相是012,2，再接下来的三项是012222，，，依此类推，若该数列前n 项和N 满足：○180N >；○2N 是2的整数次幂，则满足条件的最小的n 为（ ） A ．21 B ．91 C ．95 D ．101二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若椭圆C 的方程为22134x y +=，则其离心率为 ．14．设某总体是由编号为01，02，，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为__________．1818 079245441716580979838617第1行 6206765003105523640505266238第2行2020届江西省抚州市临川二中2017级高三上学期第一次月考数学（理）试卷315．已知点(0,1)A ，抛物线C ：2(0)y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA 与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:2FM MN =，则实数a 的值为 ．16．已知四棱锥S ABCD −的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E ．若33SA AB ==，则SED ∆面积的最小值为 ．三、 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且22()a b c ab −=−． （1）求角C ； （2）若4cos()sin 02c A b C π++=，且1a =，求ABC ∆的面积． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC −中，3AC BC =，2AB BC =，D 为线段AB 上一点，且3AD DB =，PD ⊥平面ABC ，PA 与平面ABC 所成的角为45︒．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）求二面角P AC D −−的平面角的余弦值．19．（本小题满分12分）已知椭圆C ：2214x y +=，不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．（1）若线段MN 的中点坐标为1(1,)2，求直线l 的方程；（2）若直线l 过点(,0)P p ，点(,0)Q q 满足0QM QN k k +=，求pq 的值．2020届江西省抚州市临川二中2017级高三上学期第一次月考数学（理）试卷420．（本小题满分12分）某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A ，B ，C ，D 四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为A B C D x x x x ，家长猜测的序号依次为A B C D y y y y ，其中A B C D x x x x 和A B C D y y y y 都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量2222()()()()A A B B C C D D X x y x y x y x y =−+−+−+−，用X 来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率； （ⅱ）求X 的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足4X <，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数()ln()f x ax b x =+−（,,0a b R ab ∈≠）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≤恒成立，求(1)a e b −的最大值．（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．22． (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()13πρθ+=． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）已知点(2,0)M ，若直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求11MP MQ+的值．§23．（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲已知,,x y z 均为正数．（1）若1xy <，证明：4x z y z xyz +⋅+>；（2）若13xyz x y z =++，求222xy yz xz ⋅⋅的最小值．2020届江西省抚州市临川二中2017级高三上学期第一次月考数学（理）试卷。

江西省临川二中2019届高三年级第一次月考数学试题答案（文科）一、选择题1—5 CDCBB 6—10 DCBAC二、填空题11.20x y ++= 12.910π 14.[)1,7- 15.5 三、解答题16. （1）由已知//BC AC ，即有()24320k -⨯-⨯=，得12k =； （6分） （2）(),1AB AC BC k =-=，由已知AB BC ⊥，即有0AB BC ⋅=，得 ()230k k -+=，13k =-或. （12分）17. ()212x y a =+-. （2分） 当1a >，由11x -≤≤，知1x a a a≤≤.因为max 14y =，故()21214a +-=，即3a = （7分）当01a <<，则211214a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得13a =. 综上所述，133a =或. （12分）18.()21cos 21sin sin 2sin(2)262x f x x x x x x ωπωωωωω-=+=+=-+ （1）由已知22T ππω==，即有1ω=； （6分） （2）由已知方程1sin(2)62x a π-=-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数根，等价于函数sin(2)6y x π=-的图象与直线12y a =-只有一个交点，画图可得， 111222a -≤-<或者112a -=，即有3012a a ≤<=或. （12分）19.（1）有已知22224sin cos 2sin cos 2sin 0B B B B B +-=，即22sin (cos 1)(2cos 1)0B B B +-=，则2cos 10B -=，3B π=. （6分）（2）222cos cos 602a c b B ac +-==，即 ()()()()2222231344b a c ac a c a c a c =+-≥+-+=+， 所以 ()236a c +≤，()max 6a c +=. （12分）20.（1）⇔>+-033x x x ＜–3或x ＞3.由于()f x 的定义域为[]β,α，则3α>. 设12x x βα≥>≥，有0)3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x ， 故当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数. （4分）（2）若()f x 在[]β,α上的值域为()()[]1αlog ,1βlog --m m m m由（1）知当0＜m ＜1时，f (x )为减函数. 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1α(log 3α3αlog )α()1β(log 3β3βlog )β(m f m f m m m m 即22(21)3(1)0(21)3(1)0m m m m m m ββαα⎧+---=⎪⎨+---=⎪⎩又3βα>> 即,αβ为方程2(21)3(1)0mx m x m +---=的大于3的两个不同的实数根. 从而2011616102132(3)0m m m m m f <<⎧⎪∆=-+>⎪⎪⎨-->⎪⎪>⎪⎩得0m <<.故当204m -<<时，存在满足题意条件的,αβ. （13分）21.（1）依题意，知()f x 的定义域为()0,+∞. 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， ()111(2)(1)222x x f x x x x-+-'=--=，令()0f x '=，解得12x x ==-或（舍去）. 当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以()()max 314f x f ==-. （3分） （2）(]()ln ,0,3a F x x x x=+∈，则有21()2x a k F x x -'==≤在(]0,3上恒成立， 所以2max 12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，即有12a ≥. （6分） （3）当0,1a b ==-时，()ln f x x x =+，因为方程()22mf x x =有唯一实数解，即22ln 20x m x mx --=有唯一实数解.设()22ln 2g x x m x mx =--，则2222()x mx m g x x--'=.令()0g x '=，得20x mx m --=.因为0,0m x >>，所以1x =（舍去），2x =()g x 在()20,x 单调递减，在()2,x +∞单调递增.当2x x =时，()20g x '=，()g x 取得最小值()2g x . 因为()0g x =有唯一解，所以()20g x =.则()()2200g x g x =⎧⎪⎨'=⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，所以222ln 0m x mx m +-=， 因为0m >，所以222ln 10x x +-=. 令()2ln 1h x x x =+-，2()1h x x '=+， 知()h x 为增函数，又()10h =，所以方程222ln 10xx +-=的解为21x =， 即12m =，解得12m =. （14分）。

2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若直线3x +2y−3=0和直线6x +my +1=0互相平行，则m 的值为( )A. −9B. 32C. −4D. 42.若两个非零向量a ，b 的夹角为θ，且满足|a |=2|b |，(a +3b )⊥a ，则cosθ=( )A. −23B. −13C. 13D. 233.已知直线3x−(a−2)y−2=0与直线x +ay +8=0互相垂直，则a =( )A. 1B. −3C. −1或3D. −3或14.为了得到函数y =sin (5x +π3)的图象，只要将函数y =sin5x 的图象( )A. 向左平移π15个单位长度 B. 向右平移π15个单位长度C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度5.过点(3,−2)且与椭圆4x 2+9y 2−36=0有相同焦点的椭圆方程是( )A. x 215+y 210=1 B. x 25+y 210=1 C. x 210+y 215=1 D. x 225+y 210=16.已知圆的方程为x 2+y 2−2x =0，M(x,y)为圆上任意一点，则y−2x−1的取值范围是( )A. [− 3,3]B. [−1,1]C. (−∞,− 3]∪[3,+∞)D. [1,+∞)∪(−∞,−1]7.已知圆C ：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m ，0)，B(m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB =90°，则m 的最大值为 ( )A. 7B. 6C. 5D. 48.已知向量a ，b 满足|a |=1，|2a +b |+|b |=4，则|a +b |的取值范围是( )A. [2−3,2]B. [1,3]C. [2− 3,2+3]D. [3,2]二、多选题：本题共3小题，共18分。

2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230,A x x x =+-≤{}2B =<，则A B =A ．{}31x x -≤≤B ．{}01x x ≤≤ C ．{}31x x -≤< D ．{}10x x -≤≤【答案】B【解析】先化简集合A,B ，再求得解.【详解】{}{}31,04A x x B x x =-≤≤=≤<,所以A B ={}01x x ≤≤.故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．设复数z ＝213ii-+，则|z |＝（ ）A ．13B ．3C ．12D ．2【答案】D【解析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】 解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z |2. 故选：D . 【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.3．在等差数列{a n }中，若a 3＝5，S 4＝24，则a 9＝（ ） A ．﹣5 B ．﹣7 C ．﹣9 D ．﹣11【答案】B【解析】由a 3＝5，S 4＝24用通项公式和前n 项和公式列出关于1a ,d 的方程，得到{}n a 的通项公式，从而求出答案. 【详解】数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝5，S 4＝24， ∴a 1+2d ＝5，4a 1+432⨯d ＝24， 联立解得a 1＝9，d ＝﹣2， 则a 9＝9﹣2×8＝﹣7． 故选：B . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题.4．已知幂函数()f x ＝x α的图象经过点 （3，5），且a ＝（1e）α，b c ＝log α14，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜a ＜b B ．a ＜c ＜b C ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a【答案】A【解析】先由条件求出幂函数f （x ）＝x α中的α的值，再结合指数、对数函数的单调性比较,,a b c 的大小即可. 【详解】解：∵幂函数f （x ）＝x α的图象经过点 （3，5），∴3α＝5，∴α＝log 35∈（1，2），∴0＜a ＝1ae ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，b 1，c ＝log α14＜log α1＝0， ∴c ＜a ＜b ． 故选：A. 【点睛】本题主要考查应用指数函数、对数函数的单调性比较大小,属于基础题.5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户 【答案】D【解析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案. 【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%， 则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A 正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B 正确， 该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C 正确， 该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D 错误． 故选：D . 【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.6．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足OA ＝1，OB ＝2，点C 为线段AB 的中点，若OC AOB ＝（ ） A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】点C 为线段AB 的中点,在OAB 中，则2OA OBOC +=, 将两边平方结合向量数积的定义得到答案. 【详解】解：点C 为线段AB 的中点,在OAB 中， 则2OA OBOC +=,两边平方得： 22224OA OA OB OB OC +⋅+=,由OA ＝1，OB ＝2，OC OA ，OB 的夹角为AOB ∠ 即31+4+212cos =44AOB ⨯⨯⨯∠，解得：1cos 2AOB ∠=-.又,[0]AOB π∠∈，，所以2=3AOB π∠. 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算，本题还可以用余弦定理求解,属于中档题.7．8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 2y 2项的系数是（ ） A ．420 B ．﹣420 C ．1680 D ．﹣1680【答案】A【解析】由题意根据乘方的意义，组合数的计算公式，求得展开式中x 2y 2项的系数.【详解】解：8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示8个因式1+22y x -的乘积， 要得到展开式中含x 2y 2的项，则故其中有2个因式取2x ，有2个因式取﹣y 2， 其余的4个因式都取1，可得含x 2y 2的项．故展开式中x 2y 2项的系数是28C •22•26C •212⎛⎫- ⎪⎝⎭•44C ＝420，故选：A ．【点睛】本题主要考查乘方的意义，组合数的计算公式，属于基础题.8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A ．1003B ．1043C ．27D ．18【答案】B【解析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解. 【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436233V =+⨯=. 故选B 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．函数2|sin |()6x f x = ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A . 【详解】因为22|sin()||sin|()66()x xf x f x--==-=,所以函数()f x为偶函数,图象关于y轴对称,故可以排除C;因为2|sin|()61fππ==1110<=-=,故排除B,因为2|sin|2()()62fπππ==66>4666242=>-=-=由图象知,排除D.故选:A【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,1111x yA x y x y x yx⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(,)∈x y A，则2z x y=+的取值范围是()A．[2-B．[-C．[-2 D．[4-，2【答案】C【解析】结合图形，平移直线2z x y=+，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．【详解】如图，作直线20x y+=，当直线上移与圆22(1)1yx+-=相切时，2z x y=+取最大值，此时，圆心(0,1)到直线2z x y =+的距离等于11=，解得z 的最大值为：2，当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值，2=，即z 的最小值为：-所以[z ∈-．故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．11．关于函数()f x ＝|cosx |+cos |2x |有下列四个结论：①()f x 是偶函数；②π是()f x 的最小正周期；③()f x 在[34π，54π]上单调递增；④()f x 的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】由二倍角的余弦公式和余弦函数的性质，化简()f x ，由()()f x f x =-，可判断①；可令|cos |t x =，可得2()21g t t t =+-，由函数的周期性可判断②；由|cos |y x=的单调性，结合复合函数的单调性可判断③；由二次函数的单调性可判断④． 【详解】解：f （x ）＝|cosx |+cos |2x |＝|cosx |+2cos 2|x |﹣1，由cos |x |＝cosx ，可得()f x ＝|cosx |+2cos 2x ﹣1＝2|cosx |2+|cosx |﹣1，由(-)f x ＝22|cos()||cos()|1()x x f x -+--=，则()f x 为偶函数，故①正确；可令t ＝|cosx |，可得2g()21t t t =+-，由y ＝|cosx |的最小正周期π，可得()f x 的最小正周期为π，故②正确； 由y ＝cosx 在[﹣2π，0]递增，在[0，2π]递减，可得f （x ）在[34π，π]递增，在[π，54π]递减，故③错误；由t ∈[0，1]，219g()2()48t t =+-，可得g()t 在[0，1]递增，则g()t 的值域为[﹣1，2]，故④错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查函数的周期性和奇偶性、值域的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推，若该数列前n 项和N 满足：①80N >②N 是2的整数次幂，则满足条件的最小的n 为A ．21B ．91C ．95D ．10【答案】C【解析】构造数列{}m b ()m N *∈，使得：012b =，0122+2b =，01232+2+2b =，...，01212+2+2...2m m b -=++，求出数列{}m b 的前m 项和，根据题意可表示出原数列n 与m 的关系，以及原数列前n 和与数列{}m b 的前m 项和的关系，讨论出满足条件的n 的最小值即可。

2020届江西省抚州市临川第二中学 高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230,A x x x =+-≤{}2B xx =<，则A B =IA ．{}31x x -≤≤B ．{}01x x ≤≤ C ．{}31x x -≤< D ．{}10x x -≤≤【答案】B【解析】先化简集合A,B ，再求得解.【详解】{}{}31,04A x x B x x =-≤≤=≤<,所以A B =I {}01x x ≤≤. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．设复数z ＝213ii-+，则|z |＝（ ） A ．13B ．23C ．12D ．22【答案】D【解析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】 解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z |22171010⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭501001222.故选：D . 【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.3．在等差数列{a n }中，若a 3＝5，S 4＝24，则a 9＝（ ） A ．﹣5 B ．﹣7 C ．﹣9 D ．﹣11【答案】B【解析】由a 3＝5，S 4＝24用通项公式和前n 项和公式列出关于1a ,d 的方程，得到{}n a 的通项公式，从而求出答案. 【详解】数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝5，S 4＝24， ∴a 1+2d ＝5，4a 1+432⨯d ＝24， 联立解得a 1＝9，d ＝﹣2， 则a 9＝9﹣2×8＝﹣7． 故选：B . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题.4．已知幂函数()f x ＝x α的图象经过点 （3，5），且a ＝（1e）α，b ，c ＝log α14，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜a ＜b B ．a ＜c ＜b C ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a【答案】A【解析】先由条件求出幂函数f （x ）＝x α中的α的值，再结合指数、对数函数的单调性比较,,a b c 的大小即可. 【详解】解：∵幂函数f （x ）＝x α的图象经过点 （3，5）， ∴3α＝5，∴α＝log 35∈（1，2），∴0＜a ＝1ae ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，b 1，c ＝log α14＜log α1＝0， ∴c ＜a ＜b ． 故选：A. 【点睛】本题主要考查应用指数函数、对数函数的单调性比较大小,属于基础题.5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户 【答案】D【解析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案. 【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%， 则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A 正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B 正确， 该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C 正确， 该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D 错误． 故选：D . 【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.6．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足OA u u u r ＝1，OB u u u r＝2，点C 为线段AB 的中点，若OC u u u r3AOB ＝（ ）A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】点C 为线段AB 的中点,在OAB V 中，则2OA OBOC +=u u u r u u u r u u u r , 将两边平方结合向量数积的定义得到答案. 【详解】解：点C 为线段AB 的中点,在OAB V 中，则2OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r ,两边平方得：22224OA OA OB OB OC +⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 由OA u u u r ＝1，OB u u u r ＝2，OC u u u r 3OA u u u r ，OB uuu r 的夹角为AOB ∠即31+4+212cos =44AOB ⨯⨯⨯∠，解得：1cos 2AOB ∠=-.又,[0]AOB π∠∈，，所以2=3AOB π∠.故选：C ． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算，本题还可以用余弦定理求解,属于中档题.7．8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 2y 2项的系数是（ ） A ．420 B ．﹣420C ．1680D ．﹣1680【答案】A【解析】由题意根据乘方的意义，组合数的计算公式，求得展开式中x 2y 2项的系数. 【详解】解：8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示8个因式1+22y x -的乘积，要得到展开式中含x 2y 2的项，则 故其中有2个因式取2x ，有2个因式取﹣y 2， 其余的4个因式都取1，可得含x 2y 2的项．故展开式中x 2y 2项的系数是28C •22•26C •212⎛⎫- ⎪⎝⎭•44C ＝420，故选：A ．本题主要考查乘方的意义，组合数的计算公式，属于基础题.8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A ．1003B ．1043C ．27D ．18【答案】B【解析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解. 【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2， 所以几何体体积1104(436436)233V =++⨯⨯=. 故选B 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .因为22|sin()||sin|22()66()1()1x xf x f xx x--=-=-=+-+,所以函数()f x为偶函数,图象关于y轴对称,故可以排除C;因为2|sin|242()61111fπππππ=-=-++11101122<-=-=+,故排除B,因为2|sin|22()2()621()2fππππ=-=+426164ππ-+42616444>-+46662425=->-=-=由图象知,排除D.故选:A【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,1111x yA x y x y x yx⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(,)∈x y A，则2z x y=+的取值范围是()A．[25--，5]B．[5-5]C．[25-25]+ D．[4-，25]+【答案】C【解析】结合图形，平移直线2z x y=+，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．如图，作直线20x y +=，当直线上移与圆22(1)1y x +-=相切时，2z x y =+取最大值，此时，圆心(0,1)到直线2z x y =+的距离等于1，即15=，解得z 的最大值为：25+，当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值， 同理25=，即z 的最小值为：25-，所以[25,25]z ∈-+．故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．11．关于函数()f x ＝|cosx |+cos |2x |有下列四个结论：①()f x 是偶函数；②π是()f x 的最小正周期；③()f x 在[34π，54π]上单调递增；④()f x 的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】由二倍角的余弦公式和余弦函数的性质，化简()f x ，由()()f x f x =-，可判断①；可令|cos |t x =，可得2()21g t t t =+-，由函数的周期性可判断②；由|cos |y x =的单调性，结合复合函数的单调性可判断③；由二次函数的单调性可判断④． 【详解】解：f （x ）＝|cosx |+cos |2x |＝|cosx |+2cos 2|x |﹣1，由cos |x |＝cosx ，可得()f x ＝|cosx |+2cos 2x ﹣1＝2|cosx |2+|cosx |﹣1，由(-)f x ＝22|cos()||cos()|1()x x f x -+--=，则()f x 为偶函数，故①正确；可令t ＝|cosx |，可得2g()21t t t =+-，由y ＝|cosx |的最小正周期π，可得()f x 的最小正周期为π，故②正确； 由y ＝cosx 在[﹣2π，0]递增，在[0，2π]递减，可得f （x ）在[34π，π]递增，在[π，54π]递减，故③错误； 由t ∈[0，1]，219g()2()48t t =+-，可得g()t 在[0，1]递增，则g()t 的值域为[﹣1，2]，故④错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查函数的周期性和奇偶性、值域的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推，若该数列前n 项和N 满足：①80N >②N 是2的整数次幂，则满足条件的最小的n 为A ．21B ．91C ．95D ．10【答案】C【解析】构造数列{}m b ()m N *∈，使得：012b =，0122+2b =，01232+2+2b =，...，01212+2+2...2m m b -=++，求出数列{}m b 的前m 项和，根据题意可表示出原数列n 与m 的关系，以及原数列前n 和与数列{}m b 的前m 项和的关系，讨论出满足条件的n 的最小值即可。

2024学年江西省临川第二中学高三高考模拟训练评估卷（5）数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线()220y px p =>经过点()2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．22B ．24C ．22D ．22-2．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ） A 11B 37C ．10D 434．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ）A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π5．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设()f x x =，点()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 8．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．9．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．1610．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]11．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．112．已知O 为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且10sin 10m α=，则sin 2α=( ) A ．45B ．35C ．35D ．45-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

临川一中高三10月月考文科数学试题一，选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{2,0}x M y y x ==>，{N y y ==，则M N 等于( )A ．∅B ．{1}C ．{1}y y >D ．{1}y y ≥ 2.设复数21z i=+(其中i 为虚数单位)，则z 等于( ) A 12i - B. 12i + C.2i - D.2i 3. 下列说法正确的是 ( )A ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．若0:p x ∃∈R ，2010x x -->，则:p ⌝x ∀∈R ，210x x --< C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠” 4. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ）A ． [1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]5. 把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4π=x6. 如图，已知,AB AC ==a b ，4,3BC BD CA CE ==，则DE =（）A ．3143-b a B ．53124-a b C. 3143-a b D ．53124-b a7.下列关系式中正确的是 （ ）A 000sin11cos10sin168<<．B ．000sin168sin11cos10<<C ．000sin11sin168cos10<<D ．000sin168cos10sin11<<8. 在△ABC 中，若,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==为BC 边的三等分点，则AE AF ⋅=（ ）A ．109B. 89 C ． 269 D ． 2599．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12345b b b b b a a a a a ++++=（ ）A.26B.36C.46D.56 10.已知函数()2,0ln ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则下列关于()2y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数判别正确的是（ ）A.当0k <时，有3个零点 B.当0k =时，有无数个零点 、 C.当0k >时，有3个零点 D.无论k 取何值，都有4个零点11.函数()f x 的定义域为R ，(-2)=2018f ，对任意的x R ∈，都有()2f x x '<成立，则不等式2()2014f x x <+的解集为（ ） A ．（-2，+∞） B. （-2,2） C.（-∞，-2）D.（-∞，+∞）12. 已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意的x R ∈，都有()1x f f x e ⎡⎤-=⎣⎦ ，则函数．．()()()()()f x f xg x f x f x +-=--的图像大致是 （ ），二．填空题（本题共4小题，共20分.把答案填写在题中的横线上） 13.))4f(,4(,tan 2)(ππ在x x f +=处的切线方程14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若sin 2sin A B =，且a b +=，则角C 的大小为 ． 15．已知平面向量,a b ，2a =，13b a =，1432a b -=，则a 与b 的夹角为 _______16.已知函数3sin(4)33y x π=+-, 且 a m (=）f , 则=）m -3(πf _______三、解答题：（共6小题，共70分)17、（本小题满分10分）已知：a ＞0且a ≠1.设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围．18. (本小题满分12分)在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足C A BA b c a sin sin sin sin --=+． （I ）求角C ； （II ）求cba +的取值范围．19．(本小题满分12分)下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a 11=1，a 23=14，a 32=16； a 11 a 12 a 13 …a 1n a 21 a 22 a 23 …a 2n …a n1 a n2 a n3 …a nm（1）求数列{a n1}的通项公式； （2）设b n =，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n ＜m 2-7m 对一切n ∈N *都成立，求最小的正整数m 的值．20. (本小题满分12分) 设函数的图象过点．（1）求的解析式；（2）已知，求的值； （3）若函数的图象与图象关于轴对称，求函数的单调区间.21. (本小题满分12分) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为55，短轴长为4，F 1、F 2为椭圆左、右焦点，点B 为下顶点．（1）求椭圆C 的标准方程（2）点P (x 0, y 0)是椭圆C 上第一象限的点．① 若M 为线段BF 1上一点，且满足→PO ＝6·→OM ，求直线OP 的斜率② 设点O 到直线PF 1，,PF 2的距离分别为d 1、d 2， 求证：y 0d 1＋y 0d 2为定值，并求出该定值．22.(本小题满分12分)已知函数21()ln 22f x x ax x =--. （Ⅰ）若函数()f x 在2x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）若函数()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当12a =-时，关于x 的方程1()2f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.临川一中10月考数学文科参考答案ABDCA DCABB AA13.)4(23π-=-x y 14 3π 15.23π16.-6-a 17.[解析] p 真⇔0＜a ＜1，p 假⇔a ＞1；q 真⇔a ＞52或0＜a ＜12，q 假⇔12≤a ＜1或1＜a ≤52；∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 中一个真一个假，即p ，q 有且仅有一个是真的． 若p 真q 假，则12≤a ＜1，若p 假q 真，则a ＞52，综上，a 的取值范围是15122aa a ⎧⎫≤<>⎨⎬⎩⎭或.18.解：（I ）C A B A b c a sin sin sin sin --=+c a ba --=，化简得222c ab b a =-+， …3分所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ．…6分（II ）C B A c b a sin sin sin +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6sin(2π+=A ．…9分因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ． 故，cba +的取值范围是]2,1(． 19.解答： 解：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d ，各列依次成等比数列，公比相等设为q ＞0． ∵a 11=1，a 23=14，a 32=16， ∴，解得d=3，q=2．∴a n1=2n ﹣1．（2）由（1）可得a 1n =a 11+3（n ﹣1）=3n ﹣2．∴b n ==，∴T n =1++…+，=…+，∴=1+﹣=﹣﹣2=，∴T n =8﹣．∵T n ＜m 2﹣7m 对一切n ∈N *都成立，∴m 2﹣7m ＞（T n ）max ，∴m 2﹣7m≥8，m ＞0，解得m≥8，∴最小的正整数m 的值是8．20.试题解析：（1）；（2）,, =;（3）单减区间为，单增区间为.21. 解：（1）由题意知，2b ＝4，∴b ＝2，又∵e ＝ca ＝55，且a 2＝b 2＋c 2， 解得： a ＝5，c ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 25＋y 24＝1； ………4分（2）①由（1）知：B (0,－2)，F 1(－1,0)，∴BF 1：y ＝－2x －2 ………5分设M (t ,－2t －2)，由→PO ＝6·→OM 得：⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6t y 0＝26(t ＋1) (7)分代入椭圆方程得：6t 25＋6(t ＋1)2＝1，∴36t 2＋60t ＋25＝0，∴(6t ＋5)2＝0， ∴t ＝－56 ，∴M (－56，－13) ………9分∴OM 的斜率为25，即直线OP 的斜率为25； ………10分【或】设直线OP 的方程为y kx =，由22154y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得P x =………6分 由22y kx y x =⎧⎨=--⎩得22M x k -=+， ………8分由→PO ＝6·→OM 得P M x =解得：25k = ………10分②由题意，PF 1：y ＝y 0x 0＋1(x ＋1)，即y 0x －(x 0＋1)y ＋y 0＝0 ………11分∴d 1＝y 0y 20＋(x 0＋1)2，同理可得：d 2＝y 0y 20＋(x 0－1)2∴y 0d 1＋y 0d 2＝y 20＋(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＝PF 1＋PF 2＝2a ＝2 5 ………15分 【或】∵S △OPF 1＝12PF 1·d 1＝12OF 1·y 0，∴PF 1·d 1＝y 0，∴y 0d 1＝PF 1．同理在△OPF 2中，有y 0d 2＝PF 2．∴y 0d 1＋y 0d 2＝PF 1＋PF 2＝2a ＝25． ………15分 22.解：（Ⅰ）221()(0)ax x f x x x+-'=->∵ 2x =时，()f x 取得极值，∴ (2)0f '=，解得34a =-，经检验符合题意. （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，依题意()0f x '≥在0x >时恒成立， 即2210ax x +-≤在0x >恒成立. 则22121(1)1x a x x-≤=--在0x >时恒成立， 即1a ≤-. ∴ a 的取值范围是(,1]-∞-.（Ⅲ）12a =-，1()2f x x b =-+即213ln 042x x x b -+-=. 设213()ln (0)42g x x x x b x =-+->.则(2)(1)()2x x g x x--'=.列表：∵ 方程()0g x =在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.则(1)05(2)0ln 224(4)0g g b g ≥⎧⎪<⇔-<≤-⎨⎪≥⎩. ∴ b 的取值范围为5(ln 22,]4--.。